AB CD

Or nous savons trouver la valeur d’un quatrième terme d’une proportion. Voyez Géom., V* leçon.

Avec la méthode que nous venons d’indiquer, il sera trèsfacile de connaître le centre de gravité d’autant de lignes pesantes qu’on voudra, en les prenant deux à deux. S’agit-il , par exemple , d'avoir le centre de gravité des lignes droites qui forment le polygone rectiligne ABCD , Cg. i ? On prendra les points i , 2 , 3, au milieu des côtés AB , BC ,

CD ; puis, sur la droite i. 2 , on trouvera le centre a;

de gravité des deux droites AB, BC, par la méthode qu’on vient de donner. Menant a? 3 , et regardant le poids des deux droites AB, BC, comme concentré en ar, dans leur centre de

QUATRIÈME I.EÇON. 55

gravité, on trouvera le point y, centre de gravité de AB-)-BC, et de CD. On trouvera de même le point z , centre de gravité de AB 4r -}■ CD et de DA. Ce sera le centre de gravité des quatre droites AB, BC, CD , DA.

Il serait utile que les élèves s’exerçassent à faire un polygone ABCD..., en 111 de fer, et qu’ils y attachassent des fils de soie, 1 . 2 , X. 3, y. 4) etc. Ils trouveraient exactement la position du centre de gravité du polygone. Ensuite, avec un nouveau fil, ils suspendraient tour à tour le polygone par le point A , par le point B, par le point C...; alors, ils verraient qu’un fil à plomb , mis à côté du fil de suspension , passe toujours par le centre de gravité du polygone. Ils se formeraient ainsi , par l’expérience, une idée plus claire et plus facile de la propriété des centres de gravité. Cet exercice leur apprendrait d’ailleurs une opération très*utile , et les forcerait de pratiquer la méthode géométrique des lignes proportionnelles. ( Voyez Géométrie, V” Leçon. )

Dans notre cours de géométrie, nous avons soigneusement examiné la figure et les propriétés des lignes symétriques, des surfaces symétriques et desv.olumes symétriques. L’importance de la symétrie des formes, est plus grande encore pour le méchanicien que pour le géomètre. C’est un objet sur lequel on ne saurait trop attirer l’attention des artistes.

Soit, fig. 4>une figure quelconque ABCDED'C'B'A , symétrique par rapport à l’axe AE. Soit , y , le centre de gravité du contour ABCÛE , situé à gauche de l’axe de symétrie.

Si nous replions cette partie de gauche sur la partie de droite, elles s’appliqueront exactement l’une contre l’autre. Puis-

3 u’ elles ne différeront alors, ni de grandeur, ni de forme, ni e position, il faudra que leur centre de gravité se trouve au même point. Donc y', centre de gravité de AB'C'D'E, est dans une position symétrique par rapport à y , c’est-à-dire que y , y' , sont également distants de l’axe, et situés sur une droite yy' perpendiculaire à cet axe.

lis deux contours symétriques ABCDE , AB'C'D'E , étant d’égal poids , sont représentés par deux forces égales appli^ quées , l’une en y , l’autre en y' ; et leur résultante , égale à leur somme, est au milieu de yy', c’est-à-dire , en G , sur l’axe de symétrie. Donc....

Le centre de yravité d'une liyne symétriyue quelconque , eet nécessairement placé sur Vaxe de symétrie.

Remarquons que la superficie plane, terminée par un con-

56 MÉCHXNIQCE.

tour symétrique , est symétrique par rapport au même axe que le contour.

Nous pouvons supposer que ce contour termine une surface plane, partout également pesante, comme une feuille de papier, de métal , etc. Alors, si jr, g' , représentent les centres de gravité des superficies placées k droite et à gauche de l'axe de symétrie , la droite gg' est toujours perpendiculaire, en G, à l’axe , et Gg égale Gg'. Donc , le centre de gracité de toute superficie plane eyniétrigue , est placé sur Vaxe de symétrie. Par conséquent , Si Von suspend par un point de Vaxe , des cadres de figure quelconque , mais symétriques , Vaxe de symétrie se placera toujours dans une position verticale. En effet, le poids delà figure agit comme s’il était concentré tout entier au centre de gravité ; de plus , la direction verticale de cette force est supposée passer parle point fixe de suspension ou d’attache. Donc la force est détruite par l’obstacle, et par conséquent le cadre reste en équilibre.

Nos appartements sont décorés par un grand nombre de cadres. Quelle que soit leur figure, ils sont tous de forme symétrique : tous doivent avoir leur point de suspension placé dans l’axe de symétrie ; et notre œil est choqué, quand on n’a pas bien observé cette règle.

Pour fixer les idéessur les considérations générales que nous venons de présenter , offrons quelques exemples simples. Dans toutes les figures dont nous allons parler, nous désignerons par la lettre G le centre de gravité.

Le centre de gravité G, tant du contour que de la superficie d’un cadre triangulaire symétrique ABC, fig. 5 , est placé sur la verticale qui passe par le sommet A, et par le milieu de la base BC du triangle ABC.

Soit qu’on suspende ce cadre par le sommet A , fig. 5 , on par le milieu D de la base BC, fig. 6, ces deux points étant sur l’axe de symétrie, la position d’équilibre du cadre est celle où l’axe AD devient vertical.

Suspendons un cadre ayant la forme d'un trapèze symétri-

Î ue ABCD: i°. par le milieu E de sa petite base AB, comme ans la figure 7 ; 2°. par le milieu F de sa grande base CD , comme dans la figure 8. L’équilibre exigera que l’axe de symétrie EF, qui contient le centre de gravité G du contour et celui de la surface du trapèze, se place dans une position verticale. J

La démonstration que nous avons donnée pour faire voir

QUATRIÈME LEÇON. ^'j

que le centre de gravité d’un contour plan et d’une superficie plane, symétriques par rapport à un axe, est nécessairement placé sur cet axe, s’applique également aux figures terminées par des ligues droites ou par des lignes courbes. De là résul- • tent les conséquences suivantes :

® Tout arc de cercle ABC , fig. g , est ^métrique par rapport au rayon OB , qui passe par le milieu cle cet arc. Donc le centre G (i) de gravité, soit du contour, soit de la surface de cet arc de cercle, est placé sur le rayon OB. Par conséquent , si l’on suspend l’arc de cercle ABC par son milieu B, les deux extrémités A , G , seront sur la même horizontale , dans la pO' sition d’équilibre.

Il en sera de même pour la superficie du segment ABC , et pour celle du secteur OABC. En renversant la figure , on obtient une seconde position d’équilibre, fig. lo. Si le point de suspension est toujours sur le rayon OB , ce rayon conserve, dans ce cas comme dans le précédent, une position verticale.

La parabole et l’hyperbole étant symétriques par rapport i l’axe qui passe par leur sommet, si l’on prend, à partir du sommet B d’unè de ces courbes , fig. 1 1 , deux portions BA = BG, de cette courbe, le centre de gravité de la courbe sera sur l’axe. Donc, si l’on suspend cette courbe par son sommet 6 , elle sera en équilibre, quand l’axe BD suivra la direction verticale.

Il y a des figures qui ont deux axes de symétrie , AB , CD. Tels sont les rectangles, fig. la et i3, tels sont les lozanges, fig. i4 et i5. Dans ces figures, le centre de gravité G, devant se trouver sur chacun des axes de symétrie , se trouve nécessairement sur le point G qui leur est commun , c’est-à dire, an centre de symétrie.

Donc, le centre de gravité des contours et des superficies , symétriques par rapport à deux axes , se trouve au croisement de ces axes, c’est-à-dire , au centre de symétrie.

Les polygones réguliers sont tous symétriques par rapport à plusieurs axes; ce qui présente autant de suspensions symétriques différentes qu’il y a d’axes de symétrie. Donc, le cen-

(i) Il faut bien remarquer pour l’arc de cercle, comme pour le trapèze , que le centre de gravite du contour n’a pas la même position que le centre de gravité de la superficie.

T. IL— Méch.

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tre de gravité du contour et celui de la euperfioie det polygone» régulier» , nont l’un et l’autre placé* au centre de symétrie de ce» polygone*. ^

Uelllpse. fîg. i6 et ij , est syme'trique par rapport à ses deux axes AB, CD. Donc, Le centre de gravité G, du contour et de la superficie de Pellipse , est au centre de symétrie de cette courbe.

Le cercle, fig. i8, est symétrique par rapport à cbacim de ses diamètres AB, CD... ; donc....

Le centre de gravité du contour et de la superficie d’un cer~ de , est au centre du cercle.

Ainsi , par quelque point du contour d’un cadre polygonal régulier, ou d^un contour elliptique, ou d’un contour circulaire, qu’on suspende ce cadre, son centre de symétrie se placera toujours à l’aplomb du point de suspension.

Centre de gravité de* stirface*. Pour en déterminer la position , l’on suppose que les surfaces sont , comme de minces feuilles de papier ou de métal, partout également épaisses et pesantes pour la même superficie.

Centre de gravité du triangle. Lorsqu'on veut trouver le centre de gravité de l’aire d’un triangle ABC, fig. 19, on divise ce triangle en un grand nombre de bandes parallèles et très-étroites, qu’on regarde comme des droites pesantes : leur centre de gravité se trouve sur la ligne droite AE, qui les coupe toutes par le milieu, d’près la propriété des lignes proportionnelles. Donc le centre G de leur ensemble, c’est-àdire du triangle total , est sur la droite AE , menée de A au milieu de BG. ’On démontrera de même qu’il est sur BF et sur CK. , menées , de B et de G , jusqu’au milieu de AC et de AB. Donc le centre de gravité du triangle est au point G commun aux trois lignes AE, BF, CK. Maintenant, puisque les / points K , E , sont au milieu de AB et de BC, la droite KE est parallèle k AG. Les lignes proportionnelles ( Géométrie , V*. leçon ) donnent