XxAar + YxBy = Z'xDr

ao. Z'xDr'+U X C« = Zx

donc X X As? -j-YxBy-|-UxCM=Zx £*■•

Ainsi, let momentt de troit forcet, prétentent une tomme égale au moment de leurréeultante.

On prouvera de même que , sur on plan , la somme des moments de quatre, de cinq, de six... forces, en un mot d’un nombre quelconque de composantes , est égal an moment de leur résultante : quelles que soient et la position et la direction de l’axe des moments.

Par contéquent , en menant, de chaque point d’application det forcée , une perpendiculaire à l’axe det momentt , le produit de la réeultante par la dittance qui correspond d ton point d’application , ett égal à la tomme det produite correspondante pour toutes let composantes.

Cette belle propriété fournit les applications les plus importantes aux calculs du mouvement des corps, ainsi qu’au jeu des machines. Il est donc essentiel que les élèves la gravent dans leur mémoire, et s’en forment une idée bien précise.

QüATHiàHE tTscon. 63

Celte même propriété sert pour connaître immédiatement la position du point d’application delà résultante d’autant 'de forces parallèles qu’on le désire, sans être obligé de les prendre deux à deux , trois à trois , etc.

On mène deux lignes à angle droit OX, OY, fig. 27 ; puis, des points d’application , A , B , C , D , . . des forces P , Q , R , S..., on abaisse sur OX et sur OY, les perpendiculaires Ao , BA, Ce...., et Aa', BA', Ce',,... Cela posé, G étant le point d’application de la résultante Z, on a

Ggx Z=AaXP + BA X Q+ Ce X R +...

G/ X Z=Ac' X P-f Bi' X Q -f Ce' X R +•••

Donc

(I) . Gy =

(II) . Gg' =

Art X P + BA X Q + Ce X R +....

Art X P + BA' X Q + Ct/ X R +....

Rappelons -nous que la résultante Z est égale à la somme de toutes les composantes.

Si les forces P , Q , R, S , sont égales , et qu’il y en ait

un nombre n; leur résultante = » X P- Alors l’égalité' des moments donne

Gg X Z — Aa X P ~f* B^ X Q H" Ge X R GyX»XP = AoxP + BAxQ4-C«XR

D’où , n X G» = Art -}- BA -f- Ce +....

y. p. Art BA -p Ce -f- ....

Donc , Gg =

Ainsi, quand de* force* cotnpo*ante* *ont égale* entrelle* , *i Von prend pour chacune la di*tance de *on point d’application à Vaxe de» moment*, et qu’on diviee la *omme de ce* di*tance*par le nombre de* force*, on a la di*tance de V axe au point d’application de la réeultante. C’est un résultat qui peut être d’un fréquent usage dans les arts.

Si l’on n’a que trois forces égales à P , appliquées aux trois sommets A, B, C^ d’un triangle, fig. 28 , et qu’on prenne la base AB du triangle pour axe des moments; alors, la distance de cet axe aux points d’application des forces appliquées aux sommets A, B, devient nulle, et par conséquent aussi leur produit par P. Donc il reste simplement, en appelant R la résultante ;

64 HÉCHANIQVE»

R X Gÿ = P X Ce. Mais R = 3 P. Donc , par compensation , Gÿ= J Ce.

Ainsi , le centre de gravité de trou forcée égalée , appliquée* aux eommete d'un triangle , eet au tiere de la dietanee de chaque eommet à la baee oppoeée. Donc ce centre est le même que le centre de gravité de l'aire du triangle (i) : conséquence fort remarquable, et qui trouve souvent son application dans les calculs de la méchanique.

Dès qu'on a les distances Qg, Gg' , flg. 27 , du point G aux deux droites OX , OY , on a la position du point G centre d’application des forces.

D'après la définition même des centres de gravité, ce point G est le centre de gravité des forces P , Q , R, S..., appliquées en Â, B, C, D.... (2).

Le principe que nous venons d’exposer, et la méthode qu’il fournit , s’appliquent donc immédiatement pour trouver la position du centre de gravité de tant de forces qu’on veut , distribuées avec ou sans continuité , sur des lignes, des surfaces ou des volumes.

Pour trouver le centre de gravité d’une ligne pesante AB , fig. 29, on la partage en très-petites parties d'égal poids; on multiplie chacune de ces parties par sa distance , à une première droite OX , puis à une seconde OY. On divise successivement la somme des premières et des secondes , par la somme des forces, et l’on a : i“. Gg ; 2°. Gg'.

, Lee méthodes suivantes , pour trouver le centre de gravité . des surfaces et des volumes , ne sont indispensables à expli~ ^quer, que dans les ports.

Les constructeurs de navires ont besoin de mesurer la surface des voiles et de fixer : 1°. la position du centre de gra-

(1) On démontrerait par la même méthode aussi facilement que le centre de gravité de quatre forces égales , appliquées aux sommets ePune pyramide , est le centre même de gravité de volume du la pyramide.

(2) Si les forces parallèles ne sont pas toutes dans un même plan, on substitue aux axes des moments, des plans de moments , perpendiculaires entr’eux. Alors on remplace les perpendiculaires aux axes ka , Bè... , par des perpendiculaires aux plans. Dans tous les cas , la somme des moiBcnts des composantes , est égale au moment de la résultante. C’est ce qu’if serait très-facile de démonber par les propriétés des bgnes proportionnelles : GÉOMETaiEV*. Leçon.

\ité de chaque voile; 3°. le centre de gravité de l’ensemble de ces voiles- En effet, toutes choses égales d'ailleurs, plus ce dernier centre, qu’on appelle centre de voilure, se trouve élevé au-dessus du centre de gravité, plus la force du vent a d’énergie pour incliner le navire et le faire chavirer. On admet que toutes les voiles, tournant autour de leurs points de suspension, sont à la fois rabattues dans le plan de symétrie du navire. On divise ces voiles en triangles dont on détermine aussitôt la superflcie et le centre de gravité. Supposons, fig. 27,

3 ue les forces parallèles P, Q, R représentant la surface e ces triangles, soient appliquées aux points A, B, C,.... , centres de gravité des mêmes triangles ; les deux formules (I), (II), de la page 63, donneront immédiatement les distances Gÿ, Gg' , du centre G de la voilure , à deux axes OX, OY, l’un horizontal et l’autre vertical ; ce qui suffira pour faire connaître la position du centre de voilure dans le plan de symétrie du navire.

Soit l’aire plane AMnta , fig. 3o , terminée par une courbe AM et par trois droites à angle droit An, am, rreM; on demande le moment de cette aire par rapport à la droite am.

Divisons la droite am en un très-grand nombre de parties dont la largeur égale é, et menons, parles points de division, les droites Bè, Ce, D<é,... parallèles à An et Mni.

i®. Si l’on regarde les petites portions AB, BC,CD,... de la combe ABCD... , comme des lignes droites, on a : surface AamM.=L j 5 Aa -p BA + Ce-f D^é + ...iM7rc}

Supposons d’abord qu’on remplace la figure continue nzaABCD.... par la figure échelonnée maAb'hc'QMÜ ,.... les centres de gravité q ,q' , q''... de ces figures , seront distants de am, de quantités respectivement égales à 5Aa,|B6,5Cc...

Donc les moments des rectangles qui composent la figure échelonnée , seront, par rapport à l’axe am :

Pour Aabb' = Ix Aa-\-\Aa B6ccé= éxBô-f-i BA

/xCcXjCc... '

Moment total = 5 ^ ( Aa®-1-BA^-1-Cc^ + .... MW®).

Ainsi , le moment total est égal à la somme des quarrés des lignes Aa , BA , Ce.. , multipliée par la moitié de la largeur des bases égales.

Si l’on prend la figure échelonnée 77îaA«’'B6”C</ ... M, on aura de mêiné, pour moment total ,

i éX (BA®-l-Cfc®+D^Z®-l-....+M/7i“).

Voilh deux moments entre lesquels est celui de la surface continue wmAM.

Digilize-"*

66 HiCHAItIQCB.

i“. Moment moindre 5 1 (Aa“+B6“+Cc“+....M'7Ji'^).

a®. Mom. plusgi-and B&®+Cc^+.... MW^+Mm“).

Prenant le moment moyen , on a

. i/(iAa*+B6^+Cc^+

' ^ioxiCyhrmrnent de P aire ou siiperjiciel&mak, égale la demi-largeur l

de toutes les tranches, multipliée parla somme des quarrés des longueurs intermédiaires Bè , Ce.... , et par la moitié du quarré des longueurs extrêmes ka , Mot.

La valeur qu’on vient d’obtenir sera d’autant plus approchée de la véritable , que les tranchgs seront plus midtipliées et par conséquent plus étroites.

Si , maintenant, nous divisons le moment que nous venons de trouver, par l’aire otaAM, nous aurons la distance G^, de l’axe am au centre de gravité G de cette aire.

iA«“+Bi=’+Cc“+ + iMOT“

Ainsi , G^=

An+2BA+2Cc+ + Mot

Rien n’est plus facile que de calculer la valeur de cette fraction ; ce ne sera qu’une affaire de patience.

Oserait également facile d’en obtenir la valeur par la géométrie, au moyen des triangles rectangles, et d’après le principe que le quarré du grand côté est égal à la somme des quarrés des deux petits côtés.

Vous voyez, ainsi, combien les propriétés exposées dans la géométrie sont utiles pour résoudre les questions de la méchanique.

La méthode que nous venons de présenter est générale; elle s’appbque aux surfaces de figure quelconque.

Supposons qu’on demande de trouver la distance de l’axe XY au centre de gravité G de l’aire ABC.... Mc'ô'A, fig. 3 i. Menons les parallèles équidistantes ka, Bô'ô, Qid c ,TidI d... Soient G', G", les centres de gravité de otoABCDM, et de makb'</d'...M, nous aiuons iAa=’+Bô=’+CcH iMOT“

Gy=

Aa-l-2Bô-l-2Cc+ Mot

5 Affl®+ô'ô“+c'c®+ 5 Mot®

GV=

ka+2hl>'+2cc'+ Mot '

1®. MomentABCDMOTa...=i/(i Aa®+Bi®+Cc®+.- sMot)

2®. Moment a'h'c'Mnui....=^ l (^Azi® + i'ô® + t/c® + ...5 Mot)

La différence de ces moments, divisée par la différence des surfaces, c’est-à-dire, par la surface proposée ABCDMc^'c'i'A, donnera la distance G^ du centre de gravité de cette surface , à l’axe XY des moments.

Avec la figure 3 o , rien n’est plus facile que d’avoir la distance G^ du centre de gravité G par rapport à l’axe ak perpendiculaire à am.

Si nous calculoas par rapport à «A, le moment des tranches parallèles échelonnées plus [letites, nous aurons

QUATaiàHB LEÇOir.

I®. Moment de Aahh'=\ Aæ;

7,°.*Moment de B6c</=|/X^XB6;

3“. Moment de Ccdtf =| Ixlx Ce

(I). Moment total^P (^Aa+3iBb + 5Cc+']T)d+..,.)

Si nous faisons les tranches échelonnées plus grandes que l’aire continue irtaABCDE.... , nous aurons :

Moment de d'ah^=\ Ixlx Bt.

Moment A& i'6cC=| /X^xGc. ,

Moment de c"cdD=^ IXlX De?. ^

Donc le moment total est

(B)... i P (BA + 3Ce+5Cc+7D^Z+....)

Prenant la demi-somme des deux moments (I) et (Q) , on a i Aa+2BA+4Cc+6Dci+8Ee.... I En continuant ainsi jusqu’à Mm, qu’il faudra multiplier, non par le double du nombre des tranches auxquelles il correspond, mais par le simple nombre.

Ce moment (lü) divisé par surf. ABCD,... égale Gg'.

Les constructeurs de navires ont besoin de déterminer la superficie, le centre de gravité, et le moment de diverses sections horizontales, faites dans la carène, et terminées paries contours qu’ils appellent ligne» d’eau et ligne* de flottuieon. La méthode la plus simple qu'ils puissent employer est celle que nous venons d’exposer. Cette méthode, familièi^ à tous les officiers du génie maritime , devrait l’être également à tous les constructeurs du commerce. Il en est de même de la mé-> thode que nous allons présenter pour, déterminer la position du centre de gravité des solides et le moment de ces solides.

Rapportons la position du centre de gravité du corps solide , à deux plans de projection qui se coupent à angle dirait : tels qu’on les emploie dans la géométrie. Voyez Géométrie, Xin®. leçon.

Coupons le corps par tranches verticales d’égale épaisseur, I, II, m,... et par tranches horizontales 1,2, 3... aussi d’égale épaisseur; l’ordre des chiffres marquant celui des tranches.

Supposons , fig. 3 1 , que l’aire ABCD... soit la base d’un cylindre droit , le centre de gravité du cyhndre se projettera horizontalement sur le centre de gravité de l’aire. Les formules précédentes nous donneront sur-le-champ la distance du centre de gravité de ce cyhndre , par rapport à deux axes perpendicidaires entr’eux.

Imaginons qu’on divise un volume quelconque, un navire, par exemple, en beaucoup de tranches horizontales équidistantes , représentées en plan , fig. 32. Imaginons que la surface du navire , au heu d’être continue , soit échelonnée de manière à présenter comme des marches d’cscalicr contour-

68 MliCBÀmQVB.

nées suivant la forme du solide ; plus ces marches que nous appellerons échelons , seront multipliées , et moias le coqw échelonné dillêrera du corps dont la surface est continue. Pinfin, supposons que h soit la hauteui- verticale de toutes les tranches ou échelons :

i“. Le volume de chaque marche d’escalier sera h X la surface delà tranche qui sert de Iwse à l’échelon ;

1 ° . Le centre de gravité de la marche se projettera horizontalement sui’ le centre de gravité de la tranche qui .sert de base à cet échclou ;

3“» I^a haiitciu' /t, multipliée par le moment de la tranche, est égale au moment de l’échelon meme ayant pour base l’aire de cette tranche ;

4". La somme des\olumes des échelons représente le volume total V du corps proposé ;

5®. La somme des moments des échelons représente le moment total du corps proposé.

Ëniin , si les moments sont pris par rapport k l’axe OY , et que leur somme soit M, ou a sur-le-champ G^'=^ Si les moments sont pris par rapport à l’axe OX , et que leur somme soit /ra , on a sur-le-champ 0^=".

On voit combien cette méthode est simple et Cicile. Elle n’est pas seulement employée par les théoriciens ; elle est utile k toas les ingénieurs, k tous les artistes, qui ve«ilent calader avec précision la position du centre de gravité d’iui volume quelconque. Ne craignons pas de répéter que cette étude est particulièrement essentielle pour les constructetirs de navires ; elle pourrait souvent donner aux marins des lumières précieuses sur les qualités de leurs l)àtiments, s’ils connaissaient et s’ils appliquaient de p:ireilles métliodes.

Je me contenterai d’indiquer la position remarquable du centre de gravité de plusieurs surfaces et de plusieurs solides importants pour l’industrie ; laissant aux élèves qui voudront pousser plus loin leurs études , le soin de voir dans les livres spéciaux la démonstration des résultats que j’énonce.

Le centre de gravité d’un prisme ou d’un cylindre est à égale distanee de la base supérieure et de la base inférieure. En coupant le prisme ou le cylindre en deux parties égales , par un plan parallèle aux deux bases , le centre de gravité de la section est le centre même de gravité du prisme ou du cylindre.

Si l’on prend le centre de gravité de chaque base d’un prisme on d’un cylindre , et qu’on joigne les deux centres par une droite , le milieu de cette droite est le centre de gravité , soit du prisme, soit du cylindre (i).

(i) Si le prisme est droit, le plan qui le coupe parallèlement aux bases, k

QUATRIÈME lEÇON. 69

La somme des arêtes d’un tronc de prisme, divise'c par le nombre des arêtes, donne la distance de la base au centre de gravité du tronc de prisme , en mesurant cette distance par une droite parallèle aux arêtes.

Si l’on prend le centre de gravité de la base d’une pyramide ou d'un cône , et qu’on la joigne par une droite avec le sommet; puis, qu’on prenne le quart de cette droite à partir de la base , on les trois quarts à partir du sommet , le point qu’on trouve est le centre de gravité , soit de la pyramide , soit du cône (i).

égale distance de ces bases, est un plan de symétrie; donc il contient le centre de gravité du prisme.

Supposons qu’on ait divisé le prisme en un nomlire très-grand de tranches parallèles aux bases , les centres de gravité des tranches deviendront , pour ainsi dire , identiques avec ceux de la siuiacc des tranches. Les tranches auront leur centre de gravité sur une ligne droite parallèle aux arêtes du prisme, et le centi'e du prisme sera sur le milieu de cette droite. Si l’on suppose que les tranches glissent parallèlement les unes sur les autres , de manière que les centres des tranclics restent toujours en ligne droite, on va former un volume échelonné dont le centre de gravité sera toujours sur la ligne , droite qui joint ces centies.

Plus on suppose que les trandies sont minées et nombreuses, plus le volume échelonné approche d’un prisme oblique , sans que la position du centre de ce volume cesse, pour cela, d’être à égale distance des plans qui terminent les tranches extrêmes.

Donc, enfin, dans le prisme oblique comme dans le prisme droit, le centre de gravité se trouve au milieu de la droite qui passe par le centre de gravité des bases.

La même décomposition du cylindre droit en cylindres échelonnés, dont les échelons fussent de plus en plus petits, ferait voir que le centre de gravité d’un cylindre, oblique ou droit, est au milieu de la Ugne droite qui joint les centres de gravite des deux bases.

( 1 ) Ein divisant la pyramide par tranches extrêmement minces , au moyen de plans parallèles à la base , on verra que les centres de ces tranches sont au centre de gravité de sections parallè^ à la base. Mais ces sections sont semblables, et leurs points correspondants sont en bgne droite avec le sommet de la p^amide ; donc tous les centres des tranches , et par conséquent le centre meme de la pyramide , sont sur la ligne droite qui joint le centre de gravité de la base avec le .sommet;' ce qui sera vrai des quatre sommets et des quatre faces qui leui' sont opposées. ‘

Soit^, fig. a3 , le eentre de gravité de la base ABC de la pyramide SABC.

On a K^=iKB; de même, étant le centre de gravité de SAC, on a

70 MéCHAHIQDB.

Le centre de gravité de la surface et du volume de la sphère , est au centre de la symétrie de la sphère.

Le centre de gravité d’une calotte sphérique est situé sur l'axe de symétrie ou flèche de la calotte : il est au milieu de cette flèche.

Le centre de gravité de la surface et du volume des surface* de révolution est situé sur leur axe de symétrie.

Menons un plan coupant par l'axe d’un cône droit circulaire , entier ou tronqué , le triangle ou trapèze de la'section a pour centre de gravité celui de la surface du cône ou tronc de cône.

Le centre de gravité du volume de la demi-sphère est aux trois huitièmes du rayon , à partir du centre.

Le centre de gravité d’un segment de parabole est aux trois cinquièmes de la flèche, à partir du sommet.

Le centre de gravité d’un segment de volume paraboloïde engendré par la révolution de la parabole de son axe , est aux deux tiers de l’axe à partir du sommet.

Emploi det centre» de gravité, pour trouver le volume de certain» corp».

Il faut maintenant expliquer et démontrer une très-belle analogie entre la détermination de certains volumes et le centre de gravité de certaines surfaces.

Supposons qu’on ait déterminé le centre de gravité G , fig. 33 , d’une superficie qui tourne autour d’un axe 00'. Dans ce mouvement , le contour OmnO décrit une surface^de révolution.

Le volume compris dans la surface de révolution , égale la superficie OmnO , multipliée par le cercle qu’a parcouru le centre G.

Pour le démontrer , menons par l’axe 00' deux plans O'p , > Ofq, extrêmement voisinset faisant entr’eux un angle très-petit. On pourra regarder le corps comme terminé par une côte

KS. Donc, si l’on mène ^ GB et gg', les deux lignes KS et KB sont coupées proportionnellement; ainsi ^ est le tiers de BS ; de même que Kg est le tiers de KB , et Kg' le tiers de KS. Donc , à cause des triangles sem- .blables Ggg', GBS , Gg= ^ GS , et par conséquent Gg= j Sg. Donc , enfin , le centre de gravité de la pyramide est au cpiart delà distance du sommet au centi'e de gravité de la base.

QUATRiiHB LEÇON. ’J 1

cylindrique entre ces deux plans. Le tronc de cylindre aura pour base OmnO, sur le plan O'p. Décomposons cette base en petits quarrés égaux , chacun sera la base d'un petit prisme rectangulaire terminé par le plan O'q.

Soit vxyz un de ces petits quarrés; par le centres duquarré, menons iii" parallèle à l'axe OO, nous aurons : volume du prisme abcd, ayant vxyz pour base et i'ü' pour hauteur = vxyz X

Or ce produit est le moment de vxyz transporté sur le plan Oq, par rapport à 0|p. Donc la somme des volumes des prismes, c'est-à-dire , le volume de la section , égale la somme des moments de l’aire OmnO , dans le plan Oq , par rapport au plan Op.

Projetons G'G" , le centre de gravité G de OmnO ; nous aurons

Surface OmnO X G'G"= la somme des moments de OmnO placée en Oq par rapport à Op.

Donc le produit

Surface OmnO X G'G", égale le volume de la partie du corps de révolution , comprise entre O'p et O^.

Or G'G" est égal à l’espace que le centre G doit parcourir pour passer du plan O'p au plan O'ç , quand ces plans sont supposés extrêmement près l’un de l'autre. Donc, enfin,...

La eur face OmnO multipliée par l’espace G'G" que parcourt son centre de gravité , quand elle tourne autour de son axe OO', donne un produit égal au volume de la partie du solide de révolution comprise entre les plans O'p , O'q.

Nous pouvons concevoir autant de plans qu’on voudra , ti’èsvoisins les uns des autres , et passant par l’axe ; toujours le volume de la partie du solide de révolution comprise entre ces plans sera représenté par le produit de l’aire OmnO par l’espace que par court le centre de gravité de cette aire.

Ainsi , quand un solide est formé par une aire plane qui tourne autour d’un axe, le volume du solide est égal au produit de Paire par l’espace que parcourt , dans ce mouvement , le centre de gravité de Faire.

La démonstration précédente restera la même , si l’aire OmnO tournant autour de OO' , afin de passer de O'p en O'q , tourne ensuite autour d’un second axe tracé dans le plan de l’aire, pour décrire une portion plus ou moins grande d’une nouvelle surface de révolution , puis autour d’un troisième axe tracé dans le plan de l’aire, etc.

^3 MéCRAniQnR.

Dans tons ces cas , le volume terminé par chaque nouvelle surface égalera la surface de l'aire génératrice , multipliée par l'espace que parcourt le centre de gravité de cette aire.

Applicationg. Cette méthode tres-simpIe est employée par les architectes instruits, pour calculer les volumes ou quantités de pierre , de bois , de fer , que contiennent les escaliers à vis, les voûtes annulaires, etc. ; par les ingénieurs des ponts et chaussées , pour calculer les déblais et les remblais des canaux ; par les artilleurs, pour calculer le volume des parties annulaires de leurs bouches à feu, etc., etc. Les constructeurs de navires ont aussi beaucoup d’occasions d’appliquer , dans le cubage des bois , la méthode générale que nous venons de démontrer.

Il est essentiel d’appeler l’attention des élèves sur ces relations intimes des propriétés de la géométrie et de la méchanique. La méchanique sans géométrie est une routine sans théorie, une étude sans lumière ou plutôt une étude impoagible. A son tour la méchanique rend à la géométrie d'importans services ; elle lui fournit des instruments variés pour exécuter avec une extrême précision , et pourtant avec facilité , des opérations très-délicates. Efforçons-nous donc de montrer de plus en plus les rapports indispensables de ces deux belles sciences , pour les appliquer de concert à l’industrie.

Suite des lois dû mouvement.

Nous avons étudié les lois du mouvement produit par des forces dirigées suivant une même ligne droite. Nous avons vu que si deux forces agissent sur un point matériel , dans la même direction , pendant un temps donné, l’espace total parcouru pendant ce temps est le même que si le point matériel avait été mû d’abord par la première force , puis par la seconde.

Supposons , par exemple , qu’un vaisseau qui va vent arrière , et s’avance uniformément, porte un marin qui part de la poupe et s’avance de même uniformément vers la proue ; sup-

f >osons qu’au bout d’un temps donné, le marin parvienne à a proue, ensuivant la direction de la marche du vaisseau.. L’espace total parcouru par le marin sera le même que s’il eût d’abord marché de la poupe à la proue , dans le temps donné, le vaisseau restant en repos ; puisque , restant en repos dans le vaisseau , le vent l’eût emporté uniformément , pendant le temps donné, avec la vitesse primitive du vaisseau.

Non-seulement les espaces parcourus sont les mêmes dans les deux cas , mais la force totale employée à mouvoir l’homme et le navire est la même : il n’a pas fallu plus de force pour ce navire et pour le marin , soit que leurs mouvements aient eu lieu dans le même temps ou successivement.

Dans ces deux cas , l’espace total parcouru en vertu des deux forces agissantes à la fois , est la somme des espaces parcourus, lorsque la force qui fait avancer le vaisseau d’une part, et de l’autre celle qui fait avancer l’homme, agissent séparément.

Tandis que le navire s'avance, admettons, au contraire, que le marin rétrograde de la proue à la poupe. L’effet est le même que : i". si, le marin restant d’abord en repos, le navire exécutait son mouvement progressif; a”, si, le navire restant en repos, le marin rétrogradait de la proue à la poupe. L’espace parcouru , quand ces deux mouvements s’exécutent ensemble , est égal k la différence des espaces parcourus : 1 °. quand le marin n’est animé que de sa propre force ; T. IL — Méch. 6

2». quand il n’est animé que de la force qui fait avancer le navire.

Cette propriété que possède la matière, de parcourir le même espace total dans un temps donné, lorsque plusieurs forces agissent k la fois suivant la même direction , et lorsque chaque force agit successivement durant ce même temps} cette propriété , dis-je, n’appartient pas seulement aux corps sollicités à se mouvoir , par des forces dirigées suivant une méme',,ligne droite : elle est générale , quelle que soit la direction des forces.

Voulez-vous un exemple bien simple et bien familier de ces mouvements combinés. Placez- vous sur un bateau, et promenez-vous d’un bord à l’autre , quand il est en repos. Lorsque le bateau s’avancera dans le sens de sa longueur, votre mouvement transversal n’en continuera pas moins avec la vitesse uniforme : tant que vous emploirezla même quantité de force pour vous mouvoir.

Si TOUS tirez un coup de fusil ou de pistolet, d’un point du navire à un autre , la balle n’ira pas moins frapper le point ajusté, si le navire est en repos, ou s’il est en mouvement : pourvu que ce mouvement ne change pas durant le trajet que parcourt la balle, depuis l’arme jusqu’à l’objet ajusté. Voyons quelle route cette l^lle doit suivre. ,

Supposons que la balle ou corps quelconque A, Cg. T, soit poussé par deux forces que représentent les flèches AX et A Y. La première force , agissant seule, fera parcourir en temps égaux, an corps A, des espaces égaux Ao , hc, ed,.„. sur la ligne droite Ax , prolongement de AX. La seconde force, agissant seule, fera parcourir durant les mêmes temps égaux, au

corps Â, des espaces égaux Ab' , b'c' , sur la ligne

droite Ay , prolongement de AY.

Si, durant le premier temps, la force AX agit seule, elle transporte le corps A en b; ensuite, si la force AY agit seule durant un temps égal, dans sa direction propre, elle fait parcourir au corps Aune ligne àB égale et parallèle à Ab'.

Si la force AX agit seule durant les deux premiers temps , elle transporte le corps A en e; ensuite, si la force A Y agit seule durant deux temps égaux aux deux premiers, elle fait parcourir au corps A une ligne cC égale et parallèle à Ae' ; et ainsi de suite.

Enfib, les points B, C, D,.... où le corps se trouve transporté lorsqu’on fait agir ainsi tour à tour les deux forces AX

CINQUIÈME leçon. 75

et ÂY , sont les points où ce corps arriverait , si l’on supposait

Î ne les deux forces agissent â la fois durant un même temps.

le plus , la propriété des lignes proportionnelles, Géouéthie , V*. leçon ,

Ab : bB ; : Ac : eC : : Ad : dD....

exige que les points A, B, G, D,.... soient en ligne droite, et que les figures AABA', AeCc', AdDd' soient des parallé*

te ames ayant tous leur diagonale placée sur la ligne droite .... Donc, quand un corps est sollicité par deux forces, il se meut en ligne droite , et suit la diagonale du parallélogramme dont chaque côté représente l’espace que parcourrait ce même corps, s’il n’était poussé durant le même temps que par une des deux forces composantes.

Ainsi, quand les deux forces composantes sont représentées en grandeur et en direction par des lignes droites Ai, Ab'; leur résultante est également représentée en grandeur et en direction par la diagonale du parallélogramme AhBb' , dont Ab , Ah' , Sont les côtés. Voilà ce qu’on doit entendre par le parallélogramme des forces (i).

(i) On peut démontrer rigoureusement la propriété du parallélogramme des forces. '

Soient deux forces qudconques X , Y , fig. 2 , représentées par les droites AM , AN. Avec ces droites comme côtés , achevons le parallâogramme AMIN. Appliquons en N , sur IN et sur son prolongement , deux forces opposées X ,y , égales à Y ; elles se détruiront mutuellement, et ne changeront rien à la résultante de X et Y.

Combinons à présent X avec jr, et Y avec J'.

• I®. S, dirigée suivant HK, étant la résultante des forces parallèles X,x, ona.... ar:X:: AN:NI::AH:IIN.

Mais HK étant parallèle à NI , la propriété des lignes proportionnelles , GéomÉthie , V*. leçon , donne AN : NI : : AH ; HR ; donc HK = HN. En menant la ioite KNR, le triangle KHN a ses angles HKN, HNK, égaux entr’eux , aiasi qu’à l’angle KM. Donc, la droite KNR divise en deux parties égales les angles ANI , ou YNj. Les forces Y , y , étant égales , leur résultante R est située sur KNR ; puisqu’il n’y a pas de raison pour qu’elle se rapproche plus de l’ime que de l’autre des deux forces Y , y .

Ainsi , les deux forces X , Y, d’une part ; de l’autre , le* deux forces S et R ont la meme résultante. Mais la résultante des deux premières passe par le point A , qui leur est commun ; la résultante des deux secondes passe par le jioiut K , qui leur est commun ; donc , enfin, la résultante de X et de Y p.isse par A et K, c’est-à-dire, par AKI diagonale du parallélogramme AMIN ,

^6 MÉCHAIUQCR.

A chacune instant le parallélogramme des forces trouve son application , dans les moindres mouvements de nos membres , dans le jeu des outils que nous employons , et dans les mouvements extérieurs auxquels nous sommes obligés de participer. Il est essentiel de bien considérer, dans chaque cas, si les forces composantes dont nous faisons usage sont dirigées de manière à produire une résultante, dirigée elle-méme dans le sens qui nous paraît convenable ; et si la quantité de forces perdues est la moindre possible. J'ose assurer que cette étude faite avec attention et persévérance , produira , dans les ateliers etdans les manufactures, une économie de force et de temps qui aura les conséquences les plus importantes et qui pourra même faire éviter les plus graves dangers. Il suffit a’eu indi-

? uer un exemple qui , par malheur , ne se reproduit que trop réquemment.

Quand une personne qu’effraie le mouvement trop rapide d’une voiture, saute parla portière, son corps est animé: 1". par le mouvement horizontal de la voiture ; a“. par la force verticale de la pesanteur. La résultante oblique de ces deux forces fait presque toujours tomber la personne qui saute, an moment où elle arrive à terre. Comme la diagonale qui représente la résultante des deux forces agit obliquement, cette diagonale, qui passe par le centre de gravité de la personne, ne passe point par les pieds de cette personne, si elle se tient droite. Elle devrait donc , afin de ne pas tomber , se jeter en penchant beaucoup le haut du corps vers le cùté d’où vient la voiture. C’est par ignorance de ce principe, et par

dont les côtds AM, AN , représentent les deux forces composantes X et Y.

Pour trouver la grandeiu de la résultante Z dirigée suivant AI, fig. 3, prenons Z' égale et directement opposée à cette force. Alors X , Y , Z', se font équilibre, et chacune de ces trois forces est égale et directement opposée à la résultante des deux autres.

Construisons un parallélogramme ayant : sa diagonale dirigée suivant AM' , deux côtés dirigés suivant AN , et Al' = AI , avec AN pour un de ces côtés. Si l’on veut qtie AN représente une première composante et AM' la direction d’une résultante X, fa seconde composante Z', étaut dirigée suivant AI', il faut que Al' soit un côté du parallélogramme ANM'l'. Donc A1'=NM'=AI. Donc enfin la résultante Z=Z' est représentée en grandeuiainsi qu’en direction , par la diagonale AI du parallélogramme AMIN , lorsque les côtés AM, AN, de ce parallélogramme représentent deux comp®- <antes.

CIRQUISME LSÇOH. 77

défaut de présence d’esprit , au moment du danger , que laut de personnes font des chutes qui fracturent leurs mcmhres, et parfois leur coûtent la vie, lorsqu’elles sautent d’une voiture emportée par des chevaux dont la vitesse les efl’raie.

Quand deux côtés AB , AG, (Ig. 4 , d'un parallélogramme , sont égaux entr’eux , cequi forme alors un lozange , la diagonale divise en deux parties égales l’angle formé par les côtés. Ainsi , quand deux forces sont égales , leur résultante divise en deux parties égales l’angle formé par ces forces. On conçoit , en efl’et, qu’alors il n’y a nulle raison pour que la résultante soit plus rapprochée d'une composante que de l’autre.

Tous les oiseaux ont une figure symétrique par rapport au plan vertical AD, fig. 5 , qui va de leur tête à leur queue , quand ils se tiennent debout et droits. Lorsqu’ils volent, leurs ailes exécutent des mouvements symétriques, et frappent également l’air , qui réagit contre ces ailes, avec deux forces égales , symétriquement disposées par rapport au plan AD. Donc la résultante des deux forces est dans ce plan , et pousse l’oiseau suivant la direction indiquée par ce plan.

La droite et la gauche de notre corps étant symétriques , chaque fois que nous employons symétriquement nos bras et nos jambes, aûn de produire uneU'et méchanique quelconque, la résultante des eiforts de ces membres passe par le plan de symétrie de notre corps.

L’exemple le plus frappant de cet effet est donné par l’exercice de la natation. JPour suivre une route dirigée suivant le plan de symétrie de son corps , le nageur exécute des mouvements symétriques avec ses mains et ses pieds , comme on le voit représenté dans la üg. 6. La répulsion de l’eau, contre la paume des mains et la plante des pieds, est indiquée par les flèches F, F ; et les résultantes le sont par r , R.

Les poissons dont la forme est symétrique par rapport au plan vertical qui va de leur tête à leur queue , Cg. 7 , ont des paires de nageoires symétriquement placées à droite et à gauche. Ils les remuent simultanément , comme le nageur emploie ses mains et ses pieds ; de manière à ce qu’elles fassent le même angle avec le plan de symétrie. C’est pourquoi leur résultante est dans ce plan , et produit la marche directe.

Les navires, qui sont des poissons artificiels, ont généralement un plan vertical de .symétrie , dirigé de la poupe à la proue. Quand on veut faire avancer le navire , on emploie des forces égales et placées symétriquement de chaque côté de

y8 MiCHARIQDB.

ce plan. Tantôt ce sont des avirons, ilg. 8 , tantôt des rou«i à anbes, tantôt des poids, etc. Voytz, III*. volume. Emploi DBS FORCES MOTRICES. Toujours la résultante de ces forces est dans le plan de symétrie , lorsqu’on veut procurer au navire une marche directe.

La navigation produite par la force d’un vent de côté , nous offre une application constante de la décomposition des forces. Soit AB , Gg. g , l'axe d'un navire , où la droite MN repre'sente la projection d'une voile appuyée en O contre un mât. OP représentant, en grandeur et en direction , la force X avec laquelle le vent pousse la voile, construisons le parai* lélogramme rectangle OCPÜ , dont OP est la diagonale. La force OP se décompose en deux autres ; la première , OC, se trouvant dans le sens de la voile MN , ne produit aucun effet pour faire avancer le navire ; la seconde OD, perpendiculaire a la voile , est la seule qui pousse cette voile et le mât et le navire. Mais ODse décompose en deux autres forces. La première OE , dans le sens de l'axe de symétrie , tend à faire avancer le navire; la seconde OF le pousse en travers , et produit le mouvement de côté qu’on appelle dérive. Le constructeur de navires et le navigateur doivent combiner leurs tracés et leurs manoeuvres de telle sorte que la force OE produise la plus grande marche possible , et que la force OF produise la moindre dérive possible.

Dans le parallélogramme ABGD, fig. lo, lorsque l’angle BAC œt très-ouvert, la diagonale AD est très-courte. Ensuilé , à mesure que l'angle BAC se ferme , Ik diagonale AD s'allonge , jusqu’au point où l’angle BAG devient nul ; alors AC est posé sur AB , et la résultante est égale à la somme des composantes. Donc, si l’angle BAC n’est pas nul, jamais la résultante des forces AB , AC , ne saurait égaler la somme de ces deux composantes.

On fait un fréquent usage de la propriété qu’a la résultante ÂD , de dimi- ' nner au fur et à mesure que l’angle BAC augmente. Je vais vous en citer im exemple bien simple.

Supposons qu’il s’agisse de ficeler la malle MM , fig. 1 1 . Je commence par passer le bout CA de la corde , dans une boucle A faite au I)out A de BA. Je tire avec vigueur le bout libre , dans une direction très-rapprochée de AC. Quand je ne puis plus produire d’effet dans ce sens , je dirige ce bout transversalement en AD. Si je le tire avec la moindre force, je produis un angle BEC, c’est-à-dire, que je contrains le point A à se rcndi’c en E, de manière qu’en formant le parallélogramme BECF, la petite diagonale

CtHQUliliB ~ ;79

EF rcpdsentc la petite force de la main, qm fait équilibre aux grandes tensions BE,'EC, de la corde. J’engage ensuite le bout de Ocelle libre, pardessous lâ valise ; puis , entre EB , EC , ED ; et je ramène le point E en A , par une tension gradueHede la corde.

On employait autrefois très-fréquemment l’arme de jet appelée flèche ; on la lançait avec un arc élastique CED , fig. I a , tendu par une corde CD. L’usage de cet arc était ' si familier , comme nous l’avons vu , Géométrie , 111*. leçon ,

3 ne les mots d’arc , de cord et de fl^he ont passé , des usages e la chasse et de la guerre , à ceux de la science. Examinons les effets de l’arc.

D’une main , l’homme saisit son arc en E ; de l’autre , il tient le gros bout de sa flèche. Avec ce bout il pèse sur le milieu F de la corde. L’effort qu’il fait pour écarter le point E du point F, étant représenté par 3 FG, l'efiTort supporté par les demi-oordes , l’est par GD et par GG.

Lorsque la main placée en G , abandonne le bout de la flèche, les demi>cordes GC, GD, tendent à reprendre leur longueur naturelle ; elles agissent sur la flèche avec une égale force , et loi font par conséquent suivre la direction diagonale GFE. ,

Au moment du tir , la tension éprouvée par chaque demicorde , est à la force avec laquelle la flèche est lancée , comme la longueur GC ou GD est au double de GF. En effet , GF est la moitié de la diagonale du parallélogramme des forces , construit avec les côtés GC et GD.

Mais, l’arc CED étant pour l’ordinaire un corps élastique , tend à se redresser avec d’autant plus d’énergie , que 1 angle CGD est plus fermé ; ce qui augmente encore la force avec laquelle la flèche est lancée. Par cé moyen , tel individu dont la main ne pourrait lancer une flèche qu’à quelques pas , et avec peu de force, envoie cette flèche à des distances considérables , avec assez de vigueur pour blesser et tuer l’homme et les grands animaux.

Un autre exemple vous montrera toute l’cflioaci té d’une force très-petite, agissant d’une manière analogue à celle qui fait fléchir la corde de l’arc.

Pour donner aux cordes d’une harpe le degré de tension

3 ai les monte au ton convenable, il faut se servir d’une ef qui quadruple ou quintuple la force du poignet de l’accordeur. Deux hommes robustes, saisissant à fa main, et

8o MéCHANIQüK.

tirant chacun par un bout, certaines cordes dehàrpe, anraient certainement peine à les tendre autant qu’elles doivent l’être quand elles font partie de ce bel instrument. M. de Prony a calculé les tensions des cordes d’un piano : la somme qu’il a trouvée est plus grande que la force de quatre chevaux. Cependant, une jeune fille qui ne soutient pas, sans fatigue , ses bras tendus le long des cordes d’une harpe , trouve dans ses doigts délicats assez de force pour saisir ces cordes et les pincer parle milieu, de manière à en former deux demicordes anguleuses : ce sont les deux côtés d’un parallélogramme, 6g. i3 , dont la diagonale représente l’effort exercé par les doigts de la jeune 611e. Quand elle ouvre la main, cet effort se trouve assez puissant pour imprimer à la corde un mouvement de vibration qui retentirait Ibng-temps , s’il n’était étouffé par une pédale, ou perdu dans les sons successifs du morceau qu’on exécute.

Jusqu’ici nous n’avons considéré que ce qui se passe daus un simple parallélogramme des forces, c'est-à-dire , lorsqu’on n’a que deux composantes et leur résultante.

Supposons , maintenant , que nous ayons trois composantes agissant sur un même point matériel A, 6g. i4. Soient

AB, AC, AD, les parties de ligne droite qui représentent, en longueur et en direction , ces trois composantes. Si l’on construit le parallélogramme ABEC , avec les deux lignes AB ,

AC , prises pour côtés , la diagonale AE représentera la gran-

deur et la direction de la résultante des deux premières forces ; c’est-à-dire , qu’un corps sollicité à la fois par les deux forces AB, AC, ou par la seule force AE, parcourra le même espace , dans la même direction, et pendant le même temps. . , . .

Combinons la résultante partielle AE, avec la troisième force AD, en formant avec ces deux lignes un parallélogramme AEFD. La diagonale AF de ce nouveau parallélogramme est évidemment la résultante de AD et de AE. Mais l’effet produit par AE est équivalent à l’effet produit par les deux forces AB et AG. Donc , enûn , l’effet produit par la force AF équivaut, au total, à celui que produiraient les trois forces AB , AC , AD.

Nous pouvions arriver à ce résultat par une autre considération. Quand deux forces AB , AC, 6g. i5, agissent sur un corps A, la première force AB agissant seule, pendant un temps donné , le transporte de A en B. La deuxième force

CINQUIÈME LEÇON. 8l

AC agissant ensuite seule, le transportera de B en E, parallèlement à AC ; de manière que BE=AC. La troisième force AD, agissant ensuite seule , le transportera de E en F , parallèlement à AD, et de manière que EF=AD. Enfin , le corps arrivant en F, par l'efTet successif des trois forces, sera précisément au même point où il serait arrivé, si les trois forces avaient agi en même temps pour le transporter.

Cette nouvelle construction ne diffère de la précédente qu’en ce qu’elle est moins compliquée : car il y manque les 3 ' et 4*. côtés des parallélogrammes de la fig. i4-

S’il y avait un nombre quelconque de forces OA, OB,

OC , fig. i6 , agissant sur un point matériel, il serait

transporté aussi loin dans un temps donné, que dans le cas où toutes les forces agiraient séparément et successivement , pour le transporter dans leur direction propre , pendant ce même temps. Alors, on mènerait successivement Â/>, hc , cd , etc., parallèles et égaux en longueur à OB , OC , OD , etc. Puis , joignant le premier point 0 et le dernier e de cette suite de côtés , Oe représenterait la résultante de toutes les composanr

tes représentées par OA , OB, OC, OD

Donc, en fermant par une droite Oe le polygone

OAbcd eO , cette droite représente la résultante, lorsque

chacun des autres côtés représente une force composante.

Si nous renversions en 0 «', la résultante Oe , cette force devenant directement opposée aux composantes , leur ferait équilibre. De là résulte ce beau théorème, qu’on doit à Leibnitz ; si tant de forces quon voudra sont appliquées au même point matériel, et si ces forces peuvent être représentées eu yrandeur et en direction , dans un sens qui se suive , par les côtés d'un polygone quelconque, régulier ou irrégulier , mais complet et fermé, toutes ces forces se font nécessairement équilibre.

Dans le polygone MNPQRS , fig. 17, on remarque un angle rentrant, Q. Cet angle est nécessaire à la formation du polygone , parce que la direction de la flèche QR indique le sens dans lequel on doit tracer le côté QR , pour que les forces qui doivent se faire équilibre se succèdent toutes dans le même sens. Enfin , chaque côté du polygone représente la grandeur et la direction des forces.

La manière dont nous avons considéré la composition des forces, acet avantage qu’elle s’applique également à despuissanccsi^ui agissent dans un même plan et dans des plans différents;

Dk ■ ■ ■ . k iiDjjIe

8a MI&CBAiriQOE.

ce qui , pour beaucoup de cas, est d’une extrême importanos.

Il en résulte seulement, quand les forces OA, ÔB, OC, OD...., fig. i6, ne sont pas toutes dans un même plan, qu’alors les côtés du polygone OAbed...., qui sont respectivement parallèles aux directions de ces forces, ne sont pas dans un môme plan. Mais la résultante Os de toutes ccs forces n’en est pas moins représentée en grandeur et en direction par la ligne droite Oe , menée, du point O, commencement du polygone OAbed...,, jusqu’au point e où se termine le dernier des côtés qui représentent des forces composantes.

Autant il est simple et facile de construire, sur le papier ou sur le terrain , le polygone OAbed. ... , lorsque ce polygone est tout entier dans un même plan ; autant la construction de ce polygone serait difficile et compliquée , si tous les côtés qui le composent ne pouvaient pas être dans un même plan. ■■"ib. . rroj

Heureusement qu'alors les notions données, I*'. volume. Géométrie, deuxième , septième et treizième leçons, nous — offrent un moyen très-court et très-exact , pour obtenir et la direction , et la grandeur de la résultante : quels que soient le nombre, la direction et la grandeur des forces composantes.

Pour avoir la projection d’une ligne MN , Gg. i8 , située sur un plan, par rapport à deux axes OX , OY, il suffit d’abaisser , des deux extrémités de cette droite , des perpendiculaires sur les axes de projection : les parties nrn, tn'n' , comprises entre ces perpendiculaires , sont les projections cherchées.

Prolongeons wtM en A et m'M en B, nous aurons le parallélogramme MANB, dans lequel nous pourrons regarder MN comme une force résultante, ayant ses composantes représentées par = et par MA = m'n ' puisque ces dernières lignes sont des parallèles comprises entre d’autres parallèles. Géométrie, 1I“. leçon.

Ce que je dis d’une force, je pourrais le dire de deux , de trois , de quatre , et d’un nombre quelconque de forces ;

3 uelles que fussent leur grandeur et leur direction, chacune 'elles serait représentée par ses deux projections sur deux axes à angle droit.

Lorsque nous aurons un nombre quelconque de forces telles que MN , NP, etc. , Gg. i8 , il suffira donc de prendre leurs projections sur les deux axes à angle droit OX , 0¥ ;

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ClRQtJlÈMB LEÇON. 83

|>uis,decongidërer, d’une part^ que le corps est tmi suivant OX, avec les forces mn, np,pq..... , et de l’autre suivant OY, avec les forces «t'n', n'p', p'q'....; l’effet résultant sera toujours le même. On voit , en effet , que la droite MQ, fermant le polygone MNPQ , représente la résultante des forces MN, NP, PQ ; et que cette résultante a pour projections mq, tn'q', somme on différence des projections partielles. Maintenant , lorsque des forces mn , np , pq.... , m'n', n'p', p'</

agissent suivant une ligne droite : i°. leur résultante est dirigée suivant cette droite ; 2°. elle est égale à la somme de toutes celles qui sont dirigées d’un côté , moins la somme de toutes celles qui sont dirigées du côté opposé. Rien ne sera plus facile à faire qu’une telle distinction.

Soit , Gg. 17,1m groupe quelconque de forces représentées par les droites MN, NP, PQ... Projetons ces droites sur l’axe Oa, en rtm, np,pq Nous verrons que les forces pq et rs poussent en sens contraire de mn , np , qr.... Ainsi, la résiJtante sera mn + np moins pq + rs. Il est évident

que mn + np moins pq c’est mq , et que qr moins rs c’est qs. Doue, cnGn , la résultante totale est mq plus qs ; c’est-à-dire, ms. Cette partie de l’axe est en effet la projection de MS qui ferme le polygone des forces, et par conséquent qui représente la résultante de MN, NP , PQ...

Si tonies les forces MN , NP , PQ , fig. 18 , sont dans

le plan des axes OX , OY , les mouvements exécutés par le

Î )oint M sur les deux axes de projection , représenteront paraitement les mouvements exécutés par M, en vertu des forces composantes quelconques MN, NP, PQ , etc.

Mais , si les forces ne sont pas dans le plan des deux axes , il faut prendre trois axes perpendiculaires entr’eux. Par exemple, on peut prendreun plan vertical ; et deux plans horizontaux, l’un dirigé du nord au sud, l’autre de l'orient à l’occident.

Alors , en abaissant des perpendiculaires aux axes , des deux extrémités de chaque ligne droite qui représente une force ^ les projections représenteront trois forces telles qu’un point matériel mû successivement suivant la direction de chacune d’elles, arrivera dnalement à la même position que s’il eût été mû par la force primitive unique.

De même qu’on rend sensibles par un parallélogramme , la décomposition et la composition de deux forces sur un

f »Ian ; de même on rend sensibles, par un parallélipipède,, a décomposition et la composition de trois foVees dans l’es-

84 MéCHANIQUB.

pace. Voyez Gêomkthie, V11°. leçon, des parallélipipèdes.

Or, en menant la diagonale AG, flg. 19 , de l’angle A à l'angle opposé G, il est évident que, si je prends cette diagonale avec les trois côtés AB , AC=BE, AD=EG , je vais former un polygone ABEGA fermé de toutes parts. Donc je puis regarder le côté AG de ce polygone, comme représentant, en grandeur et en direction, uue force AG, qui fait équilibre a trois forces respectivement représentées , en grandeur et en direction', par AB, AC, AD.

De sorte , par exemple , que si la force AG suffil pour transporter dans un temps donné le point A en G ; dans un temps égal, la force AB transportera ce point de A en B; puis, dans un temps égal, la force AC transportera le point A , de B en E J enfin , dans un temps égal , la force AD transportera le point A , de E en G.

Donc les trois forces représentées par AB , AC , AD , agissant à la fois , transporteront A en G , dans le même temps que chacune de ces forces, agissant successivement, ou que la résultante AG agissant seule.

Remarquez ici qu’en appelant axes de projection les droites AB , AC , AD , les parties ÀB , AC , AD , seront précisément , sur ces axes , les projections de la diagonale AG , c’est-à-dire , de la résultaute AG de ces trois forces.

Vous trouverez peut-être un jreu longue la marche que j’ai cru devoir suivre ; mais il était indispensable d'entrer dans tous ces développements, pour que vous trouvassiez aussi élémeutaires qu'elles le sont réellement , des propriétés dont on a fait un épouvantail pour les personnes qui commencent l'étude de la science.

En décomposant chacune des forces qui peuvent agir sur un corps , eu deux autres forces parallèles à deux axes donnés , ou en trois autres forces parallèles à trois axes donnés , on forme des groupes d'autant de forces parallèles à chaque axe, qu'il y a de forces diflérentes agissant sur le corps , quelles que soient la grandeur et la direction de ces forces. Ainsi, l’action de forces qui n’ont aucune analogie, quant à leur direction , se réduit immédiatement à l’examen de l’action des forces parallèles.

Si toutes les forces parallèles , obtenues par une décomposition telle que nous venons de l’indiquer , ont une résultante unique qui passe par le centre de gravité du corps, elles tendront à faire avancer le corps en ligne droite , et sans tour-

ner : de la même manière que si elles étaient réduites à une seule , égale à leur somme et parallèle à leur direction commune.

Si toutes les fèrees ont une résultante qui ne passe pas par ce centre de gravité, cette résultante agira pour faire tourner le corps. 11 importe d’examiner de quelle manière ce mouvement aura lieu. Supposons qu’une force AX ne passe pas par le centre de gravité G, Gg. ao ; GA étant la perpendiculaire menée du point G à la direction AX de cette force ; nous ne changerons rien au mouvement de ce corps , en ajoutant une force unique Gx , parallèle et égale à AX , et deux forces ay , AY, parallèles à Ga?, dirigées en sens contraire, égales chacune à la moitié de Gx , et .tellement placées que GA=G«, puisque Go; fait équilibre èiay , AY. Mais la force AY étant moitié de AX, et dirigée en sens contraire, détruit la moitié de AX. Par conséquent , le corps se trouve sollicité au mouvement par trois forces : i°. Ga? , qui passe par le centre de gravité du corps , = AX ; a®, la moitié de AX , agissant dans le sens de AX ; 3 “. ay égal à la moitié de AX, et dirigée en sens contraire.

Les deux forces égales ^ AX et ay , létant également éloignées du centre de gravité G , agiront pour faire tourner ce centre de gravité , sans le faire avancer d’un côté plutôt que de l’autre ; puisqu’il n’y a pas de raison pour que , de deux forces égales et dirigées parallèlement en sens opposés , l’une l’emporte sur l’autre.

. Ainsi : i°. par l’action des forces 5 AX et ay , le centre de gravité p’avance ni ne recule ; 2°. par l’action de la force Gx, le centre de gravité est transporté en ligne droite, en vertu de l’action d’une force égale et parallèle à AX.

Par conséquent , lorsqu’un nombre quelconque de forces agissent sur un corps de Ggure aussi quelconque : i”. si l’on décompose toutes ces forces parallèlement à des axes donnés; 2° si l’on détermine la résultante totale des forces, pour la transporter parallèlement au centre de gravité : ce centre se . mouvra en ligne droite, comme si toutes les forces étaient immédiatement appliquées au centre même de gravité. Tel est le principe très-remarquable de la contervation du ceTir tre de gravité, dénomination qu’il doit surtout à cette autre propriété que tou-» les mouvement» intérieur» produits dan* un corps par le» actions et les réaction* des diverses parties de ce corps, ne changent rien au mouvement du centre

pinitu— ' iiv

86 MÉCnARIQUE.

de gravité par rapport aux point* extérieur* de Vegpaee.

Le jeu de billard ofTre des exemples, varies et très-sensibles, des propri^slés du mouvement imprimé aux corps par l’action d'une force qui ne passe point par le centre Je gravité de ces corps. Frappons une bille de billard , non point dans la direction de son centre , mais k droite , par exemple. Alors : i°. la bille s’avance avec la mémo vitesse que si elle était frappée dans la direction de son centre ; 2’’. elle prend un mouvement de rotation de droite à gauche en avançant.

Si l’on frappe la bille en dessus du centre de gravité, elle avance pareillement avec la même vitesse que si elle était frap—

S ée dans la direction de son centre , et prend un mouvement e rotation de dessus en dessous , tandis qu’elle s’avance.

Les effets contraires ont lieu , lorsqu’on frappe la bille, soit à gauche, soit en dessous du centre de gravité. '

Quand on frappe la bille au-dessous du centre de gravité, la résistance causée par le frottement du tapis contre la bille est augmentée. Quand on frappe la bille au-dessous du centre , en pointant la queue de haut en bas, la bille s’avance moins vite que quand la queue agit parallèlement au billard ; alors la vitesse de rotation peut l’emporter , au point de n’être pas détruite en totalité par ce frottement, lorsque la vitesse progressive de la bille est déjà détruite. La résistance du tapis continuant toujours comme une force rétrograde , une partie de cette résistance est employée à diminuer la vitesse de rotation de la bille, et l’autre agit comme si elle était transportée an centre de la bille qu’elle fait rétrograder. C’est ainsi que , d’un seul coup de queue de billard, on peut faire avancer, puis rétrograder une bille.

Des effets analogues à ceux du jeu de billard se remarquent dans le mouvement des boulets de canon et des bombes; ils produisent des résultats extraordinaires dont l’élude est de la plus hante importance dans l’art de la guerre. Celte étude est l’objet de la science appelée Ballistigue.

Des machines simples s les cordes, les ponts suspendus , les harnais, le gréement des vaisseaux, etc.

On appelle machines les combinaisons de parties matérielles propres à transmettre une force quelconque , en changeant sa direction, ou sa vitesse , on l’amplitude de l’espace qu’elle fait parcourir dans un temps donné.

On compte sept machines simples, auxquelles on rapporte toutes celles qui sont composées. Ces machines simples sont : les cordes, le levier, la poulie, le treuil, le plan Incliné, la vis et le coin. Nous allons traiter de chacune d’elles avec toute l’étendue qu’exige l’importance du sujet. Nous en parlerons dans l’ordre que nous venons d’indiquer.