G^OM^TRIE

Ainsi , fig. 1 , le contour du petit cercle est plus courbé que le contour du grand , dans le rapport inverse du petit au grand rayon. Dodc la courbure des cercles est en raison inverse de la grandeur de leurs rayons. Voilà pourquoi, quand le rayon est très-grand , la courbure du cercle paraît presque nulle.

Application à la courbure de la /erre. Le rayon de la terre ayant plus de six millions de mètres, son grand cercle est un million de fois moins courbé qu'un cercle ayant six mètres de rayon, et huit million^ de fois moins courbé qu'un cercle tel qu'une roue de cabriolet. Aussi sa courbure nous parait insensible pour de petites distantes, et ne commence à devenir appréciable qu'en mer, ou dans les plus vastes plaines.

La connaissance de la courbure de la terre sert à mesurer, par approximation, la hauteur des montagnes et des côtes, quand on'oônnaîtla distance de ces lieux au point où l'on se trouve.

, Soit ÀB le rayon de la terre, et CD, Bg. a, la montagne dont le sommet D, commence à disparaître aux yeux du voya- ! geur qui vient deD et arrive en B. Si Ton connaît la distance BC, en nienantle rayon ACD, on peut sur-le-champ mesurer CD. Lorsque l'angle BÀÇ est tres-petit , l'arc BC approche beaucoup d'égaler la perpendiculaire abaissée du Jxrint B sur AD. On a donc, à très-peu de chose près,

AB : ffi: : HfirCD; c'est-à-dire, le rayon de la terre est à la distance BC de la moutagne, au point où se trouve le Voyageur, comme cette

distance , est à la hauteur CD de la montagne. Par conséquent, CD = ?£.

Les marins , par une méthode inverse, quand ils connaissent la hauteur CD de la mâture ou de toute autre partie d'un vaisseau, en concluent la distance, BC, où ils se trouvent de ce navire; ce qui, durant la guerre, est souvent de la plus grande importance.

Nous venpns de voir que le rayon de9 cercles . donne une mesure de leur courbure ; nous allons voir qu'il sert également à mesurer la cour* bure de toutes les lignes courbes.

C'est une des conceptions les plus heureuses de la géométrie, que ce moyen de donner par ' des lignes droites la mesure de la courbure des lignes courbes. Une conception pareille simplifie extrêmement les opérations relatives à cette courbure.

Soit la courbe quelconque AA'A"Z, fig. 3, dont nous voulions connaître la courbure. Nous prendrons trois à trois ses points extrêmement rapprochés ; par trois points consécutifs À, A', A'', nous décrirons un cercle ABC , lequel aura même courbure que la courbe AZ, dans le trèspetit arc AA'A". Nous pourrons faire la même chose pour tout autre point; et déterminer ainsi quels cercles ont même courbure que la courbe, en ses différents points, et quels sont les rayons de ces cercles.

364 QÊOXÊTR1E.

Le cercle ABC lequel, en un point A, présente lu même courbure que la courbe quelconque AZ , est appelé le cercle .oscillateur de cette courbe ; le rayon ÀO de ce cercle est le rayon de courbure ; enfin, le centre du cercle est le centre de courbure.

Le rayon étant perpendiculaire au contour du cercle en A , et le contour du cercle, en À, A' et A", étant le même pour le cercle et la courbe , il en résulte que le rayon de courbure est perpendiculaire ou normal à la courbe, dont il mesure la courbure,

-, Supposons que, des différents pointa A, A', A", fig. 4, très-voisins les uns des autres, on ait mené les perpendiculaires ou normales h la courbe AZ, et qu'on ait pris : la longueur AO du rayon de courbure en A ; la longueur AO' du rayon de courbure en A'; la longueur AO" du rayon de courbure en A", etc. Les points A, A', étant sur l'arc de cercle dontOest le centre, on a ÛA=OA'; parla même raison , O'O A = O'A", 0"0'A' == 0"A'" r - Attachons au point A l'extrémité d'un fil inextensible; tendons ce fil, suivant AO, et suivant le contour donné par les points O, O', 0"...., qui sont les centres de courbure de AZ. Faisons, ensuite, avancer le point A , en tenant toujours le fil tendu , sans qu'il puisse glisser le long de OQ'O".... ; la partie ,AO (la fil \a décrire un petit arc de cercle A.V,' qui sera

QUINZIÈME LBÇON. 365

tout entier sur la courbe AZ, puisque son centre est le centre de courbure O de AZ, à partir du point A.

Arrivé en A', le fil sera tendu en ligne droite depuis A' jusqu'en O'. Quand le point A avancera pour passer de À' en A", le fil tendu en ligne droite depuis O', décrira un arc de cercle A' A" dont O' sera le centre. De même, le point A , passant de A" en A"', va décrire un arc A" A'", dont le centre est en O", etc.

Ainsi, quand on connaît une suite de points très-rapprochés O, O', O",.-* qui sont l es centres de courbure d'une ligne AZ, on peut, avec un fil flexible, mais inextensible, tracer très-facilement la courbe AZ. Ce moyen sera d'autant plus près d'une exactitude rigoureuse, que les centres

O, O' ,0" , seront à de moindres distances. Il

sera parfaitement exact si ces points se succèdent sans intervalle, et forment une courbe continue.

Lors même qu'on n'emploie que comme méthode approchée le moyen que nous venons d'indiquer , on représente la courbe AZ avec bien plus d'exactitude et de continuité , qu'en substituant à cette courbe un polygone formé par les cordes ou par les tangentes de cette courbe.

Avec le tracé nouveau, tous les arcs de cercle substitués à la courba AZ, se raccordent longitudinalement; il n'y a plus d'angles comme aux

366 vàomâTmMT.

MiMinrli des polygpiies, ni de cotés remplacent des parties comte*. "

H faudra donc employer le de produire le ferme qu'on ne peut pss exactement les fi» que le continuité de la courbure d'une grande importance.

Noos avons vn que le fil ÀOOWL-i tandis que le point A, extrémité de ce fil* décrivait la courbe AZ. Si nous examinons la ÛPQ-.X; que.parcourt le point tivement sur ce fil, nous t eiron s qne XQffj J r la longueur totale de la portion de fil pàmU^ renient pliée suivant OOtr-O*-

On appelle développante la conrbe OPQX qai

sert à développer la courbeOO'0"...0", laquelle

- est développée de manière que sa longueur est

partout égale au rayon de courbure OC, PO*,

QO"',... XO" 1 , de la courbe OPQX. .

Les arts font un grand usage des développantes et particulièrement de la développante d* cercle » fig. 5. Le méchanicien l'emploie pour tailler convenablement ses cames.

Supposons qu'un pilpn AB, fig. 6. 7. 8, soit assujetti dans une coulisse, de manière à ne pouvoir que monter et descendre suivant une ligne verticale déterminée ; c est cette montée et cette descente quil faut produire.

Pour cela , Ton pose un arbre cylindrique h*

rizontalC, qui vient toucher tangentiellement un mentonnet saillant DE, dont le dessous est en ligne droite avec le centre de l'arbre, quand le pilon est descendu à son point le plus bas, fîg 6.

Sur le contour de l'arbre, on fixe un arcOPQR de la développante du contour 00'0"0"' du cercle qui sert de base à l'arbre.

Quand cet arbre tourne, le point O' arrive d'abord à la position qu'occupait O; alors la tangente O'Pdu cercle devient verticale, fig. 7. Il faut donc que le merftonnet ED , entraînant avec lui le pilon, ait monté d'une hauteur = 0'P. L'arbre tournant toujours, O'' arrive à la position primitive de O ; alors le mentonnet et le pilon se trouvent élevés de OQ. Enfin , l'arbre tournant toiu jours, O'" arrive à la position primitive de O, fig. 8 , 0"'R devient verticale ; le mentonnet ne trouvant plus rien qui le retienne, cesse de s'opposer à la chute du pilon, qui tombe librement par l'effet de son poids, et reste en repos jusqu'à ce que la came, ayant achevé son tour avec l'arbre , revienne de nouveau soulever le pilon.

Ce mouvement a le grand avantage de sîexécuter sans secousse , et, comme vous le verrez dans la méchanique , sans aucune force perdue.

Dans la XIII e . leçon , nous avons examiné la courbe importante qu'on appelle ellipse. Cette eourbe ABC , fig. 9 , étant symétrique par rap-

port à ses axes , sa développée , DEF est pareillement symétrique par rapport aux mêmes axes La plus grande courbure de l'ellipse, est à l'extrémité de son grand axe ; la plus petite est i l'extrémité de son petit axe.

Si l'on avait à construire une grande ellipse] fig. 9 -, avec beaucoup de continuité , on pourrait tracer la développée DEF , et décrire la courbe ABC , par le moyen d'un fil et d'un cordeau plié tantôt sur DE, tantôt sur EF.

Il importe de remarquer que, même quand on prendrait pour DEF un polygone , c'est-àdire, une suite de lignes formant des angles, la courbe ABC ne présenterait pourtant aucune partie rectiligne , ni aucun angle; elle aurait donc deux éléments de continuité qui manquent à .DEF. La courbe dont ABC sera la développante, aurait encore plus de continuité ; puisque ses rayons de courbure augmenteraient ou diminueraient par degrés insensibles , lor§ memç que les rayons de courbure de ABC, se succéderaient sans continuité, comme dans la construction de la courbe dite anse à panier. Voyez IV e . leçon , fig. 36.

A présent, vous concevez différents genre* de continuité dont il est essentiel de bien classe! la gradation dans votre esprit.

î °. On peut représenter une courbe , fig- io par une suite de points isolés, mais fort rap-

QUiHztèfltË ttqon. 36g

** proches fes uns des autres. Telles sont,. dans lin ^ dessin, les lignes ponctuées; telles sont les dire6» "*■ tions marquées par des rangées d'arbres plantés ^'à des distances plus ou moins grandes , suivant -des lignes droites ou courbes , que l'œil imagine -aisément, lorsque ces courbes ont quelque con- - tinuité. Cependant, ici, la continuité n'est qu'infl diquée par des points , comme elle l'est par des et nombres dans les devis qui font connaître , pour n l chaque courbe, la position d'un certain nombre >-" de points. Les devis de la carène des vaisseaux y en offrent l'exemple.

a°. L'oii peut représenter une courbe par une z suite de lignes droites qui en sont les cordes ,

i AA', A'A", A" A"',, fig. ii , ouïes tangentes

z. AA'A" fig. 12. Par ce second mode, il y a

-' continuité dans la succession des points ; mais :■ non dans les directions; puisqua chaque som-

?' met A', A", A'", du polygone, on change su-.

; bitement de direction.

3°. On peut substituer à la courbe une suite

d'arcs de cercles AA', A'A^, M'A!", fig. 4,

» ayant à peu près même rayon de courbure que la ligne qu ils représentent : alors il y a continuité dans la succession des points et dans' leur direction. Si les arcs sont très-petits , il y a conti- < nuité dans la direction et dans la courbure de la courbe. C'est ainsi que les architectes , comme

nous l'avons dit, tracent le profil des voûtes T. I— Giom. 47

370 cj£oh4tri£.

surbaissées ; c'est ainsi que les ingénieurs des ponts et chaussées tracent les arches non circulaires de leurs ponts.

Les arts , suivant l'importance de leurs opérations et le degré d'exactitude qui doit en assurer le succès, ont besoin d'employer ces divers degrés de continuité, dans leurs constructions et dans leurs mouvements. C'est aux chefs d'ateliers et de manufactures à juger, suivant les cas, quel mode réunit le mieux les avantages de facilité, de simplicité et d'exactitude suffisante.

Les constructeurs de vaisseaux font usage d'un moyen méchanique qu'il est bon de vous expliquer, lorsqu'ils veulent donner une grande continuité de direction et de courbure aux lignes, à laide desquelles ils déterminent et construisent la forme de la carène des vaisseaux. Ils marquent les points isolés par où doit passer la courbe. Ensuite ils plantent des clous des deux côtés de ces points et à telle distance qu'une règle mince puisse être pliée et posée entre ces pairesde clous. Enfin , il faut qu'avec un crayon , la courbe tracée le long de la règle pliée, passe partons

les points A, A', A" , fig. i3. On a besoin d'une

grande habitude, lorsqu'on fait cette opération, pour que la courbure de la ligne soit produite, d'un bout à l'autre , par des dégradations insensensibles, et présente le degré de continuité qui contribue à diminuer la résistance que Tew

QUINZIÈME LEÇON. fyl

éprouve à glisser le long de la carène , quand le navire est en mouvement. Les constructeurs de navire trouveront, à cet égard, un grand avantage

. dans l'étude des formes géométriques. Cette étude formera promptement et sûrement leur

- coup d'oeil.

, Le moyen qui convient aux plus grands tracés ne peut plus être employé pour de petits dessins exécutés sur des feuilles de papier. Alors on substitue, aux grandes règles de bois, de petites règles en baleine ; les unes , partout également épaisses , servent à tracer des courbes dont la courbure ne varie que d'une faible quantité ; d'autres , amincies graduellement vers une seule extrémité, ou vers les deux extrémités, servent à tracer des parties de courbe où la courbure diminue de même graduellement d'un bout à l'autre. On plie ces baleines de manière à ce que leur contour passe par les points indiqués, sur le plan, comme appartenants à la courbe qu'on veut tracer et qu'on trace avec un crayon qui s'appuie contre cette courbe. Des plombs P, P', P",.... fig. i'4 , couverts de papier ou d'étoffe , et taillés en triangle, pour plus de facilité, remplacent sur le papier les clous des tracés en grand , pareils aux tracés des constructeurs, dans les salies de gabarits .

Pouf faire passer des courbes par des points donnés, les dessinateurs emploient souvent un

3ya GÉOMÉTRIE.

instrument qu ils appellent pistolet 9 à cause de sa forme ÀBCDE, fig. i5. Comme il offre des courbures extrêmement variées, on peut, dans la plupart des cas, poser cet instrument de manière à tracer par degrés une figure qui ne présente aucun angle, et dont les courbures se succèdent sans ressauts brusques.

Jusqu'ici , nous n'avons parlé que de la courbure des lignes tracées dans un plan : telles sont les lignes qu'on appelle a simple courbure.

Mais il y a des lignes qu'on ne peut pas tracer sur un plan , parce qu'elles ont deux courbures au lieu d'une ; telles sont les spirales tracées sur des cylindres , des cônes , etc.

Pour les lignes à double courbure, comme pour les lignes à simple courbure , on peut toujours prendre trois à trois les points immédiatement consécutifs dont elles se composent, et par les trois points faire passer un cercle. Ce sera le cercle osculateur de la courbe , dans l'étendue du petit élément compris entre les trois points. On appellejpfa/2 osculateur Ae la courbe, le plan même du cercle osculateur. Aucun autre ne pourrait, à partir de l'élément que l'on considère, s'approcher davantage de la courbe à double courbure. Par le moyen des plans et des cercles osculateurs, on pourra, dans les arts, avec une suite d'arcs de cercle qui se raccorderont tangentiellement , U aoer par approximation et d'une

QUI1T2IÉME LEÇOlf." 3^

manière très-continue, toutes les espèces de courbes à double courbure.

Il y aurait à développer, sur la courbure de ces lignes, beaucoup de considérations belles et importantes, 'Mais elles ne sont pas assez élémentaires et d'une application assez immédiate , assez fréquente , dans les travaux ordinaires de l'industrie, pour trouver ici la place qui leur convient.

Lia courbure des surfaces est , au contraire , d'une considération perpétuelle et indispensable dans les travaux de l'industrie.

Courbure de la sphère. La sphère est la surface dont la courbure est la plus facile à considérer et à mesurer. Prenons sur la sphère un point quelconque A, fig. 16, et menons du centre O, le rayon AO. Ce rayon mesurera la courbure en A, de toutes les sections faites dans la sphère , par un plan qui contienne le rayon AO. Il mesurera la courbure même de la sphère; courbure , comme on voit , constante dans tous les sens et pour tous les points de la surface. Ainsi , partout , le rayon de la sphère est en même temps son rayon de courbure , et celui de toutes les sections faites par un plan dans lequel est situé ce rayon.

Le cylindre droit circulaire, considéré dans le sens de sa base, a pour rayon de courbure, le rayon même de la sphère qu'il enveloppe et qu'il touche suivant le contour de sa base. Mais , oon-

3y4 G^OMJÎTRIE.

sidéré dans le sens de l'arête AB, fig. 17, il na point de courbure, et si l'on demandait quelle longueur devrait avoir le rayon du cercle oscillateur du cylindre, dans le sens de son arête, on verrait que ce rayon doit être infini.

Il en est de même du cône droit circulaire.

Dans le sens de sa base , il a pour rayon de cour bure le rayon même de la sphère qu'il enveloppe ; dans le sens de l'arête , la courbure du cône est nulle.

Les autres espèces de cylindres et de cônes, et généralement les surfaces déyeloppables n'ont pas de courbure dans le sens de leurs arêtes rectilignes, tandis quelles en ont une plus ou moins marquée dans le sens perpendiculaire.

On remarquera que, dans le cylindre et le cône, les sections faites suivant un rayon AO de la base, fig. 17 et 18, ont toujours leur centre de courbure en dedans de la surface. Ainsi, dans toute l'étendue d'une même arête AA'A"...B des surfaces coniques et cylindriques, les rayons de courbure AO, A'O', A"0",.— sont dirigés dans le même sens et parallèles.

Il n'en est pas ainsi pour les surfaces gauches. Si, par exemple, l'on regarde la surface gauche de l'escalier, on y verra toujours dans un sens la courbure tourner en bas sa concavité, et la tourner en haut dans le sens perpendiculaire.

La gorge d'un rouet de poulie, fig. 19, a sa

moindre courbure dirigée dans le sens perpendiculaire à Taxe du rouet, et son centre de moindre courbure placé sur cet axe même ; tandis que f dans le sens parallèle à l'axe , la gorge du rouet a son centre de plus grande courbure en unpoint n, équidistant de m , p, bords de la gorge.

Voilà donc trois classes de surfaces bien distinctes, lorsqu'on les envisage par rapport à leur courbure.

Dans la première classe, les courbures des lignes qu'on peut tracer sur chaque surface sont toutes dirigées dans le même sens ; cette classe comprend la sphère , les ellipsoïdes , la surface de l'œuf, du marron f du cocon de ver à soie , etc.

Dans la seconde classe, il n'y a plus qu'un sens suivant lequel les courbures sont marr quées ; elles sont nulles dans l'autre sens. Cette seconde classe ne comprend que les surfaces développables, les cylindres , les cônes , etc.

Enfin , dans la troisième classe, une partie des courbures est dirigée dans un sens, et l'autre dans le sens opposé. De manière qu'en menant par un point donné de la surface, la normale à cette surface, une partie des centres de courbure des sections se trouve sur cette normale, d'un côté de la surface, et l'autre partie se trouve de l'autre côté.

La surface variée du corps humain présente

376 céomÉihiE:

ces trois classes de surfaces. Ainsi nous devons rapporter à la première classe lés formes des extrémités saillantes : le talon, la rotule, le genou , l'épaule , le bout des doigts ont leurs deux courbures dirigées dans lé même sens.

Une partie des cuisses , des jambes et des bras n'a pas de courbure dans un sens, et se rapporte aux surfaces de la seconde classe.

Enfin , nous voyons des surfaces de la troisième classe , c'est-à-dire , ayant leurs deux courbures dirigées en sens opposés , dans toutes les jointures des bras, v des doigts, des aisselles, etc. , dans l'attache de la tête et du corps avec le col , etc.

Parmi ces formes générales , l'œil exercé du sculpteur et du peintre découvre une foule de nuances dans la succession, dans la gradation des courbures de chaque partie du corps. Selon qu'il rend ces nuances avec plus ou moins de fidélité , il produit des chefs-d'œuvre dont la vérité fait l'admiration des connaisseurs, ou des ébauches dont la grossièreté repousse les regards d'un observateur éclairé.

Les courbures des diverses parties de la surface de notre corps dépendent beaucoup de la forme des os, des nerfs et des muscles que recouvre la peau. Ainsi, le dessinateur profond doit toujours se rendre compte de la vérité des formes qu'il veut exprimer, en ayant soin que

QUI NZIKAfX; LEÇON. 377

cette expression révèle le* formes cachées , ipais sensibles des parties intérieures..

Un défaut remarquable dans les œuvres de quelques artistes, est de repdre trop saillantes, trop courbées, trop bombées, certaines parties de . la surface de notre corps, afin d'indiquer plus distinctement des formes anatomiques , lors même qu'elles doivent échapper à l'oeil. Cette affectation n'est qu'un charlatanisme, indigne du talent des grands maîtres.

La surface de notre visage jouit d'une mobilité précieuse, qui dépend beaucoup de nos affections intérieures, ou momentanées, ou constantes. Les affections constantes donnent, à la courbure des parties mobiles, et même à l'aspect des parties fixes, des formes durables, qu'une observation suivie fait reconnaître dans leurs moindres nuances. Tels sont les caractères des physionomies. Nos affections passagères impriment à nos traits des changements de forme plus ou moins prononcés, plus ou moins fugaces, et leur étude est aussi d'une très-haute importance, dans la culture des beaux -arts; elle offre des variétés infinies parmi lesquelles l'homme de génie sait choisir les fermes précises qui conviennent le mieux au caractère gracieux ou sévère, pu profond, ou terrible de ses compositions.

: . H we reste à vous par^r d'une étude récem*

T, 1. — Giom. 4 s

378 GiOM^TRIB.

ment imaginée, par rapport aux formes de la tète humaine» Outre une ordonnace générale des deux courbures principales du crâne, on remarque des inflexions , des variétés de courbures locales plus ou moins prononcées chez les divers individus.

On a considéré ces parties plus ou moins courbées , plus ou ipoins bombées , qu'on appelle bosses, comme offrant des signes extérieurs de nos facultés plus ou moins puissantes , et de nos penchants plus ou moins prononcés.

Il est aisé de jeter , sur de telles études , un vernis léger de ridicule et de dédain ; mais le prudent observateur des lois de la nature , n'est jamais prompt à répandre le blâme, non plus qu'à prodiguer l'éloge , lorsqu'il s'agit d'études graves sur des objets nouveaux. Quand même il serait vrai que le désir de tout expliquer aurait fait beaucoup trop multiplier les indices supposés de nos penchants et de nos facultés, il suffirait qu'un petit nombre de rapports intellectuels eussent des indications plus ou moins éloignées , dans les formes de notre crâne , pour que l'étude profonde des variétés de ses courbures devînt l'un des objets le§ plus dignes d'occuper les méditations des sages.

Les diverses parties qui composent la stature des animaux, ont un volume et des formes

droites ou courbées qui les rendent plus ou moins* propres à certains mouvements* C'est l'objet d'une science encore nouvelle, connue sous le nom cCanatomie comparée» Cette science fera prendre à ses études une rigueur salutaire, et donnera beaucoup de perfection à -ses résultats, en rapportant à des mesures géométriques non-seulement les dimensions principales de chaque partie de la charpente osseuse des animaux , mais la grandeur et le sens de la courbure de chaque élément de cette charpente :

surtout pour les parties en contact , c'est-à-dire , les» jointures.

En même temps que cette étude pourra servir aux progrès de l'anatorpie comparée , elle fournira des résultats très-utiles aux travaux de l'industrie. Les animaux , pour satisfaire à leurs besoins , exécutent avec une perfection rare beaucoup d'opérations où nos arts et métieré s'élèvent à peine au-dessus de la médiocrité. Ils trouveront des modèles variés et très-ingénieux dans les moyens que la nature fournit aux êtres animés.

Les animaux herbivores ont les ; dents parfaitement disposées pour broyer des matières végétales. La forme de leurs dents se conserve malgré l'usé qu'elles éprouvent dans l'opération du broiement de la nourriture ,. tandis que la forme de nos meules de moulin se détruit

38o G ÉO M i TRIE.

promptement : ce qui oblige à renoaveler souvent cette forme , on, comme on dit, à repiquer les meules pour qu'elles recommencent à bien moudre. L'art est donc ici fort au-dessous de la nature. En partant de cette idée, M. Molard, membre de l'Institut, s'est occupé de former des machines k broyer, dans lesquelles il a pris pour modèles les dents molaires des chevaux, et n'a plus eu besoin de repiquer ces parties molaires , pour empêcher le broiement de devenir imparfait.

L'industrie même est donc intéressée à ce que les anatomistes , les géomètres et les méchauiciens étudient de concert les dimensions, les courbures et les fonctions des diverses parties des animaux.

Quittons maintenant ces considérations générales sur l'importance des études de la courbure des surfaces , dans l'industrie et dans l'histoire naturelle, pour revenir aux caractères géométriques propres à donner avec simplicité les éléments et les variétés de ces courbures.

Pour les surfaces de la première classe , on peut toujours tracer une ellipse projetée paralliement à son plan, fi£. ao, en ABCD, laquelle ellipse représente, à partir d'un point P, l:i forme d'une tranche de la surface, faite parallèlement au plan nui tangent à la surface en P, et très-près de MN ; PC.) étant la distance du point P

QUll^SIÈME LEÇON. 38f

au plan coupant MN , si l'on fait passer par le point P- une 'suite de cercles ayant leurs centres sur la normale ou perpendiculaire PO, et par le contour de l'ellipse, on aura tous les cercles osculateurs des sections faites dans la surface, par les pians mêmes de ces cercles.

Le plus petit de ces cercles passera par les sommets B t D, du petit axe de l'ellipse; le pins grand passera par les sommets A, C, du grand axe de l'ellipse. La fig. 20 bis représente tous les cercles rabattus sur un même plan qui passe par la normale PO/; de la fig. 20.

Donc, dans les surfaces de la première classe, lesquelles ont toutes leurs courbures dans le même sens , la direction de plus grande courbure AB, est perpendiculaire à la direction de moindre courbure CD.

Ainsi , peur toutes les surfaces dont les deux courbures sont dans le même sens, à partir de chaque point , la direction de plus grande cour* bure est perpendiculaire à la direction de moindre courbure.

Le contour de l'ellipse étant symétrique par rapport à ses deux axes , les cercles osculateurs qui passeront par le contour et par la perpendiculaire ou normale POp, seront de même symétriques par rapport aux axes AC, BD, c'està-dire, par rapport aux deux directions de plus grande et de moindre courbure.

38» <tÉQMXB.»E-

AinaL, Le courbures intermédiaires des scctions perpendiculaires à la sariàçe , courbures <jœl vont* par une dégradation continue, depuis la moindre iusqn* la pins grande, sont disposées symétriquement par rapport à la. directe» de la plus grande et de la moindre co urbur e , i

partir de chaque point de la surface.

Pour les surfaces de la troisième classe, m plan qui les coupe infiniment près du plan tangent» donne une section cfcmt ta forme est celle de Fhypedbole. La direction des axes de cette hyperbole donne la direction des deux axes de plus grande et de moindre courbure. Les courbures intermédiaires sont disposées symétriquement par rapport à la direction de ces axes. On représente . ri^. ai , les sections Élites dans une gor^e de pouiie , dont les deux courbures sont dirigées en sens contraires par deux plans trèsvoisins du pian 3t>\ tangent en P à cette gorge; ces sectionsont la tonne de deux hyperboles indicatrices. IL sera bon qu'on ait cette tig;ure en relie£ Les suriaces de la deuxième classe peuvent être considérées comine la Limite commune des deux autres classes. A ce titre, eues jouissent des pro- '}f:;^s cuoimLiiK'S ..;»x autres surfaces : devoir ;e*:rs directions de -:>ias grande et de moindre c.'^rLure p^rpend-CLiiaires entr e.Les ,avec toutes i^s courbures :ucernieù:aires disposées svmetri-

^^^îcenv par rapport aux courbures principales.

QUINZIÈME LEÇOIf. 383

J'ai donné le nom d'indicatrices à ces courbes qui ont la propriété ^indiquer la nature et les rapports de la courbure des surfaces , et j'ai présenté tous les moyens de s'en servir pour connaître les propriétés essentielles de la courbure des surfaces. Je ne puis que renvoyer aux recherches que j'ai données à ce sujet dans mes Dé" veloppements de géométrie , et aux applications que j'en ai faites {Applications de géométrie), à la stabilité des corps flottants, à la construction des vaisseaux , aux déblais et remblais dans les travaux publics, et finalement aux phénomènes d'optique produits par la réflexion de faisceaux lumineux, sur des miroirs courbes quelconques.

Supposons maintenant, qu'en partant d'un premier point d'une surface, on s'avance toujours suivant la direction de la plus grande courbure ; on va tracer une ligne. Toutes les lignes tracées ainsi couvriront en entier la surface : elles formeront le système des lignes de plus grande courbure. d

Au contraire, si , partant d'un point donné de la surface , on s'avance en suivant partout la direction des moindres courbures, on va tracer une nouvelle ligne ; toutes les lignes ainsi tracées vont encore couvrir en entier la surface. Elles formeront le système des lignes de moindre courbure.

Enfin , partout , les lignes de plus gronda

courbure seront perpendiculaires aux lignes de moindre courbure.

Les lignes de courbure jouissent d'une propriété bien précieuse pour les arts; je me borne à vous l'indiquer sans démonstration. «Sc\ par chaque point d'une même ligne de courbure } on mène une perpendiculaire à la sur/ace , toutes ces perpendiculaires vont former une surface tpi sera nécessairement dèsreloppable ^ i ]" .

Dans le cylindre, fig. aa, les lignes de moindre courbure sont les arêtes rect dignes pour lesquelles la courbure est zéro. Les lignes de plus grande courbure sont les sections fautes dans des plans perpendiculaires k Taxe , et le contour de ces sections est évidemment perpendiculaire à chaque arête. Donc , dans le cvlindre , les lignes de plus grande et de moindre courbure sont à ansle droit.

Dans le cône. fis. a 3, où les arêtes sont de même les lignes de moindre courbure, on trouve ainsi les lignes de plus grande courbure : onpUce la pointe d'un compas au sommet du cône, puis on trace avec l'autre pointe, des courbes diverses pour chaque ouverture de compas, mais toutes perpendiculaires aux arêtes; car, en développant le cône, ces courbes deviendront

\\\ Ou trouve la d, : :aonstratïL:i de ce principe et celle de toutes les propriéti-s relatives à Li courbure des lignes et des surfaces , dans mes Développements de Géométrie.

QUINZIEME t. ET. ON. 585

dès cercles dont les arêtes seront les rayons.

Dans lès surfaces de révolution , les méridiens sont les lignes d'une courbure, et les parallèles celles de l'autre courbure , et nous savons que les méridiens sont partout perpendiculaires aux parallèles.

Le célèbre Monge a fait , des propriétés que nous venons d'énumérer, une très-belle application à la coupe des pierres.

Lorsqu'on doit exécuter des voûtes ayant la forme de surfaces courbes, on divise ces voûtes en compartiments assez petits pour que chacun puisse être tiré d'une seule pierre.

Après avoir travaillé la partie de la pierre qui doit représenter le compartiment, et lui avoir donné la figure qui convient à la surface de la voûte (intrados;, on travaille les faces appelées joints, suivant lesquelles les différente* pii'ir^s nommées voussoirs doivent porter les unes contre les autres. Pour satisfaire le mieux |>ossible k toutes les conditions, on demande: i°. que les faces de joints aient la forme la {dus «impie et la plus exactement exécutable; û jP. que IW^mMage ait la plus grande solidité. Celte dernière condition exige que les faœs de joint soient partout perpendiculaires à la voûte; il est facile de voir de ouelltr manière. Si , pour un voussoir, la face de joint faisait un angle obtus avec ta vo6te, le -voussoir adjacent ferait arec cette voûte un

angle aigu; par l'effet de la pression, le voussoir terminé par une arête obtuse, écraserait le vo ussoir terminé par une arête aiguë ou le ferait éclater, au moindre effet produit par le tassement et la pression. La condition de la simplicité, de la facilité , demandera de faire les joints ou plans ou du moins développables. Lorsqu'on adoptera cette forme, on pourra toujours tailler en papier, en carton , en toute autre substance flexible , une feuille plane ayant le contour précis qui convient au joint; il suffira de la ployer convenablement , pour voir si elle s'ajuste partout sur le joint qu'on rendra perpendiculaire i la voûte, au moyeu de l'équerre.

Or, les conditions qui viennent d'être énnmérées exigeant qu'on trouve des surfaces développables partout perpendiculaires à la voûte, et perpendiculaires entr elles , exigent aussi qu'on choisisse pour lignes de joints, sur la surface de la voûte , les lignes de courbure de cetle surface.

Ainsi , quand on construit des surfaces cylindriques, fi g. *4> on choisit pour joints : dans une première direction , des arêtes parallèleségalement espacées; ce sont les lignes de moindre courbure; dans une seconde direction, des courbes perpendiculaires à ces arêtes; ce sont les lignes de plus grande courbure. Les surfaces de joint formées par les normales de la surface, suivant ces arêtes et ces courbes, sont des plans qui

se coupent à angle droit. Le travail du tailleur de pierre devient alors aussi simple que possible.

Quand on construit des surfaces coniques, fîg. a 5, comme pour des portes et dès fenêtres évasées, des embrasures voûtées, comme celles des casemates ,. etc. , on choisit de même , pour lignesd e joints, les arêtes du cône et les courbes perpendiculaires à ces arêtes.

Lorsqu'on veut faire une voûte qui ait la forme d'une surface de révolution , fig. 26 , un dôme , pat exemple, on trace.sur la voûte des compartiments réguliers, composés dé méridiens et de parallèles. Les perpendiculaires à la voûte , suivant la direction du méridien, forment des plans; ce sont les joints verticaux des voussoirs. Les perpendiculaires à la voûte, suivant la direction des parallèles , forment des cônes ; ce sont les joints du sens horizontal, et ces joints sont développables, parce qu'ils correspondent à des lignes de courbure. Enfin les joints coniques se trouvent coupés à angle droit par les joints plans qui sont , pour les cônes, des plans méridiens.

Je n'étendrai pas plus loin cette magnifique application, si simple, si générale, si féconde dans son principe et dans ses conséquences. Elle est propre à nous montrer toute l'importance qu'a pour les arts l'étude de la courbure . des surfaces, et de ses principales propriétés. Les

beaux-arts peuvent retirer un grand fruit de cette même étude.

Par l'effet varié de là lumière et des ombres, nous jugeons à la simple vue, non-seulement des points saillants ou brillants, et des arêtes prononcées , et des contours apparents qui donnent un caractère à la figure de chaque corps. Les nuances plus ou moins fortes de l'ombre et de la lumière , nous permettent , dans les parties mêmes ou nul point , nulle ligne, ne sont particulièrement remarquables, de distinguer la forme des corps, et le genre , le degré de leur courbure en chaque partie de leur surface*

Cette étude ne convient pas seulement à far* tiste, elle est utile aux hommes de toutes les professions; elle leur donne des notions plus rapides, plus justes, plus complètes, sur la vraie forme des objets qu'ils considèrent ou par plaisir ou par besoin.

Examinons comment notre œil parvientànous donner une idée de la courbure des surfaces.

Supposons qu'une sphère ABC , fig. 37 , soit éclairée , suivant une certaine direction par des rayons solaires.

Je commencerai par tracer la ligne de séparation d'ombre et de lumière LLL, d'après les principes exposés dans la XIV e leçon. Je marquerai de hachures noires la partie dans l'ombre, et il ne restera plus d'éclairé que LLLBC, fig. 27.

QUINZIÈME LBÇON. 38<)

C'est ainsi que la lune nous apparaît dans ses diverses phases ; depuis le simple croissant éclairé, fig. 29, jusqu'au premier quartier , fig. 28 , où la moitié de l'astre paraît éclairée , et la moitié dans l'ombre; et puis sous l'aspect, fig. 27,; avant d'arriver jusqu'à la pleine lune qui est toute éclairée , et à la fin de la lune , dans une éclipse, où rien n'est plus éclairé pour le spectateur; Si je ne considère que la partie éclairée LLLB sans autres nuances, rien ne m'indique qu'elle appartienne à une sphère plutôt qu'à une surface allongée ou aplatie dans le sens du rayon visuel. Voyons comment nous apprécierons cette différence.

Il est sur la surface , supposée brillante comme un miroir, un certain point O , fig. 27 , d'où le spectateur apercevrait l'image du soleil ou du corps lumineux. C'est le point où la lumière réfléchie par la surface est la plus considérable : on l'appelle point brillant. Il faut çn déterminer la position. C'est ce qu'on fait aisément , si l'on peut mener la normale en O, à la surface du corps. Alors : i°. les deux rayons , l'incident et le réfléchi, sont dans le même plan que cette normale; a\ ils font le même angle avec elle. D'après ces conditions , la géométrie descriptive enseigne le moyen de trouver le point brillant des diverses surfaces, pour une position donnéede l'œiletpour une direction commune des rayons de lumière.

Ensuite, à mesure que les rayons de lumière at«

teignent la surface sous un angle plus oblique, et se réfléchissent sous un angle plus oblique aussi, il y a plus de lumière de perdue, et la surface paraît moins lumineuse. On conçoit qu'autour du point O , l'on puisse tracer une suite de lignes sur tout le contour desquelles le corps semble au spectateur également éclairé; telles sont les lignef qu'on appelle d y égale teinte. Ces lignes une fois tracées , il suffit de passer une suite de teintes plus ou moins faibles , suivant le degré de lumière qui correspond à chaque ligne; et Ton aura peint , avec une extrême exactitude, la dégradation de la lumière , sur la portion de la surface éclairée.

Ces lignes, par leur forme et leur position, feront distinguer parfaitement la nature de la surface et le genre de ses courbures. Elles auront un caractère particulier et facile à reconnaître , pour le cylindre , pour le cône et pour les surfaces développables en général ; elles auront un autre caractère pour la sphère, pour les surfaces de révolution , pour les surfaces annulaires; un autre encore, pour les surfaces spirales et pour les surfaces gauches , etc.

Quoique les lignes dont nous venons de vous donner une idée ne soient pas visibles sur les corps, et quoique la nature produise les dégradations de ses teintes par degrés insensibles et infinis , l'œil ne s'en habitue pas moins à étudier, à saisir, à reconnaître ces formes générales et

QUINZIÈME LEÇOïf. , 3<)I

caractéristiques qu'ont les nuances d'ombre et de lumière des différentes espèces de surfaces.

Cependant, à cet égard, on remarque de grandes différences, dans le degré d'habileté qu'acquièrent les diverses classes d'hommes, suivant que leurs professions les habituent davantage à considérer certaines espèces de surfaces. Ainsi le chaudronnier, le ferblantier, le boisselier, distingueront, avec une extrême facilité, si des surfaces ou des fractiaps de surfaces sont cylindriques ou coniques oudéveloppables en général ; mais ils seront moins habiles pour reconnaître d'autres formes. Le tourneur en bois et en métaux, le potier, le fayencier, etc., qui fabriquent sans cesse des surfaces de révolution , distingueront d'un seul regard et sans le secours de la main , si une surface ou portion de surface est de révolution, ou si elle est en quelque portion , soit aplatie , soit allongée ; mais ils seront moins habiles pour distinguer d'autres formes.

L'architecte jugera bien les formes très-variées , des cylindres , des cônes pareils à ceux des voûtes de ses édifices ; il jugera bien les surfaces de révolution semblables à celles de ses dômes et de ses colonnes ; mais il sera moins habile à distinguer les formes des surfaces étrangères à ses travaux.

Il importe beaucoup d'habituer tout un peuple à juger, d'après la simple vue, du caractère des surfaces et de leur exécution plus ou moins

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h:;fiii ;«.- L'i ■"■■•« "i f t !o ilt-ïîii^iteur, avec leurs haciiiinjs ou U-ur pointillé, doivent se livrer aux es études, pour arriver à la nu'me iidéiitf lion , â la même vérité de conception.