AB AB

Donc si a!U = ab % il faut qpe a'c' égale ac, et ejue b'c 1 =ibc.

Donc les deux triangles abc > a! b'c' , ont leurs *rois cotés respectivement égaux, et sont par conséquent égaux : donc les angles a' = a = A , 4' = £ = B,c'»c = C.

Ainsi, quancÊÊmix triangles ont leurs cotés proportionnels , par cela seul, les angles opposés aux cotés proportionnels sont égaux , et les triangles sont semblables.

Quand deux triangles ABC , abc ont les côtés AB, AC, proportionnels kab>ac, et que l'angle

Il6 GÉOMÉTRIE.

A=<z, les deux triangles sont semblables ; car, en posant l'angle a sur A , la proportion AB : ab : : AC : ac exige que AC et ac soient parallèles; alors les trois côtés sont parallèles.

Si, dans la figure 6, on mène, à partir du point O , trois lignes droites OPR ', OQS, OTU, coupant les deux parallèles PTQ, RUS, on aura successivement, à cause des triangles semblables,

OPT, ORU; i°.... OT : OU : : PT : RU, OQT, OSU; a\... OT : OU : : QT : SU.

Donc enfin.... PT : RU : : QT : SU.

C est-a-dire que les portions PT, QT, RU> SU,

de deux parallèles coupées par trois lignes droites parties dun même point , sont proportionnelles. La réciproque de ce principe est également vraie.

A présent , nous pouvons étendre nos idées, et démontrer que deux polygones ayant leurs côtés correspondants parallèles et proportionnels 9 sont des polygones semblables.

Soient les figures ABCDEFG A, abcdefga, fig. g, quiaient leurs cotés correspondants proportionnels et parallèles. Ainsi AB : ab : : BC : bc... : : m : i. Les angles correspondants , étant formés par des lignes parallèles deux à deux , seront égaux. Donc 1 angÉ^K z=z B. Menons les lignes AG > ac ; les deux triangles ABC , abc seront semblables , puisqu'ils ont un angle B égal à b compris entre deux cotés proportionnels. Donc AB : ab : : BC : bc •'■ AC : ac : : m : i . Menant ensuite AD et ad, les triangles ACD, aed seront semblables au même titre ; puisque AC : ac : : CD : cd : : m : i , et que les angles ACD, aed