CINQUIÈME LÉ Ç OIT

sont égaux, comme ayant leurs cotés» parallèles. Donc AD est parallèle à ad. v

En continuant le raisonnement que - nous venons de commencer, on achèvera de décomposer les polygones en triangles semblables.

Par conséquent , pourvu qu'on sache exécuter des triangles semblables à d'autres, on peut, de proche en proche, exécuter des polygones semblables à d'autres , quelle que soit la complication des figures.

Compas de proportion , fig. i o : c'est un instrument qu'on emploie pour faciliter les réductions proportionnelles. Il se compose de deux règles égales et graduées également.

Pour réduire les dimensions d'une figure dans le rapport d'une ligne donnée E à une autre ligne donnée F, on prendra sur le côté AB la longueur AM=E. On remarquera le nombre de la graduation correspondante à M , et le point Woù se trouve le même nombre, sur l'autre branche du compas de proportion. Avec un compas ordinaire , on prendra pour ouverture de ses branches la longueur F ; cela fait , on posera l'une des branches du compas ordinaire en M ; puis on ouvrira ou fermera le compas de proportion, jusqu'à ce que la distance MN égale F ; alors il est évident que toute longueur Ai, A2, A3,..., sur les deux branches, doit correspondre à des distances 1.1, 2.2, 3.3,... telles qu'on ait les proportions suivantes :

E : F : : AM : MN : : Al : 1 .1 : : kl : 2.2 : : A3 : 3.3...

On pourra donc, avec un compas ordinaire, prendre sur-le-champ les longueurs réduites 1.1 , 2.2, 3.3.,... qui correspondent aux longueurs Ai , A2 , A3...

Lorsqu'on ne possède pas un compas de

proportion , on s'en fait un en traçant deux lignes AB , AC , fig. 1 1 , de la manière suivante. On mène une première ligne AB = E ; puis , du point B comme centre , avec une ouverture de compas BC = F, on décrit l'arc mCn. Du point A comme centre , on décrit l'arc BDC, et par le point G où ce nouvel arc coupe le premier mCn, on mène AC. S'agit-il de réduire , dans le rapport de E à F , une longueur kg quelconque ?

Du point A comme centre , on décrit Farc^ gkh ; la distance des pointe g, A, est la longueur réduite, puisqu'on a

E : F : : AB : BC : : kg : gh.

Des polygones réguliers semblables. Les polygones réguliers d'un même nombre de côtés sont semblables. En effet, îes côtés de chacun étant égau* entr'eux , sont évidemment proportionnels ; et les angles de ces polygones , angles qui ne dépendent pas de la longueur, mais du nombre des côtés , sont les mêmes dans les deux polygones.

Les contours des polygones semblables sont entr'eux comme les simples côtés.

A mesure que les côtés d'un polygone se multiplient , le polygone diffère d'autant moins du cercle dans lequel il est inscrit

Donc les cercles doivent être considérés comme des figures semblables , c'est-à dire des figures dont les lignes semblablement placées sont proportionnelles.

Cinquième leçon. 119

Le6 circonférences des cercles sont entr'elles comme les rayonc de ces cercles.

, Si, dans deux cercles, on inscrit deux polygones réguliers d'un même nombre de côtés abcdefa , ABCDEFA , ûg. 1 2 , le rapport des lignes proportionnelles dans les deux figures sera celui i°. des rayons des deux cercles; 2 . des côtés des deux polygones; 3°. des contours de ces polygones; 4** des circonférences des deux cercles.

Si , dans le cercle , fig. 1 3 , l'on mène un diamètre AOB; puis, d'un point quelconque C de ce diamètre , si l'on mène CP perpendiculaire à cette ligne , et que l'on trace les lignes droites ÀP et PB, l'on formera le triangle APB rectangle en P. Or , ce triangle rectangle est semblable à chacun des triangles partiels APC , PBC dont il se compose.

En effet, l'angle aigu A est commun aux deux triangles rectangles APB, APC; l'autre angle aigu égale un angle droit moins A; donc les trois angles des deux triangles sont respectivement égaux : donc ces triangles sont semblables.

De même, l'angle aigu B est commun aux deux triangles rectangles APB, PCB. Donc ils sont semblables; ce qui donne les proportions suivantes :

AB : AP AB : BP AC : CÇ