I. Des cordes

Pour faciliter l’étude des cordes employées à transmettre des forces , les géomètres supposent d’abord qu’elles sont flexibles, inextensibles , et sans pesanteur. Puis, suivant qu’il importe de faire entrer en considération , leur roideur plus ou moins grande, leur extensibilité ou leur pesanteur, ils recherchent (tant par la théorie que par l’expérience), quelles altérations peuvent être produites dans les résultats primitifs, par les propriétés de la matière dont les cordes sont composées.

Cette manière de venir à bout des questions les plus compliquées , en les ramenant d’abord à leurs éléments les plus simples, n’a rien que de très-philosophique; elle aide à la faiblesse 'de notre intelligence , et double l’eflicacité de nos moyens d’opérer. Nous allons suivre la même marche dans l’examen des propriétés des cordes et de toutes les autres machines simples.

Considérons donc une corde parfaitement flexible, inextensible et sans pesanteur.

Commençons par appliquer une seule force à chaque exlré-

88 HÉCHANIQOE.

mile de la coi*de. Ces deux forces tirant la corde en sens opposes , snpposons-les égales. Par leur effet , celte corde est tendue en ligne droite ; ligne dont les deux extrémités se trouvent à la plus grande distance possible. Alors les deux forces se font équilibre, puisqu’il n’y a pas de raison pour que la corde, également tirée des deux bouts , s’avance d’un côté plutôt que de l’autre.

Faisons agir une troisième force qui tire dans le même sens qu’une des deux premières : que la seconde, par exemple. L’effet opposé de la première étant détruit par la seconde , la corde se mouvra du côté de la troisième , comme si les deux premières n’agissaient pas. Dans ce mouvement, exécuté suivant la direction de la corde , il est évident que cette corde ne cessera pas d’élre en ligne droite. La troisième force ne fera qu’entraîner la corde; et les deux premières forces qui se font équilibre, produiront cet équilibre en exerçant sur la corde une tension représentée par chacune de ces deux forces

Les résultats auxquels nous venons de parvenir étant les mêmes, quelle que soit la longueur de la corde , il s’ensuit que la tension qu’elle éprouve est la même en chacun de ses points. G, Â —

En effet pour connaître la tension éprouvée par la corde , au point quelconque G, fig. i , l’on pourrait y supposer ap-

f iliquées les deux forces A X , BY ; de même , pour connaître a tension éprouvée au point A, on peut supposer les deux forces AX, AY, appliquées en A. L’effet des forces ne changeant pas, quel que soit leur point d’application , il en résulte que la tension éprouvée par la corde en un point quelconque G. est ( comme nous l’avions avancé ) la même qu’à l’extrémité A; donc elle est égale dans toutes ses parties.

Maintenant, supposes que la corde ait partout une force constante, excepté dans un seul point plus faible que les autres. En accroissant graduellement et de la même quantité , les deux forces opposées , on atteint un terme où la tension exercée sur la corde ( tension supposée la même pour tons les autres points de cette corde ) est trop peu considérable pour rompre cette corde en aucun point, excepté le plus faible. Donc la corde rompra dans ce point faible, et l’équilibre du système sera détruit.

Ce moyen est précisément celui qu’on emploie dans les arts , pour mesurer la force des cordages. Quand les cordages doivent servir, soit à fixer, soit à suspendre des objets dont la

tenne est d’ane grande importance, il devient indispensable de s’assurer que les cordages supporteront sans se rompre les plus grands efforts auxquels on devra les soumettre. Il est donc essentiel de connaître , avant tout, la résistance dont ils sont susceptibles. C’est ce qu’on doit faire avec un soin particulier, pour les cordes ou câbles de fer, câbles que j’ai eu le bonheur défaire adopter, depuis 1817, par la marine française. Car il suffirait qu’un seul chaînon , par mauvaise qualité du fer ou par mauvaise fabrication , eût une force très-inférieure , pour exposer le câble à casser, comme si tous les autres chaînons étaient également faibles. .

Quand une corde est courte , il y a moins de chances pour qu’elle se trouve , en quelque point, beaucoup plus faible qu’en tout autre. Aussi , remarque-t-on qu’en prenant deux bouts d’une même corde, inégaux en longueur , pour les soumettre à des tensions égales , le bout le plus court est généralement susceptible d’éprduver un plus grand effort, avant d’être rompu , que le bout le plus long.

Au lieu d’une force agissant à chaque extrémité de la corde , supposons qu’il y ait un nombre quelconque de forces.

Soient Ax' ,Ax" , Ax'" ,... fig. 1 , les forces agissantes d’un côté, etBy', By", By"’,.... les forces agissantes de l’autre côté. On pourra remplacei^’une part toutes les forces Ax' , Ax" , Ax" ,... et de l’autre, les forces , Bÿ"',... par une

force unique qui sera leur résultante , et que nous déterminerons d'après les lois ordinaires de la composition des forces. Pour cela, nous ferons un polygone dont les côtés soient égaux et parallèles aux droites représentantles forces. Les deux lignes droites AX, BY, qui ferment ces polygones, représenteront les deux résultantes. Il faudra que ces deux résultantes : 1°. soient dirigées en sens opposés, suivant la direction même de la corde AB; a°. soient égales entr’elles.

Si les forces ne sont pas égales , ü ÿ aura mouvement dans le sens de la plus grande , et la vitesse sera en raison inverse de la masse de la corde à mouvoir , etc. , II®. leçon.

Application à la sonnerie des cloches. Les cloches que l’on sonne dans les églises sont tirées par une corde verticale AB , fig. 3 . Quand la cloche est trop grosse pour que deux ou trois hommes, tirant àla fois sur cette corde , puissent sonner avec facilité, l’on fixe au bas de la corde principale AB, des cordes plus petites Ax'. Ax" , Ax'",... Un homme saisit chacune de ces cordes, et tous tirent ensemble pour donner àla cloche le

T. II. Mécn. 7

Dk

MÉCHAniQDE.

mouvement qui lui convient. Afin cVobtenir la résultante, il suffit de former un polygone dont les côtés A«',

j/X", X"X"',... représentent, en grandeur et en direction, les forces h.x ' , Ax" , Ax"',...

£n menant la ligne droite AX'" , par le point A et par l'ex* trémité du dernier côté, on fermera ce polygone des forces, polygone dans lequel cette ligne droite AX'" représentera la résultante. Enfin, pour le cas que nous examinons , il faudra que cette résultante soit dans la direction de la corde verticale AB.

Ordinairement les sonneurs, dont la force est k peu près la même, se placent en cercle, à distance égale les uns des antres , de manière que le centre du cercle soit à l’aplomb de la corde AB. Par cette disposition, la résultante de leurs forces passe nécessairement par la ligne AB.

Mouton» ou sonnette» pour battre le» pieux. Ce que je viens de dire sur la sonnerie des cloches Rapplique également lorsqu’on veut tirer avec des cordons, la corde principale qui fait agir le mouton mis en usage pour battre les pieux. Aussi cette machine est-elle souvent appelée eonnette; parce qu’on la sonne comme une grosse cloche d’église. Mais pour coin-

I déter l’explication de cette machine, il faut connaître les pouies. *

Jusqu’ici nous avons envisagé ies cordes comme tirées seulement par leurs extrémités. Supposons qu’elles soient en outre tirées en un point intermédiaire.

Soient AX et BY , fig- 4 > 1®* forces appliquées aux extrémités A , B , d’une corde ACB, et CZ la force appliquée au point intermédiaire C. Ces trois forces se feront équilibre , si , en transportant BY en Gy , AX en Ca: , le parallélogramme formé sur les côtés Cv,Cy, a prédsémentsa diagonale CZ' égale et opposée à la force CZ'.

Supposons que la force AX , fig. 5 , représentée par Csr , et la force BY représentée par Cy , soient égales entr’elles. Alors le parallélogramme Cx TJ y sera ce qu’on appelle un lozange , et les angles jrCZ' , yCZ' , seront égaux; c’est-à-dire, que les lignes droites CAX, CBY, feront le même angle avec la direction de la résultante CZ'.

Mab, suivant que Cy sera plus grand ou plus petit que Car, la force CZ' sera plus rapprochée ou plus éloignée de CBY que de CAX ; et cela dépendra de la forme des triangles égaux CarZ' , CyZ'.

Si nous avions quatre forces AX, BY, A' X' et B'Y', fig. 6 , appliquées en C, C', il faudrait qu’il y eût équilibre autour de chaque point C , C'. . .

SIXIÈME EEÇON. 01

. Par exemple, autour du puiut C, l’oa aurait les forces AX et BY , dont la résultautc devrait être dirigée suivant le prolongement de CC', et représenterait la tension exerccc par ces deux composantes siu- le cordon CG'. Construisant donc le parallcloCTainme C/Zx, où Cx égale AX, Cy=BY, on am'a CZ égal à la tension de la corde BC.

De même, pour le point C', en construisant le parallélogramme C'/'Z'x' avec les cùlés C'x' = A'X', C'^'=B'Y' , on aura C'Z' égal à la tension de la corde. Il faudra , pour que CC' reste en équilibre , que les deux tensions opposées CZ , CZ' , soient égales.

Remarquons ici que la détermination des diverses tensions de AC , CC' , C'A', etc. , étant indépendante de la longueur des parties AB , BC, CD, etc., CCS tensions ne changent pas, non plus que l’état d’équilibre de tout le système, lorstpi’on augmente ou qu’on diminue la longueur de ces parties. On peut donc supposer milles une ou plusieurs d’entr’elles , sans que pour cela t’équilibre soit détruit. Par conséquent, lorsqu’un noenbre quelconque de forces sont appliquées à divers points d’une même corde , en appliquant toutes ces forces au même jMiiit , sans changer ni leur giandeur , ni leur direction, toutes les forces ainsi transportées parallèlement, et déliarrassées de la corde , sont en cquililn’c.

Lorsqu’une corde est tirée par des forces appliquées à divers points , elle présente la figure d’un polygone, et, pour celte raison, prend le nom de palÿÿone funiculaire : du mot latin fitpetitecorde ou cordon. Il faudra que les forces agissant autour de chaque point, soient en équilibre avec 1rs tensions éprouvées par les côtés du polygone dont ce point est le sommet.

Nous avons de fréquents exemples del’équilibredu polygone funiculaire , lorsque nous suspendons des poids à u ne corde dont les deux bouts ne sont pas sur la même verticale. Les ponts suspendus, dont nous parlerons à la fin de cette leçou , nous ofl’riront un autre exemple des polygones funiculaires et de l’utilité des évaluations qui s’y rapportent. ■

Soient Ay, Bz , Ct», Dm», lig. 7 , des forces verticales; leur résultante Jir sera pareillement verticale , égale à leur somme , et pourra se déterminer immédiatement par la théorie des forces parallèles. Pour que l’équilibre existe dans le polygone funiculaire, il faut que la force Rr, qui représente l’ensemble des forces Ay, Bz, O etD»*’, fesse équilibre à la tension des bouts A , D , de la corde. Ce qui exige : 1 °. que les directions des deux forces extrêmes Ax , Dm , aboutissent au même point O sur la résultante Br des forces parallèles ; 2“. qu’en prenant Ox' = Ax , et Ou' — Dm , sur les droites OAx et ODm, la diagonale du parallélogramme formé sur ces deux èôtes , soit précisément égale à Rr , et verticale comme toutes les forces composantes.

93 ' • MÉCHANIQUR.

Quant aux tensions éprouvées par les diverses parties de la corde ABQ>, il sera toujours ti’cs-facile de les déterminer, en regardant chaque force parallèle ky, Bi, etc., comme la diagonale d’mi parallélogramme dont les côtés sont Aa: et AB prolongés , AB et BC prolongés , BC et CD prolongés , etc. ; les côtés de ces parallélogrammes représenteront les tensions de ces cordons. On déterminera de la sorte la tension de chaque cortloti AB, BC, CD , à ses deux extrémités. Si l’équilibre subsiste, il faudra que cette tension soit la même aux deux extrémités de chaque cordon. Saits cela, le cordon s’avancerait du côté de la tension la plus grande, comme s’il était immédiatement sollicité par deux forces inégales.

Actuellement, nous sommes en e’tat de faire entrer en cou* side'ration la pesanteur des cordes. Examinons, d'abord, une corde fixée à ses deux bouts , et qu’on laisse pendre librement.

Nous pouvons regarder cette corde comme étant composée d’un nombre infini de petites lignes droites, égales entr’elles, très-peu inclinées l’ime sur l’auU'c, et formant la ligne coui'bc que doit alors suivre la corde pour sc placer dans un état d’équilibre et de repos. Considérons deux de ces petits côtés consécutifs AB et BC , fig. 8 , la résultante du poids de chacune d’elles est une force qui passe par leur milieu , en M et N. On va donc avoir une .suite de forces parallèles ALr, Ny , Oa , égales, et telles que leurs ^loints d’application M , N , O , sont équidistants.

La résultante de toutes ces foreps est égale k leur somme et dirigée verticalement : soit Rr cette résidtante. 11 faudra , d’apres ce que nous aa'ons vu précédemment, (jue les deux dciaiiers côtés ¥f, Gg, du polygone funiculaire , par leur prolongement , .se rencontrent sur la résultante B/-.

Ainsi, les tangentes, en F et G, à la courbe FAB.... G, se coupent toujours sur la direction de la résultante du poids de la corde librement pendante : résultante qui passe par le centre de gravité de la corde (i).

La courbe forme'e par la corde pliée librement en verlu de sa pesanteur, resterait la même, soit que cette courbe fût un fil éminemment flexible et continu , soit qu'elle fût une chaîne on chaînette composée de chaînons infiniment petits. Ce qui

( I ) Cette propriété sert aux mathématiciens à trouver une équation différentielle de la courbe que forme la coide , librement abandonnée à sa pesanteur. Mais malheureusement, les méthodes dont nous sommes en possession , ne sont pas assez pnis-santes pour donner en quantités finies l’équation qui doit déterminer la figiu-e de cette même courbe. Quant à nous qui , dans les arts , pouvons opérer sur la combe même , et déterminer tous ses éléments au moyen de mesures immédiates, nous parvenons ainsi , par le fait et de la mamère la plus simple , aux résiJtats où la science analytique ne saurait nous conduire.

: ■ Coogk

SIXIÈME LEÇON. q3

ferait de cette cliaînette nu polygone composé d’un nombre infini de côtés infiniment petits. C'est même ainsi qu’on a d’abord considéré le problème. On a nommé gpéciaJement chaînette , la courbe suivie ]>ar une telle chaîne, ou par une corde parfaitement flexible, fixe à ses deux bouts , et librement abandonnée à l'action de la pesanteur.

Les arts méchaniques et les beaux-arts font un fréquent usage de la chaînette.

Les câbles , les chaînes, AB, fig. i4 > avec lesquels on lient les navires en équilibre contre les forces du vent et du courant,

i )rcnnent la forme de chaînettes plus ou moins courbes , selon eur tension. Il en est de même des cordes employées pour le lialage, et tirées par des hommes ou des chevaux, au moyen de cordelles attachées en divers points aux cordes principales. Jj’examen des tensions supportées par ces cordes et par ces cordelles , et la transmission ainsi que la perte des forces de halage, sont des questions importantes, qu'on résout au moyen des principes exposés dans celte leçon. Nous expliquerons cet emploi des chaînettes , au sujet du gréement des navires.

Il faut aussi rapporter à la chaînette et au polygone funiculaire , l'équilibre des <ra»7/e# ou cordes tendues d’un bord à l'autre des rivières. Elles sont attachées à des points assez élevés pour qu’un bateau maté passe dessous. Sur la traille peut courir ( au moyen d’une poulie) le bout supérieur d’un cordage dont le bout inférieur retient un hac. Dans chaque position où cette corde se trouve , elle éprouve une tension causée par l’action que l’eau courante exerce sur le bac. Cette tension fait équilibre à deux autres tensions éprouvées par les portions delà traille situées à droite et à gauche de la corde qui tient le bac. Pour connaître la force nécessaire à donner , soit à cette corde, soit à la traille, il faut calculer les plus grandes tensions qu’elles aient à supporter : les propriétés de la chaînette et du polygone funiculaire en donnent le moyen.

Unedes applications les plus importantes de la chaînette et des cordes en général , est celle qui se rapporte a^ix pont» ttupendu*, fig. i5 ; mais , avant de la faire connaître, il faut expliquer les propriétés géométriques de la chaînette, propriétés si fécondes en conséquences.

Si les deux extrémités A, B , d’une chaînette AECFB, fig. 9 , sont placées à la même hauteur, cette courbe sera symétrique par rapport à la verticale DC , menée par le milieu D de AB. On voit, en effet, qu’il n’y a pas de raison pour que

94 mI^.chanique.

la partie de gauche AEC , diffère de forme ou de grandeur avec la partie de droite BFC.

Les guirlandes et les cordons d’or , de soie , de rubans , de franges et de fleurs , suspendus k des points qui ne sont pas sur la même verticale , forment des chaînettes dont la symétrie est heureusement contrastée par une variété de courbures et de positions; variété dont l’élégance est un des secrets de l’art ayant pour but la décoration des appartements et des édifices publics.

Il est utile que le peintre et le dessinateur étudient le genre de courbure qui caractérise la chaînette ; afin qu’ils donnent à la représentation de ces objets d’ornement , des contours qui ne soient pas dépourvus de vérité.

Maintenant, regardons comme fixe, le point E, fig. q, et supprimons VE; la partie restante ECB n’en sera pas moins en équilibre. Or, si l’on mène l’hori7ontalc EF et qu’on prenne le point F, au lieu du point B, pour «ootid point fixe , la partie EC sera encore symétrique à FC.

Ainsi, lorsqu’une chaînette, fig. 9, n’a pas ses deux extrémités E, B, placées à la même hauteur, si par l’extrémité la moins élevée E, l’on mène l’horizontale EF , la partie EGF de la chaînette, en dessous de cette horizontale, sera symétrique par rapport à la perpendiculaire GC, abaissée du milieu G de EF, et le point C sera le plus bas de tous les points de la chaînette.

Piu'sque la chaînette EGF est syméü-ique par rapport k la verticale CG, le centre de gravité de cette courbe est sur cette verticale. Menons les deux lignes droites EO, FO, tangentes en E et en F a la chaînette. Prenons, ensuite , une partie OR verticale et représentant le poids de la chaînette ; teS côtés du parallélogramme OrRr' , représenteront les tensions éprouvées par la corde , en E et en F.

Demandons-nous quelle est la tension exercée en C , point le plus bas de la chaînette. Si nous menons CO , OB, fig. 10, tangentes k la chaînette ea C et B : 1®. le centre de gravité de la chaînette CB sera sur la vei-tkale OG, qui passe par le pwnt O; 3®. si nous construisons sur OG, OC , OB, prolonges , le parallélogramme OPQS , lorsque OP rcpr&entera le poids de Parc CB, OS représentera la tension éprouvée en G , et OQ la tension éprouvée en B par la chaînette. Mais, dans le parallélogramme OPQS , PQ=OS, et comme OPS est un triangle rectangle, OQ est toujours plus longue que OS , c’est-k-dire , que la tension éprouvée par la chaînette, en B , est toujours plus forte que la tension éprouvée en C.

Mais , lorsqu’on s’élève, la tangente BOQ Lit, avec la verticale, un angle plus aigii ; la longueur de OS reste constante ; la longueur de OP s’accroît comme le poids de la chaînette ; ainsi , le côté OQ s’accroît de plus en plus. Par conséquent , la t«ision de la chaînette est de plus en plus grande pour les points les plus élevés.

SlXlèHE LEÇON. g5

Si donc on suppose que la chaînette est partout d’égale force , c’est tou jours au point le plus élevé que commencera la rupture ; et si la chaîne peut résister en ce point, elle peut, à plus forte raison , résister dans les parties intermédiaires.

Lorsque , dans un ti’iangle rectangle POS , lîg. i o , lui côté OP , de l’angle droit O, s’allonge, si l’autre côté OS reste constant, le grand côté PS didère de moins en moins de PO.

Supposons , maintenant , que la figure représentée par la chaînette , fig. 1 1 et 12, augmente ou diminue tout à coup de grandeur proportionneliemeut dans toutesses pailies; je dis que l’équilibre ne sera nullement troublé, et que la forme de la chaînette ne devra par conséquent pas changer pour cela.

£n effet , dans la nouvelle chaînette , un point quelconque m étant semblablement placé par rapport au point M de la première , la tangente mo lait avec la verticale dco le meme angle que la tangente MO avec la verticale DCO. D’ailleurs , la longueur des chaînettes est proportionnelle aux distances BD , bd. Par conséquent , on aura le rapport aes poids des chaînettes OP : op, égal au rapport des tensions OQ : oq , éprouvées par les chaînettes, en M et m.

Ainsi , les tensions seront partout accrues daus la meme propor tion que le poids de la corde. Ces forces sont placées dans une position semblable à celle ([ii’elles occupaient dans b première position : donc clics se font pareillement équibbre ,en agissant sur une cliaînetle de même figure.

Posons donc en principe que , dans les chaînettes semblables , les tensions éprouvées par chacune d’elles, en des points scmldablcmcnt placés, sont précisément dans le rapport des dimensions analogues , ou, comme on dit , Itoinologiies , de ces deux courbes.

Si, par conséquent , je comparais deux chaînettes de figure semblable, mais l’une deux fois plus petite et deux fois plus jjesante que l’autre , ou trois fois plus petite et trois fois plus pesante que l’autre , ou quatre fois plus petite et quatre fois plus pesante que l’autre, la tension éprouvée par les deux chaînettes , en des points semblablement placés, serait égale de prt et d’auti'c.

Comparons, maintenant, les tensions éprouvées par deux cbaîucttes qui ne sont pas semblables. Pour simplifier nos rcclierclies , et pour nous occuper d’ailleurs spécialement du cas le plus généralement utile dans les arts , considérons des chaînettes fort peu courbées ; regardons-ies comme ayant même poids pour la même longueur, et supposons que les points fixes soient toujours à la même distance.

Lorsqu’une courbe ACB, fig. i 3 , a très-peu de courbure, on peut, sans erreur sensible , regarder le centre de gravité de chaque partie CB de cette courbe , comme étant sur une verticale ËF placée à égale distance des extrémités C et B. Si l’on élève par ce centre G la verticale EGF, jusque sur la droite AB, on aura DF = FB ; et, si l’on abaisse, du point B , la verticale BI sur CE prolongé , on aura CE = EU.

^ MéCRAirtQUE.

Âcluellement , prenons C et B pour points fixes de la chaînette, menons les deux tangentes extrêmes CE , ÊB ; elles seront les deux côtés d’un parallélogramme CEBF ayant FE pour diagonale. Représentons par FE le poids de Parc CB , les côtés EB, EC , représenteront les tensions éprouvées par la corde, en B et en C.

Si la flèche CD est extrêmement petite par rapport à la longueur AB , il n’y a, pour ainsi dire, aucune diflcrencc entre Ch' et EB , FB et CE. Donc, alors , la tension de la corde ou de la chaîne formant chaînette , reste à trèspeu près la même dans toute son étendue. Mais , pour que la tension fût rigoureusement la même dans tous les points, il faudrait que la flèche CD fût nulle.

Maintenant, le poids de la courbe étant regardé comme constant, et représenté par OR, la tension que la corde éprouve en B, est représentée par OQ, en menant QR horizontalement jusqu’au prolongement OQ de la tangente BE.

l^is nous avons les deux triangles semblables BEI , OQR , dans lesquels

RF

BE : BI : : OQ : OR. DoncOQ = ORx 1^,

BI étant égal à CD , et BE très-peu différent de ^ BD , lorsque BI = CD est très-petit , on a , par approximation ,

OQ = ORx^

Si donc la distance des extrémités A, B, est invariable, ainsique le poids (le la corde représenté par OR, la tension OQ sera en raison inverse de la flèche CD j donc il faïubait que la tension OQ exercée eu B ou en A fût infiniment grande , pour que CD pût être infiniment petit ou nul. Par conséquent, lorsqu’une corde est tirée horizontalement par ses deux bouts , il faudrait qu’elle fût tirée par deux forces infiniment grandes , pour qiielle se tendit exactement en ligne droite.

J’ai cru nécessaire de montrer avec détail cette circonstance , parce qu’il y a des personnes auxquelles on persuaderait difficilement , par exemple , qu’en tirant bien fort sur une corde libre très-légère , par deux points situés à la même hauteur, Usera toujours impossible delà raidir au point quelle devienne tout-à-fait droite.

Application au gréement de» navires. Il est fort utile qu’oa SC familiarise avec les proprie'te's que nous venons d'exposer au sujet de la chaînette. On se rendra compte des efforts supportes par des cordes, dans une foule de cas importants. Je citerai , par exemple , tout le gréement de» vaisseaux. On nomme ainsi l'ensemble des cordages employés à soutenir et à mouvoir les mâts et les vergues d’un navire.

Les mâts verticaux, CD, EF, GH, fig. 1 5, sont tenus , dans leur partie inférieure , par un système particulier de charpente. A leur partie supérieure on passe un nœud coulant fait

Digiti20d bv Coo^lc

SIXlàMB LEÇON. 97

avec un très-fort cordage , qu’on appelle eVat, parce qu’il sert pour étayer le mât. Il descend dans la direction de la poupe -à la proue , et vient se fixer en un point du navire. Dans les ■mouvementé de tangage, quand la poupe s’élève et que la proue s’abaisse , l’étai résiste afin d’empêcher que le mât ne casse en tombant vers l’arrière. L’étai sert de plus à contrebalancer l’eiTort considérable des haubans.

Les haubans sont des cordages pliés par le milieu , et liés en cette partie, de manière à former un large œillet dans lequel passe la tête dir mât : les deux bouts de chaque cordage forment deux haubans qui viennent se fixer le long du même bord. On place de la sorte, alternativement, pour le même mât, une paire à tribord eti la suivante à bas-bord.

Les haubans tirent à la fois la tête du mât, en descendant du milieu du navire vers les bords et de l’avant vers l’arrière.

‘ Les étais et les haubans, étant inclinés, ne peuvent pas former des lignes droites , quelque tension qu’on leur fasse éprouver ; ils forment des chaînettes. Les chaînettes des haubans ont une courbure peu sensible , parce que ces cordages s’approchent assez de la direction verticale ; mais pour les étais, qui s’éloignent davantage de la direction verticale, la courbure de la chaînette est beaucoup plus considérable.

La chaînette formée par un étai , par un hauban , varie de courbure à chaque impulsion nouvelle du vent ou des vagues. '

Quand le vent pousse le navire, de l’arrière à l’avant, il diminue la courbure de la chaînette formée par les haubans, pour augmenter la courbure de la chaînette formée par les étais.

Quand le vent souffle d’un côté, il diminue la courbure des chaînettes formées par les haubans qui sont de ce côté, pour augmenter la courbure des chaînettes formées par les haubans qui sont du côté opposé.

La considération des allongements dont les chaînettes formées par les haubans et par les étais, sont susceptibles, soit d'après la matière qui compose ces cordages, soit d’après la nature des courbes qu’ils forment , est importante, et pour le gréement des vaisseaux, et pour la navigation.

On pourrait , au lieu d'employer des cordages qui soient partout d’égale grosseur, en employer dont la grosseur dimi- .nuât de plus en plus vers le bas : de manière à n’avoir , au point le plus bas , que la force nécessaire pour résister à la

q 8 MiCHAIfIQUK.

tension artificielle qu’on procure , dans cette partie , à chaque hauban.

Cette nouvelle condition rendrait sans doute plus difficile la fabrication des cordages : mais elle serait d’une économie considérable , et rendrait plus léger le gréement des vaisseaux.

11 y aurait encore à produire beaucoup d’autres perfectionnements dont l’exposition ne doit pas trouver sa place ici. Mais ce que je viens de dire suffit pour vons montrer comment on peut, à chaque instant , calculer la tension des cordages et leur direction la plus avantageuse.

Pont» êutpendu*. Expliquons maintenant la structure et l'équilibre de ces ponts.

Supposons qu’on tende nne corde entre deux points A , B. A partir de dilTérents points, également espacés sur celte corde, fixons d’autres cordes verticales ou tuspenêoir»» , mm' ,

' nn', oo', pi/ Plaçons deux cordes égales, Kmnop B,

à côté l’une de l’autre et i la même hauteur ; joignons , par des traverses horizontales , le bas des suspensoires placées vis-i-vis l’une de l’autre. Enfin, sur ces traverses parallèles; ‘fixons un plancher : ce sera le pont suspendu.

Pour déterminer les conditions d’équilibre de ce pont, il faut considérer que chaque corde Amno....B porte une partie du pont, de même poids pour un même intervalle entre les suspensoires ; mais les suspensoires augmentent de poids à mesure qu’on approche des extrémités de la corde.

Comme le poids des suspensoires est peu de chose en comparaison du poids total du pont , on admet que la corde supjMjrte, y compris son poids , des charges égales pour des longueurs horizontales égales ; alors la courbe qu’elle forme est une parabole. C’est ce que j’ai démontré le premier, dans mon traité d’ Architecture navale militaire, aux XVIII®. et XIX*. siècles, ouvrage présenté à l'Institut de France en i6i5.

D’après cela , l’on peut trouver sur-le-champ la position dn centre de gravité de la corde Am«B et le point T où ses (leux tangentes se rencontrent. Car, dans la parabole ayant IM pour flèche, IM=MT.

Si l’on construit le parallélogramme TaMA sur les tangentes AT, BT, d’une chaîne de suspension , regardée comme une parabole, ou aura : le poids de la chaîne est à la tension éprouvée en T par cette chaîne, comme MT esta aH. Si nous menons ah, parallèle à AB, nous avons MT : aT : : alT : AT : : 4 IM : AT : : 8 IM : 2 AT.

SIXIÈME LXÇOR. gg

Ënila , lorsque la flèche IM est peu considérable par rapport à la longueur ÂI , l’on peut regarder aAT et AB comme égales. Donc , enfin , dans ce cas, le poids de la chaîne est à la tension de la chaîne , en A , comme huit fois la flèche de la chaîne , est à la distance AB des points d’appui A, B.

Il faut remarquer que cette Taleur n’est qu’approximative. Dès qu’on ne poura sans erreur sensible, confondre l’une pour l’autre les longueurs ÂT, AI*, on devra reprendre le rapport AT : 4 IM au lieu de AB : B IM.

On calculera bien plus aisément la force des suspensoires verticales , en divisant le poids de la plate-forme du pont , par leur nombre. 11 faudra proportionner leur grosseur au nombre de kilogrammes qu’on trouvera pour quotient de cette division.

Les grands ponts suspendus , construits pour le passage des rivières considérables, sont exécutés par les ingénieurs des ponts et chaussées ou par des entrepreneurs spéciaux. Mais les petits ponts économiques, servant au passage d’un ravin , d’un ruisseau , pour porter des piétons, des brouettes , etc. , on servant pour communiquer d’un édifice à un autre dans une manufacture, intéressent toutes les branches d’industrie.

Souvent , pour ces ponts économiques , au lieu de chaînes, &a emploie des fils de fer (i) qu’au réunit en faisceaux, et qu’on entoure d’un fil en hélice spirale, comme les cordes métalliques des instruments de musique. Des tiges de fer servent de suspensoires; de petites traverses inférieures portantde simples planches longitudinales , suffisent pour compléter le pont. Ces constructions réunissent an plus haut degré l’économie k la solidité, quand on en proportionne la figure et les dimensions, suivant les lois établies, dans cette leçon, sur l’équilibre des cordes.

M. Séguin d’Annonay , qui, le premier en France, a construit des ponts suspendus avec des fils de fer , en a présenté l’exemple le plus avantageux , dans sa manufacture où il a fait exécuter un pont de ce genre , ayant près de dix-huit mètres de longueur sur six décimètres de largeur. Ce pont ,

(i) On poiinM supposer pour moindre force du fil de fer, ipi’il porte 4o kilogr. par inillimètrc quarré de section avant de se rompie, et ne charger qu’avec 20 kilogr. par millimèt.

lOO MÉCHANIQUE.

destiné au passage des piétons, n’a coûté que cinquante frattct. M. Séguin a publié un ouvrage élémentaire fort utile a consulter par les personnes qui voudront construire de petits ponts suspendus. Pour les travaux plus importants du même genre, nous indiquerons : les mémoires du colonel Dufour, mémoires dont l'analyse fait partie de nos Voyages dans la Grande-Bretagne; le savant et profond travail de M. Navier , membre de l'Institut; enfin, la troisième partie de nos Voyages V Force commerciale , dans laquelle nous avons donné les plans et la description des grands ponts suspendus exécutés pour l'Angleterre et pour nos colonies. . ;)i

Après avoir considéré des cordes isolées , soumises à Pactiou de forces quelconques, ainsi qu'a l'action de la pesanteur, considérons les cordes comme devant être appliquées sur la surface des corps solides. Lorsqu’une corde est appliquée sur une surface, et tirée par ses deux extrémités, il est évident que cette corde doit changer de position, autant qu’il est possible , à chaque force qui la sollicite d'avancer dans le sens de sa direction propre, et, généralement, autant qu’il est possible, à la corde même, ne prendre une position où elle occupe plus de longueur sur la surface. H ne peut y avoir équilibre que dans la position définitive où la corde occupe, sur la surface , la position de la ligne la plus courte qu’on puisse mener entre deux quelconques des points de contact de la corde et de la surface. Les lignes les plus courtes que l’on puisse tracer sur des surfaces ont , par conséquent, une relation nécessaire avec la position d'équilibre des cordes appliquées sur des surfaces, et tirées parleurs extrémités (i).

Lorsqu’une corde est pliée sur une surface , et sollicitée par

( I ) Le caractère géométrique de ces courbes est qu’en chacun de leurs points, si l’on mène un plan qui leur soit osculateur, ce plan doit êü’e perpendiculaire à la surfece sur laquelle la courbe est tracée. Par conséquent , si l’on plantait une suite de jalons, dans les dilTércnts points de la courbe, perpendiculairementàlasurfacer, en regardant suivant le sens de la courbe, de manière à ce que les rayons visuels formassent un plan qui passât à la fois par la tangente à la courbe , et par le jalon perpendiculaire au point que l’on considère, le plan formé par les rayons visuels serait osculateur à la courbe , laquelle paraîtrait comme si elle n’avait aucune courbure au point que l’on considère. Cette propriété peut sei-vir pour ti-accr par approximation la courbe la plus courte qu’on puisse tracer sur ime surface , à partir d’un point donné , suivant une direction pareillement donnée.