III. Quand on connaît un côté seulement

et les deux angles a, b , dont les sommets sont aux extrémités de ce côté, fig. n ,

Qn trace la ligne AB égale à 1; puis, aveo un instrument propre à rapporter les angles, on mène successivement les lignes droites AC et BC, qui font avec AB les angles a, b .- ABC est le triangle demandé.

Toutes ces opérations sont très-simples; il importe que les professeurs les fassent souvent répéter aux élèves , avec la règle et le compas.

Nous venons d'expliquer trois manières de construire un triangle, i°. avec trois côtés donnés ; 2 . avec deux côtés et l'angle compris entr'eux ; 3°. avec deux angles et le côté compris entr eux. Dans chaque cas , nous avons vu que ces données sont suffisantes.

Donc, i°. quand deux triangles ont leurs trois côtés égaux deux à deux , ils sont égaux : c'est le même triangle construit avec les mêmes éléments , en des endroits différents.

2°. Quand deux triangles ont deux côtés , et l'angle compris entr' eux , égaux de part et d'autre, les deux triangles sont égaux.

3°. Quand deux triangles ont deux angles, et le côté compris entr'eux, égaux de part et d'autre, les deux triangles sont égaux.

Ainsi, fig. 8, les deux triangles ABC, abc sont égaux ,

i°. Si AB égale ub, BC égale bc 9 AC égale ne, -2°. Si AB égale uby BC égale bc, et si l'angle B égale lan^le b : B, b

78 G^OMÉTEIR.

étant compris entre AB et'BC, ab et àc; 3°. 6i AB égale ab, si l'angle A égale a , et si l'angle B égale l'angle b.

Il est essentiel que les artistes aient sans cesse présentes à leur esprit ces trois conditions d'égalité; parce qu'on en fait le plus fréquent usage dans les opérations de l'industrie, ainsi que dans les démonstrations de la géométrie et de la méchanique.

Si Tune des trois conditions suivant lesquelles deux triangles peuvent être égaux , n'est pas rigoureusement remplie , les deux triangles ne sauraient plus être égaux ; puisqu'il y aurait quelque angle ou quelque côté dans l'un ,. qui n'aurait pas son égal dans l'autre. Il importe beaucoup , pour pratiquer les arts d'une manière éclairée, de connaître à des signes fatales , les conditions indispensables pour chaque opération ; elles font éviter une foule de méprises, et servent de vérifications immédiates.

Des Jîgures de quatre cotés ou quadrilatères. Il y a des figures ABCD, fig. 12, complétetement fermées par quatre lignes droites ; elles ont quatre angles et quatre sommets À,B, C, D. On appelle diagonales les lignes droites A G , BD qui joignent des sommets opposés.

En géométrie, on donne le nom général de quadrilatère aux figures de quatre côtés. Il en est que leurs formes plus ou moins régulières font distinguer par des noms spéciaux.

QUATRIÈME rtiÇON. 79

Le trapèze ABCD, fig. 1 3, est la figure île quatre côtés dont deux AB, CD, sont parallèles.

Un trapèze est rectangle , fig. i4, quand un troisième côté BC est perpendiculaire aux deux côtés parallèles AB , CD.

Un trapèze ABCD, fig. i5, est symétrique, quand les deux côtés non parallèles AD, BC sont également obliques par rapport aux doux autres.

Pour quelques édifices réguliers, lo toit se compose d'un triangle symétrique MDC, fig. 1 5, dans la partie supérieure ; et d'un trapèze symétrique ABCD, dans la partie inférieure : c'est co qu'on appelle une mansarde f du nom de l'architecte Mansard auquel on doit ce genre de toiture. La verticale MEF est la ligne de symétrie du triangle et du trapèze.

Lç parallélogramme, fig. i6, est la figure dont les quatre côtés sont parallèles deux k deux.

applications. Le parallélogramme est rfun usage continuel dans les arts; on en fait un fréquent emploi dans la construction des machines ; il sert à produire ce qu'on appelle le mouvement parallèle , etc.

D'après les propriétés des parallèles, qne nous avons démontrées dans la deuxième leçon , les angles opposés d'un parallélogramme, A et C d'une part, D et B de l'autre, sont égaux entre enx : deux sont aigus et deux sont obtus. De pins, si Ton ajoute un angle aigu avec un angle

obtus, la somme égale deux angles droits.

En effet, si nous prolongeons en CE , fig. 16, lo côté I)C, les droites AD, BC étant parallèles, l'angle ADC égale BCE, et DCB plus BGE égalent deux angles droits.

Puisque nous avons prouvé ( deuxième leçon) que les parallèles comprises entre parallèles sont égales, il s'ensuit que les côtés opposés d'un parallélogramme sont égaux entreux.

Ainsi AB égale CD , AD égale BC.

Le point O de rencontre des deux diagonales est au milieu de chacune délies.

En effet, AOC, DOB, fig. 16, étant les diagonales, les triangles ABO , DCO sont égaux ; puisque , i°. AB=DC ; 2°. l'angle ODC = OBA ; 5°. l'angle OCD = OAB , d'après les propriétés des parallèles. Donc OB = OD et OA=OC.

Des deux diagonales AC> DB , fig. 17, la plus grande ACest opposée aux plus grands angles B,D.

En effet, si nous menons les lignes DE, CF perpendiculaires aux côtés AB , CD , ces perpendiculaires seront égales ; or EB est plus petit que AF : donc l'oblique DB est plus courte que l'oblique AG.

On appelle lozange un parallélogramme ABCD, fig. 18, dont les quatre côtés sont égaux : cette figure, par sa régularité, a de la grâce, et s'emploie fréquemment dans les arls d'ornement.

Quand deux côtés du parallélogramme sont à angle droit , tous le sont pareillement.

En effet, si l'angle A, iig. 19, par exemple, est droit, dans le parallélogramme ABCD, le côté AD est perpendiculaire à AB ; il en est de même de BC par rapport à AB. Les deux angles A , B sont droits , ainsi que leurs égaux D , C.

QUATRIEME LRÇOOT. 8l

Telle est la figure qu'on appelle parallélogramme rectangle, fig. 19, ou seulement rectangle, afin d'abréger. Dans cette figure, les deux diagonales AC , BD sont égales.

Pour le prouver, il suffit'd'observer que les deux triangles rectangles ADC, DAB sont égaux. En effet: x°. l'angle droit D égale langie droit A ; 2 . le côté AD est commun aux deux triangles , et par conséquent égal pour les deux ; 3°. le côté DC de l'angle D dans le premier triangle, égale le côté AB de 1 angle A dans le second : donc le troisième côté AC de ADC égale le troisième côté BD de DAB. Or, AC , BD sont les deux diagonales.

Le quarrè ABCD, fig. 20, a ses quatre côtés et ses quatre angles égaux.

Si nous résumons les propriétés des figures de quatre côtés , nous présenterons 1 enumération suivante, que les jeunes artistes doivent graver dans leur mémoire :

Dans le quarré , les quatre angles sont égaux et droits, les quatre côtés sont égaux entr'eux, et les deux diagonales sont égales entr elles.

Dans le rectangle , les quatre angles sont égaux et droits ; il y a deux longs côtés égaux entr eux, deux petits côtés égaux entr eux, et deux diagonales égales entr elles.

Dans le lozange , les quatre côtés sont égaux entr eux, deux angles obtus sont égaux entr eux, deux angles aigus sont égaux entr eux ; enfin les diagonales sont inégales.

T. I.— Géra. "

$fc CJÎOMÉTKir.

Dans le parallélogramme , il y a deux graàds cotés et deux grands angles égaux , deux petits côtés et deux petits angles égaux. Les diagonales sont inégales , la grande fait face aux grands angles , et la petite aux petits angles.

Symétrie des figures de quatre côtés. En repliant une partie de ces figures sur l'autre partie, qui lui est égale, on prouvera que : i*. le trapèze k côtés obliques égaux, fig. i5,est symétrique par rapport à la droite EF qui passe par le milieu de ses deux bases; i°. le rectangle, fig. 19, est symétrique par rapport à chaque ligne droite menée par le milieu de deux côtés opposés ; 3°. le lozange, fig. 8 , est symétrique par rapport à chacune de ses diagonales; 4°. lequarrè , fig. 20, est symétrique par rapport à ses deux diagonales, et par rapport à chaque ligne droite qui passe parle milieu de ses côtés opposés. Cette symétrie des figures de quatre côtés, a la plus grande importance pour les arts et pour la méchanique.

Nous savons que, dans tout triangle, la sommé des angles est égale a deux angles droits.

Mais toute figure de quatre côtés ABCD , fig. 12, peut se décomposer en deux triangles ABC , ÀCD, pour coicuu desquels la somme des trois angles égale deux angles droits. De plus, les six angles de ces deux triangles ont pour somme les quatre angles de la figure ABCD. Donc,

Dans la figure de quatre côtés, la somme des angles égale deux fois deux ou quatre angles droits.

QUATRIKMK LKÇON. 83

Si l'on avait une ligure de ciuq cotes ABCDE, fig. ai , on pourrait , d'un sommet À , mener deux droites AC , AU aux sommets € , D ; ce qui partagerait la figure en trois triangles , dont les neuf angles seraient en somme égaux aux cinq angles de la figure ABCDE.

Ainsi , dans la figure de cinq côtes, la somme des angles égale trois fois deux ou six angles droits.

En suivant la même méthode on verra que la somme des angles est égale, pour la figure de3,4?5,6,y, 8 .... côtés, à a, 4, 6, 8, 10, ia .... angles droits.

Rapports du cercle avec les figures terminées par des lignes droites. Parles trois sommets d'un triangle ABC, fig. a a,* on peut toujours faire passer un cercle; et voici comment : Du milieu de AB, Ton mène mo perpendiculaire àAB, et du milieu de BC , Ton mène no perpendiculaire à BC. Le point o, où ces deux perpendiculaires se rencontrent, est également éloigné des trois sommets A , B , C : donc il est le centre d'un cercle qui passe par ces trois points.

Le triangle dont les sommets sont placés sur la circonférence d'un cercle, est ce qu'on appelle un triangle inscrit dans le cercle.

Quand un triangle est rectangle, fig. a 3, c'est-àdire, a un angle droit B,le centre O du cercle qui passe par les trois sommets du triangle, est au milieu du côté AC qui fait face k l'angle droit : côté que nous avons appelé thypothénuse.

Voici la voie la plus simple pour arriver à démontrer ce principe (i).

Dans le rectangle ÀBCD, fig. ?5, les deux diagonales sont égales, et par conséquent aussi leurs moitiés OA, OB, OC, OD, qu on peut prendre pour rayons d'un cercle. Doue on peut tour jours inscrire dans un cercle un rectangle, fig. a5, et par conséquent un quarré, fig. a6.

Un triangle quelconque ABC étant donné, fig. ?5, si Ton construit son égal ADC, on forme un rectangle, lequel est inscrit dans un cercle avant son centre au milieu de AC. Donc le cercle qui passe par les sommets A, B, C, du triangle ABC, rectangle en B, a pour diamètre le grand coté AC du triangle.

Il suit de là que toute figure ABCD , fig. a4 » de quatre cotés, dont deux angles opposés B, D, sont droits, peut être inscrite dans un cercle qui passe par les quatre sommets de la figure.

En effet, la diagonale AC décompose cette

(:) Nous allons en donner une démonstration Indépendante de la consideratiun des rectangles. Menons du milieu de AB, fig. i3, la droite MO perpendiculaire à AB, et du milieu N de BC, la perpendiculaire NO à BC ; le point O de rencontre est le sommet de deux triangle* égaux AMO, BMO > dans lesquels nous exprimons par i et a, les angles aigus correspondants de AMO, BMO. Ainsi les angles i et a. tout en somme un angl ■ droit. Mais, dans le grand triangle rectangle , l'angle A et l'angle C fout en somme un angle droit; donc lej angles marqués i , i, i , i , sont tous égaux ; de luéoie les angles marqués a, a, a, a, sont égaux. Remarquons que les quatre angles i, i, a, a, autour du point O, sout i plus a et I plus a, c'est-à-dire, deux fois uu angle droit. Donc AO et OC sont en Jigue droite. Donc le point O, également distant de A x B t C t est sur rhypotheuuse AC.

figure en deux triangles rectangle*» inscrit* Vttu et l'autre dans un cercle ayant AC pour diamètre. Les figures qui ont plus de quatre eAtéa ont reçu des noms grecs désignant kfc nombre de leurs angles et de leurs cotés : ainsi

le pentagone, l'hexagone, l'hcptaguuo , roi'toflowt), eUt a 5 6 y 8 wWh, t»tu.

Parmi ces figures , qu'on appelle en général polygones ( ce qui veut dire figures do plusiaur* angles), celles qui méritent surtout un exurmm spécial sont les polygones réguliers ; leurs usage* sont fréquents et importants pour l'induittrio.

Les polygones réguliers ont tous leurs côtés égaux ) et tous leurs angles égaux.

D'après cette définition, si Ion trouve un point O, fig. 27, également éloigné de troif sommets À, B, C, du polygone régulier AKCDKF, je dis qu'il est également éloigné d<; ton* Ut* autres sommets : ainsf OA = Oft :=== OC =Ol),,,,

, les triaiigl** \\ui**x'v\%w% M)H f f*OC', *}»#t

OA, OB, OC. tottt t^aasx. Le* *%$** **m4Uv}v+* *■#*■kat \ B . ywà&$K* Lee de« du «uilÀev * tym*** , Wm*** r«glr IL Le tnuçiç OCD «A «$«J « OOfc, j*j<* '$** '*C

far, «t i'jai^k* OCZ# = *Xa& , pu*g**: rf .tu* <U: ^** «iifc^fc* a* la msutjft ùt jen? mouiu» . f>j» <&auvu*J4?* ? &; j* vtfufc 4* fndbe.. /tpç jet v-jan^i** */USL. ŒJ"' . . *vu*- ^fcv* **u yve- ■Kr r <«tt twt xnnsttvt\ui^ît troue* /tju** ILfofit j*ru«* *Â*Wt *»»*»£-

point O te Çronve également éloigné de tous les sommets de la figure régulière f c'est donc le centre d'un cerçje gui passe par tous ces sommets.

Ce cercle existant dès qu'on peut le faire passer* par trois sommets , chose toujours exécutable, il en résulte quon peut toujours tracer un cercle dans lequel soit inscrit un polygone régulier y quel que soit le nombre de ses cotés.

Réciproquement un cercle étant donné , on y peut inscrire un polygone cT autant de côtés qu'on voudra.

Il suffira, pour cela, de diviser sa circonférence en autant de parties égales que le polygone doit avoir de côtés , et de joindre par des lignes droites les points de division qui se suivent.

Dans la 3 e . leçon , nous avons donné les rapports de longueur entre les rayons du cercle et les distances de ces points, qui sont précisément les longueurs des côtes des polygones. A cet égard , il n'y aura donc aucune difficulté.

application des polygones réguliers aux fortifications régulières. Les ingénieurs militaires emploient les polygones réguliers pour tracer leurs fortifications régulières. Le nombre de côtés des polygones dépend de la grandeur de la place qu'ils ont à fortifier. Le triangle équilatéral et le quarré ne leur servent guère que pour des ouvrages de campagne. Le pentagone, l'hexagone et l'heptagone servent pour enceindre de petites

places et des citadelles. Eés figures d'un plus gfand nombre de cotés, servent pour enceindré des villes plus considérables.

application des figures précédentes aux travaux dé pavage, de marqueterie, de vitrage et de mosaïqtoe. Dans ces travaux , le problème ordinaire qtoon se propose est de couvrir exactement un certain espace avec des figures terminées pai' des lignes droites. On* conçoit que ce problème est susceptible d'une infinité de solutions , suivant les combinaisons infinies des lignes droites qu'on peut tracer sur un plan.

Si l'on veut que toutes les figures soient régulières et d'un même nombre de côtés, là question se limite beaucoup et ne peut être résolue que par les figures suivantes :

i°. Des triangles équilatéraux dont les sommets aboutissent six à six au même point, fig. 27.

a°. Des qiiarrés dont les sommets aboutissent quatre à quatre au même point, fig. 29.

3°. Des hexagones dont les sommets aboutissent trois à trois au même point, fig. 28.

Four démontrer ces propositions, offrons le tableau suivant : les angles des polygones...

de 5, 4» 5> 6, 7, côtés,

sont de 60°, 90 , 1080,120°, i'i8°f, de 8, 9 io.il 12 côtés,

sont de i35°, i4o°, i44°, i47°rr, i5o°.

Ûv 6 foie 6o° , et 4 fois 90 , et 3 fois ioro°, font 56o».

AtLciin des antres n6rtibré<* de degré* ne divisa rft 36o* en

un nombre rond de parties , on ne peut remplir l'espace

' autour d'un point donné, avec d'autres angles de polygone

régulier, que ceux des figures de trois , quatre et six cotés.

Remarquez qu'en remplissant l'espace autour d'un point, fig. 27, avec six triangles à côtés égaux, les six côtés extérieurs forment un hexagone régulier inscrit dans un cercle ayant pour rayons les côtés intérieurs. Donc les côtes de V hexagone, sont égaux au rayon du cercle dans lequel il est inscrit : propriété précieuse pour l'industrie.

La multiplicité des objets qui doivent nous»

occuper dans ce cours, ne nous permet pas d'examiner en détail beaucoup de figures plus ou moins régulières qui, combinées ensemble, produisent des effets heureux pour les arts : leur étude et leur tracé exerceront et formeront, à la fois, l'imagination et le goût des élèves.

Lorsqu'il s'agit d'effectuer une mosaïque, une marqueterie, un pavé, sur lesquels on doit marcher, il importe qu'aucun point ne soit la réunion de trop de sommets ; car , en posant sur ce point le pied ou tout objet pesant , il céderait par trop aisément à la pression : ce qui détruirait la contexture et la solidité de l'ouvrage.

Aussi n'emploie t-on presque jamais la combinaison des triangles équilatéraux dont les sommets concourent six à six aux mêmes points.

On évite même de faire concourir les sommets des quarrés, quatre à quatre en un même point.

théâtres coiu*^.*^ ^ à rcuseigoemetti^^iÉ^' L'orateur ou le pn*«J^ W^S»/ 33, et les spectateur yj*"*^^»»*" cercles également espace ^^v^t v -v C pour centre et AB po^ a^iv'i^V

Si , par les extréimt^^V *S tfg. 34, l'on mène des perpw,^^. u mètre, elles seront tangentes «li^Vi" cercle AMB. Si l'on mène ensuit*;, * *^*^i dislance, la ligne droite EF parais. ^W achève une figure très-souvent «ntajJr'^i.

les arts : c'est celle des voûtes et dti fc^^ 1 * plein cintre, ainsi nommées parce que^*" 1 bure du cintre est partout également pwT* -

Si , au-dessus du rectangle ABEK, fig. % AJB pour rayon : i n . du point A comme otuw je décris l'arc BM; 2°. du point B comme cej^J je décris l'arc AM, je forme une figure qui re*^ sente les voûtes dites en tiers point.

La figure des voûtes en plein cintre appât.

tient à Xarchitecture grecque et généralement a l'architecture moderne; la figure des voulez en tiers point appartient à Xarchitecture gothique. Ces deux architectures , qui font usage de formes géométriques différentes, doivent à ces formes des caractères particuliers, qui les distinguent essentiellement. Chacune a ses droite u l'estime . à l'admiration des gens de goût ;

go GEO/MiÎTRIE.

L'avantage de' ce genre de constructions est de pouvoir profiter de la forme naturelle des blocs destinés à 1 érection des monuments, eu les taillant de manière à perdre le moins possible de leur masse.

Dans la célèbre jetée ou brise-lame construite par les Anglais, pour protéger la rade de Plymouth contre Faction violente des vagues de la mer , on a revêtu le dessus et le talus intérieur de la jetée, dans la partie la plus haute, avec de très-gros blocs de marbre , enchâssés et taillés comme dans les constructions cyclopéennes. Cet enchâssement ne permet pas à la mer de soulever un bloc isolément, et fait que chacun contribue à la solidité de l'ensemble.

Des figures terminées par des portions de ligne droite et de cercle. Si les figures composées de lignes droites, offrent déjà beaucoup de variété, l'on peut juger combien plus grande encore est la variété des figures où l'on combine des portions de ligne droite et de cercle.

La plus simple des combinaisons est celle qui se compose d'un demi-cercle et de son diamètre.

Telle est la figure du graphomètre et du rapporteur employés pour rapporter des angles (i).

Telle était aussi la figure des théâtres, chez les peuples anciens; telle est la figure des amphi-

(i) Voyez la planche de la troisième leçon , fig. 17.

QUATRIÈME LEÇOIf. QI

théâtres consacrés à des assemblées publiques et à l'enseignement, chez les peuples % modernes. L'orateur ou le professeur sont au centre C, fig. 33, et les spectateurs sont rangés sur des demicercles également espacés , et tous ayant le point C pour centre et AB pour diamètre.

Si , par les extrémités du diamètre ACB, fig. 34, l'on mène des perpendiculaires à ce dia.mètre, elles seront tangentes en À et B au demicercle AMB. Si l'on mène ensuite, à une certaine dislance, la ligne droite EF parallèle à AB, l'on achève une figure très-souvent employée dans les arts : c'est celle des voûtes et des portes en plein cintre , ainsi nommées parce que la courbure du cintre est partout également pleine.

Si, au-dessus du rectangle ABEF, fig. 35, avec AB pour rayon : i°. du point A comme centre, je décris l'arc BM ; 2 . du point B comme centre, je décris l'arc AM, je forme une figure qui repré-, sente les voûtes dites en tiers point*

La figure des voûtes en plein ciïitre appartient à X architecture grecque et généralement * à l'architecture moderne ; la figure des voûtes en tiers point appartient à Xarchitecture gothique. Ces deux architectures , qui font usage de formés géométriques différentes, doivent à ces formes des caractères. particuliers, qui les distinguent essentiellement. Chacune a ses droits à l'estime, à l'admiration des gens de goût;

ckaexvsÈt inertie dT être i c bj«c flnae étude approfco*fàç T *oît pooT Fexœlïeccô ce» formes et des ygfj^rjstkxA , soit peter !a hardiesse et la soli* * diité «î» cooâtrtictia&â.

SL dan& ht figure 34- nous décrivons un demicwrcfe *rar EF comme diamètre r noœ aurons un ©MïtoCT A31EFXE qui est celai des arènes destiné** par les anciens aux courses publiques des cfaeroax. et nommées pour cette raison des hippodrome**. Les bornes autour desquelles derzittït tourner les coureurs t étaient situées aux centre» C et e des parties circulaires-

Les modernes font usage , pour leurs ponts et pour leurs édifices , de Toutes surbaissées qui ne composent de plusieurs arcs de cercle : c'est ce qu'on nomme voûtes en an je de panier. Dan& la figure 36, il y a trois arcs de cercle ayant troiscentres O, P, Q. ("Voyez quatorzième leçon.)

Un genre d'architecture gothique, ou plutôt mauresque, consiste à former des voûtes avec deux petits arcs très-courbés BD, GF, prolongés par deux lignes droites DE, FE, qui font un angle obtus, comme on le voit dans la figure 37. Les Anglaisent beaucoup d édifices gothiques construits dans ce genre, et non moins remarquables par l'élégance des formes que par la hardiesse de la construction. Telles sont les chapelles de Henri VIII à Westminster, de la Trinité à Cambridge^ 6t du palais de Windsor.

* QUATEIÈMB LEÇON. $3

*Art de profiler. Les architectes ont imaginé des combinaisons simples et gracieuses, du cercle et de la ligne droite , pour orner , sous le nom de moulures , les profils de leurs édifices. Le charpentier, le menuisier, l'ébéniste, le constructeur de machines, emploient ces formes et doivent les bien connaître.

La plus simple de toutes est ]ejzlet y composé de deux lignes parallèles fort-rapprochées et terminées d'un bout par une perpendiculaire. On voit, fig. 38, un seul filet AB; on en voit plusieurs placés en étage dans la fig. 39, qui représente le chapiteau de l'ordre dorique grec, appelé Y ordre de Pœstum; parce qu'on trouve à Pœstum un temple entouré par de superbes colonnes de cet ordre.

Ordinairement on réunit un filet au reste de l'édifice, avec un quart de cercle tangent, par la partie supérieure, au-dessous du filet; et, par la partie inférieure , au côté vertical du mur, ou du pilastre, ou de la colonne qu'on veut profiler.

Ordinairement aussi l'on surmonte le filet par un demi-cercle saillant, qu'on appelle boudin, fig. 38.

On emploie aussi séparément le quart de cercle en relief, appelé quart de rond, A/raB, fig. 40; et le quart de cercle en creux AmB , fig. l\\.

Deux quarts de cercle AMB, BND, fig. [\i, ayant même rayon , et leurs centres O , P , sur la même verticale, forment le talon.

lieux quarts de cercle AMB, BMD, fig. 1&,

t)4 , G LOMÉ TRIE.

ayant même rayon, et leurs centres O, P sur la même horizontale , forment la doucine.

Tels sont les éléments bien simples avec lesquels les architectes ont composé cette précieuse variété de corniches, de frises, de bases, de chapiteaux qu'on remarque dans les édifices anciens et modernes.

Il ne faut pas croire que la combinaison de ces formes soit tout -à-fait arbitraire , et puisse se faire au hasard ou d'après les caprices irréfléchis d'une imagination déréglée. L'art de profiler les édifices et leurs diverses parties doit sa perfection à l'observance fidèle des lois de la simplicité, de la variété et du contraste. Au lieu de trop prodiguer les ornements , on doit les grouper par masses que l'œil puisse aisément saisir, et qui soient séparées les unes des autres par de grands espaces tout unis. Dans chaque groupe, on doit opposer les moulures les plys déliées aux plus volumineuses, et les formes droites aux formes rondes ; afin que chacune fasse ressortir celles qui l'environnent. Telles sont les règles principales de cette partie de l'art d'embellir les monuments : règles que les grands architectes de la Grèce et de l'Italie n'ont pas seuls découvertes et mises en pratique ; car on les retrouve employées , avec non moins d'art , dans les beaux monuments de l'antique Egypte, dans les édifices gothiques du moyen âge ; et

QTJATRlÈBfE LEÇON. 9 5

dans les mosquées , dans les palais que les Maures élevèrent en Espagne , au temps où ils faisaient fleurir, en cette contrée, les sciences et les arts presque anéantis alors dans le reste de l'Europe.

Une application de géométrie , beaucoup plus importante que la décoration extérieure et le profil des ornements, est la conception et le tracé du plan même des édifices. Les formes adoptées par les architectes se réduisent presque tputes à celles de la ligne droite et du cercle. Dans quelques cas rares, où ils ont besoin de formes plus compliquées, ils décomposent ces £ormes en parties circulaires: comme nous lavons ^ru pour les voûtes surbaissées.

Lorsque les architectes ont à construire un édifice dans un espace entièrement libre , ils seraient inexcusables de ne pas adopter des formes régulières, dont la simplicité, l'uniformité, la symétrie plaisent à la vue , et manifestent l'esprit de sagesse et d'ordre avec lequel l'homme ^rige ses monuments.

La forme généralement adoptée est celle du rectangle ou du quarré, parce que ces figures se prêtent le plus aisément à des subdivisions de même figure nécessaires pour la distribution intérieure. Ces formes n'ont d'autre inconvénient que de s'accorder difficilement avec des contours circulaires intérieurs , sans perdre de place , et

<j6 GÉOMÉTRIE.

sans donner de recoins d'une figure frrégulièré qu'il faille cacher à la vue. On tire néanmoins parti de ces recoins , en y pratiquant des escaliers dérobés , ou des dépôts d'objets qu'il convient de ne pas mettre en évidence.

Dans les villes où l'espace est très-précieux et très-cher, l'architecte est obligé de profiter dtt moindre terrain, et de tracer aussi bien que possible un système d'appartements réguliers* dans une figure souvent très-irrégulière. C'est là. que Thabitude de combiner ensemble des figura de géométrie pourra servir beaucoup les artistes,, et leur faire trouver les combinaisons les pi»' heureuses.

Il y a des professeurs d'architecture qui croient rendre leurs élèves très-habiles en leur propo-, sont de former des projets d'édifices qui coûte-* raient des millions, et qu'on bâtirait, sans aucune gène, dans des plaines imaginaires. C'est ainsi qu'ils donnent à leurs élèves les goûts d'un luxe ridicule , et leur font acquérir des idées de dé* pense qui, plus tard, coûtent cher aux citoyens! Il vaudrait mieux exercer beaucoup l'esprit inventif des jeunes gens, à composer des plans d'édifices, en s'assujétissant à toute l'irrégularité des formes qu'on peut rencontrer au sein des cités où les maisous sout le plus pressées les unes coutre les autres.