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DOUZIÈMK LEÇON. a83

qu'un fluide % vaporisé par la distillation passe dans le serpenteau, qui se trouve plongé dans un tonneau plein d'eau froide, la vapeur se condense ; elle arrive au bas du serpenteau , réduite en liquide sensiblement, refroidi. C'est ainsi que l'on condense les eaux - de-vie et d'autres esprits produits par la distillation.

Le nattier et le tresseur de chapeaux de paille fabriquent des cylindres, fig. 10, avec des tresses étroites et plates lesquelles ayant partout même épaisseur, représentent les bandes AabB y BbcC , etc. , fig. i . Pliées suivant le contour d'un cylindre et cousues côte à côte , ces bandes en reproduisent exactement la surface. On peut, en employant un procédé analogue, fabriquer de même un plan , un cône , une sphère , en étendant un peu l'un des bords de la tresse , ou bien en resserrant un peu le bord opposé.

Plus la tresse est étroite et moins il est nécessaire d'étendre ou de resserrer un des côtés , plus la surface que l'on parvient à fabriquer approche de la forme rigoureuse qu'on a conçue. La perfection des beaux chapeaux de paille de Florence consiste dans la parfaite égalité d'ampleur et de force des tresses, dans leur peu de largeur, dans la finesse des pailles et dans l'aspect régulier du tissu.

Les machinistes font beaucoup d'usage de ressorts en spirale, dont nous expliquerons le*

effets , en traitant de l'élasticité. Tels sont plusieurs ressorts des voitures.

Il "y a des personnes dont les cheveux bouclent naturellement en spirale; il y en a qui font ainsi boucler leurs cheveux, en les contournant sur un cylindre chaud, de petit diamètre, ou simplement en les pliant en spirale dam une enveloppe de papier appelée papillotte, et les pressant entre des pinces de fer, assez chaades. La chaleur dissipe l'humidité qui impré- i gnait les cheveux et tendait à les relâcher, aies j faire tomber en ligne droite; la compression leur donne une courbure en spirale, qu'ils conservent ensuite plus ou moins long-temps, suivant la nature des cheveux et l'état de l'atmosphère.

L'art du coëffeur et du peintre qui veulent composer un bel ensemble de chevelure, est de grouper les spirales ainsi formées par masses ou boucles de cheveux, qui se combinent de manière à présenter un tout en harmonie avec lfc genre de parure et la physionomie de la personne qu'ils parent ainsi. On peut citer comme des modèles plusieurs coëffures grecques et romaines , où ces combinaisons de formes spirales sont conçues de la manière la plus heureuse.

11 faut, maintenant, nous occuper d'un genre de spirales beaucoup plus important que la plupart des exemples cités jusqu'ici : nous voulons parler des fils et des cordages.

On forme, pour les tissus et les cordages, des Gis plus ou moins minces , avec du chanvre , du lin, du phormium tenax, avec l'écorce de quelques arbres, etc. ; on prend aussi la bourre végétale appelée coton , la laine , le poil des animaux , etc.

Avant de former des fils, il faut, par le peignage ou le cardage , rendre parallèles les filaments de la matière première f et les diviser en parties très -minces, aussi égales que possible , dans leur grosseur et leur longueur.

Filage du chanvre et du lin. Pour ce filage, on s'est servi d'abord du fuseau. A mesure que le fil est tordu, on l'enroule sur le fuseau , puis on fait un faux nœud, facile à détacher, vers la pointe du fuseau. La fileuse fait tourner vivement, entre les doigts de sa main droite , la pointe du fuseau; ce qui communique une torsion suffisante à la partie du fil qui n'est pas enroulée sur le fuseau; partie que la fileuse allonge, en tirant , avec la main gauche , les filaments parallèles de la quenouille. Ces filaments prennent une forme spirale.

Le filage au fuseau est le plus lent de tous. On i d'abord remplacé te fuseau par un rouet trèssimple , fig. 1 1 , qu'une maiu ou le pied de la fileuse met en mouvement. Au fur et à mesure qu'il est tordu, le fil s'enroule sur la bobine, qui n'est qu'un fuseau médlanique. La torsion est donnée par le rouet même. Ainsi la fileuse n'a

a86 cïoMtTKiB.

plus qui tirer de la quenouille ,' les

mente, pour les ranger dans une position propre

alarmer un fil qui partout ah lamen

On enroule le fil sur la bobine do rouet de h fileuse, an moyen d'ailettes, fig. ia, années de crochets. Ces ailettes sont fixées snrna essiea m, qui passe an travers de la bobine, on cylindre en bois rr , sur lequel le fil doit s'envoler. On fût ail» le cylindre de manière à ce qu'il achève un tour pins vite que les ailettes; par là, le fil qui doit s'enrouler sur le cylindre est tiré par ee cylindre et s'enroule graduellement.

Supposons, pour fixer les idées, que le cylindre fasse cinq révolutions complètes quand les ailettes en finit quatre. Il faut, par conséquent, que le fil se soit enroulé d'un tour complet, quand le cylindre a fait cinq tours, et les ailettes 4- On donne ces différents mouvementsde rotation au moyen de la grande roue du rouet OAB, fig. 1 1 ; mn, pq, étant deux autres petites roues dont les diamètres soient entr eux : : 4 : 5. Au moyen de cordes tendues AmnR, ApqB , sur la gorge des petites roues et de la grande , il est évident que les deux cordes parcourant le même espace sur la gorge de ÀB , quand cette gorge tourne , il faut que le rouet mn fasse cinq tours, lorsque pq en fera quatre. C'est le rapport même que nous avions besoin d'établir.

L'avantage du rouet sur le fuseau est très-

DOCZIÈME LEÇ05. 287

grand; ii a fallu des ^jècles avant que les peuples imaginassent cette machine , qui devait être bien surpassée par les inventions modernes.

Filage de la laine et du coion. Les cardes forment d abord de larges nappes ayant partout la même largeur et la même minceur \ ensuite on les étire, afin d'en former d'étroits rubans. Un léger degré de torsion les convertit en boudins. On prend ces boudins , on les tord , on les étire peu a peu , à côté les uns des autres , soit à la main , soit avec une machine. On les fait tourner sur euxmêmes , à mesure qu'on avance , pour les tordre également , c'est-à-dire, en leur donnant une torsion qui doit être partout la même, ainsi que le volume des filaments tordus ; afin que le fil soit partout également gros. Chaque filament, dans cette torsion constante , forme une spirale ayant pour axe, l'axe même du cylindre que figure le fil.

Le rouet qui sert à filer le coton , se compose d'une grande roue OÀB, fig. 1 5, d'une broche munie d'une petite roue CD, et d une corde sans fin ÀBCD. La broche reçoit le fil , comme le ferait le fuseau de la fileuse; ce fil se prolongeant en boudin dans la partie non tordue. L'ouvrière saisit ce boudin , à la distance convenable de la broche. De lautre main , elle fait tourner la grande roue AOB , tandis que la première main , tenant toujours le .boudin , l'allonge en s'éloi- °;nant de la broche : le mouvement de rotation se

communiquant de la bobine au boudift * Jft>|ptJ pour en feir$ un fil doiit le» élémeqts, sont cWHrlrit en spirale. La torsion de ces spirale* dépend: r. de la vitesse avec laquelle tourne ÀQBf aflr<h ' la lenteur avec laquelle on allonge le ruban de la carde. Quand une portion du boudin eut transformée en fil qui a la grosseur et la toràoa cpnyenatbles, l'ouvrière détourne un peu Jp rot)* pour défaire la spirale que ce fil formait sur le . bout de la broche; puis, plaçant ce fil dapt ope direction perpendiculaire à l'axe de la bobina, elle tourne lç rouet en sens contraire dupreuMermonvement Alors le fil. au lieu de se tordre* s'qaroult sur la bobine; il y forme une suite de *pit^es, On voit qu ici Ton exécute, par mécbfuuqu*, te mêmes opérations qu'avec le simple fuseau, de la fileuse.

On a conçu l'idée de remplacer, par un moyen mécbanique , les doigts de la fileuse , et c'est là la partie la plus originale , la plus remarquable des nouvelles machines propres à filer. On feit passer les nappes légères sorties des cardes, entre de? paires de cylindres ou laminoirs parai* ' lèies, combinées de manière que la i". paire tourne moins vite que la a e . , et cellenci moins vite que la 3 e . Il fout donc que les nappes s'allongent entre ces trois paires de cylindres et, par conséquent , se rétrécissent. En passant dans un second système composé , comme le premier,

DOUZIÈME LFÇON. 389

de trois paires de cylindres, on donne aux rubans de coton ou de laine, un nouveau degré de torsion ; puis on les enroule sur des bobines.

Cela lait , on place un certain hombre de bobines sur des axes verticaux et rangés en ordre sur un métier. Ce métier remplit toutes les fonctions de la fileuse ; il étire le fil , le tord et l'enroule sur le fuseau. L'étirage se produit encore ici par trois paires de cylindres ayant des vitesses différentes; de là, chaque fil se rend sur une bobine armée d'une ailette, comme le rouet ordinaire. Tel est le métier appelé continu , parce que le filage s'y fait sans discontinuer les mêmes genres de mouvement.

Dans lé métier appelé Mull-Jenny, cité deuxième leçon , p. 5 1 , l'étirage s'opère non-seulement par la différence de vitesse des laminoirs, mais en faisant alternativement s'approcher et s'éloigner, des cylindres laminoirs, toutes les bobines sur lesquelles le fil doit s'enrouler. Quand les bobines s'éloignent , les fils sont étirés ; quand elles s'approchent , les fils s'enroulent sur les bobines. La torsion des fils s'opère quand les bobines arrivent au terme de leur course.

Un métier à filer en gros , porte 108 bobines; un métier à filer en fin , porte a 1 6 bobines conduites par un fileur et surveillées par deux rattacheurs ; il file , terme moyen , quarante kilogrammes de fil, n°. 3o, en onze heures de travail.

ï. I» — G«OM. 3?

Ainsi , trois personnes suffisent pour un nombre de fils qui exigerait 216 fileuses au fuseau ou au rouet ,' et chaque fil est produit beaucoup plus vite que par les doigts de la fileuse.

Voilà l'immense avantage des moyens dopération fournis par la géométrie, pour former, avec des filaments végétaux contournés, en spirale y des fils cylindriques ayant exactement le même diamètre.

On fera ces explications aux élèves, en leur montrant des rouets , et s'il se peut des métiers à filer.

La soie , telle que le ver la produit , est pliée en spirale sur une surface de révolution qu'on appelle cocon. La première opération consiste à développer le fil de ce cocon , et à l'enrouler sur une bobine ; ensuite on lui donne un premier degré de torsion en le faisant passer sur une deuxième bobine. Les fils, ainsi préparés, sont tordus dans un premier sens, de manière que tous les points qui, sur leur surface cylindrique,étaient en ligne droite avant la torsion, forment maintenant une spirale. On unit ces fils a à 2 , 3 à 3 et même 4 à 4i en ' eur donnant une deuxième torsion, à rebours de la première. Cette seconde torsion défait en partie la première , et plie les fils en spirale les uns à côté des autres; dans cet état, la soie prend le nom d'organsin.

L opération que je viens de vous décrire vsl

douzième leçôic. 291

semblable à celle qu'il faut employer pour fabriquer des cordages avec du chanvre.

Par l'effet des deux torsions , les parties de chaque fil tendent à se redresser dans un sens; les fils mêmes plies en spirale , tendent à se redresser en sens contraire. L'équilibre qui s'établit entre les deux torsions, empêche les divers fils de se dérouler indéfiniment, dès qu'on ne les comprime plus par quelque effort étranger. Je ne puis à cet égard, vous offrir maintenant de plus amples détails qui appartiennent à la science des forces et sortent des bornes de la simple géométrie.

Avec le chanvre , on fabrique d'abord des fils tordus isolément , tordus seuls dans un sens , et tordus plusieurs ensemble dans le sens opposé , pour former des cordages simples appelés torons. On tord ensemble, on commet , a, 3, 4 torons , dans un sens opposé au deuxième , c'est-à-dire, dans le sens même de la torsion des premiers fils, pour former des cordages qu'on appelle aussières. On tord dans le second sens ces aussières prises 3 à 3 ou 4 à 4> pour former des «retins. On tord ces grelins 3 à 3 ou 4 à 4 > pour former des archigrelins.

Les cables des vaisseaux sont tordus ou cornmis en grelins , les haubans et les manœuvres courantes des navires sont commis en aussières.

Depuis quelques années, les Anglais ont imaginé les moyens ingénieux pour opérer les diverses orsions des fils et des cordages avec 'de* macki-

2<p ciOMÉTEIE.

nés. La régularité géométrique de tous les mouvements employés dans ces machines a produit les plus heureux résultats ; de sorte qu'avec un tiers et même moins de matière, suivant la gros* seur et la nature des cordages, une exécution plus parfaite permet d obtenir aujourd'hui la même force. C'est un des plus beaux exemples qu'on puisse citer de l'avantage qu'on trouve à substituer des moyens scientifiques , aux-à-peu près des opérations purement manuelles.

Nous engageons les propriétaires d'ateliers de corderie , à faire une étude sérieuse de ces moyens nouveaux, qui ont le double avantage d'économiser beaucoup les frais de matière et de main-d'oeuvre , et de procurer des produits plus parfaits à tous égards. Voyez II* volume, Machines.

Il nous reste à parler d'un genre de surfaces gauches fréquemment employé dans l'architec' ture civile et navale , ainsi que dans la structure des machines : il s'agit des surfaces spirales engendrées par le mouvement d'une ligne droite, ou d'un arc de cercle.

Surfaces spirales des escaliers. Parmi les diverses surfaces gauches que nous avons examinées, { dixième leçon ) celles que présentent les escaliers tournants , sont des surfaces spirales.

La surface spirale de l'escalier en tour ronde, est formée par le mouvement d'une ligne droite horizontale, appuyée, d'un bout sur Taxe même

DOUZIÈME LEÇOJf. 2g3

de la tour qui sert de cage à l'escalier , et de l'autre bout sur une spirale tracée suivant le contour intérieur de la tour.

Si Ton donne la même hauteur à toutes les marches de l'escalier, il est évident qu'elles auront aussi la même largeur, à des distances égales du centre. Par conséquent si ABC, fig. i4» est le cercle qui représente la base du cylindre formant la cage de l'escalier, tout autre cercle, tracé , du même centre que le premier, sera divisé en parties égales , par la projection horizon* taie des marches.

Surface spirale de la vis d'Archirriède. La surface spirale de l'escalier en tour ronde n'est autre chose que la vis d'Archimède , ainsi nommée parce que ce grand géomètre en fut l'inventeur. Nous expliquerons avec soin l'application qu'on a faite de cette vis pour élever les eaux , quand nous décrirons les machines hydrauliques ( m e . vol. ).

Ayant eu l'occasion de faire construire des vis d'Archimède, en bois, voici de qoels moyens je me suis servi.

J'ai d'abord divisé le contour ABCD, fig. 19, en autant de parties égales que je voulais employer de morceaux de bois pour former an tour complet de la spirale.

J'ai fait équarrir des prismes dont la base ODC , fût le secteur qui représente une des divisioos égales ainsi formées sur la face cylindrique ayant DC pour projection horizontale; j'ai mené une ligne droite, inclinée suivant la direction de l'hélice que la surface spirale trace sur le cylindre ABCD.

J'ai divisé en parties cga1*»s D*/, dd? .., Cr, or...., le»

ag4 GiioMÉTUiK.

l'ayons OD , OC ; puis , avec une scie tenue toujours à égale distance des deux points C, D, j'ai fait scier le morceau de bois équarri , de manière : i ° . que , sur la base supérieure de ce morceau de bois , le trait de scie aboutît en D, quand, sur la base inférieure, le même trait aboutissait en Ç; 2°. que, sur la base supérieure, un trait aboutît en d t en/.... quand, sur la base inférieure, le même trait aboutissait en c, enc'.... Chacun des traits de scie est le côté d'un polygone représentant le contour d'une courbe spirale placée sur la surface spirale à produire.

Avec un rabot très-mince et à fer circulaire , tenu toujours dans une situation horizontale, et ne s' arrêtant qu'au trait de scie, en CD , et à la verticale, en O , on a successivement enlevé tout le bois superflu , pour arriver à la surface spirale supérieure de la vis d'Archimède.

Cela fait, au moyen d'une équerre, on a. partout mis les faces de joint en OD et OC, d' équerre avec cette face supérieure. Enfin , menant sur les faces de joint et sur le contour CD, des lignes droites égales, en contre-bas de celles qui limitent la face supérieure de la vis , on a pu travailler la face inférieure-, par les moyens qui viennent d'être décrits pour la face supérieure. .

Remarquons, ici, qu'une règle ployée sans effort sur le contour cylindrique ABCD , de manière à passer par les deux points C, D, indique par son contour un arc parfait de spirale ou d'hélice; ce qui peut procurer une grande exactitude au moyen d'approximation que nous venons d'indiquer, en donnant beaucoup de traits de scie hori-

zontaux qui s'arrêtent à l'axe O d'une part, de l'autre à l'hélice tracée par le moyen de la règle pliante.

Il n'est pas indifférent de remarquer que les joints, travaillés d'équerre avec la surface spirale , sont eux-mêmes des éléments de surface spirale du même genre ; les dernières surfaces traçant , si'.r les cvlindrcs à base circulaire,

DOUZIÈME LEçoy. arp

des hélices qui partout coupent à an n r le droit les hélices tracées par les premières surfaces.

Si Ton veut que le dessus des pièces dont se compose la rampe spirale, ait la figure d'un escalier, il faut laisser à la face supérieure OCD sa figure plane horizontale , et à la face droite extérieure OD sa figure plane verticale : en se contentant de travailler, par les moyens que nous avons indiqués , les surfaces de joint et la surface inférieure de Fescalier : X e leçon.

Souvent , au lieu de construire un escalier tournant dont les marches vont jusqu'au novau plein O, comme dans la fig. i4î on arrête les marches au cercle a'b'c, fig i5, qui représente horizontalement un rebord en bois ou en pierre, très-peu saillant au-dessus et au-dessous de chaque marche. Tels sont les escaliers en vis à jour.

On admire plusieurs escaliers de ce ^enre travaillés avec beaucoup de précision, dans les plus beaux cafés de Paris. Ces escaliers, que rien ne semble soutenir, surprennent agréablement la vue , par leur hardiesse et leur légèreté.

11 y a des escaliers à jour , fig. 16 , dont la cage n'est pas circulaire.

Quelle que soit la base ABCD*, fig. 1 6, du cylindre qui représente cette cage , oq trace toujours sur le contour de la cage, une hélice ou spirale qui s'avance dans le sens du contour ABCP A , proportionnellement à la quantité dont elle s' élevé verticalement. Ensuite, de charpie point de cette courbe, on mène une horizontale ka , B6 , Ce, . . . perpendi-

ao6 fciosiiTsuÈ* ' ; j

Calaire ta cylindre ayant ABCDjt p:>ur baie. On lait £** égale B£, égale Ce.., et l'on trace abedepù est aussi une tpn raie : c'est le contenir intérieur de la yU * jour que forme 1'etcalier. L'exécution de chaque partie de surface .spirale ou d'escalier ne présente pas plus de difficultés que pour les

fig* fi et t5.

Lorsqu'on veut donner à l'escalier Beaucoup de solidité, souvent, au lieu d'engendrer la surface inférieure par le moyen d'une droite horizontale appuyée à là fois sur l'axe de Jfa cage et sur une spirale tracée le long de la cfr£e, on la termine par un arc de cercle , fig. 1 7 , ayant cette horizontale pour diamètre, et placée dans un ; plan vertical. On forme de la sorte une audace spirale présentant partout une section constante*

On a besoin, dans quelques arts, de tailler des surfaces spirales en échelons sur un cône. Les horlogers combinent avec le cylindre oubarillet qui contient le ressort des montres, un cône ainsi taillé en escalier spiral, fig. 18. Une chaîne très-fine, artistement exécutée, s'enroule d'un bout sur le cylindre, en forme d'hélice , et de l'autre bout sur l'escalier conique. Le rapport variable du diamètre du cylindre et ètk diamètre du cône, à différentes hauteurs, compense la diminution de force du ressort, à mesure qu'il se détend: en conséquence, il transmet son action avec une énergie constante. C'est c« qu'on entendra mieux quand nous aurons ex: pli que les principes des Machines. II e vohim e-

1IW £T Ml

I Fi Smo.

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Intersection dés surfaces.

Quand deux surfaces se coupent, la suite des points qui leur, sont communs , est ce qu'on appelle leur intersection : c'est une ligne, droite ou. courbe, suivant la forme et la position des deux surfaces. .

Les corps que terminent des portions de surfaces distinctes par leur figure et leur direction , présentent, aux limites de ces surfaces, des lignes x saillantes ou rentrantes , qui sont les intersec» dons de ces surfaces. Ainsi , dans le prisme et dans la pyramide , les arêtes rectilignes qui séparent les différentes faces, sont les intersections des surfaces- que représentent ces faces.

Lorsqu'un corps en* traverse lin autre , ou s'y • trouve implanté , la surface du premier est en partie cachée dans le deuxième, la partie cachée est séparée de la partie découverte, par une ligne , laquelle n'est autre ,chose que X intersection de la surface du premier corps avec la surface du deuxième.

Ainsi , dans . la figure i , les deux prismes

T. I. — Géom. 38

ABCDabcd, MNPQ/wVpV, dont le deuxième traverse le premier, ont pour intersection le contour mnpq qui sépare, dans le deuxième, la partie visible et la partie cachée.

Pour déterminer la projection horizontale et la projection verticale des intersections de surfaces, la géométrie descriptive fournit des méthodes faciles , et dont il vous sera très-utile de foire une étude suivie , en dessinant vous-mêmes Tintersection d'un grand nombre de surfaces. Nous nous contenterons d'indiquer , à cet égard, la marche générale de la science.

\] intersection des plans sera notre première étude.

Pour représenter l'intersection de deux plans de projection , l'un vertical et l'autre horizontal, on divise le papier en deux parties , par une horizontale AB , fig. 2. La partie du papier qui est au-dessus de cette ligne, représente le plan vertical de projection ; la partie inférieure représente le plan horizontal de projection. Ce " dernier est , d'ordinaire , le plan même du terrain. Alors Y intersection AB , des deux plans, est ce qu'on appelle vulgairement lu ligne de terre.

Afin que la représentation fut parfaite, il faudrait plier d'équerre,le papier : AB marquant la direction du pli, la partie inférieure du papier restant horizontale , et la partie supérieure devenant verticale. C'est du moins ce qu'il Eut

TRErZIJfcMK EJEÇOIC. Z§Cf

faire par la pensée ; c'est ce que fait naturellement notre imagination, quand on repré^sènte, sur les deux plans, des objets dont la position nous est connue. Ainsi, voyons-nous au - dessous de la ligne de terre le plan d'un édifice, et au-dessus l'élévation de cet édifice f avec ses portes, ses fenêtres , etc. ? Quand même le papier sur lequel on a dessiné le plan et l'élévation serait posé sur une table horizontale , nous redresserions par la pensée l'élévation de l'édifice, et nous la verrions verticale. Quand même, aiAon traire , on dresserait le dessin verticalement, comme pour le clouer contre un mur, le plan ne semblerait pas moins horizontal, s'il représentait des objets tels qu'un parterre, un jardin, etc. Il faut que les élèves voient aussi dans sa vraie situation , la projection horizontale ou verticale, des volumes* des surfaces et des simples lignes représentées au-dessus ou au-dessous de la ligne de terre.

Pour indiquer la position d'un: point qui se trouve hors des deux plans de projection, on mène, de ce point, deux lignes droites, l'une perpendiculaire au plan vertical, l'autre au plan horizontal : on marque la position du pied de ce9 perpendiculaires sur les deux plans de projection .

Afin d'abréger beaucoup, et de faciliter l'intelligence de ce moyen de représentation, P étant le point à projeter , situé dans- l'es-

ZOO GEOMKTRIE.

pace, je désignerai par P,, fig. a, sa projection verticale , et par P k sa projection horizontale. Ainsi , les simples lettres v et h 9 mises au bas d'une ou plusieurs lettres, indiqueront la projection verticale ou la projection horizontale de points, de lignes, de surfaces, de volumes, indiqués dans l'espace par ces dernières lettres.

Par le point P, fig. a et a bis, situé dans l'espace , faisons passer un plan perpendiculaire à la ligne de terre AB, il sera , par cela même, perpendiculaire aux deux plans de projection; donc il contiendra les perpendiculaires abaissées du point P, l'une sur le plan vertical, l'antre sur le plan horizontal de projection, pn construisant un rectangle , [fig. a bis , ayant pour côtés ces deux perpendiculaires PP M f PP M intersections du plan qui les contient avec le plan vertical et le plan horizontal , on aura MP, — PP*, MP A = PP,. Enfin , si l'on fait tourner le plan horizontal de projection, pour le ramener sur le papier qui contient le plan vertical, dans ce mouvement, MP, et MP fc ne cesseront pas d'être perpendiculaires à l'intersection AMB des deux plans de projection. Ainsi, pour que deux points P„, P A , fig. a, soient respectivement la projection verticale et la projection horizontale dua même point P , il faut que la droite P„ P A , soit perpendiculaire à la ligne de terre AB.

La partie MP^de cette perpendiculaire, est la dis-

TREIZIÈME LEÇON. 3oi

tance du point Pau plan horizontal j et la partie MP A est la distance du point P au plan vertical: '

Projections de la ligne droite. Quand une suite de points forment une ligne droite PQ, toutes les perpendiculaires abaissées de ces pointa sur un plan , forment un troisième plan qui coupe en ligne droite chacun des deux autres. Si donc on a seulement les projections P r , V h ; Q„ , Q h , fig. 3, des deux extrémités d'une droite PQ, en joignant par une ligne droite les points P r et Q, 9 P A et Q h , on a deux projections de la ligne droite PQ. C'est Y intersection des plans , qui procure ces projections.

Pour représenter un plan d'après la méthode des projections , il faut un autre moyen. Voici celui qu'on emploie.

Le plan qu on veut représenter, coupe chaque plan de projection suivant une ligne droite ; il coupe à la fois ces deux plans en un point M , fig. 4« situé sur la ligne de terre. On appelle' traces d'un plan PMQ, ses intersections PM, MQ, avec les deux plans de projection.

La position d'un plan est complètement déterminée par celle de deux lignes droites qu'il contient ; donc les deux traces dun plan suffisent pour en faire connaître la position-

Supposons, maintenant, qu'on demande de trouver la projection verticale p„ fig. 4, d'un point p placé sur le plan PMQ, quand on connaît la

3o3 GÉOMÉTRIE.

projection horizontale p k de ce point. D'abord ' les deux projections p 9 , p h , du point />* sont né- < cessairement sur une perpendiculaire à la ligne de terre : menons-la. Par le point p, traçons sur le plan PMQ, une horizontale; elle sera parallèle à la trace horizontale PM ; donc sa projection p h m k sera parallèle à PM. Mais le point m hy qui est sur la ligne de terre AMB, ne peut appartenir qu'à un point #?, placé sur le plan vertical de projection. Donc la perpendiculaire m h m v9 à ÀB, contient le point m„ 7 dont m h est la projection horizontale. Ce point d'ailleurs est aussi sur la trace MQ ; donc il est en m,. Menant ensuite mjp n parallèle à AMB, cette ligne représente 9 sur le plan vertical , la projection de mp; donc la projection verticale du point p se trouve à la fois sur m ¥ p r et sur pjp ¥ : donc elle est au point p v , intersection de ces deux lignes firoi* tes. Par conséquent , p ¥ est la projection verticale du point ayant p h pour projection horizontale. Supposons que les traces MP et MQ , SR et ST , fig. 5 , de deux plans , soient données , et qu on demande X intersection de ces deux plans : i ° .Je point D" étant sur les deux traces verticales, appartient à cette intersection, et comme il est dans le plan vertical de projection , il se projette en T> hf sur la lignede terre AB; a°.le point E* étant sur les deux traces horizontales , appartient à l'intersection des deux plans; et, comme il est sur le

TREIZIÈME tEÇOPf. 3o3

plan horizontal, sa projection verticale E, est sur la ligne de terre. Voilà donc deux points de la ligne droite suivant laquelle se coupent les deux plans, savoir : premier point, D„ D h9 deuxième point, E,, E*. Par conséquent, la ligne droite à laquelle appartiennent ces deux points , a pour projections les deux lignes droites D"E,, D A E A : c'est X intersection cherchée.

Projections cCun polygone. Un polygone quelconque ABCDE , fig. 6 , terminé par des lignes droites, a pour projections deux polygones d'un même nombre de cotés AJtfiJDJE,, A a B a C a DaE a , dont les sommets correspondants sont sur les mêmes verticales A^* , B3* , etc.

L'intersection de deux plans étant toujours une ligne droite , dont les projections sont aussi des lignes droites , il s'ensuit qu un corps terminé par des faces planes, l'est aussi par des arêtes rectilignes, qui sont les intersections de ces faces- On représente ce corps en dessinant sur le papier , les lignes droites qui sont les projections de chaque arête. Les sommets qui terminent chaque arête , sont placés sur la même verticale , dans les deux plans de projection.

Ainsi , dans la fig. 7 , une pyramide SABC est représentée , horizontalement et verticalement, par les projections de ses arêtes, et les sommets correspondants sont projetés en SLft S A ; A, et A h ; B„et B A ; C, et C 4 , sur des droitfl|SjS A|

3o4 GÉOMÉTRIE.

A r A A> B,B A et C„C M perpendiculaires à la ligne de terre MN.

Par des intersections de plans et de lignes droites, la géométrie descriptive enseigne à déterminer : la longueur d'une ligne droite dont on connaît les deux projections, et la superficie d'une figure plane donnée par les deux projections de son contour ; l'angle formé par deux droites dont on connaît les projections ; l'angle formé par deux plans, dont on connaît les traces horizontales et verticales; la plus courte distance de deux lignes droites f données par leurs projections; l'angle qu'une droite, donnée par ses projections , fait avec un plan donné par ses traces, etc. C'est dans un cours de dessin linéaire, qu'il faut enseigner aux élèves la solution de ces problèmes.

Avec ces solutions , les artistes pourront faire une foule d'applications aux arts les plus importants : à l'architecture, à la coupe des pierres, à la charpente civile, à la construction des vaisseaux, des machines, des métiers, etc.

Non-seulement ils dessineront des plans horizontaux et dès projections verticales d'édifices , de navires , de machines, etc. ; mais ils pourront aisément faire , de ces objets , une coupe par un plan quelconque. Le plan de cette coupe , en rencontrant des lignes droites données par lcurs,jprojections horizontales et verticales, pro-

TREIZIÈME iïCOX. 3o5

duira des points et des angles qu'ils sauront déterminer. Les divers plans, donnés par leurs tra* 'çè^rauçont une ligne droite pour intersection avec le plan de la coupe ; les élèves détermineront ces lignes droites, et produiront la représentation fidèle et complète de toutes les parties d'édifice , qui ne sont pas curvilignes.

Le charpentier, par exemple, représentera rigoureusement toutes les parties de la charpente d'un plancher et d'un toit plan. Avec des sec- - tions et des coupes , il aura les formes et les dimensions de chaque pièce de bois, poutre, solive , chevron , faîtière , etc. Ces diverses pièces sont terminées par des faces planes et par des arêtes rectilignes ; il tracera les projections de ces arêtes. Ces diverses pièces aboutissent l'une contre l'autre, et les lignes qui marquent le lieu des aboutissements sont Xintersection dés faces planes des pièces de bois en contact; il déterminera ces intersections par les Simples méthodes que nous avons indiquées. Enfin, toutes les pièces de charpente ne sont pas à angle droit sur toutes leurs faces ; il mesurera les aûgles faits par les diverses faces d'une même pièce, et par les faces adjacentes de diverses pièces contiguè's. Il trouvera , de même , la direction , la longueur et la largeur de chaque face des diverses pièces.

En suivant cette méthode , sans s'en douter y

T. 1. — Gkom. 39

3o6 G^OMÏTRIR.

un bon charpentier pratique, au moyen des projections et des coupes, parvient k déterminer rigoureusement toutes les parties rectilignes de la charpente d'un édifice.

Vous voyez, par là, qu'un charpentier exercé, qui dessine avec intelligence et précision toutes ses pièces et leurs assemblages , possède , en réalité , des connaissances de géométrie fort étendues. Peu importe qu'il ne donne pas aux lignes, aux surfaces , aux solides, les noms adoptés par les professeurs et consacrés par les livres; il suffit que le fond des choses soit le même.

La science n'en a ni moins d'utilité ni moins de prix , pour être enseignée dans la langue vulgaire , et sans appareil didactique.

. Les observations que je présente, au sujet des connaissances du charpentier, je puis également les appliquer aux connaissances du tailleur de pierre. Le tailleur de pierre est obligé de préparer chacune des pierres principales dont se compose un édifice construit avec soin , suivant une forme telle que ces pierres, mises à côté les unes des autres , ou posées les unes sur les autres, dans un ordre déterminé par des conditions de durée et de solidité, reproduisent exactement les formes données par l'architecte, dans ses plans et ses élévations. En partant des projections horizontales et verticales , le tailleur de pierre divise les murs par une suite de plans coupants.

Alors, la forme des % pi«res de taille se trouve déterminée : i°. par les faces extérieure et intérieure des murs ; a°. par les plans coupants qu'on appelle plans de joint , parce que c'est suivant ces plans que les pierres immédiatement consécutives se joignent*

Les pierres de taille des murs verticaux ordinaires sont très-faciles à tracer, puisque ce sont des parallélépipèdes dont toutes les faces contiguës sont d equerre, et toutes les arêtes opposées parallèles. Mais, quand les murs ont un talus, quand vils forment ensemble des angles qui ne sont pas droits , il faut tailler les pierres suivant des figures plus compliquées;. il faut déterminer les angles que font les faces inclinées avec les faces horizon taies > les angles des arêtes qui suivent la direction d'unmuravec les arêtes qui suivent la direction du mur contigu , etc. Souvent le dessus des portes et des fenêtres, quoique plan, est formé de plusieurs pierres mises à côté les unes des autres et plus larges en haut qu'en bas * pour quelles ne tombent pas par l'effet de leur pesanteur. Il faut encore ici déterminer les angles des arêtes et des faces de ces pierres , et leurs dimensions, etc. On résoudra tous cesproblèmes par le moyen des intersections.

On apprend aux élèves, architectes, en tre-* preneurs de bâtiments, appareilleurs , etc., k tailler en plâtre , sur des dimensions proportion.-*

3o8 GÉOWÉTAIM.

nelles , des modèles de wûtes, de portes , de fenêtres, d'escaliers , etc., en donnant à chaque pierre {sa figure convenable , et en déterminant géométriquement les joints et les arêtes de chaque pierre* On ne saurait trop recommander un pareil exercice. Il serait à désirer qu'en l'enseignant, on disposât les traits à couper, suivant Tordre des surfaces planes, cylindriques, coniques, développables, gauches, de révolution, etc., que nous avons adopté dans notre cours. Il feu* drait aussi qu'on enseignât à tailler des modèles de charpente, de menuiserie etc., comme ceux de la coupe des pierres. Ce moyen rendrait l'instruction plus fructueuse et plus rapide.

Intersection des lignes droites et des plans, avec des surfaces courbes. Nous rangerons ces surfaces dans Tordre même suivant lequel nous les avons examinées. Nous étudierons successivement les intersections de la ligne droite et du plan, avec les surfaces cylindriques, coniques, développables, gauches, de révolution, etc.

Projections du cylindre. Pour les obtenir on décrit , sur un des plans de projection , par exemple sur le plan horizontal, la trace, Tintersection de ce cylindre avec ce plan. Remarquons , ensuite , que toutes les arêtes du cylindre étant parallèles , leurs projections sont nécessairement parallèles. Dès qu'on aura déterminé, fig. 9, la direction C h c kf Cjc ¥ des

TREIZliVE I.EÇOX. 3o9

deux prbjections d'une arête , on aura par conséquent la direction des projections de toutes les autres arêtes. Ordinairement on se contente de marquer, en projection horizontale, ainsi qu'en projection verticale, les arêtes extrêmes AA et E>,; BA, IV*-

lntersection du cyiùidne avec un plan. Nous savons comment on détermine* l'intersection d'une droite avec un plan, lorsqu'on connaît les traces du plan et les projections de la droite. Si Ton effectue cette opération pour les diverses arêtes du cylindre, chaque arête va donner un point d'intersection , qu'on projettera horizontalement et verticalement. L'ensemble de ces points forme une courbe horizontale et une courbe verticale ; ce sont les deux projections de f intersection cherchée.

Dans les opérations des arts , il est très-ordinaire de tracer les intersections sur les surfaces mêmes, en les présentant Tune contre l'autre. Supposons, par exemple, fig. 10* que le cylindre soit un tuyau de poêle, ayant déjà reçu sa forme cylindrique, et que le plan soit une feihlle de tôle qui doit être traversée par le tuyau. On posera le tuyau dans la direction même qu'il doit avoir ; mais en le retirant assez pour qu'il ne heurte pas le plan qu'il doit traverser. Cela fait , tenons une règle toujours posée contre le cylindre , suivant la direction même des arêtes de cette surface.

3lO GJÉOM^TRIE.

Avançons ou retirons la règle jusqu'à ce que, d'un bout, elle touche la feuille de tôle. Enfin 9 pour chaque position de cette règle , marquons son aboutissement sur la feuille ; l'ensemble des points ainsi déterminés sera la courbe d'intersection des deux surfaces.

Supposons qu'on marque sur la règle une longueur coditante et convenable, à partir du bout qui touche toujours la feuille de tôle, cl qu'à toucher ce point , Ton en marque un nouveau sur le cylindre ou tuyau; la suite des nouveaux points ainsi marqués , va former une courbe; c'est V intersection du cylindre avec un plan. Transportons parallèlement ou la feuille de tôle ou le cylindre. En vertu de l'égalité des parallèles comprises entre parallèles , les deui courbes qu'on vient de tracer, Tune sur le plan, l'autre sur le cylindre , s'appliqueront exactement l'une contre l'autre et se confondront Ces deux courbes tracées, on taillera suivant leur contour, soit le cylindre, soit la feuille plane, ou les deux surfaces à la fois : d'après les besoins pour lesquels ces surfaces sont destinées.

Cette méthode a cela d'avantageux qu elle est exacte, quelle que soit la figure du cylindre, et quand même la feuille de tôle , au lieu d'être plane, aurait une figure courbe quelconque.

Application a la construction des vaisseaux* Les charpentiers emploient cette méthode pour

TREIZIÈME LECOÎC. 3ll

tracer , sur place , la courbe d'intersection de la surface de la proue et de la surface des ponts , avec celle des mâts, et pour percer les étambrais*

application des intersections de cylindres aux ombres portées. Lorsqu'une surface terminée ^ vives arêtes, intercepte les rayons de la lumière du soleil, si Ton mène, par chaque point du contour de cette surface , une parallèle aux rayons solaires, toutes ces parallèles forment un cylindre qui sépare , au delà de la surface , la partie dans l'ombre et la partie éclairée. Si, derrière le cylindre , se trouve un corps tout entier compris dans cette ombre, le soleil est totalement caché , éclipsé par la surface qui porte ombre. Si le corps n'est qu'en partie dans l'ombre, et qu'on détermine X intersection de la surface de ce corps avec le cylindre, la courbe ainsi déterminée, séparera ,sur le corps, la partie dans l'ombre et la partie éclairée. Ainsi, Ton obtient une ligne séparation cT ombre et de lumière, sur le corps opaque, au moyen de la courbe d 'intersection de la surface de ce corps avec le cylindre qui marque, dans l'espace, la limite des rayons solaires interceptés par la surface opaque.

Prenons une règle, et tenons -la toujours parallèle aux rayons solaires. Appuyons cette règle , d'un côté contre la surface qui porte ombre , de l'autre sur le corps en partie éclairé. Chaque position de la règle va marquer un point

3ia GÉOMÉTRIE,

sur ce corps, et l'ensemble des points ainsi marqués sera la ligne séparation d'ombre et de lumière.

Il est nécessaire que les dessinateurs , les peintres et les graveurs se forment une idée exacte des cylindres qui projettent les ombres des corps. Il leur serait très-utile de déterminer rigoureusement, avec les méthodes des projections et des intersections de surfaces, la figure des ombres portées par beaucoup de corps, ayant une position et des formes variées , sur d'autres corps également variés dans leurs formes et leur position. Ils acquerraient de la sorte une expérience certaine des effets de la lumière solaire , relatifs à la figure des ombres ; et cette connaissance les empêche* rait de tomber souvent en des fautes grossières qu'un peu de géométrie , appliquée à leur art, leur ferait éviter. .

L'exactitude des ombres portées. est surtout nécessaire dans les dessins d'architecture , où tous les objets représentés , les m urs , les colonnes , les voûtes , etc. 9 ont des formes géométriques rigoureuses. 11 est donc nécessaire que l'architecte qui veut ombrer ses plans , et juger ainsi des effets d'ombre et de lumière que ses constructions doivent produire, s'habitue à déterminer toutes les ombres portées , avec la plus scrupuleuse exactitude.

Dans les plans d'architecture et dans le dessin

des machines, on suppose que les rayons solaires sont inclinés à 45°, en descendant de gauche à droite. Quand on dessine les objets au trait , sans lavis, on marque en traits plus gros les contours qui tiennent à des faces placées dans l'ombre, -et en traits plus fins les contours qui ne séparent que des faces éclairées. Cette simple indication suffit pour donner l'intelligence des reliefs et des creux qu'on pourrait sans cela confondre à la vue des simples dessins au trait. * Ainsi , fig. 1 1 , par la seule inspection des côtés ombrés et des côtés éclairés , je distingue sur-le-champ, dans ABCD, un cadre en relief, et dans abcd, un cadre en creux. Il importe que les élèves <Jui dessineront des édifices et des machines, s'habituent à marquer avec intelligence les traits fins et les traits forts; puisqu'en les confondant, on ferait prendre pour relief ce qui est creux , et ce qui est creux pour ce qui est relief. Application a la perspective. Lorsqu'on doit mettre en perspective un dessin d'architecture ombre, il faut déterminer le point de concours de tous les rayons parallèles, d'après la méthode générale des points de concours , exposée dans la neuvième leçon. Dès qu'on aura la perspective d'un point quelconque (i)> si l'on joint , sur

(i) D'ordinaire, on suppose vertical le plan PMQ, fig. 8 , du tableau. D'après cela, XvS„ X/,Sa, étant les deux projections d'une

T. I. — Gkom. 4o

3i 4 crêoMÉrftifc.

le tableau, ce point avec le point de concours dei rayons solaires, on aura la perspective du rayon qui passe par le point donné, ou, si le point est opaque, la perspective de l'ombre portée par ce point. Une courbe quelconque , mise en perspective, aura pour ombres portées , une suite de lignes droites, qui toutes aboutiront au point de concours : comme les arêtes d'un cône.

Intersections du cône et du plan. Ces intersections , appelées spécialement sections coliques, quand il s'agit d'un cône circulaire, oblique bu droit, sont de la plus haute importance pour la science et pour les arts. Leur seule étude constitue, comme celle des triangles, une branche séparée et considérable de la géométrie; c'est, pour ainsi dire, un intermédiaire pour passer de la géométrie élémentaire à la haute géométrie.

Je ne puis ici que vous indiquer, en bien peu de mots, les formes essentielles des sections coniques et leurs principales applications.

On détermine les projections horizontales et verticales de l'intersection du cône avec un plan, comme on a fait pour le cylindre : en détermi-

ligne droite , et -ta, l'intersection de X&S& avec la trace korixontale du plan, il suffit de mener la verticale xytv» a arasera la tueteur du point sur une verticale élevée à partir de x sur le tableau. Cette méthode suffît pour déterminer l'intersection de tout rayon mené du point de vue, et pai conséquent la perspective de tous les points d'une figure donnée.

TREIZIÈME LEÇON. 3l5

nant la projection horizontale et verticale de l'intersection de ce plan avec chaque arête du cône. La courbe qui, sur chaque plan de projet tion, passe par les points déterminés ainsi , est la projection cherchée.

Prenons le cône le plus simple et le plus régulier : le cône droit circulaire, fig. 12. Toutes les sections de ce cône, par des plans parallèles •• à la base, sont des cercles comme la base : nous avons expliqué les propriétés du cercle et de sa circonférence. (III e . leçon.)

I. L'ellipse. SiTon'coupe le cône par un plan PQ, fig. 12, oblique à l'axe, et que ce plan rencontre toutes les arêtes, la section conique ainsi produite est une ellipse : courbe fermée de toutes parts. Voici les principales propriétés de l'ellipse. Elle a un centre O, fig. i3, et deux axes AB , CD, qui s'y croisent à angle droit. Toute ligne SOT menée par le centre 0, et terminée au contour de l'ellipse, est divisée par le centre, en deux parties égales; c'est un diamètre qui divise l'ellipse en deux parties, dont l'une peut exactement couvrir l'autre, en renversant bout pour bout ce diamètre.

Chacun des deux axes divise l'ellipse en deux parties symétriques. Ainsi, toute perpendiculaire MPN à l'un des axes AB, est divisée par cet axe, , en deux parties égales PM, PN. Par conséquent , *i nous faisons tourner la demi-ellipse ACJB, sur

3l6 GÉOMÉTRIE.

AB comme charnière, tous les points du contour ACB vont s'appliquer iumtédiateaient sur les points du contour ADB.

Si le centre de l'ellipse est aussi celui d'un cercle ayant Taxe AB pour diamètre , en prolongeant OD et PN, jusqu'en detn 9 sur le cercle 9 on aura toujours la proportion—. OD : Od : : PN : Pfl, pour toutes les droites PN/i parallèles à l'axe COD. Ainsi, l'ellipse peut être considérée, dans un sens, comme un cercle aplati proportionnellement dans toutes ses parties.

Au contraire, si l'on trace le cercle C£D, fig. i$ bis, sur le petit axe CD comme diamètre , on aura la proportion suivante , pour toute ligne droite Fg*G perpendiculaire à l'axe CD, terminée en^au cercle, et en G à l'ellipse Ob : OB : : Fg : FG.

Ainsi, l'ellipse peut être considérée, dans un sens, comme un cercle allongé proportionnellement dans toutes ses parties.

Un cercle étant tracé sur un plan incliné, représenté par la droite AB , fig. 1 4 , on demande sa projection sur un plan horizontal.

Soit ab la projection du diamètre AB le plus incliné (te tous, o étant la projection du centre O, si Ton mène eod perpendiculaire à ab, et qu'on fasse oc=OC=: le rayon du cercle, la courbe acbd sera la projection de ce cercle; ce sera une ellipse. En effet, menons la perpendiculaire quelconque MN , au diamètre ÀB du cercle tracé sur le plan AB : l'horizontale MN sera dans le plan du cercle , et par conséquent égale à sa projection nui. Ainsi, les perpendiculaires

mn seront simplement pins rapprochées du grand axe cod y qne les perpendiculaires MN ne le sont du rayon CO , dans le rapport de OMà olh. Donc la projection du cercle n'est autre chose que ce cercle aplati proportionnellement dans tontes ses parties : c'est une ellipse. Ainsi

Toutes les fois qu'on projette un cercle sur un plan qui ne lui est pas parallèle , la projection est une ellipse , et le grand axe de cette ellipse égale le diamètre du cercle.

Je ne puis m'étendre sur une foule de propriétés de l'ellipse ; mais il en est une sur laquelle je dois appeler votre attention , à cause de ses applications aussi nombreuses qu'importantes.

Si l'on marque deux points fixes F et/", fig 1 5 f par deux piquets ou jalons , auxquels on attache un cordeau plus long que la distance F etf; puis , qu'avec un traçoir , on tienne tendu ce cordeau, en s'avançant tantôt du côté de F et tantôt du côté de f, on va décrire une ligne courbe : cette courbe est l'ellipse. On l'appelle ellipse du jardinier i parce que le jardinier trace ainsi les ellipses des parterres.

Une propriété très-remarquable de l'ellipse , c'est qu'en chacun de ses points C, les deux portions rectiiignes du cordeau, FC et y<C, font en C le même angle avec la courbe ou sa tangente /CT (i).

(i) Pour le démontrer, sur FC prolongée prenons Cg=Cf, et traçons /jf. Menons la droite TCc perpendiculaire kfg. Les obli-

3l8 GÉOMÉTRIE.

application h V optique. L'expérience a fait connaître qu'un rayon de lumière FC,qui vient frapper une courbe ou surface ACB, prend une autre direction Ç£ ou , comme on dit , se réfléchit suivant Cf 9 de manière que les deux rayons FC et Çf font le même angle avec la courbe ou la surface. Donc , si l'ellipse réfléchit la lumière , comme le fait un miroir plan , tout rayon lumineux FC, émané du point F, doit, en se réfléchissant, prendre la direction Ç^qui passe par/:

On zppeMeJbjrers les deux points F exf. Ainsi, tous les rayons de lumière émanés d'un Jbyer, et réfléchis par le contour de V ellipse , passent par Vautrefoyer.

Application a T acoustique. Le son , comme la lumière, se propage en ligne droite; il se réfléchit de même en ligne droite, sous un angle de réflexion égal à l'angle d'incidence. Par conséquent , si le contour de l'ellipse est construit de manière à réfléchir le son , tous les sons émanés du foyer F, se réfléchiront en passant par l'autre foyer y, qui sera un écho de F.

quesCfet Cg étant égales, V angle fCt—gCT=FCc. De plus pour m point quelconque tdeCTt, la somme des distances Ft-+fî=Ft+tg ligne brisée, est plus grande quela ligne droite FCg=FC-t-fC. Donc le point t est hors de l'ellipse. Ainsi la droite TC* ne peut toucher l'ellipse qu'en C ; c'est une tangente. Donc la tangente à l'ellipse , en C, fait le même angle avec les deux rayons vecteurs. Le même genre de démonstration s'applique à la propriété des tangentes dé la parabole, p. 3ia, ligne 5, et de l'hyperbole, p. 3*4, lig- »\

TREIZIÈME LEÇON. 3lQ

On a construit en ellipse, fi g. i5, des salles où l'expérience a justifié la théorie. Si l'on parle a voix basse au foyer F , de manière qu'on ne soit pas entendu à peu de distance, en O, par exemple, l'effet de l'écho rend néanmoins les paroles prononcées à voix basse en F, très-distinctement intelligibles à l'autre foyer yT

Citerai-je une application déplorable de cette propriété qn'ont les échos ? Des hommes cruels ont construit des prisons, où les malheureux détenus , enchaînés vers un foyer F, ne pouvaient proférer la moindre parole, sans qu'on les entendît à l'autre foyer d'une voûte elliptique , séparé de F par une cloison qui empêchait le prisonnier d'apercevoir le geôlier chargé de l'espionner.

Les planètes parcourent autour du soleil des courbes qui sont des ellipses ayant le centre du soleil pour un de leurs foyers. Il a fallu trente siècles d'études en astronomie ainsi qu'en géométrie, pour découvrir cette vérité d'expérience qui a préparé les plus grands et les plus beaux progrès de lastronojnie moderne.

Si l'on fait tourner l'ellipse autour du grand axe ÀF/B, qui passe par les deux foyers , on va former une surface de révolution, jouissant de cette propriété : tout rayon lumineux ou sonore FC, émané du foyer F, se réfléchit en suivant une ligne droite qui passe par le second foyer yi

De même qu'avec le cercle allongé ou aplati

3aO GÉOMÉTRIE.

proportionnellement dans tous ses points , on construit toutes les ellipses ; de même avec l'ellipsoïde de révolution décrit , en faisant tourner une ellipse sur un de ses axes , on peut exécuter toutes les surfaces ellipsoïdes allongées ou aplaties. Il nous suffit d'indiquer ce moyen, sans entrer dans de plus grands détails.

Il existe une manière de tracer l'ellipse par un mouvement continu , que les artistes emploient quelquefois. ÀOB, COD,iig. 16, étant les deux axes , si l'on tire une droite MN =0A, sur le prolongement ' de laquelle on prenne PN = OC, le point M restant toujours sur le petit axe, prolongé s'il le faut, et le point N sur le grand axe , en faisant avancer où reculer cette ligne droite , dans toutes les positions possibles, son extrémité P tracera l'ellipse ABCD.

On a construit des instruments d'après ce principe, pour tracer l'ellipse par un mouvement continu : ce sont de véritables compas elliptiques*

J'ai fait voir dans un mémoire {Journal de IÉ* cole Polytechnique , t. 1 3 ) , comment ce génie de description par un mouvement continu, peut s'appliquer au tracé d'une surface ellipsoïde quelconque , au moyen d'une ligne droite dont trois points déterminés restent toujours sur trois plan» fixes; tandis qu'un quatrième, qu'on fait avancer ou reculer dans tous les sens , décrit une surface ellipsoïde. Cette méthode peut trouver son ap-

plicatîon dans les tracés et les travaux qu exige la construction des voûtes elliptiques.

IL La parabole , fig. 17, est tracée sur le cône , ABOba , par un plan QR parallèle à Tune des arêtes du cône. Cest une courbe mnp fer-, mée d'un côté, ouverte de l'autre, et s'étendant à l'infini , en écartant de plus en plus ses deux branches nm 9 np.

La parabole, MNP, fig. 18, na qu'un axe NL, par rapport auquel ses deux branches NM f NP, sont symétriques; elle possède un foyer F.

Prolongeons l'axe d'une quantité NG=NFdistance du foyer au sommet de la parabole , et mêlions par le pointG, la droite XY perpendiculaire à Taxe. Si nous prolongeons le rayon réfléchi IR jusqu'en H , sur XY, le point I de la parabole est également éloigné du foyer et.de XY; ainsi FI =HI. On prend une équerre avec un cordeau qu'on attache en F, le long de XY; on dirige un second cordeau le long de lequerre. Si, de plus, on tient en I les deux cordeaux, de manière que FI=IH ? et qu'on laisse filer également ces deux cordeaux, à mesure que i'équcrre s'éloigne de l'axe , le point I décrit la parabole.

En supposant que l'ellipse s'allonge de plus en plus , ses deux foyers s éloignent l'un de l'autre. Si l'on se tient à l'un des foyers , la portion d'ellipse qui s'étend autour de ce foyer res-

Tom. I. — GÉOM. 4 1

semble de plus en plus à la parabole , et ton finit par la confondre avec cette dernière courbe.

Les comèïrs décrivent des courbes qui semblent être des paraboles , et dont le soleil occupe le foyer : ce sont des ellipses fort allongées.

Dans l'allongement de l'ellipse, les rayons vecteurs menés du foyer qui s éloigne, vers l'autre foyer, approchent de plus en plus detre parallèles, et le deviennent quand on suppose que les deux foyers sont infiniment loin l'un de l'autre. Alors l'ellipse est rigoureusement une parabole, et les rayons, émanés du foyer où l'on se trouve , sont réfléchis par cette courbe * de manière à ne rencontrer l'axe qu'à l'infini, où est supposé l'autre foyer. Donc, dans la parabole, les rayons partis du foyer sont réfle'chis par la courle, parallèlement à l'axe.

On fait usage de la parabole , pour recevoir la lumière émanée d'un foyer , et la réfléchir en faisceau de rayons parallèles à l'axe, an lieu de s'éparpiller vers tous les points de Pespace.

Application aux phares. Sur les bords de la mer , à l'entrée des ports , à l'embouchure des fleuves, au-dessus des abords dangereux, ou dans leur voisinage , on élève des feux ou lumières qu'il importe de faire apercevoir le plus . loin possible. Tels sont les feux des phares. On

TREIZIÈME LKÇOJJ. 3?3

les place au foyer de surfaces de cuivre argenté,, auxquelles on donne la figure d'une parabole qui tourne sur son axe, fig. 18. C'est le paraboldide.de révolution. D'après cette définition, tous les rayons réfléchis par la surface qu'on appelle réflecteur paraboloïde, forment un faisceau de rayons parallèles ayant pour base le cercle parallèle ABCD, qui forme aussi la base de la surface ABCDN du réflecteur.

Tantôt le paraboloïde est mis dans une position fixe ; dans ce cas Ton ne peut voir le phare, la nuit, à une grande distance, qu'au moment où l'on traverse l'axe du paraboloïde. Tantôt le paraboloïde tourne autour d'un axe vertical; alors il promène graduellement sur tous les points de l'horizon, la lumière qu'il réfléchit , et

les navigateurs apprennent , par les absences et les retours réguliers de la lumière, que ce n'est pas un feu placé au hasard. La durée des intervalles de lumière et d'obscurité présente des différences qui font distinguer les phares d'une même côte.

III. Hyperbole. C'est la section mnp, m'n'p'> fig. 1 9, &ite,,dans le cône, par un plan qui coupe les deux nappes AOB, aOb* Jblle présente deux parties séparées, dont chacune a deux branches comme la parabole; mais avec cette différence que les branches* de l'hyperbole se redressent beaucoup plus rapidement ; de sorte que r dan&

3n4 GÉOMÉTRIE.

l'hyperbole la plus fermée, avant même axe et même sommet que la parabole, les deux branches de l'hyperbole finissent toujours par sortir d'entre les branches de la parabole.

L'hyperbole ABC, abc, fig. 20, a deux axes; elle a deux foyers F,yj comme l'ellipse; mais, au lieu que la somme des rayons vecteurs soit con*

stante , cest leur différence qui l'est. Les déni rayons FM,/ M, font aussi le même angle avec la courbe ; mais la courbe , au lieu d'embrasser les deux rayons vecteurs , comme fait l'ellipse , passe entre les deux, etc. Enfin, il existe deux lignes droites X(Xr, ZOz, qui font le même angle avec le grand axe FO/J et qui , sans pouvoir jamais rencontrer les deux branches de l'hyperbole» s'enapprochent d'autant plus qu'on s'éloigne davantage du centre O par lequel elles passent. On les appelle les asymptotes de la courba

Intersection du cône avec des surfilées courbes. Pour la déterminer , il suffit de faire passer, par le somirct du cône, une suite de plans. Ils couperont le cône suivant des arêtes rectilignes; ils couperont les surfaces courbes suivant d'autres lignes dont les intersections avec ces arêtes seront les points mêmes de la courbe cherchée.

applications h Voptùfue. Ainsi que nous l'avons expliqué, neuvième leçon , les objets nous apparaissent, au moyen de rayons lumineux, envoyés , de chacun de leurs points , au centre

TRKIZIÙME LEÇON. 3^5

de notre œil. Chaque ligne qui projette ces rayons lumineux, devient la base d'un cône; et, si Ton trace X intersection de ce cône avec la surface prise pour tableau , Ton obtient la perspective de la ligne éclairée.

Le plus ordinairement* les tableaux sont des surfaces planes , ainsi que nous l'avons supposé dans la neuvième leçon. Mais ils sont parfois des cylindres ou des hémisphères.

Panoramas. On a conçu l'idée de former des tableaux cylindriques, en plaçant le point de vue sur l'axe même du cylindre. Par ce moyen , l'on a pu représenter , sur le contour du cylindre, tous les objets de la nature qui se déploient circulai rement jusqu'à l'horizon, autour d'un point donné. Tels sont les panoramas, dont le nom signifie vue universelle ; parce qu'ils font voir, en effet , tous les objets qu'on peut découvrir d'un seul point. Ainsi, le tracé des panoramas n'est autre chose que Yinterseciion de la surfade cylindrique formant le tableau , avec une ou plusieurs surfaces coniques ayant leur sommet au point de vue, et pour base toutes les ligq£s de la nature, que l'artiste se propose de repreienter.

Afin de simplifier les travaux d'exécution de ce genre de perspective', on divise l'horizon en un assez grand nombre de parties : en Vingt, par exemple. On dessine , sur des feuilles planes

3 a 6 6 KO M ET RIE.

ordinaires , la vue perspective des objets compris dans ce vingtième de l'horizon; puis, ob peint côte à côte , sur une toile représentant le développement de la surface du cylindre formant tableau, les vingt bandes verticales et parallèles; enfin, on tcfhd la toile contre le mur cylindrique de la rotonde qui doit contenir le panorama,

La vérité de ce genre de .peinture, quand il est bien exécuté , frappe le spectateur, au point de produire quelquefois toutes les illusions de la nature même. Aucun autre moyen de représentation ne fait mieux connaître l'aspect général d'un site , autour d'un point donné ; avantage que ne saurait avoir un plan en relief , ni la perspective plane d'une partie de l'horizon.

Miroirs magiques. Auprès des panoramas, l'analogie des conceptions géométriques nous fera placer un jeu de physique assez remarquable.

H a pour objet de tracer sur un plan, des figures telles que , réfléchies par des miroirs cylindriques ou coniques, elles viennent se peindre dans l'oeil du spectateur, de manière à représenter des objets réguliers et des formes naturelles. Pour tracer ces objets sur le plan , il faut concevoir : i°. toutes les arêtes des cônes qui mettent chaque objet en perspective sur le miroir ; a°. des ravons réfléchis, en considérant ces arêtes comme des rayons incidents Chaque rayon réfléchi, par

TÎIEIZIÈMK LEÇOÎT. 3'27

son intersection avec le plan , donne un point ; et l'ensemble des points, ainsi déterminés, est la figure même qu'on voulait dessiner. Le plaisir que procure un tel spectacle, naît de la surprise qu'on éprouve en voyant les formes les plus irrégulières, les plus bicarrés et souvent les plus hideuses , transformées par la réflexion de la lumière, et devenant tout à coup des formes régulières , élégantes , et qui satisfont à nos idées de convenance et de beauté.

Perspectives peintes sur des coupoles. Dans les grands édifices , tels que les temples et les palais, les voûtes et les coupoles sont souvent ornées de perspectives dont le tracé se forme par Y intersection des surfaces coniques avec les surfaces de ces voûtes et de ces coupoles. Il est alors très-important que l'artiste fasse une étude approfondie de ces perspectives ; afin que des , tracés qui, vus de près, peuvent différer beaucoup des formes et des positions de la nature , considérés du point de vue , apparaissent sous les formes et dans les positions qui leur sont propres.

Ombres coniques. Lorsqu'un point lumineux, un flambeau, une bougie, un faisceau de lumière qui passe par une petite ouverture , éclairent des objets opaques, ils projettent l'ombre de ces objets de manière que, dans l'espace, c'est une surface conique qui sépare l'ombre d'avec la lumière.

Si Ton veut tracer l'ombre qu'un corps éclairé par un seul point porte sur un autre , il faut déterminer X intersection de cette surface conique , donnée par le corps qui porte ombre, avec le corps sur lequel l'ombre est portée.

A ce sujet, comme à celui des ombres portées par des rayons parallèles , nous ferons sentir aux jeunes peintres tout l'avantage qu'ils trouveront à déterminer à l'avance, par des méthodes géométriques , beaucoup d'ombres portées de ce genre , pour s'habituer aux formes qui en résultent et pour bien juger des effets de lumière quant à la figure des ombres ; ce qui ajoutera beaucoup à la vérité de leurs productions.

En suivant une méthode analogue à celle que nous venons d'indiquer, on trouvera: i°. les intersections des surfaces développables ou gauches, avec d'autres surfaces qui déterminent les points où ces dernières sont rencontrées par chacune des droites qui sont les arêtes des premières; r ï\ les intersections des surfaces de révolution avec les autres surfaces, en cherchant les points où ces dernières sont coupées par les cercles parallèles tracés sur les premières, etc. Dans toutes ces opérations , le grand talent de V artiste sera de bien choisir ses plans de projection ; afin d avoir pour les projections des lignes génératrices de chaque surface , des courbes simples et faciles a tracer.

Itf ET MKTJK1

je

riv.2 bis.

Dés tangentes et des plans tangents aux courbes

et aux surfaces.

Souvent , pour faciliter nos conceptions et nos démonstrations , nous remplaçons une courbe, ABCDEFGH , fig. i , par un polygone rectiligne dont les côtés très-petits AB, BC, CD, DE,... se rapprochent beaucoup de l'élément de courbe compris entre ces différents points.

Si, par deux points A, B, supposés marqués sur la courbe aussi près l'un de l'autre qu'il nous soit possible de le faire , nous menons la ligne droite XA.BY , elle se confondra , pour ainsi dire , avec la courbe , dans le court espace qui sépare les deux points A et B ; elle marquera la direction de cette petite partie de la courbe ABCDEFGH. Alors nous dirons que la droite X ABY est tangente à la courbe , dans le très-petit élément AB.

Remarquons bien que cette manière de trouver les tangentes d'une courbe n'est qu'approximative. Essayons , par un exemple simple , de

T. I. — Géom. 4*

33e GioiiÉxaiB.

nous former une idée rigoureuse des rentables tangentes.

Dans le cercle ABC , fig. 2 > menons le rayon OA ; puis, par l'extrémité A , la perpendiculaire XAY, à ce rayon. Nous ayons démontré (IIP. leçon) que tout point de XAY, autre que A, se trouve en dehors du cercle. La droite XAY, qui touche le cercle en un seul point , est celle que nous avons nommée la tangente du cercle.

On ne peut , par le point A , faire passer, ni i droite ni k gauche , une ligne droite % entre la tangente et le cercle XAY. En effet, menons parte point A, la ligne quelconque AZ ; puis ON, perpendiculaire à AZ. Cette perpendiculaire QNsora nécessairement plus petite que l'oblique OA.

Donc AZ passera dans le cercle, et par conséquent ne passera point , à partir de A, entre le cercle et la tangente XAY.

C'est parce qu'une très - petite portion du cercle , à partir de la tangente, suit la direction même de cette tangente , qu'on peut regarder un point extrêmement près de A , pris sur le cercle , comme placé sur la tangente ; ce qui suffit pour indiquer sa direction , et d'une manière d'autant moins inexacte, que le second point approche phis du premier.

Le rayon OA , perpendiculaire à la tangente XAY , est aussi perpendiculaire à l'élément de cwrbçqui, à partir de A, suit la direction même

QUATOÀàltlttt LEÇON. 3$I

éé là tangente. On appelle normale ùèit* perpendiculaire à la tangente. Ainsi le rayon du ctrtiU est normal à la circonférence. - ,

Lea arts font un perpétuel usage des propriétés dont jouissent lès tangentes et lès normales , pour donner une forme déterminée aux contour* des lignes et de& surfaces.

Voyons d'abord comment on trace des polygones réguliers , arec les tangentes du cercle.

Soit un polygone régulier quelconque , abcdef...., fig. 3. O étant le centre de ce polygone, on a Oaz=&b—Ocz=Od...., de même que ab=bc=cd.... Donc les triangles aOb, bOc> ôOdy... sont égaux. Donc les perpendiculaire* OÀ, OB, OC,..., abaissées de O sur ab> bc y cd vr9 sont égales entr elles. Donc un Cercle décrit , du point O comme centre , arec le râyoû OÀ^=OB =OC=OD=i.,.., a pour tangentes tous les côtés do polygone régulier abc de... .

On dit que le polygone abcde.... est circonscrit au cercle ABCD.... Ainsi, tout polygone régulièrpeut être circonscrit h un cercle.

Il est facile de Toir : i°. que la circonférence du cercle est plus grande que le contour de tout polygone inscrit , ABCD , et plus petite que le contour de tout polygone circonscrit abcd; a°. que la surface du cercle est plus grande que celle de tout polygone instrit, et plus petite que celle de tout polygone circonscrit. *

33a GiOM^TBIE.

C'est en multipliant beaucoup les côtés des polygones inscrits et des polygones circonscrits an cercle ayant l'unité pour rayon , qu'on a pu calculer deux contours, différant l'un de l'autre moins qu'une longueur mesurable donnée avec nos instruments , et tels cependant qu'un des contours fut plus grand , l'autre plus petit que la circonférence du cercle.

On a de même trouvé des polygones réguliers; rua dont la surface fut plus grande , l'autre plus petite que celle du cercle , et différant entr elles moins que toute grandeur donnée d'avance.

Cest ainsi qu'on exprime , par des nombres d'une grande approximation, la circonférence et la surface d'un cercle ayant l'unité pour rayon.

On peut employer la même méthode pour déterminer le contour et la surface d'un espace terminé par toute autre espèce de courbes.

Cette méthode remarquable est appelée par les géomètres méthode des limites. Elle donne la démonstration rigoureuse d'un grand nombre d évaluations et de principes mathématiques , que nous avons présentés comme des à peu près qui ne diffèrent pas sensiblement de la vérité.

Veut-on tailler une surface telle qu'une feuille de tôle, de carton, etc., suivant le contour d'un cercle ABCD, fig. 5 ? On commence par tracer avec des tangentes un polygone circonscrit

QUATORZIÈME LECOXf. 333

au cercle ; puis , au moyen d'un rabot , d'une lime, d'un ciseau, ou de tout autre instrument rectiligne, on abat les angles <z, b, c, d.... Alors, on forme un polygone ayant deux fois plus de côtés, et différant beaucoup moins de la circonférence du cercle. En continuant d'abattre ainsi les angles, on forme un polygone dont les côtés sont si nombreux et si petits, que les sommets et les augles deviennent imperceptibles ; alors le cercle semble parfaitement exécuté.

Dans la construction des portes , des fenêtres et des voûtes en plein cintre ou en tiers point, les pieds droits AM , CN , fig. 4 et 5 , sont verticaux et perpendiculaires au rayon horizontal AO=OC, fig. 4> et AC, fig. 5. Par conséquent, ces pieds droits sont tangents au cintre , en A et en C.

Dans la voûte surbaissée ABCD , fig. 6 , fîfc> mée en anse de panier, il y a trois arcs de cercle AB, BC, CD, dont les centres /w, O, n, sont ainsi disposés :

i°. O, met le point B de raccordement de» arcs AB et BC, sont en ligne droite ; 2°. O, n et le point C de raccordement des arcsBC et CD, sont en ligne droite. Donc, si XBY est perpendiculaire à O/nB, et si ZCT est perpendiculaire à O/zC, ces deux lignes seront à la fois tangentes, la première aux arcs ÀB et BC , en B ; la deuxième aux arcs BC et CD, en C. Comme les arcs de cercle ainsi tracés ont la même tangente , ils ne présentent aucun angle , aucun coude 9 aucun jarret, au point de leur raccordement.

Toutes les fois qu'on veut remplacer un* courbe continue , par des arcs de cercle qui s'en approchent le plus possible et qui reproduisent a continuité , il faut que les arcs de cercle se raccordent , de manière qu'ils aient la même tan* gente, à leur point de raccordement Cest a qu'on verra mieux dans la leçon suivante.

Plans tangents des surfaces. Parallèlement & m plan donné, fusons, dans la surface AGB,... fig. 7, une suite de sections planes ÀB, CD, EF;.... elles diminueront de plus en plus, à mesure que Ton s'approchera des limites de la surface, et Ton finira par arriver à un point G qui, seol, sera sur un plan MN parallèle à toutes les sections. Traçons sur la surface, diverses courbes A.GB, aGb,.... passant par le point G; menons, en ce point, des tangentes à ces courbes. Comme aucune droite ne peut passer entre les tangentes et les courbes , il faudra que ces tangentes soient placées sur le plan MN.

Ainsi, tout plan tangent, en G, à la surface ÀGB, contient toutes les droites tangentes, en G, aux diverses courbes tracées , par ce point , sur cette même surface. Il faut excepter pourtant les points singuliers , tels que le sommet du cône, etc. Mais ces points sont toujours des exceptions sur les surfaces.

Prenons la sphère pour exemple du cas général. Le* sections parallèles AR, CD, EF f fig* 8,

dC*«ercles dont les centres Q*o&' % sont placéssunuse ligne droite oc? o' ... G, perpendiculaire au pba de tous les cercles et passant par le contre même de la sphère. Si, par l'extrémité G de cette droite, on mène un plan MN parallèle à celui de* sections , et par conséquent perpendiculaire à oG, il sera tangent à la sphère.

En effet, tout autre point de ce plan sera pins loin que G» du centre de la, sphère ; par conséquent , il sera uéeestairesacnt hors de la sphère : donc ce plan ne touchera qu'en & la sphère. Tout plan mené par goG , coupera la sphère suivant un cercle dont g?G sera diamètre , et dont la tangente en G sera perpendiculaire k gcG. Or, tontes les perpendiculaires en G, à nne droite goG , sont dans le plan perpendiculaire à cette droite et passant par G; donc, enfin , le plan tangent 5TN' contient tontes les tmgcsArs des cercles méridiens ajant goG pour diamètre. Q*\ démontrerait . avec non moins de facilité, que tout petit cercle tracé sur la sphère , par le point G , a sa tangente en G , placée sur le plan 3tN.

Pour les surfaces comme pour les lignes, on appelle normale la ligne goG , fig. 8 , perpendiculaire en G au plan tangent.

Appliquons ces premières notions aux diverses familles de surfaces, que nous avons examinées dans les leçons précédentes.

Plan langent au cylindre. Soit le cylindre ABGoAc, 6g. 9, terminé par deux bases situées clans des plans parallèles , et ayant toutes leurs lignes correspondantes parallèles. Si Vu «-st une

arête , les tangentes MBN et mbn des deux courbes , en B et b , seront parallèles ; il en sera de même de toute autre tangente wlVnf à la courbe a'b'c' parallèle aux bases , b 1 étant sur Parete Bb. La suite des tangentes parallèles MBN , m'b'n' y .. mbn , qui passent par Farête Bb l b , laquelle est une ligne droite, forme un plan. Ce plan est tangent au cylindre, dans toute letendue de Farête. Formation des plans par des cylindres tan* gents. Le boulanger qui fait rouler sa billette pa- ' rallèlement à elle-même , forme avec la pâte un plan qui tour à tour est tangent, suivant chaque arête, à la surface cylindrique de la billette. Le jardinier arrive au même résultat pour des allées et des tapis de gazon, sur lesquels il roule un cylindre. Au fur et à mesure que le terrain s'aplanit, il devient langent au cylindre, dans toute 1 étendue des diverses arêtes de cette surface.

Le carrossier suspend les voitures, avec une soupente en cuir, de chaque côté, fig. 1 1. Cette soupente suit le contour inférieur et cylindrique de la caisse de la voiture , et se prolonge de manière que sa face supérieure présente un plan tangent à la caisse de la voiture. Lorsque la caisse se balance de l'avant à l'arrière, elle avance ou recule sur ce plan tangent qui, étant le même des deux côtés , évite le balancement transversal ; c est le plus désagréable et le plus brusque dans les voitures non suspendues.

QUATORZIÈME LKÇOK. 337

Construction d'un cylindre par des plans tangents. Nous allons rappeler ici la méthode que îous avons donnée dans la leçon qui traite les cylindres, pour tailler un corps solide, Je manière que sa surface soit cylindrique.

3n tracera les bases sur les deux bouts de la pièce de bois , de pierre , etc. , qu on veut tailler en cylindre; puis, deux polygones circonscrits à ces bases, et de plus ayant leurs côtés correspondants égaux et parallèles. Ensuite , avec la scie , le rabot , ou tout autre instrument propre à tailler des surfaces planes , on fera passer des plans par les cotés parallèles de ces polygones. On obtiendra de la sorte un prisme polygonal , circonscrit au cylindre; parce que ses diverses faces seront partout tangentes à la surface du cylindre. Si , maintenant , avec la scie, le rabot , etc., l'on abat les arêtes du prisme, pour former de nouveaux plans tangents au cylindre : plus on multipliera ces plans, et plus les prismes qu'on formera différeront peu du cylindre.

Plans tangents au cône. Qu'on mène une arête SABC , sur le cône , fig. 1 1 ; toutes les tangentes en A,B,C,.... aux sections parallèles ka % B£, Ce,.... sont parallèles entr'elles. L'ensemble de ces tangentes forme le plan PQMN tangent au cône, dans toute l'étendue de l'arête SABC. application. Cette propriété du cône permet, en traçant un polygone circonscrit à la base , T. I. — G«om. 43

île faire mie pyramide dont les faces soient tangentes au cône , dans toute leur longueur. En abattant successivement avec la scie, le rabot, etc. , les arêtes de cette pyramide, par de nouveaux plans tangents, on multiplie de plus en plus le nombre des arêtes. Alors on exécute une surface qui représente le cône, avec le degré de précision dont on a besoin. Voyez X e . leçon.

Plans tangents aux surfaces développables.

La propriété qu'a le même plan tangent, de toucher le cylindre et le cône dans toute retendue d'une arête, appartient également aux autres espèces de surfaces développables.On peut considère* ces surfaces comme formées de petites facettes coniques extrêmement étroites ayant, comme celles du cône , un même plan tangent pour toute la longueur de chaque arête.

On peut faire passer ane surface «léveloppable par deux courbes données, en circonscrivant à ces courbes, des polygones tels qu'un même plan passe à la fois par un coté «le chaque polygoue; ce plan sera tangent à la surface développable. Kn abattant les arêtes formées par la rencontre de ces plans , on multipliera les côtés des polygones circonscrits aux deux courbes, et les facettes planes, tangentes à la surface développable qu'on veut produire.

Crlinares tangents F un a l 'autre , suivant une arête. En posant à coté l'un de l'autre deux cylindres droits circulaires ABCD, BCEF, fig. to, de manière à ce que leurs axes soient parallèles, et distants d\me quantité égale à la somme des

QUATORZIÈME LEÇOIC: 34 1

chera la sphère dans toute l'étendue d'un grand cercle amen. On pourra faire avancer ou reculer la sphère dans ce cylindre , sans qu'elle cesse de le toucher suivant un cercle parallèle à amen, et perpendiculaire à l'axe du cylindre.

applications. Les arts font un fréquent usage de la propriété que nous venons d'expliquer. Toutes les fois que l'on doit diriger une sphère suivant un axe rectiligne XOY , on l'oblige à se mouvoir dans un cylindre qui l'enveloppe et la touche de toutes parts.

Tel est le principe sur lequel est établie la forme des armes à feu : fusils , pistolets , canons , obusiers et mortiers. Leur surface intérieure a la forme d'un cylindre droit circulaire, et les balles, boulets, bombes, obus, auxquels on veut donner une direction précise, sont des sphères qu'on oblige à suivre la direction même de l'axe de ces cylindres.

Calibres des sphères. Pour s'assurer : i°. que les boulets ne sont pas d'un trop grand diamètre , ce qui ne leur permettrait pas d'entrer dans la bouche à feu qui leur est destinée; a , qu'ils ne sont pas trop petits , ce qui ôterait toute la justesse du tir, on a des lunettes , fig. i5, qui ne jont autre chose que des cylindres droits circulaires dont les arêtes sont fort courtes. Le canonnier tient d'une main la poignée ABab; de l'autre , il présente le boulet en divers sens ,

pour toir s'il peut passer data la hmétttff? tt «^ passe sans laisser trtp de ride entr'dtecft b& C'est ce qu'on appelle calibrer le* bouleié. Jr

applications aux ombres* La natam nota :

offre, à chaque instant , des exemptes de sùrftct* * cylindriques formées de lignes droites parallèle* entr'elle*, et tangentes à la même surface* Lorsqu'un corps terminé par une surface coàrbe é*t -éclairé par le soleil , si ce corps est opaque, il feit ombre derrière lui; les rayons qui fcîsparènt cette ombse et la partie éclairée par lé soleil , sont ' nécessairement les rayons qui touchent le corps sans être interceptés par lui. Ces rayon* parallèles sont donc des tangentes à la surfacèdra Corps* Donc , l'ensemble des points qui limitent, dans V espace y V ombre portée par un corps, forme un cylindre dont toutes les arêtes sont tangentes à ce corps. L'ensemble des points de contact de la surface du corps avec le cylindre qui limite l'ombre portée par ce corps, forme une courbe; c'est la ligne de séparation d'ombre et de lumière, sur la surface du corps éclairé.

Lorsqu'on veut; sur un plan , déterminer avec exactitude les ombres portées par un corps , il faut construire les cylindres ainsi formés pardes tangentes à la surface de ce corps, parallèles à la direction supposée des rayons solaires. Puis déterminer Y intersection de cette surface cylindrique avec la surface des corps, sur lesquels

l'ombre est portée. C'est une étude importante pour l'architecte et le dessinateur.

Si l'on fait avancer ou reculer parallèlement à lui-même, le corps éclairé 9 dans la direction donnée par les rayons solaires , chacun de ses points va décrire une ligne droite parallèle à ces rayons; donc , tous les points du corps qui sont sur le cylindre limite de l'ombre portée sur le corps , vont suivre la route de ces rayons qui ne cesseront pas d'être tangents à la surface du corps ; le même cylindre restera toujours la limite de l'ombre portée par le corps. Ce cylindre qui entoure constamment le corps , dans toutes les positions de celui-ci , est ce qu'on appelle par rapport à ce corps , une surface enveloppe.

Ainsi, le cylindre droit est la surface enveloppe de la sphère , qui se meut en ligne droite et qui conserve toujours le même rayon. L'âme du canon , du mortier, etc., est la surface enveloppe de l'espace parcouru par le boulet.,

On peut percer dans un corps , une surface cylindrique , enveloppe d'une sphère de rayon constant, le centre de cette sphère se mouvant en ligne droite. C'est ce qui a lieu, lorsqu'on tire une balle dans un corps mou et non fra- Sile.

Réciproquement, on peut fabriquer une sphère, en faisant tourner un cylindre autour d'une ligne droite perpendiculaire à son axe et passant

344 càowirktà^

par cet ttce* Dons chaque positkfet on éjKndft*/

il touchent ht sphère suivant un cërefcniéridKa,

et rcuseittblc dé ces mendions loriiiera hfliht

même» En supposant ces méridiens tracés tréF

prés les uns des antres» on pourra

aux cylindres tangents

comprises entre deux

Alors on retombera sur h méthode

nation que nons avons donnée, XI'.

Enfin* ko messes ponr construire r i\ de tpsefros^ne> avec nanties

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nubter dbtt pousser contottr curvifiçiie,. 3 prend fer représente fe profil oct seccioi <fc ces moutures* et dont le ho»

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QUATORZIEME LEÇOUf. 345

rabot , et la moulure est la surface enveloppe du cylindre que présente le bois même du rabot.

Les surfaces coniques vont nous offrir des considérations et dès résultats analogues.

Supposons que d'un point donné S, fig. 16, Ton mène à la sphère toutes les tangentes possibles SA, SB, SC... ; on va former un cône droit circulaire, tangent à cette sphère, dans toute retendue d'un cercle ABCD, servant de base au cône. En effet , si l'on faisait tourner le grand cercle ABE , autour de l'axe SO, mené par S et par le centre de la sphère : i°. le cercle engendrerait la sphère : 2°. SA, SB , tangentes à ce grand cercle , engendreraient le cône.

Supposons que le centre se meuve sur Taxe SO , en augmentant ou diminuant le rayon de la sphère , proportionnellement à sa distance au point S. En vertu de la propriété dés figures semblables , la sphère ne cessera pas d'à- , voir pour tangentes toutes les arêtes SA , SB , * SC..., du cône SABCD. Donc ce cône est l'enveloppe de l'espace parcouru par la sphère dont le centre se meut en ligne droite , et dont le rayon augmente ou diminue proportionnellement à la distance du centre à un point fixe de cette droite.

En substituant à la sphère une autre surface courbe quelconque , nous pourrions également , de chaque point pris hors de cette surface , faire partir toutes les lignes droites , arêtes d'un cône

T. I. — Gkom. 44

346 GÉOUÊTKIB.

qui là touchât en chacune de ses arêtes. Si le point pris pour sommet du cône est un point lumineux, le cône ainsi formé marquera, derrière le corps, la limite de l'ombre portée par ee corps* Si Foi veut tracer rigoureusement la limite de l'ombre portée par ce même corps, sur une surface quelconque , il faudra déterminer, Y intersection de cette surface avec le cône limite de l'ombre portée par le corps éclairé.

Explication des éclipses. C'est en appliquant cette méthode à l'astronomie, qu'on a déterminé la forme et la grandeur des éclipses/ Imaginons que la lune doive passer presqn'en ligne droite entre la terre et le soleil. En regardant comme deux sphères, la lune et le soleil, nom pouvons concevoir un cône droit circulaire, qui sera l'enveloppe de ces deux astres, et qui marquera dans le ciel la limite de l'ombre portée par la lune. Tant que la terre restera tout entière hors de ce cône d'ombre, le soleil ne sera point éclipsé; mais , quand une partie de la terre entrera dans ce cône, cette f>artie sera privée de la lumière du soleil ; pour elle , le soleil sera éclipsé par la lune; il y aura comme on dit éclipse de soleil. Si, pour chaque instant que doit durer Féciipse, on détermine la position respective des trois astres et l'intersection de la surface de la terre avec le cône enveloppe du soleil et de la lune, cette intersection marquera

, QUATORZIÈME LHÇON. 3/§7

*ur la terre un certain espace. Pour les seuls lieux situés dans cet espace, il y aura éclipse totale au moment dont il s'agit. Enfin , si Ton trace toutes les intersections données dans les divers moments de la durée d'une même éclipse, les points qui seront en dehors de ces diverses intersections ne seront pas totalement éclipsés, et les autres le seront plus ou moins long-temps. La géométrie détermine, ainsi, toutes les circonstances d'une éclipse de soleil. Elle détermine avec une égale facilité les circonstances d'une éclipse de lune.

Si Ion conçoit un cône droit circulaire , qui enveloppe à la fois la surface de la terre et la surface du soleil , quand la lune entre dans le cône de l'ombre portée par la terre, il y a éclipse de lune. Si la lune entre totalement dans le cône , il y a éclipse totale de la lune ; V éclipse est partielle quand la lune n'y pénètre qu'en partie. Dans ce dernier cas , on connaîtra , pour un instant donné , la figure et la grandeur de l'éclipse , en déterminant les intersections des cônes enveloppes du soleil et de la terre, avec la surface de la lune.

Lorsque nous regardons un corps quelconque et que nous menons à ce corps, comme nous venons de faire par rapport au soleil, des rayons visuels qui lui soient tangents , ils déterminent, sur ce corps, la limite des points visibles pour

noua : c'est ce qu*on appeRe le cùrkàomr apparent du corps qtœ nous considérons.

Dans la peintura T nous é c sok Km », é&t h sur* face du tableau, le» cootM» appavfaM» d'an corps ; c'est l'intersection 4e cette surfaite avec i celle d'un cône dont toutes tes* arêtes son* &s*~ . génies à ce corps, et dont le .sotttaet est an centre de notre œil. La coffloàissaAee dé» èèîïes enveloppes des corps , est donc indispensable pour mettre d'une maiuère rigoureuse, en pers» pective, les corps qui' ne sont pas terminés uniquement par des lignes droites.

Quand une sphère lumineuse oab f fig. 19 , éclaire une sphère opaque OÀB, on peut concevoir d'abord un cône SaABb qui enveloppe à ht fois les deux sphères , et qui marque , sur la sphère OAB, la séparation absolue de l'ombre et de la lumière. On peut concevoir , ensuite, un second cône mnTMN, situé entre les deux sphères. L'espace IMN compris dans ce cône sur la sphère éclairée, voit en entier la sphère lumineuse. Mais , de chaque point dé l'espace AMNB , on ne voit qu'une portion de la sphère éclairée ; il y a donc ombre partielle : c'est ce qu'on appelle la pénombre. Lorsqu'on veut ombrer les corps avec une précision rigoureuse, il faut marquer avec soin les ombres et les pénombres. On y parvient par des méthodes analogues à celles que je viens d'indiquer.

QUATORZIEME LtÇOB. %tf$

Si les deux surfaces aob , ÂOB, n'avaient aucune analogie, un même cône ne pourrait pas les envelopper à la fois tangentiellement toutes deux. Ce serait alors une surface développable , qu'on pourrait construire , en supposant qu'un; plan restât tangent à la ibis aux deux surfaces , et présentât successivement toutes les positions compatibles avec cette con-~ dition. Dans chaque position , joignons par une ligne droite , les deux points où le plan est tangent avec deux surfaces* L'ensemble de ces lignes droites va former une surface dë- Teloppable qui séparera l'ombre et la lumière des ombres et des pénombres r selon qu'elle sera en dehors du corps lumineux et du corps éclairé , ou qu'elle passera entre les deux corps* Je regrette que les limites de ce cours et les considérations élémentaires auxquelles je dois le borner, ne me permettent que d'indiquer ces belles propriétés des surfaces développables.

Lorsqu'on fortifie une place, il faut qu'au dehors de la place, à portée de canon , il ne soit pas possible d'envoyer directement des projectiles sur le terre-plain des ouvrages où doivent se tenir les défenseurs. On conçoit une surface développable , à la fois tangente à la crête des fortifications, et aux sommités du terrain qui entoure la place, à portée de canom. Il faut que cette surface développable ne coupe nulle part le ter-

35e oioniTRj». ;.'

rainoà les défenseurs ai placeront, nhn&aç uns surface élevée au-dessus du terrain, à la hauteur de la taille ordinaire de l'homme- Quand cette condition est remplie , l'intérieur de la plaça est ce qu'on appelle défilé. Les méthodes géométriques, employées pour arriver à ce résultat, sont appelées méthodes de défilement. <

Les arts font un fréquent usage des cônes enveloppes, pour donner aux corps desformesdéterminées. Le sabotier emploie une lame rtctQigne et tranchante, tenue d'un bout par un jxnnt fixe, et de l'autre bout ayant une poignée qu'il saisit de la main droite. Avec la main gauche? il présente dans une position fixe, le morceau de bois qu'il veut travailler, et qu'il taille**ec l'instrument. Cette taille produit à chaque fois une surface conique tangente au sabot, dans toute l'étendue d'une certaine courbe. L'ensemble des courbes taillées ainsi, finit par produire la surface même du sabot : c'est la surface enveloppe de tous les cônes tracés par l'outil.

Lorsque le tourneur veut façonner un corps, suivant la figure d'une surface de révolution , il prend d'abord un outil fort étroit, pour faire des entailles qui vont presque jusqu'au contour de cette surface. Ensuite, il prend un ciseau plan et large, qu'il tient dans une direction tangente au contour que doit avoir la surface. Dans chacune de ses positions , le ciseau plan

un cône. L'ensemble des cônes formés, en faisant dévier à chaque fois fort-peu la position et la direction de l'instrument, présente une suite de ceintures coniques partout tangentes à la surface de révolution , laquelle est partout enveloppée et finalement produite par ces cônes.

Les cercles des tonneaux et des mâts d'assemblage sont des cônes tangents aux surfaces de révolution des mâts et des tonneaux.

Parmi les divers modes de tracé des surfaces , il en est qui assurent plus ou moins de continuité , dans tel ou tel sens; ce qui les rend plus ou moins avantageux , suivant les besoins que les produits de l'industrie ont à satisfaire.

Examinons, maintenant, les surfaces enveloppes qu'on peut former par la flexion de certaines lignes auxquelles on attache les surfaces enveloppées.

Supposons qu'un fil inextensible représente Taxe d'un cylindre ou d'un cône circulaires, ou de toute autre surface de révolution. Supposons qu'on attache à ce fil le centre de chaque sphère enveloppée tangentiellement par le cylindre ou par le cône ou par toute autre surface de révolution. Plions ensuite le fil , suivant une courbe quelconque. La surface enveloppe de toutes les sphères sera , non plus un cylindre , un cône , ou toute autre surface de révolution , mais une surface toujours composée d'une suite de cer-

35a , oxoniTBifc.

des, chacun desquels sera commun à famé sphères et à la surface enveloppe.

Qqand on plie l'âge du cylindre, la surface enveloppe est formée d'une suite de cercles toi» égaux au grand cercle des sphères égales qm, primitivement étaient enveloppées par le cylindre. Tous ces cercles ont leur plan perpendiculaire à la courbe fbVmée par l'axe plié; et faor centre est sur cet axe.

Le serpentin de l'alambic est une sor&ce enveloppe dece genre 9 formée : i°.en pliant Taxe du cylindre suivant le contour d'une spirale cf lindrique ; a , en prenant l'enveloppe de tontes ta sphères égales, ayant leur centre sur cet axe.

Dans l'escalier tournant; à voûte cvtaolftbe, cette voifte est pareillement l'enveloppe de sphères égales ayant leur centre sur le contour d'une spirale dont le pas est égal à celui de l'escalier.

Chaque tour d'un cordage à trois torons simples est pareillement l'enveloppe de l'espace que pourrait parcourir une sphère dont le centte suivrait la spirale tracée au milieu du toron.

Il y a des chenilles et d'autres reptiles qui sont formés de courts anneaux cylindriques dont les articulations peuvent s'allonger ou se contracter selon leur volonté. Quand ces animaux se plient et se replient , leur peau présente une surface qui varie de forme, mais qui ne

cesse pas de présenter la figure des surfaces dont nous indiquons maintenant la construction.

Quand on plie, suivant un cercle, Taxe du cylindre droit circulaire, on le transforme de nouveau en surface de révolution ; c est la surface annulaire, que nous avons examinée dans la XI'. leçon , et dont nous avons donné les projections et la génération.

Les surfaces enveloppes d'une sphère constante de rayon , ont la propriété qu en chacune de leurs parties , si on les coupe par un plan perpendiculaire à la courbe lieu des centres des sphères : i°. le plan est partout perpendiculaire à l'enveloppe ; u°. la section est d'une grandeur constante, puisque c'est le grand cercle de sphères égales ( i ).

Lorsqu'on a besoin de faire passer un volume d'eau par un canal à sections circulaires, il faut que ce canal ait partout la même section , si Ton veut que l'eau se meuve partout avec la même vitesse , et qu'elle n'éprouve d'engorgement nulle part II faut donc, alors, que la surface du canal

(i) On peut, sans erreur appréciable par nos sens, supposer que la courbe sur laquelle se trouvent les centres des sphères , est an polygone dont les côtés sont extrêmement petits. Alors l'enveloppe se compose d'une suite de tones ou bandes cylindriques qui touchent suivant des cercles, les sphères enveloppées. L'ensemble des cercles de contact forme la surface enveloppée, quel que soit le nombre des côtés du polygone, et lors même que ce polygone devient «ne courbe continue.

T. Ï-— Gww. 45

.354 / cioitiTBlfe; .,

: &*fàti?mrdoppe d'une sphère de rayokï ôonstj

Ûfa\xti4e même, que toute autre espèce de et* naux destinés à la circulation des eaux, ait pour section une courbe ou un polygone dont h superficie soit constante. On s'impose aussi, pour plus de régularité et de facilité dans Paxécùtion, de conserver la même figure à la section; excepté dans les endroits où des difficultés extraordinaires ne le peÉrnettent^pas. .,/.:..

: En 'traitant des centres de gravité ,■ dans le tome second (Machines)^ nous <do&bèftôos un moyen facile de déterminer le volume des corps et des espaces terminés par les $wfacèàkea*aux, que nous venons de définir. Nou$ offrirons à cet égard une méthode' aussi simple qu'aisée v très* rigoureuse, et qui présente une foulé d'applications dans les arts.

Le forgeron , le plombier , le verrier , le faïencier, le chaudronnier, exécutent beaucoup de produits d'industrie ayant la forme des surfaces-canaux* Ils exécutent d'abord des prismes ou des cylindres , pleins on creux , auxquels ils donnent une certaine flexion. Tout leur art consiste à ne pas faire perdre aux corps qu'ils plient ainsi, la forme constante que doivent conserver les sections transversales.

Les boucles, les anneaux, les colliers de fer, de cuivre , etc. , les tii ebouchons , les ressorts en spirale, les tuyaux contournés en ligne

courbe, les sy plions, les verres de baromètre, les veines du corps humain, sont autant d'exemple des surfaces que nous considérons.

Nous avons dît , en parlant de l'intersection des surfaces, qu'on peut représenter les surfaces à Gouble courbure ^ par des espèces d'anneaux ou tambours cylindriques ou coniques , comme le tronc des colonnes ; l'inconvénient de ce mode pour les surfaces-canaux , c'est qu'il n y a pas continuité dans le sens longitudinal , et que les sections dans le sens transversal ne sont pas constantes.

Il y a des villes où les ferblantiers et les chaudronniers travaillent les feuilles métalliques avec un art particulier; ils savent leur donner une double courbure, et leur conserver une section régulière et constante dans toutes les parties. A cet égard , on doit citer particulièrement les artisans de la ville de Lyon ; ils l'emportent de beaucoup sur ceux mêmes dé Paris.

L'ingénieur des ponts et chaussées donne, pour le tracé des parties courbes de ses canaux , des méthodes géométriques spéciales, lesquelles ont po.ur objet d'assurer la forme constante de la {Action , et la position de son plan partout perpendiculaire à la surface du canal.

Au lieu de supposer qu'une surface de grandeur constante parcourt un certain espace dont on cherche l'enveloppe , supposons que la sur-

3S6 OiOMiTHIK.

face mobile change de grandeur, mais sans chai*

<§er de former

Le cas le plus ample et que noos avons ex* miné déjà, fig. 16, est celui de la sphère <jm varie de rayon , tandis que son centre parcourt une ligne droite. Nous savon? que fenvetoppt est une surface de révolution. Chaque sphm est touchée, enveloppée, suivant tin cercle, p» cette surface de révolutioS ; c'est un cercla parallèle, et l'ensemble de ces parallèles ferme h surface même de révolution.

Supposons, à présent, qu'à la*e de. la surface de révolution soient attachés lei centres de ces sphères. Plions cet axe suivant une courbe quelconque. L'enVeloppe nouvelle de toutes ks sphères variera de grosseur avec les sphères mêmes; mais elle touchera, die enveloppera toujours chaque sphère suivant un cercle.

La nature nous présente un grand nombre de surfaces de ce genre.

Le serpent, lorsqu'il se tient droit , a la figure d'une surface de révolution , très-approchée de celle d'un cône allongé. Il se plie , et se replie de mille manières; la surface de sa peau chaqge à chaque instant de figure , mais elle forme toujours l'enveloppe d'une suite de sphères qu'on pourrait imaginer enveloppées tangentielleraent par la surface de sa peau.

La figure du serpent, plié en forme sinueuse,

QUATORZIÈME LEÇOffr $5j

est imitée, par les arts, dans l'instrument de musique qui porte le nom de serpent, fig. 17, la trompette, fig. r8 9 le cor de chasse, fig. ai, les tirebouchons, les vril]es, etc.

Si Von suppose que le serpent se contourne en spirale, ayant au centre sa queue, fig. 20, il forme une sur&ce analogue à celle d'un trèsgrand nombre de coquillages.

Les cornes des animaux ont presque toutes, à leur extrémité, la forme d'une surface du genre de celles que nous considérons, fig. %%.

Les arts ont imité cette figure des cornes d'animaux, dans la construction d'un grand nombre d'instruments de musique. Le cornet des troupes légères est une surface de ce genre. Le cornet acoustique est aussi de cette forme.

Pour exécuter des instruments à vent dont les sons réunissent la justesse à la beauté, la surface courbe qu'on leur donne doit avoir beaucoup de continuité; il importe, par conséquent, de choisir pour les fabriquer , des xnoyens qui conservent cette continuité dans le sens longitudinal suivant lequel l'air e6t poussé dans l'instrument , et dans le sens transversal où la section doit partout rester circulaire.

Les moyens variés que nous avons do» nés pour construire diverses espèces de surfaces, serviront à juger des méthodes employées par les fabricants d'instruments à vent , et souvent à les

358 eioicÉTRiB.

remplacer par' des méthodes plus eiutftofc Polissage , fourbissage 9 etc. Il ne suffit pas» dans les arts, d'avoir obtenu , J>ar des. méthode* ingénieuses r une exactitude de formes plus ce moins satisfaisante. Ne fût-ce que pour- le plaisir de la vue, il faut procurer, aux surface&ainsi produi tes, une continuité, un poli dont la régularité^ l'éclat, le brillant, semblent donner un neuYom prix aux produits dç l'industrie. De là* les opérations finales d'une fbule d'arts, pour polir, lustrer , fourbir, frotter , etc. L'on effectue ces opérations par des mouvements où le corps polissant décrit des surfaces tangentes au corps à polir ; de sorte que ce dernier est Y enveloppe définitive des espaces parcourus par le premier*

S'agit-il de fourbir le canon d'un fusil? Un morceau de bois plan et bien poli est posé tangentjellement au tronc de cône que présente le dehors de l'arme, et promené suivant la direction d'une première arête du cône : l'espace ainsi par* couru est le plan tangent au cône. En répétant la même opération pour toutes les arêtes du cône, ,on a ce cône même comme enveloppe de tous les plans tangents; et l'arme est fourbie."

Pour fourbir la sphère, on pourrait la faire avancer et reculer dans un cylindre ; en la présentant tour à tour sous différents sens. ();i pourrait la poser sur un tour dont Taxe passerait par le centre de la sphère; puis> la fairu

QUATORZIÈME LFÇON. 359

>urner sous un polissoir plan qu'on fixe rail uccessivement en diverses positions tangentes cette surface. On polirait ainsi la sphère , au loyen des cônes dont elle est l'enveloppe.

On polit les glaces , 9ïï les frottant avec des irfaces dont le plan tangent, dans toutes leurs >sitions, est le plan même qu'on veut obter pour face polie. Il faut en dire autant des irres, plans ou sphériques, employés par les opûens, dans la fabrication de leurs instruments.

Quand le charpentier de vaisseaux avec son ?rminette polit, pare, la muraille du navire, chaque coup de cet instrument, il enlève du >is superflu , suivant la figure d'une surface de volution tangente à la surface parée , e'est-àre, polie, du navire. Cette surface du navire t, en définitive, l'enveloppe des surfaces de ré- >lution données par le travail de l'herminette.

L'exposition que je viens de faire , beaucoup op succincte à mon gré, suffira, cependant, our montrer aux artistes combien l'étude des >rmes géométriques qui distinguent les lignes t les surfaces, est féconde en applications imméiates, variées, importantes à la plupart des arts, l'est pour n'avoir pas réfléchi sur la figure des •roduits de la nature et de l'industrie, que nous l'apeFcevons pas dans cette figure, les formes ;éométriques , les propriétés qui en dérient, et les moyens de tracé, d'exécution, que

36o GÉOMÉTRIE.

nous offrent ces propriétés caractéristique?; Dès que l'attention des artistes sera suffisamment excitée sur cette utilité qna pour lui l'examen de la forme des corps , il en fera l'objet d'une étude constante et: presqu involontaire. Il verra les produits d'industrie comme un naturaliste voit la nature : avec cet œil attentif et perspicace, qui reconnaît, dans chaque objet nouveau, des analogies avec les familles, les genres qui lui sont familiers , et des différences qui lui servent à caractériser les espèces, les variétés, les individualités. Cette étude ne sera pas un pur objet de curiosité; elle aura, pour la perfection des méthodes de l'industrie, des conséquences très-importantes , et que nous osons prédire.

Mais on n'arrivera , dans les arts , à des perfectionnements positifs et d'une grande étendue, qu'en pratiquant avec constance les méthodes rigoureuses du dessin géométrique. Que les artistes étudient avec soin les moyens de tracé que leur offre la ge'ométrie descriptive ; elle leur offrira, en même temps, la démonstration des utiles propriétés dont je n'ai pu présenter ici que le simple énoncé. Rappelons, rappelons sans cesse que l'industrie française restera dans l'enfance , si le dessin linéaire et la géométrie descriptive ne deviennent pas, dans nos ateliers et dans nos manufactures, des connaissances universellement répandues et pratiquées.

Courbure des lignes et des surfaces.

Supposons qu'on chemine sur une courbe , en regardant toujours dans le sens de la tangente à cette courbe, pour le point où Ton se trouve. Il ne suffira pas d'ayancerdevant soi, il faudra tourner à chaque instant vers la partie rentrante de la ligne qu'on suit. La courbure de cette ligne est proportionnelle à la quantité dont on tourne ainsi ^ divisée par chaque petit espace qu'on parcourt.

Si l'on chemine sur le cercle , pour parcourir des arcs égaux , il faudra se tourner de quantités égales ; la courbure d'un cercle est donc la même dans toutes ses parties. ,

Si l'on chemine successivement sur deux cet* clés inégaux , fig. i , ayant R et r pour rayons ,

alors 3 , i4 X aR sera la circonférence du

grand, et 3, i4— X ar sera la circonférence du petit cercle. Mais, quand on parcourt un cercle entier, et qu'on chemine toujours sur la circonférence , on tourne de 36o°; donc les. courbures C et c de deux cercles seront entr elles comme

ou : : r- : -.

3,i 4... x aR " 5,î4-.. X *r ■ R r

TOM. I. GÉOM. 46