OP : OQ : : PR : QS OU (A) : (B) : : (C) : D

Quand les deux moyens sont égaux entr'eux, la longueur ou le nombre qui les représente est

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Il4 GÉOMÉTRIE.

ce qu'on appelle la moyenne proportionnelle entre les extrêmes. Ainsi, dans la proportion,

4 est la moyenne proportionnelle entre les àeux extrêmes a et 8.

En géométrie , étant données deux longueurs, on trouve aisément leur moyenne proportionnelle. Nous l'expliquerons bientôt.

Des triangles semblables. Si deux triangles ABC , abc , fig. 7, ont leurs côtés correspondants parallèles , ces côtés sont proportionnels , et les triangles sont semblables. Ainsi AB : ab : : BC : bc : : AC : ac.

Pour le démontrer, transportons abc sans changer la direction de ses cotés, de manière que le point b tombe en A ; prolongeons ensuite ac et BC jusqu'à ce qu'ils se rencontrent en un point m, on aura AC=: cm, Cm=:bc(i) } puisque ce sont des parallèles comprises entre parallèles. .

Mais AC et cm , Cm et bc étant parallèles , on a

AB : ab : : cm = AC : ac , AB : ab : : BC : Cm = fc?.

Donc, enfin, AB : ab : : AC : ce : : BC : bc.

Si deux triangles ABC , abc , fig. 8 , sont tellement posés et configurés, que, AB soit perpendiculaire à ab y BC à bc, AC à ac, je dis que les deux triangles sont semblables.

En effet , sans rien changer au triangle abc , faisons-le

tourner, d'un angle droit autour du point a , alors ac se po-

'•era en ad dans une position parallèle à AC ; il en sera de

(1) Lo signa ss yeut dire égale.

même de ab' , et de b'c'. Donc le triangle ab'c' aura ses cotéi parallèles à ceux de ABC , et les deux triangles seront semblables. Par conséquent aussi ABC et abc sont semblables.

Quand deux triangles ont leurs côtés proportionnels, leurs angles correspondants sont égaux, et les triangles sont semblables. En effet, supposons que les deux triangles ABC , a! b'c 1 , fig. 7 , n'ont d'autres relations que celle-ci :

AB : a'b' : : AC : a'c 1 : : BC : b'c'.

J'imagine un second triangle abc ayant le coté ab =s a'b' , et de plus ses trois côtés respectivement parallèles à AB, BC, AC. Alors on a

AB : ab : : AC : ac : : BC : 6c. Donc...

a'c' = — a'b'... ac = — ab...