KT MET

.fi'

rorc.w\

Fi ? S

•5^ Ll

iW

superficie desjtgures planes twmitêMt jmr des lignes droites ou <mv/A//mr,

t&QuW veut mesurer les superflu!»* tttrmi- 3ar des lignes droites, et triant par d«« courbes , on prend pour unité il**, nn*4H4r« %ure très-simple, et non UKjm* IdâUiuinh- * qu'à subdiviser : c e*t un quarri dimt U* *ale € unité de longueur.

aut expliquer d'abord vjtum#ut f uhm ih é. Ton pe*jt en mewr** un plu* #jnwà j -dire., tooiuaeat ou p**Jt tâY'/ir o#ubi#u s le fra&d quart* &>utfce«Kt W y&jL mt de &At us* cuté du y&j£ *&t ovui**frv e cote du çr*ad - autant ^n pvut *i? îtjr*w 9 « rranc auarr*:- 3* JUtud^ \&&*l#j*> *\ au* iî tt»:«t yuur largeur. *îi j^vuf *vuçu«;uf Jt l-ji*^ Mai* auiaiit ûe i'^it i* y*** wi»

irt «11. caiiî #* jnauc. amafljt^uatiu*: uafKb. ar atiiik. it i#eu: quarf-*.. J*a« <-i*niip#*- . -i iil tin* iruitîKnr rixt iut it v*Hr . vt <•!«..k- irraut tiiaffr* et. titr u^xuun . a*«tj' **

LUI- piMT J-fT^t*' *** fît* i 'I O V^.*' J*/"

longueur; chaque bande aura donc dix fois là surface du petit quarré , et dix fois dix sera le nombre de petits quarrés contenus dans le grand. Avec le même raisonnement, on fera voir qu'en prenant le côté d'un quarré pour unité de longueur , ce quarré sera contenu dans un autre quarré ayant pour côté

i.... i fois t* égale i 6.... 6 fois 6 égale 36

a...» a fois a égale 4 ^ 7 foÎ9 7 égale 49

3 3 fois 3 égale 9 8.... 8 fois 8 égale 64

4 4 fois 4 égale 16 9.... 9 fois 9 égale 81

5 5 fois 5 égale a5 io. # ... 10 fois 10 égale 100

Les nombres 1, 4> 9> i6> a5, 36, etc., sont appelés les quarrés de ï, a, 3, 4> 5, 6.... ; parce qu ils représentent le nombre de quarrés, ayant pour côté T unité de longueur, contenus dans la superficie des quarrés ayant pour côtés x, ou a, ou 3, ou 4) etc. Les nombres 1, a, 3, 4— 9 qui représentent la quantité d'unités de longueur conte uues dans tfhaque côté des quarrés, sont appelés les racines de ces quarrés.

Si le quarré qu'il s'agit de mesurer est plus petit que celui qu'on a pris pour unité de mesure, il faut subdiviser celui-ci. Par exemple, on difisera ses côtés en dix parties égales , et Ton formera cent petits quarrés égaux, chacun desquels pourra servir d'unité de mesure. Si cette seconde unité est trop grande encore , on la divisera de même en centièmes, qui seront des cent fois cent

ou dix millièmes de l'unité primitive, et ainsi de suite. ( Voyez 2 e . vol. , leçon sur les mesures. )

Après avoir déterminé la superficie d'un quarré pris isolément, combinons deux à deux les quarrés , et demandons-nous comment la géométrie peut représenter leur somme ou leur différence; c'est-à-dire, comment elle peut construire un quarrè égal en surface à la somme ou à la différence de deux quarrés donnés*

Soient ABCD, fig. i , mnpqs fig. 9, les deui quarrés proposés. Construisons un triangle rectangle , tel que l'angle droit Y, fig. 3 , soit entre deux côtés XY = mn , YZ = AB. Si Ton fait des quarrés avec XY, YZ, comme cotés , on aura HYab = mnpq, et YLcd z=z ABCD. Je dis maintenant que le grand quarré XZe/*, construit sur XZ comme côté, égale en somme les deux quarrés proposés.

Nous avons fait voir, deuxième leçon, que, dans un triangle rectangle XYZ, fig. 3, si Ton abaisse, de l'angle droit sur le grand côté, la perpendiculaire YU, l'on a; (i) XU : XY . . XY . XZ, d'où XYxXY = XY* = XUXXZ, ZU : ZY : . ZY . XZ, d'où ZY X ZY, — ZY' = ZU X XZ.

Dqnc XY a plus ZY% c'est-à-dire , la somme des deux quarrés XYa£ , ZYcd, égale XU plus ZU, c'est-à-dire, XZ, multiplié par XZ , qui est la mesure du quarré XXef. Ainsi le grand quarré équivaut à la somme des deux autres.

Donc, dans un triangle rectangle , le quarré construit sur le grand coté, égale la somme

(i) Pour représenter le quarré dont un côté égale AB, on écrit AB*, et la superficie de ce quarré ABCD> est par coosé* cpient AB* 2 qui égale AB multiplié par AB.

des quarrés construits sur les deux autres côtes. Si Ton proposait de trouver un quarré équivalent à la différence de deux autres, on ferait un triangle rectangle ayant pour grand côté XZ, fig. 3, celui du grand quarré, et pour un de ses petits côtés XY, celui du petit quarré connu. Le troisième quarré construit avec le troisième côté YZ du triangle rectangle, serait égal à la différence des deux autres quarrés; puisque* ajouté avec le plus petit, il doit être égal au plus gcaod.

Enobservantque3fois3=9; que4foi&4==i^ que 5 fois 5 = 25, et que 9 plus 16 égalent *5, on voit que 3 , 4 et 5 sont les côtés d'un triangle rectangle. Les artistes emploient souvent cette propriété, pour mener une droite YZ perpendiculaire à une autre , XY. Ils divisent XY en trois parties ; puis , prenant YZ = 4 > XZ = 5 de ces parties, ils achèvent le triangle XYZ, dans lequel YZ est la perpendiculaire cherchée.

Mesurons , maintenant , la surface des figures qui s'éloignent de plus en plus de la forme du quarré.

La surface du rectangle est égale au produit de la base par la hauteur.

Pour le prouver, divisons MQ , ï\g. 4 » en parties égriw au côté AB du quarré ABCD pris pour unité. Par les points <lc division , menons des droites parallèles à MN ; elles partageront le rectangle en bandes ayant toutes MN pour longueur, et même largeur que le quarré. Chaque bande

SIXIÈME LEÇON. I2t5

contient la superficie d'autant de quarrés ABCD, que MN contient de fois ÀB. Donc , MN étant exprimée par des nombres, lorsque. ÀB est l'unité $ le nombre de quarrés ABCD que le rectangle MNPQ contient, est représenté par la base MN multipliée par la hauteur MQ.

Dans les arts, il faut souvent trouver un quarré dont la surface soit équivalente à celle d'un rectangle MNPQ. On s'y prend ainsi :

Si l'on met bout à bout les cotés MQ, MN, fig. 5, et que, sur leur somme comme diamètre, on décrive un demicercle ; si , du point M , on élève la perpendiculaire MR au diamètre QN; en la prolongeant jusqu'au contour du demicercle, pn aura (cinquième leçon , p. 119):

QÎK : MR : : MR : MN, d'où QM X MN = MR».

Ainsi, le quarré construit sur MR, équivaut au rectangle MNPQ; puisque ces surfaces ont même mesure.

La surface d'un parallélogramme LMNO, fig. 6, est égale au produit de sa base par sa hauteur.

Pour le démontrer, des points M, N, menons MQ , NP, perpendiculaires à MN, jusqu'à OLQ. Les deux triangles MQL, NPO, sont égaux; puisque MQ=NP (comme parallèles comprises entre parallèles), .et que les angles correspondants sont égaux. Donc le rectangle MNPQ, comparé au parallélogramme MNOL , contient en plus le triangle LMQ , et en moins le triangle égal ONP ; donc la surface du parallélogramme est, comme celle du rectangle, mesurée par le produit de la base MN par la liauteur PN.

Quarré de multiplication. Il fait connaître , en chiffres, là surface d'un rectangle ou d'un parallélogramme, dont les deux côtés ne passent pas dix.

i5 ao

i4 SI S5 4« 7"

(Kl

7" 8.-> go

La deuxième colonne indique la surface des rectangles ou des parallélogrammes qui, pour deux de hauteur, ont de base 1 , a , 3, 4-— > 1* troisième colonne indique la surface des rectangles ou des parallélogrammes qui, pour trois de hauteur, ont de base 1, a, 3, $•..., etc. Il fàtd que les industriels aient une table pareille , suspendue dans leur atelier, et rapprennent par cœur : cette connaissance est indispensable pour faire la moindre multiplication.

La surface d'un triangle ABC , fig. 7, égale h moitié du produit de sa base par sa hauteur.

En effet, si nous menons CD parallèle à AB, et Al) parallèle à BG, le nouveau triangle ACD est égal au premier, ABC ; mais ABCD forme un parallélogramme dont la sutface égale AB base du triangle ABC X sa hauteur CE ; donc la moitié de ce produit est la superficie du triangle.

Puisqu'on peut toujours décomposer en triangles une figure quelconque terminée par des

gnes droites f on trouvera sur-le-champ la meïre de la surface de tout polygone irrégulier ou Sgulier. On prendra, pour chaque triangle, la îoitié du produit de sa base par sa hauteur; et la >mme de tous les produits donnera la mesure e la surface cherchée. Cette application est une e celles qui rendent l'étude des triangles si imortante pour la géométrie et spécialement pour arpentage. Commençons cette application par 1 mesure du trapèze.

La surface du trapèze égale la demi-somme fe ses deux bases , multipliée par sa hauteur.

Le trapèze ABCD, fig. 8, dont la hauteur est mn y sera diisé par la diagonale ÀC en deux triangles ÀBG , ACD , yant respectivement pour mesure i le premier^ AB X.mn; 5 deuxième 7 DC X mn - La somme de ces deux produits era la moitié de AB plus CD , multipliée par mn; ce qu'on crit ainsi, «£ (AB-f-CD) mn.

Ayant ce produit , on peut sur-le-champ rouver un quarrè équivalent au trapèze*

Ou mesurera AB -f- CD, fig. 8, qu'on représentera par la igné unique MN, fig. 5; on prendra MQ=-i-m/t; on tra- ;era le demi-cercle QRN ; et la perpendiculaire MR sera le :ôté du quarré cherché.

La surface d 9 un polygone régulier, égalé la moitié de son contour multiplié par la distance de son centre h F un de ses cotés.

Du centre O, fig. 9, du polygone ABCD..., si nous menons des lignes droites aux sommets, nous allons le diviser en triangles égaux AOB, BOC, COD.... Soit Om, la distance du centre à chaque côté , et par conséquent la

Il8 GEOMETRIE.

hauteur de ces triangles. Ou. aura pour mesure de l'un d'eux, et parconséquent de tous les autres, j- AB X Om, la superficie totale sera ~ ( AB 4~ BG -f* CD... ) Om ou i(ABCD...)Om.

Le polygone régulier diffère d'autant moins du cercle dans lequel il est inscrit, que le nombre de ses côtés augmente ; et la différence devient moindre (Jue toute quantité donnée , si Ton multiplie suffisamment le nombre des côtés. Donc lç cercle peut être regardé comme un pcrïygone , ayant un si grand nombre de petits côtés , que la perpendiculaire Om ne diffère pas , d'une quantité appréciable, du rayon OA. Donc...

La surface du cercle est égalé à sa circonférence multipliée par la moitié de son rayon , ou à sa demi-circonférence multipliée par son rayon.

Impossibilité de la quadrature du cercle. Au moyen de la solution indiquée fig. 5, il serait toujours facile de trouver un quarré doqt la superficie fût égale à celle d'un cercle donné , si l'on pouvait trouver une ligne droite exactement égale en longueur à la circonférence d'un cercle dont on connaît le rayon. Mais on ne peut avoir la mesure d'une telle ligne droite, et le problème de trouver le quarré équivalent au cercle ' ( ce qu'on appelle la quadrature du cercle} est au rang des questions dont une solution rigoureuse est impossible. Il importe beaucoup que les élèves n'épuisent pas leurs facultés en efforts qui ne sauraient avoir de succès.

SIXIÈME LEÇON. I?g

On peut, avec des nombres, donner la valeur approchée de la circonférence et de la surface du cercle, en représentant

le rayon par 100, 1,000, 10,000, 100,000, etc.,

la circonférence par 628, 6,a83, 62,83 1, 628,3 i3, etc., et la surface par 3 1 4 ? 3, 1 4 T -» 3i,4i5, di4,i56, etc.,

Si, au lieu de la surface totale du cercle, on se borné à celle d'un secteur AOB, 6g. 9 , dont Farcsoit la moitié, ou le tiers, ou le quart, etc., de la circonférence, on verra que ce secteur est aussi la moitié, le tiers, le quart, etc., de la surfoce du cercle. Pour avoir sa mesure, il suf-

fira de multiplier par la moitié du rayon, la longueur de Tare AnB qu'il comprend entre les côtés OA , OB. Si, de ce produit, on retranche celui de \ AB X On =surface du triangle OAB , on aura la superficie du segment AwB.

Comparaison de la surface des figures semblables. i°. Des triangles.

Le rapport de la surface de deux triangles semblables ^ est égal au rapport du quarrédes lignes correspondantes ou homologues.

Soient deux triangles, AOB, aob , fig. 11, tels que leur base égale la moitié de leur hauteur; un quarré ABCD, abcd, fait sur leur base comme côté, leur est égal en surface .Si l'on diminue ou si l'pn. augmente proportionnellement les hauteurs, la base restant la même , on va former toutes sortes de triangles semblables XAB , xab, qui , conservant même base, augmentent ou diminuent de surface dans le même rapport. Donc, le rapport des surfaces étant primitivement T. I. — Géom. 17

ï3o GÉOMÉTRIE.

représenté par les quarrés ABCD , abcd, des bases , le sera dans tous les cas.

Toutes les figures semblables peuvent se décomposer en un même nombre de triangles semblables, qui sont entr'eux comme les quarrés de deux lignes correspondantes. Donc...

Les surfaces des figures semblables (terminées par des lignes droites ) , sont entr 9 elles comrrie lès quarrés construits sur deux lignes correspondantes ou homologues.

Ainsi les deux polygones ABCDEFA , abcdefa y fîg 12, «tant semblables, leurs surfaces sont comme les quarrés ÀBMN , ahmn , faits sur deux côtés correspondants AB, db.

On démontre de même que les cercles , qui «ont des figures semblables , ont leurs surfaces proportionnelles aux quarrés construits sur leurs rayons ou sur leurs diamètres comme côtés.

L'emploi de ces proportions est sou vent- fort- commode. La surface d'un cercle dont le rayon est égal à l'unité, ne peut être exprimée, même approximativement, que par des nombres compliqués, si l'on veut un peu de précision. Mais les rapports des surfaces pourront souvent être donnés avec une extrême simplicité.

Nous ferons connaître ici deux très-belles propriétés dont jouit la surface des polygones réguliers et des cercles. Mais, sans en donner la démonstration ; parce qu'elle repose sur des ' méthodes scientifiques trop relevées.

SIXIÈME LKC.OX. ll\\

A contour égal, parmi toutes les fiigures qui ont un nombre donné de côtés , c'est le pohgone régulier dont la superficie est i.a. puis i;u\Nm-'.

A contour égal, plus il y a de. cotés dan* un polygone régulier , puis sa sur/ace est. grande.

A contour égal , totjtks les figures terminées far un nombre quelconque décotes, droits nu courbes, ont moins de superficie que le. cercle..

Applications. Ces propriétés sont i ni port an 1rs à connaître dan* l'économie de plusieurs arts.

Ainsi, la quantité de plomb qu'il faut employer au vitrage gothique d'un espace limité, est la moindre possible, si les vitraux ayant ut: nombre donné de côtés, sont des figures régulière.*.

Ainsi, quand on doit faire des tuyaux rie conduite pour les eaux, le gaz, etc., et que ce*/ tuyaux doivent livrer un passage à un volume de fluide déterminé, si on les fiait circulait et . la quantité de bois ou de métal employée ymr <ja tuyaux est la moindre poiùble.

Dans T architecture, ta hauteur et le r/*u*<*i+t cfan édifice étar.t ^or;r.4s. et &*r c/>r.y : '; s-.tx \>tPnda* de •«■* dur* *z±*kr-*ï*z\. -"e* r^o^ c /'•& >? **.

.-•c «7i.- ry.^ -'^'^5- r' -j.r* *~ '** "*'?!*»

l3a GttOAI JÉTIUE.

lequel nous avons tracé les diverses figures dont nous venons de déterminer la mesure. Quand une droite a deux points dans un plan, elle est toute entière sur ce plan. Cette propriété sert dans les arts , pour construire des surfaces planes, et pour parcourir des espaces ^plans.

application à lajaïencerie. Veut-on, par exemple , comme dans l'art du faïencier , terminer en surface plane, une masse de terre quelconque?... On place deux guides parallèles , ou un encadrement plan MNPQ , fig. 1 3 ; puis , avec une règle droite ST, qui s'appuie à la fois sur les deux guides MN, PQ,l'on avance régulièrement, et Ton détache ou l'on comprime toute la terre saillante en dessus du plan qui passe par MN etPQ. Il n'est pas indispensable que l'encadrement MNPQ soit formé de droites parallèles ; il suffit . que ces droites , si l'on veut les prolonger , se rencontrent quelque part. I

Application au recépage des pieux. Les scies à recéper les pieux suivant un plan horizontal dont l'abaissement sous l'eau est donné , ont leur jeu réglé par deux guides MN, PQ , fig. i3, également éloignés du plan horizontal suivant lequel on doit couper la tète de tous les pieux» La scie même st est une droite transversale représentée par sa parallèle ST. Cette parallèle étant tenue a distance invariable de la scie par un cadre rectangulaire STfc , et s appuyant sur

SIXIÈME LEÇON. l33

if N et PQ , la scie décrit un plan mnpq paralèle à MNPQ.

Le menuisier , pour aplanir une planche, Eait usage de Toutil qu'on appelle rabot. Il commence par dresser les bords de cette planche , c'est-à-dire , par les rendre exactement rectilignes, avec son rabot dont le bois est ci} ligne droite et dont le fer enlève sur la planthé tout ce qui est trop saillant , pour qu'il y sût un contact parfait entre cette planche et le lois du rabot. Ensuite il rabote transversalement, d'un côté dressé à l'autre côté, pour "tracer une suite de droites intermédiaires passant par celles des bords.

Le scieur de long et le charpentier marquent dessus et dessous la pièce de bois dont ils veulent aplanir un côté , la trace du plan qu'ils ont À exécuter ; ils dirigent ensuite sur ces deux lignes, l'un sa scie et l'autre sa hache.

Jusqu'ici nous n'avons considéré qu'un plan à la fois, et des lignes tracées sur ce plan. Comparons successivement le plan avec des lignes qui n'y soient pas toutes comprises , et plusieurs plans entr'eux. Une droite peut être perpendiculaire , oblique ou parallèle à un plan donné.

SoitAB,fig. 1 4, la ligne la plus courte qu'on puisse mener , l'un point A, au plan MNPQ. Ce sera, par conséquent, la ligne i plus courte qu'on puisse mener, du point À, à toute ligne roite tracée dans le plan : donc elle sera perpendiculaire tontes les lignes droites BE , BF, tracées sur le plan , à.

l34 GÉOMÉTRIE.

partir du pied B de cette perpendiculaire. La droite ÀB est dite perpendiculaire au plan MNPQ.

Donc , i °. la perpendiculaire menée et un point à un plan > est la plus courte distance du point au plan; 2°. elle est perpendiculaire à toutes les lignes menées , par son pied \ dans ce plan.

Par conséquent, si l'on prend une équerre, pour la faire tourner sur un des côtés de l'angle droit , l'autre côté décrit nécessairement un plan.

Dans la construction des instruments que Top* tique fournit à l'astronomie, à la navigation, etc., on fait un fréquent usage de cette dernière propriété géométrique.

AB, fîg. i4 9 étant perpendiculaire au plan MNPQ, toute ligne AD, AF, menée du point A à Tune des lignes DBF, tracées sur le plan , est une oblique pour la ligne et pour le plan. Ainsi, pour le plan , comme pour la ligne droite, les obliques ÀDj AF,sont toutes plus longues que h perpendiculaire AB , et d'autant plus longues quelles s'éloignent davantage de cette perpenà- culaiie.

Supposons qu'on ait mené , du point A , toutes les obliques possibles sur la ligne droite DBF, tracée sur le plan, et passant par le pied B de la I perpendiculaire; chaque point D, F...., delà droite DBF, va décrire un cercle dans le plan MNPQ, et tou£ les points de chaque cercle seront

l36 GEOMETRIE.

sèment aura lieu également sur tous les points entre les deux, meules.

On voit ici le grand avantage, je dis plus , la nécessité de la précision dans l'exécution des machines. Si le parallélisme des roues n'était point parfait ; si l'arbre de la meule mobile n'était pas rigoureusement perpendiculaire au plan de ces roues; si, lors de son mouvement, il pouvait pencher un peu vers la droite ou vers la gauche : en tous ces cas, les deux plans des meules ne resteraient pas constamment à la même distance. Dans la partie trop rapprochée, le blé trop écrasé, s'échaufferait, se gâterait ; dans d'autres parties, il ne serait pas même moulu , et les roues joueraient à vide. Par conséquent, ici, l'exactitude est plus qu'une chose de luxe et de satisfaction intellectuelle : c'est une condition imposée par la nécessité même , pour le succès de l'opération.

application au tournage. Les propriétés que nous venons d'exposer sont employées dans les arts , pour décrire les cercles au moyen du tour. C'est un instrument qui présente deux points fixes auxquels on assujétit le corps à tourner. Lorsqu'on tient un outil tranchant, dans une position immobile , et qu'on fait tourner le corps, Toutil enlève les parties trop saillantes du corps, il y trace un cercle ayant pour axe la ligue droite qui passe par les deux points fixes, et qui, <fe m plus, a son centre sur cette ligne droite. h

Sixî*MK tkçoir. illj

Si l'on suppose que le tranchant de l'ôUtil Avance par degrés, en suivant une perpendiculaire à cette ligne droite , tous lès cercles qu'on *raee successivement avec le tranchant de l'outil sont placés dans un même plan perpendi* bulaire à la droite qui passe par les deui pointés du tbiir. Ainsi l'on peut faire usagte du- tou* pour exécuter un plan.

* Tel est lé moyen qu'on emploie dans lès manufactures de machines, où Fort a besoin dé tailler, suivant la figure d'un plan * soit des plateaux métalliques , soit les extrémités des cylindres qu'il s'agit d'ajuster bout à bout avec ùnè grande exactitude.

application à la machine de Bramàh, pour tailler des surfaces planes. Bramah fait tourner; autour d'un axe vertical et fixe, une roue horizontale munie d'un grand nombre d'outits tranchants. Ces outils ne saillent pas tous également sous le plan du cercle; ils sont groupés par cinq ou 6ix, qui saillent graduellement de plus en plus. La* pièce dé bois qu'il s'agit d'aplanir est posée sur un chariot horizontal qui s'avance et passe sous la roue armée de tranchants. Les tranchante de chaque groupe entaillent la pièce de bois , de manière que le moins saillant de tous forme un prertrieftrâit, successivement approfondi parlés qua- Wb à cinq autres du groupe; après quoi, la pièce; qui continue d'avancer, est aplanie dans sa partkî

T. I. — (tsom. 18

l38 GÉOMÉTRIE.

subséquente , par un nouveau groupe de cinq à six tranchants. Quand tous les tranchants distribués sur le contour de la roue ont fait, sur la pièce de bois, leurs rainures respectives et fort étroites , un rabot fixé à la roue , à hauteur des tranchants les plus saillants , passe sur la pièce de bois qu'ont sillonnée tous les tranchants, et, faisant disparaître les aspérités de ces sillons, elle achève d'aplanir la pièce»

Deux perpendiculaires AB, CD, fig. i5, au même plan MNPQ , sont parallèles entr elles*

Pour le démontrer , par les pieds B , D, de ces perpendiculaires menons la droite BD sur le plan ; puis sur ce plan, par le milieu O de BD , menons la perpendiculaire EOF.

En faisant OE = OF, les deux points B, D, seront 'égamént éloignés de £ et de F. De plus , tout point À, G , des lignes AB , CD, perpendiculaires au plan MNPQ , est égaie* ment éloigné des points £ et F % En effet , si nous menons FD et ED , ces deux obliques étant également éloignées de la perpendiculaire OD sur EOF, sont égales. De même CE, CF, étant deux obliques également éloignées de la perpendiculaire CD du plan , sont égales ; enfin AE , AF, sont égales au même titre. Ainsi les perpendiculaires AB , CD , appartiennent au plan unique qui contient tous les* points également éloignés des deux points fixes E , F. Donc AB, CD, perpendiculaires à la même droite BD, se trouvent sur un même plan : donc elles sont parallèles.

Le plan horizontal est, comme on sait, celuL de la surface des eaux tranquilles dans le point. où l'on se trouve, et la perpendiculaire à c& plan est ce qu'on nomme la verticale. Par con—

SIXIÈME LEÇOX. l3i)

sèqueut, pour on même plan horizontal douné„ toutes les verticales sont parallèles.

LejSàplomb est on fil qu'on tient d'un bout et qui de l'autre porte un plomb. Au repos , ce fil prend la direction verticale du lieu ou ion fie trouve. U peut donc servir à vérifier si , dans œt endroit , un plan donné est horizontal. U suffit, pour cela , qu'en posant un côté d'une oquctre suivant la direction de ce fil, l'autre coté Rapplique exactement sur le plan, dans toutes les directions possibles. Deux positions suffisent à la vérification, puisque deux lignes droites suffirent pour déterminer la position d'un plan.

Réciproquement , ayant la position d'un plan horizontal y on obtiendra la verticale en menant *ine perpendiculaire à ce pbft Mais cette opération ne présentera pas autant de facilité.

On appelle plans verticaux , les plans qui contiennent une verticale toute entière dans leur surface. Si , d'un point quelconque d'un tel plan , Ton mène une verticale , comme elle est parallèle à une première verticale placée sur ce plan, elle-même y doit être toute entière.

Deux plans verticaux se coupent nécessairement suivant une ligne droite verticale; puisque la verticale menée par un seul point où se coupent les deux plans, doit être toute entière sur l'un et sur l'autre plan.

Un grand nombre d'arts, et surtout de ceux

jfto GBOMÉTRIB.

qui se jHppprtent à la construction des édifices , font un fréquent usage des plans horizontaux des plans verticaux et des verticales.

Dans nos habitations , les planchers, lea pla fondis , le joint inférieur et supérieur de»

de pierre de taille, de brique, etc., pour 1 murs ordinaires, sont des plans horizontaux*

Les plaps des murs extérieurs , des mu» refend et des cloisons, sont des plans verticaux^ et les arêtes formées par les murs 9 par lçs cot ides portes, des fenêtres, etc., sont des vçrticftta* parce quelles se trouvent à la fois sur plans verticaux.

Dans le dessin de la géométrie descriptive, d la coupe des pierres , de la charpente et de Far chitecture en géijfeal, on suppose qu'un mier dessin s'exécute sur un plan horizontal^ an suppose qu'un second dessin s'exécute sur-~ un second plan vertical; c'est V élévation, si cetplan est en dehors de l'édifice; c'est la coupe , sr ce plan traverse l'édifice.

Lorsqu'une droite passe par deux points A , C • fig. 16, également éloignés d'un plan MNPQ, tous les autres points de cette droite AC sont à la même distance du plan.

En effet , à partir de AC , menons les parallèles AB , CD , EF, perpendiculaires au plan MNPQ. En traçant la ligne droite BFD dans ce plan , l'on aura AB = EF = CD , quelle qqe #oit U position du point E.

SIXIEME LSÇOIT. i4i

L'ensemble de toutes les droites parties du point A, fig. i6 9 perpendiculairement i AB, ferme un plan. Donc, tous les points de ce plan ont AB pour mesure de leur distance au plan MNPQ. Ainsi, deux plans perpendiculaires à la même droite AB, sont partout à la même distance l'un de 1 autre; et partout, les lignes AB, CD, perpendiculaires à l'un, le sont à l'autre: elles mesurent la plus courte distance de ces plans.

Deux plans NPQM, NPRS, fig. 17, qui se rencontrent , se coupent en ligne droite NP.

En effet, « par deux des points de rencontre, N, P, on mène une droite, il faudra qu'elle soit toute entière sur les deux plans qui contiennent ces deux points. Elle sera donc la ligne même commune à ces deux plans.

On peut supposer que le plan NPQM soit incliné plus ou moins sur NPRS ; alors on obtient un angle plus ou moins grand, compris entre NPQM, NPRS. Pour mesurer cet angle, voici ce qu'on fait :

On mène , fig. 17, dans le premier plan , CÀ , et dans le "Kecond , GB , perpendiculairement à NP droite commune *ax deux plans. L'angle formé par les deux plans est représenté par l'angle quje forment ces deux droites.

Supposons que le plan NPQM tourne autour «le NP, comme autour d'un axe. Chacun des points de ce plan va décrire un cercle; et le plan même aura parcouru tout l'espace autour de l'axe , quand chacun de ses points aura parcouru la circonférence complète d un cercle. Si J'on divise en partie* égales l'espace ainsi par*

l4a GÉOMÉTRIE.

couru , chaque point aura décrit , dans chaque partie , le même nombre de degrés. Ce nombre sera donc propre à mesurer l'angle même des plans tournants autour de NP.

Les fabricants d'instruments de mathématiques exécutent , pour les astronomes , pour les navigateurs et pour les ingénieurs géographes , des instruments qui servent à mesurer l'angle qu'un plan fait avec un autre, et qui sont généralement exécutés d'après le principe que nous venons de faire connaître. Un arc de cercle gradué ÀB, fig. 17, est dans un plan déterminé par les fils des alidades perpendiculaires CA., CB, aux plans dont on doit mesurer l'inclinaison. Une extrémité B est fixe sur un des plans; et le point A, où l'arc traverse l'autre plan, indique le nombre de degrés d'inclinaison des deux plans.

Pour déterminer la direction des plans , nous les rapportons d'ordinaire à quelque plan horizontal ; l'intersection du plan incliné sur leplan horizontal , est ce que l'on appelle la trace de ce plan incliné. Par conséquent, si l'on conçoit, perpendiculairement à cette trace : i°. Une horizontale ; 2 . une droite placée sur le plan incliné , l'angle qu'elles formeront èntr'elles représentera l'angle des deux plans.

La ligrie inclinée CA, fig. 17, que nous venons de déterminer , l'est plus que toute autre ligne tracée sur le plan incliné NPQM.

Pour le démontrer, menons l'horizontale XOY parallèle à la trace I\P du plan incliné. COA perpendiculaire aux deux parallèles, et CO mesurera leur distance. Donc, pour descendre des points XOT du plan incliné, points tons situés aune même hauteur, aux points P, C, N..., qui sont aussi tous de niveau, la plus courte voie, c'est-à-dire, la ligne de plus grande pente , est OÀ perpendiculaire aux deux parallèles XOY, PCN.

Lorsque nous parlerons des surfaces courbes, on verra qu'on a fait servir avantageusement les lignes horizontales et les lignes de plus grande pente , pour représenter sur des plans la figure de ces surfaces.

Deux plans sont perpendiculaires l'un à l'autre quand ils forment , de droite et de gauche , des angles qui sont égaux. Ces angles, mesurés par des lignes droites perpendiculaires , sont droits.

Quand une droite est perpendiculaire à un plan , tous les nouveaux plans menés par cette droite sont perpendiculaires à ce plan.

En effet, soit AB, fig. 18, perpendiculaire au plan MNPQ, et FGDE un plan mené par AB. Traçons sur MNPQ, AC perpendiculaire à GD ; l'angle BAC qui mesure l'inclinaison des deux plans sera droit. Donc les deux plans seront perpendiculaires l'un à l'autre.

Quand deux plans parallèles entr eux sont coupés par un troisième , les deux droites d'intersection sont parallèles. En effet , sans cela • elles se rencontreraient quelque part ; donc le premier et le second plan , dont elles font

î44 * GÉOMÉTRIE.

partie, se rencontreraient; par conséquent v ne seraient pas parallèles.

Deux droites parallèles ^ comprises entre plans parallèles , sont égales. En effet, si par deux droites on mène un troisième plan, coupe les deux premiers plans, suivant nouvelles parallèles qui comprennent les ai premières ; or , des parallèles , comprises des parallèles , sont égales.

Deux droites ABC, DEF* fig. 19, par trois plans parallèles NP, QR, ST, coupées en parties proportionnelles.

Pour le démontrer, menons Aef parallèle à DEFI points E , F, e,y, étant les points de rencontre de ce* cl] tes avec les plans QR, ST, on aura Ae égale DE; ç/=] Mais les deux droites ABC, Ae/", sont dans un même qui coupe les deux plans QR , ST , suivant deux droites rallèles Be, Cf. Donc on a

AB : BC : : Ae : ef : : DE : EF. ^

Il me resterait à parler des angles solides, que OABC, formés par trois droites OA, OB, ~ concourant au point O, et représentant trois py tions de plans AOB, BOC, COA. Cet angle ,co* me on voit, présente trois angles ordinaires À(| BOC , COA, et trois angles formés par les ptal pris deux à deux. La géométrie descriptive Ê seïgne les moyens de connaître les angles fc mes avec les plans , par les angles formés 2& les lignes, et réciproquement.

VTS ET MET]

,Fiç.i8. ;

J)es solides ternwiès p&r des ulanj,

A»rès avoir expliqué les propriétés de là Hgne cjroits et du cercle, nous avons examiné «uccessiveroent les figures que l'industrie peut composer avec des lignes droites ou des cercta. En suivant une marche analogue, nous allons maintenant examiner les solides qu'il est possible de terminer par des plans, puis par des formes /circulaires.

Deux corps sont égaux, quand on peut supposer qu'ils soient sortis d'un même moule , comme les copies de bustes çt de bas-reliefs moulées par le plâtrier.

Deux êorps sont symétriques de forme et de position, quand les points correspondants de l'un et d£ * l'autre peuvent être joints par des droites parallèles dont le milieu se trouve sur un plan qui Içur est perpendiculaire : c'est le plan de syrqétrie.

Applications. A chaque instant , l'industrie a besoin de produire des corps symétriques par rapport à d'autres corps , et des corps composés

T. I. — Géom. 19

l46 GÉOMÉTRIE.

de deux parties symétriques. Tels sont les édifices réguliers , les temples , les palais construits d'après un seul plan.

Souvent la symétrie n'est qu'un objet de luxe ou de goût , pour les produits d'industrie destinés à l'immobilité, comme les maisons, les églises, etc. Elle est un objet de nécessité pour une foule de corps, qui doivent exécuter des mouvements avec une égale facilité vers la droite et vers la gauche. Voilà pourquoi la nature donne , à la plupart des animaux , deux côtés symétriques , joints par un plan dirigé dans le sens de leur mouvement progressif habituel. L'ingénieur maritime donne à ses navirt-s, d après le même principe, deux ratés, tribord et bas-bord, symétriques par rapport au plan qui marque la direction de la marche progressive. Les voitures sont symétriques par rapport à ce plan , d'après un principe analogue, etc. (Voyez deuxième volume : Micmms.)

La barre ou la tringle est un solide dont la longueur est indéfinie, et dont les faces planes sont limitées par des lignes droites parallèles, qu'on appelle arêtes. On forme le prisme en coupant la barre ou la tringle par deux plans parallèles. Chaque section, qu'on appelle base, est un polygone dont le nombre de cotés est égal au nombre des faces du prisme et de la tringle. Le prisme est Jrvù ou oblique , suivant

pelés lwes sot per pmfjrtflam es on ar tjyputt msL arêtes. D est zwnçut, es ha» v sont poiaft parallèles.

Le prisse droit est {iim&^h? par rapport a plan <jnâ coupe à an^le droit et par le milieu Miles ses arâes., lesquelles sont alors» les p«rendknlaîres qui déterminent les conditions lémes de Ijl sranétrie.

Il y a des prismes tronques stkêtkiqcks pur ipport à on plan qui ooope pimllracnt à igle droit et par le milieu, toutes leurs arêtes*

Le prisme triangulaire , fig. i, a trois faces, ; de plus deux hases triangulaires. Autant il a de variétés dans la forme du triangle , aunt il y en a dans la forme du prisme trianilaire*

Application à roptique. Les physiciens font âge d'un tel prisme, en Terre ou en cristal , >ur décomposer la lumière dont les différents yons se séparent en traversant une lace du risme pour pénétrer dans ce corps, et une ce pour en sortir. Alors on voit dans Tordre ûvant, les sept couleurs primitives : le rouge, >rangé, le jaune, le verd, le bleu, l'indigo, le olet C'est ce qu'on appelle le spectre solaire. application h F architecture. L architecte emploie : prisme droit triangulaire à bases symétriques, BCDEF, fig. y, pour former la toiture à deux ices et à frontons, ou à pignons, des édifices ré-

l48 GÉOMÉTIlIE.

gulien. Le prisme tronque symétrique^ fig. 8, sert pour les toits à quatre pans. Cette figure est amsi celle des tas de pierres rangées sur le bord dfc routes, qu'on doit recharger; comme elle est régulière et facile à mesurer, on peut rentier, à l'instant, la quantité de pierres contenue dans lé tas. Par le même motif, elle est aussi fréquemment employée pour les. piles de bombes et de boulets, formées dans les dépots d'artillerie.

Application h la méchanique. Dans la construit* tion des machines, on fait, du prisme triangulaire à bases symétriques, un guide fixe, sur lequel glissent les châssis ou les chariots dont on veiif rendre la marche rigoureusement rectiligne.

Le prisme quadr angulaire, fig. 2 , a quatre faces, et pour chacune de ses bases un quadrangle r comme son nom l'indique. Quand ce quadrangle est un parallélogramme, le prisme prend le nom de parallélépipède. On l'appelle parai lé lipipède rectangle , quand toutes ses faces sont à angles droits. Si, de plus, la base est un q narré, tfestle parallélipipède quarré. Tel est le carrelet qu'on emploie pour rayer du papier. Enfin, quand toutes les faces du parallélipipède sont des quarrés, on l'appelle cube. Tels sont les clés à jouer. Les prismes droits quadrangulaires à bases symétriques , ont des plans de symétrie parallèles aux arêtes, et passent respectivement par Taxe de symétrie de chaque base.

Quand la base est un rectanrfey le prisme a trois plans de symétrie respectivement paraU lèles aux six faces prises deux à deux. Quand la base est un lozange,. le prisme a trois plans de ©ymétrie i i°. le plan également éloigné des deux bases; a°. et 3°* le plan qui passe par les diagonales parallèles des bases lozanges.

Dani le cube * il y a douze plans de symétrie; ttoië parallèles aux faces , et six qui passent pat leà diagonales des faces, et trois par celles du ciibè»

Dans chacun de ces prismes * les plans de sy* Hlétrie passent par un point remarquable, qui est le centre du prisme ; ils se coupent deux à deux , suivant des ligues qui sont des diamètres ou des axes du prisme. Ce point et ces lignes ont dès propriétés importantes pour la mécha* nique; propriétés que nous expliquerons dans le deuxième volume (des Machines).

Applications variées. Le menuisier, le charpentier, le forgeron , une foule d'autres artisans, font un fréquent usage des prismes symétriques quadrangulaires. Les solives et les poutres de nos maisons , les chevrons et presque toutes les autres pièces de nos toitures , sont des prismes de ce genre. Autrefois , c'étaient des prismes quarrés. Mais, depuis qu'on calcule mieux la force des bois, on a reconnu l'avantage d'employer des prismes minces dans le sens où ils ont peu d'efforts à

^■y^tf» là te* travaillée de la face à. travailler. Alors le fond fe I **t)*tft* «A exactement placé sur cette dernière face.

V^* **vur préparé, de distance en distancé, des lignes 4* »*y«4* . ** n'a plus qu'à enlever la matiore et a l'aplanir **«*« *•** li^***» p«*r avoir travaillé* la nouvelle. face T

f^ ^vw^trie,. on représente avec de» lignes ^*u . ^r Veur étendue et leur position n'indis^kn** &tv-+£!&e ^iiïrat^noe, les figures en creqx ou ç** tv»W. 5i**v^*çciKtes d'entrer exactement Tune ^Hx 4fH5w ift*»* pour la pratique des arjs, la Jàite***vv <*»* iHtorrae entre la fabrication des ukîua«^ i^attrv* en creux ou en relief.

hdt Ë&rtcation des prismes nous en offre un e\etap!e. Nous venons d'expliquer par quels UK*\ea$ on peut façonner un prisme en relief, av^ U? compas, la règle , lequerre et des outils tranchant*. Supposons maintenant qu'on nous iluiuande d'exécuter un prisme creux : par exem> pl«S un parallélipipède rectangle , tel que sont la plupart des boîtes employées dans nos ateliers et pour nos transports.

Ou commencera par réduire les planches à 1* épaisseur cou>t:ttàLle. Ces planches, étant hien équarries à la largeur fit à U longueur requises, seront elles-mêmes des prismes en l'eliet ; elles vont servir de faces au prisme creux, qu'on \cut fabriquer. Deux de ces planches sont tadlées suivant *4 Ligueur et l.i largeur de la boite, deux suivant la longueur et la hauteur, enfin deux suivant la hauteur et la ki^eur île eelte boite. Ouïes pose côte à cote, en les unis- ^.»»l , *tjii a\ee des elous , soit avec de la colle. Souvent, «.»» lixe ^ t lumière un des côtés, qu'on ferme avec des

SEPTIÈME LEÇON. l53

serrnrès on des cadenas. Si les planches sont exactement taillées , leur assemblage formera nécessairement un parallélipipède. H faut seulement remarquer que les planches des faces, vu leur épaisseur, doivent être assemblées à 45°, en biseau , comme dans la figure 3 , en ka , B£. . . ; Ou bien a recouvrement , comme dans la figure 4»

Lorsqu'une boîte est trop grande pour que la largeur dune planche suffise à quelqu'une de ses faces, on en met plusieurs à coté Tune de l'autre. Si Ton n'a qu'un travail grossier à faire, on pose simplement des traverses clouées) sur toutes les planches d'une même face de la boîte. Telles sont les caisses ordinaires d'objets qu'on doit transporter par le roulage.

Si Ton veut effectuer un travail soigné, on joint les planches, entaillant : i°. sur le champ del'une, BDQP,* ûg. 5, une languette en relief; a°. sur le champ de la planche contigue BDMN , une rainure de même forme ; afin que la languette emboîte exactement dans la rainure.

La languette, fig. 5, n'est autre chose qu'un prisme rectangulaire en relief, et la rainure un prisme rectangulaire en. creux. On peut fabriquer l'une et l'autre au rabot, ainsi que nous l'expliquerons par la suite.

Le tenon et la mortaise , fig. 6 , sont encore deux prismes rectangulaires , l'un en relief et l'autre en creux , qui , semblables en cela aux rainures et aux languettes, sont taillés de manière à s'assembler avec exactitude. On les emploie lorsqu'il s'agit d'unir d'équerre deux prismes. Le tenon peut se tailler avec la scie ; la mortaise ne peut se tailler qu'avec le ciseau , et demande beaucoup plus de temps. C'est encore un exemple de la difficulté différente que l'ouvrier trouve à faire un même prisme, en creux ou en relief.

La menuiserie et la charpente , outre les for-

T. I. — Geom. 20

mes que nous venons de citer, offrent beaucoup d'applications ingénieuses et simples, de figures terminées par des pians : les unes en creux , les autres en relief, et s'emboîtant avec , exactitude.

Souvent les charpentiers ont à construire ou J plutôt à figurer des prismes, par des pièces de bois qui en composent les arêtes; comme dans \ la construction deB toits. Par exemple, la ( fig. 7 représente la charpente d'an toit ayant la 'j forme d'un prisme triangulaire qui surmonte j un prisme quadrangulaire ou maison rectangle J en bois. Pour construire cette maison , le char- ; pentier doit résoudre beaucoup de questions de géométrie qui sont faciles d'après les principe* j donnés dans ces leçons. Il doit pouvoir mesurer et produire chaque pièce de charpente, datas | sa longueur et dans sa figure véritable, avec ses angles rigoureusement relevés et bien r»pp°** I tés sur les. pièces de bois qu'il taille suivant 1» forme convenable, etc.

Il est donc d'une grande importance, pour le charpentier de maisons , qu'il connaisse *"» nétrie que o«u* wom *• faire ««« »W Uœ "Ï

tautte césure* • valons :

La géométrie est plus importante encore pour le charpentier de navires; parce que celui-ci doit produire des formes plus savantes et plus compliquées, dont l'excellence dépend d'une exécution- rigoureuse.

Une figure , en apparence plus simple que le prisme, puisqu'elle a moins de faces; mais plus compliquée en réalité, parce que ces faces ne sont pas parallèles , est la pyramide.

La pyramide, Gg, 9, 10, 11, 12, 2o,se'compose de faces planes triangulaires , ayant toutes leur sommet au même point , et formant avec leur basé un polygone plan : c'est-à-dire la basé de la pyramide. De mèmeque le sommet commun des faces triangulaires est le sommet de la pyramide.

■ La pyramide symétrique a pour base un poly- ■ gone symétrique, et son sommet placé dans le plan' dé symétrie.

; La pyramide régulière a pour hase un polygone régulier. Il faut de plus que le sommet de la pyramide soit avec le centre de la base sur une ligne droite perpendiculaire au plan de cette ;e. Ainsi, la basé étant supposée horizontale, le sommet de la pyramide doit être à Xaplumb <lti centre de la base. Le fil à plomb ainsi placé,, «présentera l'axe de la pyramide régulière.

La pyramide triangulaire OAliC, figure 12, un triangle ABC. La pyramide

l56 GÉOMÉTRIE.

quadrangulaire ABCDE, fig. 1 1 , a pour base un quadrilatère BCDE , etc.

Les toits des tours ou clochers triangulaires ou quarrés, sopt des pyramides ayant pour base le triangle ou le quarré formé par la corniche du clocher et de la tour, fig. 9 et 10.

Les obélisques sont des pyramides régulières employées comme monuments publics. Ce sont ordinairement des pyramides quadrangulaires. Proposons - nous de tailler, dans la carrière, un pareil obélisque, supposé couché; son axe étant horizontal et sa base verticale.

On taillera, dans le roc on dans le granit, un plan vertical sur lequel on tracera le quarré BCDE , fig. 1 1 , qui doit servir de base à l'obélisque. Ensuite, on commencera la taille de la face supérieure A CD et des deux faces eontiguës ACB , ADE , en observant avec la plus grande exactitude. : i°. que les angles formés par les faces ACD, ACB, ADE , avec le plan de la base , soient parfaitement égaux à ceux de l'obélisque qu'on a projeté. On vérifiera cette opération , en s'assurant que le sommet A est sur une droite AO perpendiculaire au plan de la base , qui passe par le centre de cette base. A cet effet, on verra si, dans deux directions différentes, prenant OM sur le plan de la base, puis AN parallèle et égale à OM, la droite NM , qui doit être parallèle à AO, se trouve d'équerre avec AN et OM. Alors, Taxe OA sera perpendiculaire à deux droites tracées par le point , sur le plan de la base. Cet axe sera par conséquent perpendiculaire à ce plan. Toutes les vérifications achevées, et les erreurs qu'elles indiquent rectifiées , on n'aura plus qu'à travailler la face inférieure AJŒ, dont le plan est déterminé par les arêtes AB et AE.

SEPTIÈME LEÇON. 1 5j

Demandons-nous maintenant de tailler une pyramide triangulaire de forme quelconque, dans un bloc de pierre ou de bois ', en supposant que l'on connaisse la figure de la base et les angles formés par le plan de cette base avec les trois autres faces.

On trace , on taille la face plane, suivant les moyens donnés dans la sixième leçon ; ensuite , au moyen de la fausse équerre dont les deux branches sont dirigées perpendiculairement aux côtés de la base , on trace trois faces planes ABO , BCO , ACO , fig. 12, faisant les angles donnés avec cette base. Ce sont les trois faces de la Pyramide.

Souvent la position seule du sommet est donnée par le point m, fig. ia , où la perpendiculaire Om aboutit sur la base , et par la bauteur Om. Alors , quand on a tracé la base , on la pose de niveau ; puis on mesure , avec un fil à plomb, deux bauteurs NP, QR, égales à Om : les points Q, N, étant pris au niveau du plan de la base , on mène ensuite OR égale wiQ , OP = wN, et le point O où les deux

horizontales OR, OP, doivent se rencontrer, est le sommet

de la pyramide. Le sommet connu et marqué, l'on dégrossira d'abord le bloc de bois ou de pierre , en y faisant des coches ou entailles en ligne droite suivant OA , OB , OC ; puis, l'on aplanira la matière entre ces droites.

Dans certains cas il serait beaucoup plus simple de commencer , au moyen d'un petit tracé géométrique, par mesurer les angles des trois faces sur la base, et de construire ensuite ces faces , sans s'inquiéter de la position du sommet.

11 suffirait, par exemple, fig. i3, du pied m de la perpendiculaire Om, abaissée du sommet sur la base , de mener

lS8 oiOM^TRIB-

m*, /qp, mq, respectivement perpendiculaires à ÀB, BC, CA; puis, de construire à part les triangles rectangles Ora, Omp, Qmq : les angle» Onm, Opm y Oqm, seront ceux dés trois faôes de la pyramide avec la base.

Les éléments nécessaires pour tracer un triangle font connaître les conditions nécessaires pour que deux triangles soient égaux. Il en est de même relativement aux pyramides. Deux pyramides triangulaires sont égales : i °. quand trois faces de Tune sont égales à trois faces de l'autre; 2°. quand deux faces et l'angle plan qu'elles comprennent sont égaux de part et d'autre; 3°. quand une face et les trois angles plans auxquels appartient cette face, sont égaux de part et d'autre ; l\°. quand les six arêtes sont égales de part et d'autre , etc.

L'étude, le tracé, le calcul des pyramides ont une grande importance dans les opérations topographiques, où les points dont il s'agit de déterminer la position ne sont pas dans un même plan. Alors on rapporte la position de chaque point qu'on observe, à celle de trois. autres points formant un triangle pris pour base. Avec des instruments tels que le graphomètre, le cercle répétiteur et le théodolithe , on mesure l'angle que le rayon visuel mené , de chaque sommet du triangle pris pour base, à l'objet observé , forme, soit avec un coté de la base, soit avec le plan de la base. Les trois rayons visuels réunis

I SEPTIEME LEÇOH. l59

*f as tfcofe ©Atés de la base forment une pyramide *7 dont le sommet est le point observé. Ces opéra- ! fions compliquées n'appartiennent qu'à des pro- / fessions savantes, telles que celles des ingéniais ' hy d rog ra phes on géographes , et celtes des arpenteurs chargés d'opérations étendues , comme opérations du cadastre.

Lorsqu'un corps est de tous côtés terminé par faces planes , ces faces sont elles-mêmes terpar des lignes droites qui forment des po lyg o n e s plans ; et nous savons qu'on peut décomposer tous ces polygones en triangles.

Si donc nous prenons un point O dans l'intérieur du corps, ABC..., fig. ai, nous pouvons, à notre gré, le regarder : i°. comme le sommet d autant de pyramides polygonales qu'il y a de polygones pour faces du corps ; a°. comme le sommet d'autant de pyramides triangulaires qu'on peut tracer de triangles sur ces faces. Dans les deux cas , l'ensemble de toutes ces pyramides représentera complètement le corps.

Mesure des solides terminés par des /aces planes. On a pris le quarré pour mesurer les surfaces ; pour mesurer les volumes, on prend le cube y Solide terminé de tous cotés par des quarrés.

Cuber un corps , c'est déterminer combien de fois il contient un cube pris pour unité. Commençons par montrer comment on mesure le vblnme d'un grand cube avec un petit.

l6o GÉOMÉTRIE.

Supposons, par exemple, que le côté- du grand cube C, fig. 14, contienne dix fois le côté dû petit cube c. Coupons le grand cube en dix trancfees parallèles à Tune de ses faces , et toutes d'égale épaisseur. Cette épaisseur sera celle du petit cube. Les bases de ces tranches contenant dix fois dix fois une des faces du petit cube , chaque tranche contiendra dix fois dix petits cubes. Donc les dix tranches contiendront en somme dix fois dix fois dix petits cubes : multiplication qu'on indique ainsi , io 3 . En suivant le même raisonnement , et calculant que a fois a fois 2 font 8 , 3 fois 3 fois 3 font 27 , etc. , on verra que si les côtés du grand cube contiennent le côté du petit...

1.2,3.4» 5 . 6 . 7 . 8. 9.10 fois, il y a 1, 8, 27, 64, i25, 216, 343, 512,72g, 1000 petits cubes dans le grand.

Pour parler par abréviation, Ton dit que 8 est le cube de 2, 27 le cube de 3 , 64 le cube de 4> etc. Cela vent dire le nombre de petit cubes contenus dans un grand cube dont le côté égale 2 , 3 , 4 ••• fois le côté du petit cube.

Le volume dun prisme quadrangulaire égale le produit de sa base par sa hauteur.

i°. Supposons le prisme rectangle , fig. i5. Coupons-le, parallèlement à sa base, en autant de tranches que sa hauteur contient de fois l'unité de mesure , c'est-à-dire , le coté du petit cube pris pour cette unité. Autant de fois la base de la tranche contient la base de ce cube , autant il J aura de petits cubes dans la tranche. Donc le nombre total

SEPTIEME LEÇON. l6l

<&e petits cubes é^gale le nombre qui indique la surface dé la base , multiplié par le nombre qui indique la hauteur. C'est •ce qu'pn appelle le produit de la base par la hauteur.

Deux prismes ayant même base rectangle, et même hauteur, mais Fun droit AG, fig. 16, et I autre oblique Ag 9 ont même volume.

Pour le prouver, j'observe que les deux prismes triangulaires ABEF^ DCHG/i£, sont égaux. En effet, ils ont même hauteur AE=DH ; et leurs bases AEe, DHA, sont deux triangles égaux, puis que AE=DH, et que les deux autres côtés -sont respectivement parallèles. Mais, si j'ajoute, au parallélipipèée ABCDEFGH, le prisme triangulaire DCHG%, et ■que je retranche son égal ABEFe/", j'ai le prisme quadrangulaire oblique ABCDe/g7i. Donc ce dernier a même volume •que le prisme rectangle de même base et de même hauteur.

On ferak voir avec facilité que les priâmes ABCDEFGH, ubcdefgk, fig. i5, ont même volume que tout autre qui aurait même hauteur, et dont les bases seraient des parallélogrammes de même surface que la base rectangle ABCD.

Le volume d'un prisme droit triangulaire égale le produit de sa base par sa hauteur.

En effet, tout prisme quadrangulaire ABCDEFGH, fig. 1 7, peut se diviser en deux prismes triangulaires de même volume , et cette égalité se conserve , quelque inclinaison •qu'on donne aux arêtes du parallélipipèdc , sans changer «a base ni sa hauteur. Mais la surface de la base ABC ou AD G, des prismes triangulaires, est moitié de la surface de ABCD base du parallélipipèdc Donc le volume du prisme triangulaire est égal au produit de sa base par sa hauteur.

Le prisme polygonal quelconque ABCD , abcd, fig. 18, a pour volume le produit de sa base par sa hauteur*

T. I. — Gkom. -2 1

1&2 GJBOMKTRIR.

Bq effet, ce prisme peut se décomposer en autant de prismes triangulaires que sa base ÀBCD , peut contenir de triangles ABC , ACD. . . Tous ayant la hauteur même du prisme total, leur volume total sera la somme des bases tri angulaires ABC, ACD, ADE,.,. multipliée par la hauteur.

Cubage des pyramides. Commençons par la pyramide triangulaire.

Le volume d'une pyramide triangulaire est le tiers du produit de sa base par sa hauteur.

, Pour le démontrer , prenons le prisme triangulaire quelconque AF , fig. 19 , coupons-le par un plan ACE qui passe par le côté AC de la base et par F angle E. Nous aurons d'abord une pyramide triangulaire ABCE, ayant même base et même hauteur que le prisme. Il nous reste une pyramide quadrangulaire dont ACFD est la base , et E le sommet. Divisons-la en deux pyramides triangulaires par un plan AEF, nous aurons la pyramide renversée ADEF, dont DEF est la base et A le sommet : pyramide qui , par conséquent, a même base et même hauteur que le prisme donné. Enfin , si nous comparons la troisième pyramide ACFE à ADEF, nous verrons qu'elle lui est égale en volume ; parce qu'en prenant les triangles ADF-d= ACF pour leurs bases, elles ont même sommet E. Donc, enfin, on peut regarder le volume de tout prisme triangulaire comme équivalent à celui de trois pyramides ayant même base et même hauteur; donc, le produit de la base de chaque pyramide par sa hauteur, qui est le volume du prisme, est égal à trois fois le volume de cette pyramide.

Le volume d'une pyramide quelconque, fig. ao, est le tiers du produit de la base par la hauteur.

Pour le démontrer, divisons la base en triangles ABC, ACD, ADE..., dont chacun soit la base d'une pyramide

SUPTIÈHE LEÇON. l63

triangulaire ayant O pour sommet. Chacune de ces pyramides triangulaires aura pour mesure la surface des triangles ABC, ACD..., multipliée parle tiers delà hauteur commune. Par conséquent, la pyramide totale aura pour mesure le pro ■ duitde la base totale par le tiers de cette hauteur.

Cubage d'un corps terminé par tant de faces glanes qu'on voudra, fig. 21. On prend dans ce corps un point quelconque O , pour sommet de pyramides ayant pour base les faces planes du corps. La superficie de chaque face, multipliée par le tiers de sa distance au sommet O , sera le volume de la pyramide correspondante , et la somme des produits sera le volume du corps. Pour qu'il fût aisé de mettre cette méthode en pratique , il faudrait qu'on pût se placer dans l'intérieur du corps à faces planes, et mesurer directement la distance de chaque face à ce plan. Sans cela, l'on se jetterait dans des opérations de géométrie extrêmement compliquées, et qui ne peuvent convenir à la rapidité, à la simplicité des opérations de l'industrie. Il existe heureusement une autre méthode, à la fois plus facile et plus expéditive.

Avant d'exposer cette méthode, demandons-nous d évaluer le volume du tronc de prisme triangulaire ABCDEF, iig. as. Nous pouvons le décomposer en trois pyramides : la première ayant ABC pour base , BE pour hauteur ; et, par conséquent, pour volume , la base ABC multipliée par le tiers de BE. La seconde pyramide ayant AGF pour lase , et son sommet en E , est équivalente à la pyramide -ayant en B son sommet , et AGF pour base \ ou ce qui re-

l6/i GÉOMÉTRIE,

vient au même, ayant ABC pour base et son sommet en F. La troisième pyramide ADFE est équivalente à la pyramide ADFB , laquelle est équivalente à ABCF. Donc, enfin , le tronc de prisme JBCDEF est équivalent en volume à trois pyramides ayant ABC pour base commune et leurs sommets respectifs en D 9 E, F, à l'extrémité des trois arêtes.

Si les trois arêtes sont perpendiculaires à la base, on aura pour volume des trois pyramides et par conséquent du tronc de prisme , surface ABC X t ( AD plus BE plus CF ).

On demande le volume d'un tronc de prisme MNODEF, fig. 23, compris entre deux plans MNO, DEF, obliques au arêtes du prisme ? Pour le trouver, en supposant que ABC soit perpendiculaire à ces arêtes, on aura :

Volume ABCDEF = surf. ABC X \ (AD + BE + CF)

Volume ABCMNO == surf. ABC X t ( AM + BN + CO)

Donc , enfin ,

Volume MNODEF = surf. ABC Xf (DM-f EN + OF.)

Avec ces principes, on déterminera facilement le volume d'un corps terminé par des faces planes quelconques; on décomposera ce corps en prismes et troncs de prismes triangulaires, dont on obtiendra sur-le-champ le volume. La somme de tous ces volumes sera celui du corps même.

On peut démontrer avec une égale facilité que tout prisme ou tronc de prisme quadrangulaire ÀBCDEFGH, fig. a 4 , ayant ses arêtes perpendiculaires à la base ABCD , a pour volume la surface de cette base multipliée par le quart de la sommé des quatre arêtes AE , BF , CG , DH.

Pour cela, décomposons successivement le prisme quadrangulaire en deux prismes triangulaires ABCEFG , ▲DCEHG, puis ABDEFH, BCDFGH.

I SEPTIÈME LEÇON. l65

Jfoas aurons pour volume des deux premiers prismes = { surf. ABCD X 7 ( AE + BF+ CG + AE -f-DH + CG)„ et pour volume des deux seconds prismes = i- surf. ABCD X y ( AE + BF + DH + BF+ CG-f BH)

Prenant la somme de ces deux produits, on a deux fois le *~obuae du prisme qnadrangulaire ,

^surf. ABCD Xt(5 AE+5BE + 5CG + 5DH)

Donc le simple volume du prisme qnadrangulaire est

j surf. ABCD ( AE -f BF -f- CG + DH ).

Application au cubage de la carène des navires. Hoos ayons vu, dans la seconde leçon, qu'on dî- 'vîse la carène en sections horizontales, par les plans horizontaux des lignes d'eau , qui sont à égale distance. On la divise en tranches verticales par d'autres plans également espacés, appelés plans des couples. Ces plans coupent le volume de la carène en prismes rectangles d'égale base, tronqués de chaque bord. On obtient le volume total de ces troncs de prismes , en multipliant leur base commune par le quart des quatre arêtes de chaque prisme. Mais chaque arête sert à quatre prismes (i); donc le volume total de la carène du navire égale la surface d'un des rectangles , c'est-à-dire , le produit de la distance des plans de ligne d'eau , par la distance

(i) Excepte le* arêtes des bords, qui ne servent qu'à deux prisse» et qui, pour cette raison, ne doivent être prises chacune que î<m \ fois. Il peut y avoir quatre arêtes qui ne servent qu'à un prisme, et dont il faut simplement prendre le quart pour l'ajouter à ]a somme de toutes les arêtes qui servent à quatre prismes.

des plans de couple, et par la simple somme de toutes les arêtes , lesquelles sont des horizontales placées, à la fols, sur chaque plan de couple et sur chaque ligne d'eau. Cette opération approximative, aussi simple que facile, peut servir à calculer le volume de tout autre corps.

Deux corps symétriques sont égaux en volume.

En effet, si nous décomposons ces corps en troncs de prismes triangulaires ayant pour arêtes les lignes parallèle! qui déterminent la symétrie , pour chaque tronc de prisme MNODEF, fig. a5, placé d'un côté du plan de symétrie ABC, nous aurons de l'autre c&té un tronc de prisme mrwdrf, tel que DM = dm, EN = en, FO=fo; et les deui troncs seront égaux en volume. Donc la somme de tous les troncs de prismes, pour le premier corps, est égale i la somme de tous les troncs de prismes correspondants , pour le second corps. Ainsi, quand deux corps à faces plants sont symétriques, leurs volumes sont toujours égaux. Cette propriété étant vraie, quel que soit le nombre des faces , le serait encore, quand il j aurait tant de faces si petites qu'on put regarder les corps comme terminés par des surfaces courbes , et non plus par des faces planes.

Par conséquent, tout plan de symétrie d'un corpt, coupe cecorps en deux parties d'égal volume.

Des solides semblables. Deux pyramides ABCD, abcd , fig. aS, sont semblables, quand toutes leurs arêtes correspondantes AB et ab , BC et c , CD et cd, AD et ad, sont parallèles.

it évident , en efl'et , qu'alors les triangles formés pW

( faces porrespondautes, ayant leur* côtés parallèle",

. Donc les trois angles plans qui forme»*

i pyramides sont respectiveme»'

égaux. De plus, les trois arêtes formant chaque angle solide étant parallèles , si l'on transporte abcd parallèlement à elle-même , de manière que le point à vienne se placer en A, ab s'appliquera sur ÀB , au sur AC , ad sur AD ; donc les plans abc et ABC , abd et ABD, acd et ACD , se confondront ; donc aussi les deux angles solides A et a *des deux pyramides seront égaux. On démontrera de même que les angles solides B et b, C et c , D et d, sont égaux ; toutes les conditions pour que les deux figures soient semblables sont donc remplies par la seule condition que les deux pyramides ont leurs côtés correspondants parallèles.

Si deux pyramides , sans avoir leurs côtés parallèles , ont leurs arêtes proportionnelles , elles n'en seront pas moins semblables.

En effet, les trois côtés de chacune de leurs faces correspondantes étant proportionnels , ces faces seront semblables , les angles plans seront égaux , et par conséquent aussi, les angles solides qu'ils forment trois à trois. Toutes les conditions de la proportionnalité seront ainsi remplies.

Deux solides terminés par des faces planes sont semblables, quand leurs arêtes correspondantes sont proportionnelles , et leurs angles correspondants, plans ou solides, égaux entr'eux-

En effet, on peut toujours décomposer ces solides en pyramides dont les côtés soient proportionnels, et par conséquent les angles correspondants égaux.

Les volumes des pyramides semblables ABCDE.. ; , abcde..., fig. 26, sont proportionnels aux cubes des arêtes correspondantes.

En effet, le volume de chaque pyramide égale le produit de sa base par le tiers de sa hauteur; or les bases BCDEF, bcdef... y

l68 GÉOMÉTRIE.

étant des figares semblables, sont proportionnelles au construit sur un de leurs côtés ; on a donc , 'fig. 26 : * !

Surfaces... BCDEF 1 bcdef: : BCMN : ficmn. -j

A présent , sur BCMN et bcrnn comme bases, constrqjj soys un cube , nous aurons pour volumes des deux cubeQ)

BC* = BC a X BC, et bc$ = bc* X bc.

Mais BC : bc : : -f AH : jah;

Donc BC 3 : bc* : : BC » X -J AH : bc » X y **>' ' '

Dans la dernière proportion , les deux derniers tel représentent le volume des deux pyramides, et les premiers termes représentent le volume des deux cnbéf»

Les volumes de solides semblables , ten par tant de faces planes quon voudra , comme les cubes des lignes correspondantes*"

En effet, nous pouvons les décomposer en un même mfla- ^ bre de pyramides semblables , ayant toutes le même rapport r, pour celui de leurs côtçs correspondants. Mais deux pyramides dont les côtés correspondants sont entrera comme 1 esta r, ont des volumes qui sont entr eux conflne 1 est au cube de r. En ajoutant d'un côté toutes les petifcel pyramides , de l'autre toutes les pyramides r 3 fois pfav volumineuses, les volumes seront entr'eux : : 1 : r 3 .

Il faut expliquer cette leçon , en montrant àUx élèves , des prismes et des pyramides en relief) égaux , semblables y symétriques , etc. De même, il faudra quon leur explique les leç&ns suivantes y en leur montrant des cylindres , dès cônes y des sphères, etc. , en relief, aveu des sections bien exécutées.

fiS- 5 -