GÉ-OB^TRIE

principaux contours. C'est ce qu'il fait avec des feuilles de bois minces et flexibles, qu'il plie, en général, suivant la forme de surfaces développables assujetties à passer par des contours donnés. Il a donc besoin de connaître aussi la solution du problème indiqué, fig. a et 3.

Le chaudronnier, le poëlier, le ferblantier, ont également besoin de connaître la solution de ce problème. Par exemple, dans la construction des poêles , et dans celle de beaucoup de chaudières employées dans les usines, afin d'ajuster exactement le dessus du poêle ou le dessus de la chaudière avec le tuyau , l'on doit souvent tailler et contourner une surface développable qui passe, à la fois, par une base inférieure ÀBCD, fig. 5, d'une certaine figure, et par une base supérieure abcd, ayant la forme circulaire du tuyau. Alors, il faut connaître exactement quel contour on doit donner à la feuille ou au système de feuilles métalliques planes qui, pliées convenablement, formeront une surface développable passant à la fois par ABCD, abcd. Nous donnerons la solution de ce problème , dans la quatorzième leçon , qui traite des tangences.

Au lieu de couvrir des surfaces, par de petites feuilles développables , comme dans la fig. 4* on préfère souvent les couvrir par de longues bandes développables.

Lorsque les guerriers étaient cuirassés, le

DIXIÈME LfcÇON. W]

plus graîid nombre des pièces qui recouvraient leur corps et leurs membres, étaient des surfaces développables ; c'étaient le plus souvent . des assemblages de bandes coniques ou cylindriques , aisément fabriquées avec des feuilles métalliques auxquelles on donnait une simple courbure. Il n'y avait qu'un petit nombre de pièces auxquelles il fallût donner deux courbures , comme le casque : encore même se servait-on parfois de surfaces développables, telles que le pot de fer.

La construction des vaisseaux nous présente une très-belle application des surfaces déve-* loppables disposées par bandes.

Quand un navire est ce qu'on appelle membre, il présente une espèce de carcasse MftOPQ, fig. 6, composée de pièces de charpente accouplées. Ces couples i.i, 2.Q, 3.3,... qui s'élèvent dans des plans verticaux, laissent entr' eux dés espaces vides , {xyz, fig. 8, représente l'élévation ou levertical d'un couple du milieu ). Peur achever de fermer la carène ainsi figurée , on prend des planches bien dressées suivant une épaisseur donnée , et taillées suivant un contour convenable. On les pose à plat sur la fa ce -extérieure des couples ; puis , on les plie librement, pour en former des surfaces développables, appelées bordages; parce qu'elles couvrent, bordent la surface du navire, en s'ajustant avec précision , côte à cote et bout à bout , avec celles qui leur sont contiguës. La géométrie fournit un moyen rigoureux pour tailler ces pièces.

Supposons qu'on ait déjà posé les bordages depuis le bas jusqu'en ÀBCD, et qu'on veuille poser le bordage humé-

diatement supérieur, compris entre les lignes ABCD , abed. Par deux points x } . y , convenablement placés entre ABCD , abcd , on tend fortement un cordeau qui s'applique contre les couples. Admettons que le bord âge à travailler soit effectivement exécuté et posé , et que ce cordeau soit tout à coup collé sur la surface du bordage appliqué sur les membres. Développons, c est- à- dire , redressons ce bordage. Le cordeau marquait sur la surface de la carène , la ligne la plus courte entre les points x ,y ; ce cordeau ne cessera pas de marquer la ligne la plus courte qu'on puisse tracer entre ses extrémités, sur la sur face dévcloppable , développée , c'est-à-dire , sur le plan Mais la ligne la plus courte qu'on puisse tracer sur le plan, est la ligne droite. Donc le cordeau xy se trouvera en ligne droite, fi g. 6 bis, s'il garde sur le bordage la position qui, soir la carène du navire, le rendait la ligne la plus courte entre xetjr.

Lorsqu'on a tendu ce cordeau sur la carène , on a marqué sur sa longueur, des points i . i . 3. . . ; et, par ces points, perpendiculairement à la direction du cordeau , on a fait passer des Ijrocliettes , ou comme on dit , des buquettes de bois, dirigées perpendiculairement à la direction du cordeau. Ces brochettes viennent aboutir d'un bout au contour ABCDE..., de l'autre au contour abede...^ entre lesquels le nouveau bordage doit s'appliquer exactement.

Maintenant, on redresse le cordeau x y. Ou le tend sur la planche GHKL , fig. 6 bis, de manière que les petites brochettes 1 1 /, II 1 II, III 3 III, IV 4 IV* • • , soient perpendiculaires au cordeau. On trace les polygones I. II. III. IV...; /. //. ///. If..., dojnton fait deux courbes continues. Elles représentent exactement la limite inférieure et supérieure du contour longitudinal du bordage.

Il ne suffit pas d'avoir ces contours; il faut connaître en chaque point I, II, III, IV. .., /, //, ///, If.,., l'angle que le bordage à poser doit faire avec la carène, pour que sa

DIXIÈME LBÇON. aig

face de joint s'applique exactement sur le joint du bordage contigu. C'est ce qu'on fait, en dirigeant une branche delà fausse équerre suivant la direction de chaque brochette, et l'autre suivant la face de joint du bordage déjà posé, perpendiculairement à l'arête de ce bordage qui touche à la carène. On n'a plus ensuite qu'à rapporter ces angles respectivement en 1, 11, 111, IV..., /, 77, ///, IF.., , quand on travaille la planche GHKL , avec la hache ou bien avec l'instrument à polir, qu'on appelle herniinettc.

Pour éviter toute espèce de confusion , à mesure que le charpentier relève, au moyen de sa fausse-équerre, l'angle que le joint du nouveau bordage fait, en I, II, III, IV..., avec le bordage contigu déjà placé , il pose un côté ts de la fausse-équerre , contre le bord d'une planchette NP , fig. 6 ter; puis, le long de l'autre côté sr, il trace une ligne droite. Toutes ces lignes étant dans l'ordre même oà sont placées les brochettes ï', 2, 3, 4"-* » T" correspondent aux points I , II , III , IV , . . . , rien n'est plus facile an charpentier , que de reconnaître , pour chaque point I, II, III, IV... , quel équerrage il doit prendre ; afin de travailler le petit côté ou cari t du bordage, suivant une inclinaison convenable par rapport aux grandes faces.

II est essentiel de remarquer que la méthode ainsi décrite y ne supposant à la surface de la carène , aucune figure particulière , peut s'appliquer non -seulement à la construction des vaisseaux, mais à tonte autre espèce de constructions civiles ou' militaires. C'est un des exemples les plus heureux, des avantages que présente l'application aux arts , des propriétés que la géométrie découvre dans les surfaces.

Modèles et patrons dêveloppables. Dans un

a3t> ofoM^TRlE.

grand nombre d'arts , lorsqu'on veut exécuter des surfaces terminées par de certaines lignes, on décompose ces surfaces en parties quoo puisse, à peu de chose près, regarder comme développables. On prend leur figure au moyen de modèles ou patrons de papier et de carton, qui produisent de véritables surfaces développables, par leur flexion naturelle, sans déchirure et sans duplicature. Tels sont les patrons que les (ailleurs et les modistes emploient pour déterminer la forme et la coupe des tissus qui servent aux vêtements des hommes et des femmes.

application à la coupe des étoffes pour les t*tements. lue application très-utile de la géométrie, a pour objet de combiner la coupe des dit forantes pièces d'un vêtement , de manière à perdre le moins possible, en petits morceaux, de la pièce dans laquelle il faut tailler. Quoiqu'on n'emploie ni la règle . i ni le compas pour résoudre ce problème, il ne faut point croire pour cela que l'intelligence du tailieur et de !a modiste ne fasse pas une cpt. ration mathématique et même fort compliquée, qui demande, à la lois

v i" An lien d'une rèfîc. le tui.ieur emploie «ne mesure fleiibit. emi <*s\ «no snrfnc-c drvelnppahtr divisât- en parties égales, orttt stiriWe dcvoloppahif. pliee d'nliord se* la contenir du cor]* f* des membres . on fniï connaître le?- diniiuiMiiJii* qui , rapj^orirt» mit une vtnffc plu ne . en tieviuoppau: U* mesure, danneij! ùc» gNttnr* par lesquels» U tailleur conduit 1p* llpu?;» rit s,-., trac* .

DIXIÈME LEÇON. 23l

de la justesse dans le coup d'œil, de la combinaison dans l'esprit , et beaucoup d'expérience dans la comparaison*de$ formes humaines et des formes qui conviennent aux surfaces développables propres h faire des vêtements.

Indépendamment de la question d'économie , les questions de convenance, de grâce et d'élégance, dans la parure des hommes et des femmes , ont des principes qui se rattachent , en beaucoup de points, à des règles de géométrie et de méchanique.

Il faudrait reproduire , au sujet des vêtements , les considérations que nous avons présentées au sujet des draperies et des tentures, pour les surfaces développables susceptibles de s'allonger et de se raccourcir en certaines parties; ce qui .constitue leur souplesse et leur élasticité; De telles étoffes ayant la propriété de mieux s'adapter aux formes humaines , réelles ou supposées, sont les plus propres à prendre exactement un aspect commandé par la mode. Ce sont ' les étoffes qui, pour me servir des termes de l'art, habillent le mieuXé

Si les étoffes joignent à la qualité d'être élastiques, celle d'avoir une grande souplesse et une grande légèreté , elles peuvent prendre des inflexions, des plis plus nombreux, plus variés et mieux assujettis aux règles du goût.

Au lieu de garder une rigidité, une immo-

a3i GliOMJÊTRIE.

bilité géométriques , les étoffes très-souples et très-fines peuvent, une fois drapées , céder mollement à l'impulsion la plus légère, et prendre un aspect ondoyant qui rappelle , en quelque chose , l'agitation et la grâce de la vie. Tek paraissent avoir été les tissus qui servaient de modèle aux artistes de l'antiquité , pour ces draperies élégantes dont ils ont revêtu quelques statues. Tels sont aujourd'hui les tissus de mousseline et de cachemire.

Pour qu'un vêtement soit parfait , il fout que les surfaces dont il se composé laissent à notre corps et à nos membres , la liberté, la facilité des mouvements; ce qui exige une certaine ampleur, une certaine légèreté, une certaine coupe, adaptées aux diverses parties. Mais les hommes ayant attaché la gravité, l'importance, la dignité, à la lenteur des mouvements, il faut que les personnes qui, par leurs fonctions , doivent montrer ce décorum , aient des costumes qui semblent ne convenir qu'à de tels mouvements. La chape processionnelle du pontife, la toge du sénateur, le manteau des rois, seront taillés sur d'amples dimensions, x avec des étoffes assez peu flexibles pour former des surfaces développables à larges plis que l'agitation de l'air ne puisse faire voltiger.

La tunique militaire, le costume léger du danseur de théâtre , les vêtements de bal , seront

DIXIÈME LE COJ*. aS!

aillés, au contraire, en réduisant autant que posible chaque dimension ; puis , en faisant choix , >our les costumes de pur agrément, des étoffes es plus souples , les plus légères et les plus onïuleuses; afin de révéler, avec le plus de grâce ît de fidélité , les formes humaines et leurs mouvements variés.

Sous ces rapports, le choix des tissus, le dessin des costumes, doivent donc se régler d'après des considérations qui se rattachent à la théorie des beaux-arts , et qui tiennent à l'organisation de la société. Sous les points de vue Je la commodité, de l'aisance, de la salubrité, ils se rattachent aux intérêts les plus positifs de l'état social. Enfin, sous le point de vue de l'industrie, c'est la inéchanique et la géométrie qui doivent donner la mesure des fontoes et des qualités de ces produits, et les moyens de fabrication , de coupe et d'ajustement qui conviennent le mieux pour produire, par la flexion et l'assemblage de surfaces primitivement planes , cette variété de formes ^teureuses que présentent les vêtements et les draperies, chez un peuple où les beaux-arts font généralement sentir leur agréable influence.

Nous reviendrons sur les surfaces développâmes, pour montrer de nouvelles applications non moins essentielles que les précédentes , lorsque nous aurons expliqué les principes des

T. J. — GÉ'ïm. 3<j

u34 GKOMETRIF.

intersections et îles tançenccs. Maintenant il faut passer aux surfaces gauches.

Surfaces gauches. On appelle ainsi les surfaces engendrées par des lignes droites consécutives qu'on ne peut pas regarder comme formant une suite de très-petites facettes planes.

Pour donner une idée de ces facettes gauches, imaginons une échelle, fig. 9 et io, dont les deux côtés ne soient pas dans le même plan. Posons à terre cette échelle , de manière que ses deui côtés aient une direction horizontale, mais ne se trouvent pas dans un même plan vertical La fig. 9 représente la projection verticale, et la fig. jo représente la projection horizontale. Les côtés AB> CD, fig. 9, se croisent en un point 4 IV. Si nous menons une verticale par ce point, elle passera, fig. 10, par le point 4 sur CD et par le point IV sur AB. Maintenant, divisons, à partir de 4 et dé' IV, les deux montants AB, CD, en parties égales, par les points 1, a, 3, 4? 5, 6, 7...,

I , II , III, IV, V, VI , Vil... ; et menons les droites

I I, a II, 3 III, 4 IV, 5 V, etc.; nous formerons une échelle gauche.

Les ailes de moulins à vent sont des échelles de ce genre, composées de longs côtés divergents et de bâtons perpendiculaires à l'un de ces côtés. Les échellesde perroquets, sont aussi des échelles gauches ; mais il leur manque un côté.

Les surfaces gauches peuvent toujours être

DlXlÈAJh KhÇON. *35

regardées comme se composant de facettes gauches très-étroites , analogues à l'échelle qiie nous venons de décrire. Les côtés qui terminent ces faceltes gauches, portent le nom $ arêtes* v

Application a la construction des vaisseaux.

Pour border la carène des navires, on forme des surfaces développables qu'on taille dans des planches, ou madriers plans; comme nous lavons expliqué , fig. 6. Pour certaines parties très-courbes du navire, vers la pouppe et vers la proue, on ne pourrait tirer, des planches les plus larges, que des bordages fort courts , si l'on voulait qu'ils conservassent exactement le tracé qui convient à des surfaces développables. Dans le tracé du bordage représenté fig. 12, on voit qu'il faudrait perdre beaucoup de bois pour tirer, d'un rectangle, le tracé curviligne t , 2, 3, 4* 5, 6, 7, VII, VI, V, IV, III, II, I. Supposons, maintenant, qu'on donne une courbure légère et régulière au cordeau ahcdefg, fig. 1 1 ; alors on obtient un tracé qu'on peut poser complètement sur un bordage beaucoup moins large qu'en employant le tracé de la figure ia.

Mais, lorsqu'on voudra plier un bordage taillé comme dans la fig. 1 1 , il ne remplira plus exactement la place à laquelle il est destiné sur la carène du navire. Il faudra, par des moyens mécaniques, le forcer à prendre cette position. Presque toujours une pareille opération cfaau-

St36 GBOMKTR1F,

géra la surface dçveloppable en surface gauche. Dans les parties du navire, où la courbure de la carène est trop considérable, on ne peut plus employer de bordages plies, sans risquer de les rompre par la flexion même. On opèue ainsi :

Travaît des pièces de tour. Soit propo3é d'exécuter une pièce qui porte ce nom, à cause de sa grande courbure, et qui s'applique sous le contour ABC , fig. 1 3 , contre b membrure du navire. On tiendra axe une règle représentant uue ligne droite ED , par laquelle on conçoit un plan qui marquera, sur la membrure, trois points m x n y 0, de AQ£(i}. Par ces points, on mènera les droites m\ , ni , o5. . . t perpendiculaires à ED ; on en mesurera la longueur. Cela fait, on prendra la fausse-équerre, dont on posera d'abord nne branche suivant mt , l'autre le long de la surface de la carène ; les deux branches de la fausse-équerre restant dans un plan perpendiculaire à JLDmno. On fera la même opération pour les autres points n y 0..., de la courbe mno.... La suite des positions de la seconde branche de la fausseéquerre va former une surface gauche, qui sera la face intérieure de la pièce de bois à travailler. On travaillera la face extérieure, en faisant une seconde surface gauche, partout à la même distance de la première ; afin que la pièce de bois ait partout la même épaisseur. Quant à la face étroite qui doit poser contré ABC, on aura de nouveau recours à la fausse-équerre ; on verra l'angle que la seconde branche , posée successivement en m, /*, o y contre la suf-

fi) On suppose ici que dans la courte étendue d'une pièce de tour, le contour ABC n'a qu'une simple courbure. Si entre m, n, o, il y avait des points trop distants de la courbe piano mno, on relèverait ces distances en des points déterminés, co qui ferait une opération de plus.

face de la carène , forme avec la face de joint du bordagc ABC , déjà posé. Cela fait, on n'aura plus qna rapporter ct j s équerrages à la position qui leur convient.

Lorsqu'on veut construire un navire , on .

travaille d'abord , comme nous l'avons dit, des pièces de charpente qu'on accouple et qu'on pose suivant des plans verticaux parallèles, fig. i4- Ensuite, on attache temporairement ces couples avec de fortes règles ou carrelets , appelés lisses. Les lisses sont dirigées le long des deux côtés ou bords de la carène. Les courbes qu'elles suivent sont planes et tracées à l'avance , dans la salle des patrons ou gabarits. Pour les parties du navire qui sont peu courbées dans le sens longitudinal, on se contente de travailler de longs prismes quadrangulaires ou carrelets ayant; l'équarrissage convenable. On les plie de manière à ce qu'ils aboutissent aux points indiqués sur le contour des différents couples. Si la petite portion de carène occupée par la face de la lisse qui s'applique sur cette carène, est exactement développable en bande rectiligne, la lisse est pliée sans difficulté, dans toute sa largeur et dans toute sa longueur, contre cette carène. Si la petite portion de carène recouverte par la face de la lisse qui doit être en contact avec elle, est une surface gauche, alors le contact parfait n'a plus lieu; il faut de grands efforts pour obliger la lisse à s'appliquer exactement contre la membrure, en sui

1*38 GliOMKTRIE.

vaut le contour donné par le tracé de l'ingénieur» Dans les parties très-courbes de la carène, on ne peut plus employer ce moyen. On est obligé d'avoir recours à la méthode suivante :

ABC, fig. 1 4, faisant partie du plan delà lisse, Ton marque ce plan avec deux cordeaux ; l'un qu'on cloue sur la carène, le long de ABC ; l'autre DE, qu'on tient à quelque distance, en dehors de la carène. On mesure avec la fausse-équerre, l'angle que forment ce plan et la surface de la carène, en chaque point A, B, C, sur les différents couples.

Ensnite , ayant posé le patron ou gabarit de la courbe ABC, sur la pièce de bois , fig 1 5 , dans laquelle on veut tailler la lisse, on trace ABC , et Ton taille la pièce eu formant, vis-à vis des points A, B, C, . . . , des coches où la fausseéquerre se loge, en donnant juste les angles relevés sur le navire. On enlève ensuite le bois entre les coches; de manière à former une surface dévek'ppable , ou gauclie. On marque , dans l'intérieur de cette surface, les points a y 6, c, partout également distants de ABC ; puis, les points a'> b',<? distants de abc de la largeur de la lisse. On obtient ainsi la i re . face abccWa ', qui s'appliquera contre les couples. On taille la face supérieure et la face inférieure, d' équerre avec abcc'b'a' ; on donne à ces deux faces une largeur partout constante ; enfin, on taille la quatrième face, d 1 équerre avec la 5 e . et la 4 e - Le travail de cette pièce, et les procédés de brochetage , deviendront très -clairs et très faciles, en les expliquant sur un modèle , dans les villes maritimes. On pourra les omettre dans les villes de l'intérieur, si l'explication n'en paraît pas assez facile.

L'architecture civile fait également usage des surfaces gauches , pour les voussoirs de certaines voûtes, et de quelques escaliers.

\\V ET MKTIF.1

\JK ET METIE1

2f\2 GÉOMÉTRIE.

Il n'est pas nécessaire que la courbe ABB'B"C soit plane , pour qu'elle produise une surface de révolution , en tournant autour de ÀC. Si, de chaque point B, B', B"... de la courbe, on mène une perpendiculaire BO, B'O', B"0"... , sur l'axe AG , ces perpendiculaires ne varieront ni de grandeur, ni de distance , eu les ramenant toutes sur un même plan. Alors, leurs extrémités B, B\ B"..., formeront une courbe plane qui, tournant autour de Taxe, engendrera la même surface de révolution que la courbe proposée.

La courbe plane qui produit la surface de révolution, en tournant autour de Taxe AC„ est ce qu'on appelle le méridien de cette surface. Les cercles B£, B'ô', B"ô"... , dont les plans perpendiculaires à l'axe sont parallèles entr'eux, ont été nommés, pour cette raison, les cercles parallèles i ou simplement les parallèles.

Autant on peut former de figures différentes avec des lignes droites, des cercles et d autres courbes, ou des combinaisons de ces lignes, autant on peut former de genres différents de surfaces de révolution. Ces genres mêmes se divisent en espèces très-distinctes , suivant la position de Taxe, par rapport à la ligne génératrice. Nous allons examiner successivement les surfaces de révolution les plus simples et les plus importantes pour l'industrie.

Surfaces de révolution engendrées pcu % le mouvement d'une ligne droite.

Si cette ligne est perpendiculaire à l'axe , eu

ONZIÈME LEÇON. ïfô

tournant autour de cet axe y elle décrit un plajj. Nous avons expliqué, dans la sixième leçon , les divers moyens que cette propriété fournit aux arts , pour exécuter des surfaces planes. Si la ligne génératrice est parallèle à l'axe OO, fig. a , elle décrit un cylindre circulaire dont nous avons expliqué les propriétés, et les applications à l'industrie, dans la huitième leçon. , Si la ligne génératrice passe par un point de l'axe OO, et se trouve oblique par rapport à cet axe, elle décrit un cône, fig. 3, dont nous avons expliqué les propriétés et les applications à l'industrie, dans la neuvième leçon.

Lorsque la droite génératrice n'est pas paraU lèle à Taxe, et se trouve, relativement à cet axe, dans la position d'un côté d'échelle gauche , relativement à l'autre côté , cette droite décrit une surface de révolution, fig. 4 ? dont les deux courbures sont dirigées en sens contraires.

Quand une droite AB ne passe pas par Taxe OO, on peut en concevoir une seconde ab symétriquement placée par rapport au plan OO0 qui passe par cet axe. Les deux droites se coupent nécessairement en un point P , placé sur le plan de symétrie. Si l'on fait tourner d'un mouvement égal les deux droites AB , ab , autour de l'axe, pour s'approcher ou s'éloigner également du plan OOo , il sera toujours leur pian de symétrie, et elles se couperont toujours en un point, placé sur ce plan. Faisons tourner, autour de l'axe, et le plan de symétrie et les droites AB, ab. Les deux droites étant disposées de manière à se couper toujours sur lcplan OOr>,

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plane, pour quelle pi-nduien tournant autour de M 1 .. >..

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...u Je cette gorge, en rappru-

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... J'un de ses diamètres Al)

> iv la circuiiierence du eerclr

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ïant on

\ im*:i'

ONZiJRME LBCOfT. 2/1O

distance de ce point, lorsqu'on fera tourner le cercle méridien autour de l'axe- AOB. Donc, tous les points de la surface de la sphère, sont également éloignés d'yn centre O : c'est le centre de la sphère.

Tout point pris dans le plan du méridien AMBN, en dehors ou en dedans de ce méridien , est ou plus près ou plus loin du centre O , que les points de la circonférence AMBN.

Donc, tout point de l'espace, qui se trouvera dans le plan de quelque méridien , sera plus loin du centre de la sphère , s'il est en dehors du méridien ; et plus près , s'il est en dedans.

Ainsi, non - seulement tous les points de la surface de la sphère sont à la même distance du centre; mais aucun autre point n est à la même distance de ce centre.

Tout plan qui passe par le centre d'une sphère, la coupe suivant une courbe dont tous les points sont distants, du centre, d'une quantité égale au rayon de la sphère : cette courbe est un cercle. Si Ton fait tourner ces différents cercles sur r chacun de leurs diamètres, on produira des sphères ayant toutes même centre et même rayon ; ce sera donc toujours la même sphère.

Toute corde mn, d'un cercle AMBN, fig. 5, est plus petite que le diamètre MN, et d'autant plus petite qu'elle est plus loin du ceutre de la sphère. Mais, quand le cercle tourne autour d'un axe AOB

perpendiculaire à la corde nw, la demi-corde om décrit un plan 9 et son extrémité trace une circonférence qui est toute sur la sphère. Donc: i°. Toute section mn y faite par un plan dans la sphère, est un cercle; a°. Ces cercles sont tous plus petits que ceux dont le centre est au centre de la sphère, et qu'on appelle, pour cette raison , les grands cercles de la sphère ; 3°. Les petits cercles sont d'autant plus petits que leur centre est plus loin du centre de la sphère.

ilojrens de décrire la sphère.

Noos pon\TMi«, fig. 6 , fixer sur l'aie AB duo tour, le corps qu'il s'agit de tailler en forme de ephère; pois, a une certaine distance de cet aie , fiier le demi-cercle rnlb, di-ut le diamètre cb = AB , et lai est parallèle. Avec m outil tranchant qui saille de TMnrla distance de ab à AB. et faisant glisser paralltUmcnt cet ontil le long de aTb, » pointe M décrira le cercle méridien AUB Donc, en faisant aller le tour, ce méridien décrira la sphère.

On peut placer l'outil tranchant « de telle manière q*c son pied T, fig. j , glisse le long d'an cercle aTô , ajaat pour centre le centre même du cercle méridien v et toujours dirigé vers le centre O des deux cercles AMB , aTb. 11 r>t évident que TM, im , représentant la différence des raj*c> des deux. cercles , lorsque T parcourt le cercle aTb , il fendra toujours qne M soit sur le cercle méridien : ainsi, k tranchant de l'outil restera constamment sur la surface tiila sphère.

On exécute aussi des sphères par le moulage : c'est de cette manière qu'on fabrique les boulet*

OWZlfeME LEÇOtf. ^/|7

de canon , qui sont des sphères pleines. Pour fabriquer les bombes et les obus h qui sont des sphères creuses, il faut faire un moule ayant la forme des parties hachées, fig. 8 , et présentant deux sphères , Tune pleine , A, et l'autre creuse, BBB. C'est entre ces deux sphères que l'on coule ensuite la bombe ou l'obus. On voit qu'ici, l'exaotitude de l'opération dépend de plusieurs circonstances : i°. Les deux parties À et BBB doivent avoir une figure parfaitement sphérique ; 2°. leurs centres doivent être placés au même point. Quand ces conditions ne sont pas bien remplies , le tir ne saurait avoir d'exactitude.

Dans le cercle A/rcB/rc', fig.^ g, menons la corde mm', et le rayon O0A, perpendiculaire à cette corde. En faisant tourner la figure kmO , autour de l'axe AOB : i°. l'arc de cercle km engendre la calotte sphérique; a°. le segment de cercle, mkm\ engendre le segment sphérique; 3°. le secteur de cercle, Omkm' 9 engendre \q secteur sphérique.

Il faut résoudre des problèmes qui, dans les arts, sont du plus fréquent usage.

Quelle est la surface de la calotte sphérique mkm' , fig. 9, et de la sphère complète? Quel est le volume d'un segment de sphère, d'un secteur de sphère , et de la sphère complète ?

Pour déterminer la surface de la calotte mkm' , fig. 9 ,♦ supposons qu'on substitue, à l'arc mkm' du cercle tué-

^48 OÊOMÉTRïF..

ridien de la sphère , un polygone d'an très- grand nombre de côtés 'tw/i, np,.... Faisons tourner ce polygone autour de Taxe AOB de la calotte ; chaque portion de ligne droite mn t np, . . va former un tronc de cône , dont AOB sera l'axe. La surface totale de ces troncs de cônes différera d'autant moins de la surface même de la calotte sphérique mAi»', qu'il y aura, plus do côtés dans le polygone mnpAp'nm . Or, la surface d'un tronc de cône droit mmnn y égale la somme de la circonférence des deux bases, multipliée par la moitié de l'arête mn. Ainsi

Surf, du tronc de cône mm'n'n = (circonf. mm r «4- cire, nn') \ nui. Surf, du tronc de cône nn'p'p = (circonf. nn' -f- cire, pp 9 ) \ np. et ainsi de suite.

Si nous menons nh parallèle à Taxe, le triangle rectangle mnh est semblable au triangle rectangle Oig , formé pàrOt perpendiculaire à la corde mn, par ig perpendiculaire à Taxe AO et dès lors à nh , et par Og perpendiculaire à mh.

Les deux triangles sont donc semblables, et l'on a nh : nm : : ig : iO : : circonf. ayant ig pour rayon ou iï pour diamètre , est à circonf. ayant iO pour rayon ou A B pour diamètre , en supposant que le nombre des côtés du polygone soit si grand qu'il n'y ait plus de différence assignable entre Oi et O/w = OA , rayon de la sphère.

Donc mn X circonf, i? r=s nh X circonf. AB,

Mais ii' = \ (mm' -J- nri ); donc

nui X î (circonf. mm' -f- circonf. nn)=:nh X circonf. AB

Le premier terme de cette égalité est la surface du tronc de cône mm n n ; le second terme est la circonférence du cercle méridien, multipliée par nh , hauteur du tronc de cône.

Donc, quand le polygone mnp... est formé d'un trèsgrand nombre de côtés extrêmement petit3 , la surface qu'il engendre égale la circonférence méridienne de la sphère ,

ONZIÈME LEÇOft. 2 49

multipliée parla somme des hauteurs nh, phr,.., des troncs de cône engendrés par la rotation des côtés du polygone. Donc ;

I. La surface dune calotte spjiérique mAm r est égale à la circonférence du grand cercle de la sphère f multipliée par la flèche Ao de la calotte ;

H. La surface de la sphère est égale à la circonférence de ton grand cercle, multipliée par le diamètre de ce grand cercle.

Mais la surface d'un grancl cercle ArnBm', égale La circonférence multipliée par la moitié du rayon ou le quart du diamètre. Donc, la surface de la sphère est égale a quatre fois celle de son grand cercle ou cercle méridien.

Si ViM sait que , pour couvrir partout égale- • ment un cercle A/raB//2'A, fîg. 9; il faut tel poids ou telle superficie de peinture ou de feuilles de plomb, de cuivre , de fer, etc. , on en conclura qu'avec quatre fois ce poids de peinture, ou cette superficie de feuilles métalliques , on couvrira la sphère entière, ayant ce cercle pour méridien; et au avec deux fois ce poids ou cette superficie , on couvrira la voûte en hémisphère, ayant le même cercle pour base.

Mesure du volume de là sphère et des portions de sphère. En considérant la surface de la sphère comme composée d'un très-grand nombre de très-petites facettes, on pourra regarder chacune d'elles comme un plan qui soit la base d une pyramide ayant son sommet au centre de la sphère* T. I. — Gkom. 32

L'ensemble de ces pyramides sera le volume même de la sphère. Or, le volume de chaque pyramide est égal à la surface de sa base, multipliée par le tiers de sa hauteur, qui est ici le tiers du rayon. Donc, le volume complet de la sphère , est égal à la somme de toutes les petites facettes qu'on a substituées à sa surface, multipliée par le tiers de son rayon. Ainsi... la sphère a pour mesure de son volume, sa surface multipliée par le tiers de son rayon , ou , quatre fous la surface de son grand cercle , multipliée par le tiers de son, rayon.

On verra de même que le volume d'un secteur de sphère Omkm'O , figure 9, est égal au produit de la surface de la calotte mkm\ par le tiers du rayon de la sphère.

Si, de ce produit, ou retranche le volume du cône mOm* ', on a le volume du segment sphérique mkm! =2 7 cire. A/nBm' X Ao X A0 — t circonf. mm X Oo X mo.

La méthode qui nous sert à calculer la surface de la sphère, nous fournit, pour cette surface, un moyen de construction dont les arts font souvent usage. S'agit-il de couvrir une voûte sphérique , avec des feuilles planes de métal, ou toute autre matière? On divise la voûte, par une suite de plans parallèles , en zones ou bandes circulaires , mm'n'n, nn'p'p , etc., fig. 9, qu'on suppose coniques , et par conséquent dé-

ORZlÈMb LEÇON. â5f

veloppables. Voici comment on trace le tronc de cône mm'rin , supposé développé,

Prolongeons mn, m'ri , fig. 9, jusqu'en leur point de rencontre s , sommet du cône dont fait partie le tronc mm'rin. Si nous développons le cône , tous les points de chaque base mm! , nri , étant également éloignés du sommet s , fig. 9 , se développeront suivant deux arcs de cercle MM' t NN', fig. 9 bis, ayant même centre S.

On aura, fig. 9 et 9 bis, cire. mm=. arc MKM' t et cire.

nn = arc NLIN'. Demandons-nous la valeur de l'angle MSM'.

L'arc MKM' égale la circonférence dont le rayon est mo. Mais

cette circonfér. esta celle dont SM est le rayon : : mo : SM.

Donc la cire, ayant mo pour rayon = MKl\J r =la cire, ayant

SM pour rayon X ■?£. Ainsi , l'arc MKM' représente

;rjjjj- 2*C 36 o° de la circonf. ayant SM pour rayon. Il suffira

d'effectuer une multiplication et une division pour avoir le nombre des degrés de l'angle MSM' , et par conséquent cet angle. Quand on l'aura déterminé, avec SM = sm et SN = sn comme rayons , on tracera les deux arcs MKM* et NLN', fig. 9 bis ; alors on aura la «one MKM'N'LN, qui, pliée naturellement, enjoignant les deux bouts MN, M'N' t produira le tronc de cône mm' tin , fig. 9.

Les ferblantiers et les cartonniers exe'cutent souvent , avec des feuilles de métal ou de carton, taillées en bandes circulaires , puis soudées ou collées, des surfaces qui diffèrent d'autant moins de la sphère , que les bandes sont plus étroites et plus multipliées. La méthode précédente leur sera très-utile ; elle servira souvent aux architectes , aux charpentiers , etc.

Après avoir expliqué le moyen d'exécuter la

nSï GÉOMÉTRIE.

surface sphérique , avec des cônes. , il faut donner le moyen de l'exécuter avec des cylindres.

Supposons que Ton fasse passer par Taxe ÀOB d'une sphère, figure jo, un très-grand nombre de plans méridiens ; de manière à diviser l'espace autour de cet axe , en angles plans très-petits, Concevons, de plus, une suite de plans perpendiculaires à l'axe de la sphère, et par conséquent parallèles entr'eux : i°. ils couperont la sphère suivant une suite de cercles parallèles; %°. ils couperont les cercles méridiens , en une suite de points également espacés sur ces cercles. Ces points seront les sommets de polygones,, réguliers, semblables, et dont les côtés correspondants seront parallèles. Tous les côtés parallèles à une direction donnée, formeront un cylindre dont les arêtes passeront , à la fois , par deux cercles méridiens consécutifs. On obtiendra, de la sorte, une suite de bandes cylindriques, semblables pour leur contour aux côtes d'un melon ; et plus ces côtes seront multipliées, plus la surface ainsi produite approchera de la sphère.

applications. On assemble ainsi par côtes cylindriques, pour former des sphères ou des portions de sphère, la soie gommée, la peau, le carton , la soie pure , la gaze , le papier, etc., qui servent à confectionner les aérostats, les petits ballons pleins d'air et les balles qui servent au jeu de paume, les globes terrestres ou

célestes , destinés à l'étude de la géographie et de l'astronomie, les ombrelles ou parapluies, les garde-vues en hémisphère, pour les quinquets. Dans les ombrelles, les parapluies et les gardevues, la direction des méridiens est marquée par des baleines ou des fils de fer.

Voici la figure qu'il faut donner aux côtes cylindriques , pour que leur ensemble forme une surface dont les joints ou coutures soient les méridiens d'une même sphère.

Les largeurs mm 1 == MM', nrV = NN', d'une côte , sont proportionnelles aux rayons OM, ON, des cercles parallèles, à cause des triangles semblables OMM', ONN'. Donc , OM, ON, étant les rayons des cercles parallèles qui correspondent à mm' et nn', on aura OM : ON : : MM' : NN' : : mm' : nn'. On, connaîtra donc aisément les largeurs qui correspondent aux différents points de chaque côte ; et, par conséquent , la figure même de ces côtes.

Applications a la géographie et a T astronomie. Ces deux sciences ont fait, des propriétés de la sphère , un usage très-important.

La figure de la terre est sensiblement celle d'une surface de révolution, qui ne diffère que fort-peu de la sphère.

Il a fallu des siècles pour que les peuples supposassent que la terre fût ronde en tout sens , qu'elle fut ce qu'on appelle un globe , et qu'elle eût la figure d'une sphère. Il a fallu les progrès simultanés de la géométrie et de la me'-

!i5/j GltoMÉTUlF..

chanique, pour apprendre aux astronomes que la terre est aplatie dans une direction , et bombée dans la direction perpendiculaire.

Quand les géographes ont admis que la surface de la terre était sphérique , voici comment ils ont divisé cette surface.

Ils ont donné le nom jXaxe, à la ligne droite autour de laquelle le ciel leur paraissait faire une révolution complète en vingt-quatre heures. Ils ont appelé pôles de la terre, les points où cet axe traverse la surface de la terre. Ils ont appelé plans méridiens , tous ceux qui passent par les pôles, et cercles méridiens , les lignes que ces plans tracent sur la surface de la terre. Ils ont appelé parallèles , tous les cercles tracés sur la surface de la terre par des plans parallèles entreux, et perpendiculaires à l'axe.

- Eu regardant la terre comme une surface de révolution, deux parallèles sont partout à la même distance l'un de l'autre, et les méridiens mesurent hi distance qui sépare les parallèles sur cette surface.

Le parallèle dont le plan passe par le centre de la terre, est le plus grand de tous. C'est Vèquateur, ainsi nommé, parce qu'il divise le globe en deux parties égales, qu'on appelle hémi m jphères: demi-sphères.

L'hémisphère boréal est celui qui contient le pôle boréal; par conséquent, la France est située

ONZIEME LEGOK. 255

dans rhémisphère boréal. L'autre hémisphère s'appelle austral, du nom du pôle qu'il contient.

Si l'on conçoit 36o plans méridiens également espacés, ils comprendront des angles de r j . Ils diviseront à la fois chaque parallèle et l'équateur en 36o parties égales, c'est-à-dire, en 36o degrés : ce sont les degrés de longitude. Si maintenant on divise l'espace compris entre deux des 36o méridiens , en 60 parties égales , par de nouveaux plans méridiens , ces plans diviseront en 60 parties égales, et par conséquent en minutes , les degrés de longitude, etc.

Si les parallèles sont également espacés et au nombre de 180, ils diviseront les méridiens en 36o parties égales; ce sont les degrés de latitude. Des parallèles intermédiaires subdivisent ces degrés, en minutes, secondes , tierces

Division de la surface de la terre en carreaux sphériques , pour la description des objets. De même qu'on divise en carreaux la surface cki plan, par des lignes parallèles et perpendiculaires, pour y marquer la position des figures tracées sur ce plan; de même on divise la surface du globe fen carreaux sphériques , par des cercles parallèles et perpendiculaires, pour indiquer avec exactitude, sur cette surface, la position de tous les points, de toutes les lignes remarquables : comme l'emplacement des villes, le cours des fleuves, la direction des chaînes de

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