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onzième lfcow. 261

naître suivant quelle loi varie la pesanteur des corps , le poids de l'atmosphère, et la vitesse du pendule, dans les différents points de la terre; nous montrerons quelles conséquences il eut résulte .pour beaucoup d'arts.

Sphère céleste. On fait usage de la sphère divisée en carreaux par des parallèles et des méridiens, pour marquer dans le ciel, comme sur la terre, la position des astres. On suppose : j °. que le ciel est une sphère ayant même centre et même axe que la terre; z\ que tous les astres sont situés sur la surface de cette sphère.

Une grande partie des astres , ce sont les étoiles , restant toujours à la même distance les uns des autres , sur la sphère céleste , leur position relative ne varie pas.

S'il y avait une étoile qui fût précisément placée dans la direction de Taxe , c'est-à-dire au pôle, elle seule resterait immobile, quand toutes les autres se mouvraient. Celle qu'on appelle e'toile polaire est très-près de notre pôle, et pour cette raison décrit un très-petit cercle.

Tous les astres varient de position par rapport à nous. Les astronomes mesurent le nombre de degrés, en latitude et en longitude, qui marquent cette position à eertaines heures du jour, et pour chaque jour. Quand ils ont marqué dans le ciel une suite de points isolés qui indiquent suffisamment la route suivie par l'astre, iJs font

a62 GIÎOMKTUIF

passer par ces points, une courbe continue; c'est la route même que l'astre a suivie dans son mouvement apparent sur la surface de la sphère céleste.

En étudiant ces courbes tracées dans le ciel par le mouvement des astres , lea astronomes ont reconnu qu'elles sont planes et susceptibles d'être tracées sur un cône droit circulaire ou surface conique de révolution : ce sont les sections coniques. Les planètes suivent des ellipses dans leurs cours ; les comètes semblent suivre des paraboles , et le soleil occupe un foyer de ces lignes courbes. (Voyez XIII e . Leçon. )

Ces applications de la géométrie au cours des astres ont tant d'importance, que, sans elles, on n'aurait pas découvert la grande loi de l'attraction, qui explique les forces et les mouvements de tout notre système planétaire, et qui donne à la science astronomique des modernes, une supériorité immense sur celle des anciens. Ainsi, depuis le simple chaudronnier, qui fait un entonnoir suivant la forme d'un cône droit circulaire, et qui le coupe en biais, l'il vent l'adapter à quelque Vase , dans une position oblique, jusqu'au géomètre qui calcule ia marche des corps célestes*, et la formelles s visuels ayant pour bases les courbes

rie centre des astres , c'est la même esont tes nu-vnes surfaces, les mêmes

onzième LEÇorr. a63

"sections, les mêmes courbes, qui servent aux usages les plus simples des métiers, comme aux applications les plus sublimes de la science.

Par ces rapprochements, j ai surtout pour but de rendre faciles deâ notions qu'on s'effraie d'étudier; mais qu'on peut entendre aisément, lorsqu'on aperçoit leur analogie avec les conceptions qui nous semblent les plus vulgaires, parce quelles s'appliquent à d'humbles travaux, exécutés chaque jour avec nos mains ou sous nos yeux. J'ose dire que voilà la vraie philosophie de la géométrie, appliquée, soit aux sciences, soit aux arts et métiers.

Lorsqu'on observe avec attention le spectacle du ciel , durant une belle nuit, on s'aperçoit que les astres , dont la voûte céleste est parsemée , ne restent pas immobiles par rapport à nous. On les voit successivement se lever, comme le soleil, du côté de l'orient; monter vers le midi et descendre vers l'occident , pour disparaître jusqu'au lendemain.

Dans ce mouvement , chaque étoile décrit un cercle, et tous ces cercles ont le même axe; c'est l'axe même de la terre. Ainsi , le spectacle des cieux £e présente à nous, comme si la voûte céleste était animée d'un mouvement de rotation autour de l'axe de la terre.

Durant une longue suite de siècles , des nations entières ont pensé que tous les astres

tournaient de la sorte autour de notre globe qui, dans les croyances vulgaires, restait immobile au centre du monde.

La géométrie va nous montrer le secret, l'illusion de ce spectacle.

Nous sommes si loin des étoiles, que les rayons visuels, menés au même astre, des différents points de la terre , semblent tous parallèles. Donc le. spectacle du ciel est le mêjne, soit qu'on se place à la surface ou au centre de la terre : plaçons-nous au centre. Si le ciel fait régulièrement une révolution complète , en vingt-quatre heures , autour de l'axe du monde , la terre ne tourne pas. Si le soleil est immobile, il faut, au contraire , que la terre tourne autour de l'axe du monde. Dans ce mouvement, les seuls points du ciel qui sembleront fixes, seront les pôles du monde. La distance de chaque astre à ces pôles étant variable, chaque étoile, quoique paraissant monter ou descendre par rapport à l'horizon des divers points de la terre, sera toujours sur un rayon visuel faisant le même angle avec celui qu'on dirige vers le pôle, et qui représente l'axe du monde. Donc chaque étoile va nous sembler encore se mouvoir sur le même cône de rayons visuels ; et toutes les étoiles , en s avançant sur leurs cônes respectifs, ne cesseront pas de nous paraître rester à leurs distances respectives : le spectacle du ciel sera donc

ONZIÈME LEÇON. s65

complètement le même qu en supposant la terre ixe et le ciel mobile.

Ainsi, c'est par une propriété bien simple de a révolution des plans et des points autour d'un ixe fixe, qu'on reconnaît l'identité des aspect} iu ciel : soit que ,1a terre restant fixe, la voûte céleste tourne autour de l'axe de la terre; soit ^u'au contraire, la voûte céleste restant immobile , la terre tourne sur elle-même. Lorsque vous connaîtrez les lois du mouvement circulaire, vous verrez ce qui décide l'opinion des géomètres en faveur de ce dernier système.

La sphère n'est pas la seule surface de révolution qu'on puisse engendrer, en faisant tourner un cercle autour d'une droite. Si Ton suppose que l'axe de la surface ne passe pas par le centre du cercle, on va former une surface du genre de celles qu'on appelle annulaires \ parce que les anneaux, tels que ceux dont l'industrie fait usage , sont un cas particulier de ce genre de surfaces. Il est évident que tous les plans méridiens couperont l'anneau suivant des cercles égaux , fig. 1 2 ; tous les plans des parallèles couperont aussi la surface suivant des cercles.

Les bagues que les femmes et les hommes portent au doigt , sont le plus souvent des surfaces annulaires , qu'on appelle anneaux.

On emploie, dans les arts, des anneaux ou bou-

T. I — Gkom. 54

266 cioi

do ABC, fig. i3, qui sont passés dans Icril EDH dfnn piton EDHF, scellé dans m paré oa dans une muraille, pour oflErîr on cercle fixe, sur lequel on peut attacher des cordages.

On emploie aussi l'anneau on une portion de fannean, dans les décorations de Varchitectwr.

La douane AA, le quart de rond QQ , fig. 14, dans les chapiteaux et les bases des colonnes, sont des quarts de la surface annulaire, engendrée par la révolution d'un cercle antour de Taxe de la colonne; le boudin BB est une moitié de la surface annulaire, formée par la révolution d'un cercle « autour de Taxe d une colonne , ou d'un cintre.

L'architecte emploie également la snr&ce annulaire pour construire des voûtes. Ainsi, dans le bel édifice de la halle an bled de Paris, on voit d'abord une grande voûte en demi-sphère ABC , fig. 1 5 , autour de laquelle est une surface annulaire, ayant pour méridien les deux demi-cercles ADE, CFG.

Les vases ronds de forme antique, tels qu'on les voit représentés, fig. iG, se composent de parties cylindriques AB, CD, EF, GH, et de parties annulaires rnn* pq 9 rs+ tu, xy\

Lorsqu'un menuisier pousse des moulures autour d'une porte en plein cintre, les parties circulaires de son fer de rabot, décrivent des jurùces annulaîres.

ONZIÈME LEÇON. a 67

La cloche ABCDE , fig. 1 7 , qui sert aux sonneries des manufactures , des églises ' et des simples habitations, est une surface de révolution qui se compose également de parties coniques et de parties annulaires. • , Les marins emploient un anneau demi-circulaire, qu'ils appellent cosse. Un premier cordage enceint l'anneau, en se logeant dans sa concavité extérieure. Les deux bouts sont liés de manière que l'anneau ne puisse sortir. Un second cordage, passé dans l'anneau, s'y meut librement.

Les astronomes ont été long-temps sans pouvoir expliquer les apparences de Saturne , et de son anneau qui se présentait tour à tour sous les divers aspects I, II, III, de la figure 1 1 . Quand ils eurent acquis des connaissances géométriques plus étendues, ils reconnurent aisément que X anneau, variable dans ses aspects, I, II, III, qui tantôt paraît entourer et tantôt traverser le globe de Saturne , est , en effet , constant de forme et de grandeur. La méthode simple et facile des projections , a suffi pour tout expliquer.

Une surface annulaire dont les arts font le plus grand usage , est la roue. Les roues employées dans les caisses de poulies , sont des cylindres fort-plats pour leur largeur , et creusés sur leur contour suivant une surface annulaire 1 ayant un arc de cercle pour génératrice.

Les jantes des roues de voiture m, m 9 m y .. x

fig. 1 8, forment également une râf&éè Àtm de révolution. Ces roués ont, ati ééùfife, nue tie pleine, cest le moyeu ABCD. tSfetm rayons, également espacés, unissërlt éëtfej mière surface de révolution , avec fttabeui M forment les jantes. Les jantes , cotnpotëek de parties égales, sont recouvertes par des pUS*- Landes en fer qui croisent les abouts des farft sur lesquelles elles sont clouées. r

Il y a des roues pour lesquelles totis fcl OL sont dans un même plan HRRr; alors les ptiffai» bandes en fer sont partout perpendiculaires à et plan et forment un cylindre.

Il y a d'autres roues, pou* lesquelles ta) i£k S^, Sjr, sont dirigés comme autant d'arêtes <£tâ cônç droit circulaire ; les plates-bandes , partout perpendiculaires à la direction de ces rais, forment elles-mêmes une surface conique. Telles sont les roues coniques.

Quand nous examinerons les propriétés iné- "chanîques des roues, nous comparerons te avantages et les inconvénients respectifs de ces dieux espèces de surfaces de révolution , pour le transport des fardeaux sur des routes.

L'une des surfaces de révolution les plus remarquables par la simplicité de leur structure, fest celle des tonneaux. Les tonneaux sont composés de planches minces, appelées douves , et jointes par leurs côtés étroits ; de sorte qu'en les

. brcziÈME leçon. 2G9

pliant de force, et les tenant ainsi pliées, avec des cercles parallèles AB, ab, cd, CD, fig. 19, on produit la surface de révolution qui a les cercles mêmes pour parallèles, et les joints des douves pour méridiens.

Pour fermer ces surfaces de révolution , on compose un plan circulaire avec d autres planches minces appelées fonds. Ce plaij circulaire est taillé sur ses bords, en biseau conique, afin d'entrer dans une rainure circulaire appeléeyVz£/6', qu'on creuse sur la face intérieure des douves.

Pour travailler les douves après les avoir réduites à l'épaisseur convenablo, le tonnelier les rétrécit par les deux bouts , en passltit leur face mince sur uu grand rabot fixe, appelé colombe. Il opère ce rétrécissement sans autre guide que la vue; ce qui produit souvent des irrégularités choquantes, dans la configuration des tonneaux. '

On s'est occupé d'employer des moyens géométriques pour travailler les douves suivant une forme parfaitement régulière. Supposons qu'on plie chaque douve entre trois ou un plus grand nombre de points fixes A, B, C, fig. 20; et que, Oo représentant l'axe du tonneau dont ABC est la douve , on ait un rabot dont le fer soit placé dans un plan méridien, c'est-à-dire, pasçe par Taxe. Supposons que ce fer puisse, tantôt tourner autour de cet axe, tantôt aller et venir dans son plan méridien. Le rabot étant approché convenablement de la douve ABC , on travaillera la

petite face : i°. en dessus, suivant la forme qui convient au méridien ou profil du tonneau; a°. en renversant cette douve , le dessus dessous. Les douves ainsi préparées, seront propres à former une surface de révolution très-exacte. On avait établi , d'après ce principe , une grande fabrique de tonneaux, à Glasgow, en Ecosse : elle n'existe plus. La France en possède une qui paraît bien réussir.

Quand toutes les douves sont assemblées , on en scie les deux bouts, suivant un plan perpendiculaire à l'axe ; puis on creuse la rainure appelée jable , avec un rabot semblable au tmsquin da m^Ruisier , ayant un côté plat qui pose sur la circonférence présentée par le bout des douves; tandis que le fer étroit et saillant du rabot est sur une tige verticale , à une distance suffisante en dessous du côté plat, pour creuser le jable. On taille les fonds mis côte à côte , suivant un cercle dont le rayon égale celui du jable. Cela fait, on desserre les douves vers un bout, assez pour qu'on puisse introduire les fonds dans le jable. Ensuite, on resserre le tonneau, en remplaçant les cercles provisoires employés pour le construire , par des cercles définitifs , en bois ou en fer.

Les tonneaux sont , de tous les systèmes de pièces d'assemblage en bois , le plus avantageux pour contenir des liquides , sans en rien laisser perdre , lorsque la nature du bois est saine , et

[ue les tonneaux sont fabriqués avec exactitude.

Dans 1 arrangement des objets qui composent e chargement d'un navire, il entre un grand nombre de barriques occupant plusieurs rangs , AB , . CD, EF, fig. 21, appelés premier, deuxième , troisième plans d'arrimage. Il est essentiel de connaître à l'avance la hauteur de ces pians , pour voir quel espace les tonneaux de vin , d'eau , d'esprits, etc. , occuperont dans la cale du navire; et, par conséquent , quel espace restera pour les autres objets dont se compose la cargaison (1).

Quoique la combinaison de la fig. 1 1 fasse gagner 27 centièmes du rayon des barriques, on perd encore un grand espace. Cette perte est évitée par l'emploi des caisses en fer , de forme cubique, pour contenir l'eau des navires : eau qui , d'ailleurs , se conserve mieux dans ces caisses. Dans les arsenaux de terre et de mer, on

(1) Observons que les barriques m, n, p 9 supposées égales, se touchent toutes trois ; donc les trois centres de ces barriques sont éloignés les uns des autres, d'une quantité égale au grand diamètre de chaque barrique. Soit, dans le triangle mnp, la droite nh , menée du sommet n , perpendiculairement à mp ; en faisant mh •=. hp — 1 , on a mn = 2 ; puis, en vertu de la propriété du quarré de l'hypothénuse, on a nh 2 =z mn* — mh? =4 — 1 r= 3. Cela fait voir que nh égale à peu près 1, 73. Mais les centres m, p, sont à une distance de terre égale au rayon des barriques =:i. Donc la hauteur du centre n, au dessus de terre , est de 2,73. Si la barrique n était posée directement sur la barrique/? , la hauteur du centre de n , au-dessus du sol , serait trois fois le * rayon; donc l'emboîtement de chaque rangée de tonneaux fait ;ner à peu près 27 centièmes du rayon.

27a GÉOMÉTRIE.

forme avec les boulets, les obus, les bombes et les grenades du même diamètre ou calibre, des piles régulières, par plans horizontaux, fig. 22. La base des piles est ordinairement un rectangle, et leur figure est celle d'un prisme

triangulaire à pans coupe's symétriques. (1).

(1) Pour déterminer le nombre de boulets que contient noe pile en prisme tronqué symétrique, semblable à celle de lt fig. as, on comptera d'abord le nombre de boulets d'une des facei triangulaires ABC , qui , pour r rangées de boulets sera

On multipliera ce nombre total par la somme des boulets compris dans les trois rangées extrêmes ka -4- Bb •+- Ce , qui représentent les arêtes du prisme tronquée symétrique ABCafo.

Soit n le nombre de boulets de Art ; chacune des rangées Bc,Cc, comptera r-i boulets de plus que Aa. Ainsi Aa •+- Bb -+• Ce = 3« + îj a.

Donc enfin le nombre total des boulets de la pile est ( 1 -+• 1 -+- 3.... '-+- r) -f- l (3« -+- ar — a). Produit bien facile à calculer.

Quand il n'y a qu'un boulet dans la rangée Aa , le prisme devient une pyramide quadran gui aire , dont le nombre de bonlets est

(1 -+- a -h 3-+-... -+-r) f (3-4-ar — a)

ou (i + j+ 3... -4- r) { (ar -4- 1).

Quand la pile est triangulaire, Aa z=z i 9 B6 = i, Ccznr; donc Aa -+- Bb -+- Ce =z r -+• a.

On a donc pour nombre de boulets d'une pile triangulaire, ayant r rangées de boulets ,

■ ■ .'il

Vt

Surfaces spirales.

Avant d'expliquer les propriétés des surfaces spirales et leurs applications aux arts, il faut examiner les courbes qui dirigent la construction de pareilles surfaces. ,

Ayant tracé le rectangle OHka , fig. i , divisons-le par bandes d'égale largeur, au moyen des lignes droites parallèles Ab f Bc , Cd , etc. Menons toutes les obliques Aa , Bb , Ce, Dd ,....*.., qui seront évidemment parallèles entr'elles, puisqu'elles interceptent d'égales portions d'autres parallèles , AB = ab , BC = bc , CD = cd, etc.

Maintenant, supposons qu'on plie le rectangle suivant la forme d'un cylindre quelconque , ayant OH pour une de ses arêtes. Fermons tout-àfait le cylindre , de manière que ak vienne s'appliquer exactement contre OH. Alors , le point a tombera sur O, b sur A, c sur B, d sur C, etc. Les arêtes étant toutes parallèles à OH et à ak, seront représentées, sur le rectangle OH ka, par des droites PQ, RS, TU, etc., parallèles aux cotés OH, ak. Mais , sur le rectangle , toutes ces droites parallèles coupent sous un même angle les

T. I.— Géom. 35

obliques ka, Bb, Ce,..., puisque ces obliques sont des parallèles. Enfin , lorsqu'on plie le rectangle sur le cylindre , fig. 3 , chacun des angles formés par les obliques, Aa, B£, Ce...., fig. i, et par les arêtes PQ, RS, TU, ne change pas. Donc , la propriété des obliques ka , B£ , etc. , sera , qu'en se rejoignant sur le cylindre, aux points A et by B et c, C et d 9 etc., de la fig. i, elles formeront une courbe qui fera partout le même angle avec les arêtes du cylindre. Cette courbe unique est ce qu'on appelle une hélice ou spirale cylindrique.

Lorsqu'on plie le rectangle de manière à former un cylindre dont la base est un cercle , on obtient l'hélice le plus fréquemment employée dans les arts.

Supposons, maintenant, que deux points s'avancent en même temps, à partir de II; l'un suivant le côté Hk du rectangle , fig. i ; l'autre suivant l'oblique HA. Supposons que les deux points passent en même temps : i ° . sur PQ ; 2°. sur RS ;'3°. sur TU... D'après la propriété des lignes proportionnelles , on aura :

HQ : Qq : : HS : S* :: HU : U«, etc.

Donc le point qui suit la direction oblique Hi, s'éloigne de la baseH£, de quantités Qq, Ss, Uh..., proportionnelles à la distance de l'arête OH, aux arêtes PQ, RS, TU....

Donc, si Ton fait tourner autour du cylindre une de ses arêtes, HO, tandis qu'un point s'avance

x DOUZIEME LEÇOIC. Hj5

le long de cette arête, de manière que les espaces parcourus par le point et par l'arête, soient pro" portionnels, le point dont il s'agit va décrire une hélice ou spirale, telle qu'elle est représentée dans la figure 3. Ainsi....

La spirale est produite par un point qui y tour^ nant autour d'un axe , avance dans le sens parallèle à cet axe , proportionnellement à la quantité dont il tourne autour du même axe.

Par conséquent , le tourneur peut décrire une spirate sur un cylindre, avec un outil tranchant qui s'avance parallèlement à l'axe, proportionnellement a la quantité donj ce cylindre tourne autour de l'axe.

Par conséquent , aussi , à chaque tour du cylindre, l'outil du tourneur, pour décrire la spirale , doit s'avancer d'une même longueur ; cette longueur, partout la même, est le pas de l'hélice, ou de la spirale. Donc, la distance des différents ' tours d 9 hélice ou de spirale, mesurée sur chaque arêtes est constante; cest le pas de la spirale.

Supposons qu'on tire ,fig. a , par impression ou autrement, une épreuve de la fig. i, c'est-àdire , qu'on exécute une seconde figure symétrique à la première, et qu'on la plie sur un cylindre, fig. 4t égal à celui de la fig. 3 ; on forme une spirale dirigée en sens contraire de la spirale, fig. 3.

La spirale de la figure 3 est dite tournée à droite ; celle de la fig. 4> est dite tournée à gauche.

'ÀJÛ GÉOMÉTRIE.

Quand les cylindres, fig. 3 et 4 > sont égaux, et que le pas de vis est le même, la spirale tournée à droite , est symétrique par rapport à la spirale tournée à gauche.

Figure spirale de la vis. Au lieu de faire tourner un seul point autour d'un axe , nous pouvons faire tourner une figure plane quelconque, un triangle, fig. 5, un quarré, fig. 6, etc. Alors nous engendrerons des surfaces qui pourront être en creux ou en relief , sur des cylindres qui peuvent également être eu relief ou en crera. On appelle J/7e& les creux ou les reliefs en spirale , formés autour du cylindre par le triangle ou le quarré, en relief ou en creux , qui s'avance le long de Thélice , en conservant toujours sa figure génératrice dans une même position par rapport au contour de cette hélice , et à la direction do Taxe du cvlindre.

On appelle *7> le cylindre ABCD. fig. 5 et 6. qui porte le iïlet sur sa surface convexe; on appel W* (»crou le cylindre creux ayant un filet ce spirale taillé dans sa surface concave.

Supposons, maintenant, qu'on ait deux crlin-

dres d'un même diamètre, sur le contour èes~

q;îr ■> or: ait tr'ncï ia même spirale dont on iasst

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juv! ii :r.».:u:re a- vis dans lecrou. ei.

DOUZIÈME LKÇON. I*]*]

la faisant, à la' fois, avancer et tourner, sans qu'elle laisse nulle part de vide, entr'elleet l'écrou, et sans qu'elle soit nulle part obligée de diminuer sa grosseur.

Supposons, en effet, que l'on commence à engager le bout du filet en relief de la vis , dans le bout du filet en creux de l'écrou ; les deux cylindres de la vis et de l'écrou étant ajustés de manière que leurs axes soient en ligne droite. Cela posé, l'un des cylindres restant fixe, faisons tourner l'autre, de manière que chaque point de son filet avance parallèlement à l'axe , proportionnellement à la quantité dont il tourne, et dans le rapport même indiqué par la courbure de l'hélice qui sert de directrice aux filets : le profil de la surface des filets en relief va décrire la surface même du filet en creux. Donc le filet en relief se logera tout entier , sans vide et sans compression , dans le filet en creux. Tel est le jeu de la vis dans son écrou. On a construit géométriquement, et avec le plus grand soin, les vis triangulaires et quarrées , afin que les élèves puissent imiter en grand les projections des figures 5 et 6. Ce sera l'un des meilleurs exercices géométriques qu'on ait à leur proposer.

De même qu'il y a deux espèces de spirales , les unes tournées à droite et les autres tournées à gauche ; de même il y a deux espèces de vis et d'écrous , les uns tournés à droite et les autres à gauche. Il est évident qu'une vis tournée à droite ne saurait emboîter dans un écrou tourné à gauche, et qu'une vis tournée à gauche ne saurait emboiter dans un écrou tourné à droite.

Les vis sont d'un usage perpétuel dans les

arts. Elles servent tantôt à changer en mouvement circulaire, un mouvement qui se fait suivant une ligne droite ; et tantôt à produire le changement inverse. Voyez 2 e . vol. Machines.

Remarquons, fig. 1 , que le pas OA=AB...., d une vis , peut être fort petit par rapport à la longueur Hk du contour du cylindre; de plus, le triangle Hkh offre une échelle composée de parties Q^, Ss, TJu. .. , qui sont entr elles : : i : 2 : 3 :... C'est une échelle semblable à celle qu'on a formée , V e . leçon , fig. 5. Si le contour de la base présente des divisions égales HQ, QS, SU... , une erreur assez sensible sur ces longueurs peut donc être beaucoup moins considérable sur les hauteurs, Qç,Ss 9 Vu

Application. L'industrie s'est emparée de cette propriété géométrique, pour diviser avec beaucoup d'exactitude les lignes droites en parties égales , par le moyen de la vis.

Proposons-nous de diviser la règle AB , fig. 7 , en parties égales , avec une grande exactitude. Supposons que le pas de la vis MN , dont l'axe est parallèle à AB, soit le 10 e . de la circonférence du cylindre sur lequel est taillée cette vis , et que cette base ait pour rayon le 10 e . de celui d'un plateau circulaire PQ , dont la circonférence est divisée en parties égales. Supposons enfin que Verreur des divisions de PQ, puisse aller jusqu'à un millimètre; ce qui serait inexcusable dans les

DOUZIEME LEÇON. 27g

opérations un peu précises. La circonférence de PQ est cent fois plus grande que le pas de la vis, et chaque tour de PQ ne fait avancer ou reculer que d'un pas, le stylet XY entraîne paï cette vis. Donc l'erreur sur l'espace que parcourt le stylet ne peut être que le centième de l'erreur des divisions du cercle PQ. Quand , sur PQ, l'erreur ne dépasse pas un millimètre, elle ne peut d onc dépasser un centième de millimètre sur AB, c'est-à-dire, une longueur très-inférieure à celle que nous pouvons apprécier avec l'attention la plus délicate de notre vue.

Faisons tourner le cercle PQ, de manière qu'un indicateur fixe, Z, corresponde successivement aux divisions assez rapprochées, i, a, 3..., de ce cercle ; nous diviserons la droite AB . en parties très-petites, dont les inégalités seront inappréciables à nos sens.

Les machines à tailler les vis sont proportionnées d'après les rapports qu'il faut établir entre les divisions longitudinales AB, et les divisions d'un cercle PQ. Il taut expliquer ces machines , en les offrant à la vue des élèves.

Les vis diffèrent beaucoup suivant la figure des filets; tantôt la section de ce filet , perpendiculairement à la spirale directrice, est tin triangle équflatéral, et tantôt un quarré: ce qui produit les vis à filet triangulaire, fig. 5, et les vis à filet quarré v fig. 6.

On emploie les vis pour approcher ou pour éloigner des règles et des cylindres parallèles , sans changer leur parallélisme. Concevons , en effet, deux vis égales, un£ à chaque bout d'une paire de cylindres établis de manière qu'en tournant ces vis, elles forcent les axes des cylindres à s'approcher ou à s'éloigner l'un de l'autre. Lo^que l'on tournera les deux vis d'une même quantité , l'on approchera ou l'on éloignera également les" cylindres ; mais l'espace parcouru par un indicateur fixé à chaque vis peut aisément être j oo ? 200 , 3oo fois plus grand que le pas de vis. Alors un espace parcouru par l'indicateur n'en produira qu'un 100, 200, 3oo fois moindre , pour écarter ou rapprocher les cylindres. On saura donc régler leur distance avec une extrême précision; ce qui, dans beaucoup d'opérations , est d'une grande importance pour l'industrie.

On peut faire beaucoup d'autres applications du même genre, pour mesurer ou parcourir des longueurs avec une exactitude qui dépasse considérablement la limite où nous pourrions atteindre par le simple usage de nos sens. La fabrication des instruments d'optique et d'astronomie 7 en offre de nombreux exemples, dans l'emploi qu'on y fait des vis de rappel.

S'agit-il de mettre bien de niveau un instrument porté par trois ou par quatre pieds? On

DOUZIÈME LEÇON. iSl

fixe , sous chacun de ces pieds , une vis de rappel i que l'on tourne ou détourne peu à peu, selon qu'il faut abaisser ou relever l'instrument, du côté d'un de ces pieds. On approche ainsi de la vraie position , par degrés insensibles; ce qui permet de s'arrêter précisément au point nécessaire, il y a des vis de rappel, dans les instruments à réflexion , pour placer les miroirs à leur vraie position ; il y en a pour rapprocher ou disjoindre certaines parties d'autres instruments, etc.

La nature nous présente une foule de spirales dans les végétaux; les plantes rampantes s'élèvent autour d'un cylindre vertical, tel qu'un tronc d'arbre ou d'arbuste ou un simple échalas, en décrivant une spirale. D'autres fois, la plante pousse de longs rameaux qu'elle suspend à des points d'attache, par des filaments qui se plient en spirale.Plusieurs vaisseaux intérieurs des plantes et des arbres, sont pareillement contournés en spirale. Plusieurs végétaux ont leurs branches, ou leur* feuilles, ou leurs fruits, implantés, suivant une direction spirale, sur la tige qui les supporte.

Applications. Les arts ont imité ces formes spirales de la végétation , soit pour attacher des corps , soit pour les pénétrer.

Lorsque les chirurgiens doivent entourer de bandelettes, des membres dont la figure approebs de celle des cylindres , tels que les doigts , I«s jambes, les bras; ils les enveloppent en don-

T. I. — Géom. 36

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