AN

CN : AN : : AN : Am =

CN

C'est-à-dire, que Am qui représente à la fois la force centrale et la force centrifuge , égale le quarré de la force tangentielle , divisé par le rayon.

SEPTiiHB LEÇON. IO7

Avec le raisonnement qu’on vient d’employer on verra l’en prenant AN=NN’=N'N"..., et faisant agir sur CN , N', CN".,.. une nouvelle force centrale toujours tjgale à Am , le corps parcourra , dans des intervalles de temps égaux, les espaces AN, NN', N'N".... Donc, le corps conserve toujours la même vitesse tangentielle et reçoit à chaque instant , de la force centrale, une impulsion nouvelle et constante , quand il parcourt un cercle donné : tel est le mouvement circulaire uniforme.

Dans ce mouvement , la viteste tangentielle égale l’arc parcouru , divisé par le temps mis à le parcourir.

Si l’on divise l’arc par le rayon, l’on a la mesure de l’angle. Ainsi , l’angle qui correspond à l’arc parcouru égale la vitesse tangentielle divisée par le rayon de cet arc , et multipliée par * le temps mis à le parcourir. Cet angle divisé par le temps , donne la mesure de ce qu’on appelle la viteeee angulaire d’un . corps qui tourne autour d’un centre. Donc : i° avec la mémo vitesse tangentielle , la vitesse angulaire est en raison inverse du rayon; 3» avec le même rayon, la vitesse tangentielle et la vitesse angulaire sont proportionnelles.

Quand les rayons diffèrent, le temps mis à parcourir le cercle entier est en raison inverse de la vitesse angulaire; donc le temps mis à parcourir le cercle entier est proportionnel au rayon divisé par la vitesse tangentielle.

Ces résultats trouvent leur application dans une foule de questions de méchanique, importantes pour l’industrie.

Rappelons encore avec soin , que lorsqu’un corps , circulant autour d’un centre, est retenu par un fil, un cordon , ou une tige quelconque, la force centrale est la tension qu’éprouve le fil, le cordon, etc., du côté du centre, et que la force centrifuge est la tension opposée qu’éprouve le fil pour s’éloigner du centre.

L’écuyer qui fait tourner un cheval au manège , se place au centre du cercle , et, d’une main , tient le bout de la longe attachée au bridon du cheval. Ici, la force tangentielle est la force même du cheval qui tend sans cesse à s’échapper par la tangente ; mais l’écuyer tire la longe avec une force centrale , égale à la force avec laquelle le cheval tire cette longe , c’està-dire, égale à la force centrifuge du cheval. Quand le cheval double de vitesse, la force centràie est quatre fois plus grande ; quand le cheval triple de vitesse, la force centrale est neuf fois plus grande , etc. La même explication , les mêmes rapports ,

iu8 MÉCHAIflQVE.

conviennent au jeu de la fronde, dont nous parlerons bientôt.

Un cheval qui tourne librement dans un cercle ne s’y tient pas droit , parce que la force centrifuge qui anime à chaque instant toutes les parties de son corps , le pousse horizontalement en dehors du cercle, et tend à le faire tomber. Pour résister à cette tendance , effet de la force centrifuge , le cheval incline le haut du corps vçrs le centre du cercle qu’il parcourt, et cette inclinaison doit augmenter comme le quarré de sa vitesse. Aussi , remarque -t-on qu’elle est très-considérable quand le cheval court au grand galop. Afin que le cheval puisse marcher sans trop de difficulté, en se tenant penché vers le centre du cercle, on incline par fois le chemin circulaire qu’il doit parcourir. Voyez fig. 2.

Le faiseur de tours , qui se tient debout sur son cheval , est de même obligé de pencher le haut du corps vers le centre du manège , pour n’être pas renversé par l’eflèt de la force centrifuge. La fig. 2 démontre quelle composition se fait entre la force de la pesanteur et la force centrifuge , pour qu’il y ait équilibre dans la position du cheval et du voltigeur.

Lorsqu’une voiture avance en décrivant un arc de cercle , ou, comme on dit, lorsqu’elle tourne, elle éprouve aussi l’action d’une force centrifuge qui tend à la renverser. Si elle circule sur une route L qui descende vers le centre O du tournoiement, la force centrifuge et celle de la pesanteur trouvent à cette disposition le même avantage que le cheval, fig. 2, tournant sur les chemins AB, ED , autour du même axe ÜO'.

Si la route M est horizontale , rien ne diminue la tendance de la force centrifuge à faire verser la voiture.

Enfin , si la route N descend en s’éloignant du centre de tour- ’noiement , cette pente joint à son effet défavorable, celui de la force centrifuge : alors existe le plus grand danger de verser.

Les routes de France ont le grand inconvénient d’être bombées au milieu , de manière à présenter deux pentes très-fortes en sens opposés. Dans les tournants , où deux voitures se rencontrent, la voiture conduite sur la pente qui regarde le centre du tournant, est favorisée par cette pente ; mais la voiture conduite sur la pente extérieure , est défavorisée d’autant, et risque beaucoup de verser.

Ce devrait être une règle générale , dans les tournants, de ne jamais faire de pente extérieure ; et de pratiqüer , au contraire , toutes les fols que la chose est possible , une seulepente descendante vers le centre du tournant.

SEPTIÈME LEÇON. lOÇ)

La force centrifuge étant en raison inverse <Ju diamètre tlo l’arc parcouru , il en résulte qu'elle est peu considérable quand ce diamètre est grand , et quelle croît d’autant plus que ce diamètre diminue. Daus les tournants fort courts, ceux dont l’arc n’a qu’un très -petit diamètre, la force centrifuge est donc considérable, et par conséquent il y a grand danger de verser.

En même temps , ce danger augmente comme le quarré de la vitesse des voitures.

Voilà pourquoi les cochers et les cavaliers prudents ne lancent jamais leurs chevaux avec une grande vitesse , dans les tournants courts ; et pour peu qu’ils aillent vite, ralentissent le pas lorsqu’ils vont tourner.

Remarquez avec quelle précision , avec quelle facilité, la mécha nique apprécie tous les effets du mouvement circulai/e , dans les cas les plus importans à la sécurité des transports et des voyages. La méchanique fait aussi connaître des principes de construction des voitures, fondés sur les lois du mouvement.

Quand une roue , fig. 3, se meut avec rapidité dans le sable ou dans la boue , elle enlève des portions de cette boue ou de ce sable , qui prennent la vitesse tangentielle de la roue, et qui , n’étant pas retenues contre les bandes ou les jantes aveu une force égale à la force centrifuge , cèdent à cette force, et sont lancées avec la vitesse tangentielle qu’elles ont acquise. En avant des roues des voitures de luxe , on place une large plaque circulaire en métal, XY, qu’on appelle paroioMa , et qui arrête toutes les parcelles de boue lancées par l’effet, de la force tangentielle.

Si les jantes des roues n’étaient pas unies entr’ elles par des chevilles enfoncées moitié par moitié dans leurs bouts en contact , et par les bandes en fer qui recouvrent ces joints , la force centrifuge , qui tend sans cesse à les éloigner du centre , les arracherait des rais , et les lancerait , comme le sable et la boue , quand les roues prendraient une grande vitesse. Si les clous qui fixent les bandes sur les jantes, tiennent peu dans le bois de la jante , la force centrifuge les arrache et les lance dans la direction des rais prolongés. Par conséquent , la solidité des as.scmblages des jantes , des bandes et des clous qui Oxent ces bandes sur les jantes, a des règles données par les rapports de la force tangentielle et de la force centrifuge. Il en est de même pour beaucoup d’autres roues employées dans les machines : comme ou le verra par la suite.

I I O MéCHARIQDB.

L’ouvrier, en frappant à grands coups de hache ou de marteau , fait parcourir un cercle k son instrument , qui , lâch(i tout à coup , s’e'chapperait par la tangente de l’arc qu’il parcourt. C’est ainsi qu’on brandissait circulairement , et qu’on lançait la maste <farme* , la hache d’armes, le pilon , la dayue , etc. ; c’est ainsi qü'on employait la fronde.

Avant l’invention des armes à feu , la fronde était une arme de jet fort importante ; aujourd’hui , c’est un amusement pour les enfants. Au milieu d’une corde légère ÀCB, fig. 4> est une espèce d’œil C , où l’on pose une pierre. L’on joint les deux extrémités A et B que l’on saisit aune main ; après qtioi , l’on imprime un mouvement de rotation à la fronde. Si l’on emploie une force constante : i° la fronde tourne avec une vitesse constante j la corde de la fronde est toujours tendue , et elle exerce sur la main un effort qui représente la force centrale nécessaire pour tenir la

f >ierre G toujours à la même distance du centre A. Lorsqu’on âche une des parties de la corde , cette force centrale cesse de s’opposer à la force' centrifuge ; la pierre cesse de se mouvoir circulairement , et la force tangentielle pousse librement la pierre , qui parcourt une ligne droite , lorsqu’on la lance verticalement.

Dans tout ce que nous venons de dire , notis avons fait abstraction de l’effet de la pesanteur sur le corps A. Si l’on tenait compte de cet effet , le problème serait beaucoup plus compli<^ué.

Si l’on obligeait un corps à tourner dans un cercle ereué , il se mouvrait contre la circonférence du cercle avec une force constante qui serait la force tangentielle , celle qui détermine la vitesse de sa marche progressive. Cette force tan— gentielle, qui pousserait le corps à s’échapper par la tangente, trouverait, à chaque instant , une résistance contre la circonférence du cercle creux. Cette résistance , perpendiculaire à la circonférence et par conséquent dirigée vers le centre , serait la force centrale , égale et directement opposée à la force centrifuge.

L’artillerie emploie des barils , tournants sur leur axe , et contenant les balles de plomb qu’elle veut ébarber. Il faut que la solidité de ces barils soit proportionnée : i°à la masse des balles qu’on y renferme k la fois ; 2 ° à la force centrifuge des balles , laquelle est proportionnelle au quarré de la force tangentielle employée pour faire circuler les balles dans ce b.wîl.

by

SEPTièXB LEÇOR. t f t

Oa doit en dti'a iatxnt des tambours tournants qui contietment les boulets à' de'roniller , ou les balles de enivre placées au milieu de la poudre qu’on veut graunler.

Jusqu’ici , nous n’avons examiné que le mouvement circulaire d’un corps obligé de se mouvoir en ligne courbe , parce qu’une corde , une tige, uh contour massif , l’obligeaient à suivre cette ligne , en vertu d’une action tonjonrs dirigée vers le centre du mouvement. t

La nature nous otTre de grands exemples de corps qui se meuvent en ligne coiuité , sans être retenus par aucun de ces liens intermédiaires on de ces contours extérieurs. Âiosi sr meuvent librement dans J’espace , la 1 nue autour 4e- la terré, et la terre autour du soleil. Voyez fig. 5. -• 1

Dans ces mouvements, iiy a d’abùrdla force tangevtielle T qui tend sans cesse i pousser en ligue dceite 1« lune et les pldnètes ; ensuite iai târrc est pour la lune le foyer d’une force centrale C, qui s’exerce à chaque instant contre la foroe ceutrifoge de la lune , de même que le soleil est pour lai terre Je foyer d’une force centrale qui s’exerce k' cbsique instant contre la force centrifuge de la terre. ) > '

Si la force cedtrsle'et la force tangeutielle se balançaient , étaient dans le rapport ^ni convient an mouvement ciren-* kire , la lune decrirmt un cercle ac^our do la terre, de même que la terre décrirait un cercle autour du soleil. Mais il j a an positions où la force tangenfielle est un peu plus forte ; alors la lune s’éloigne de la terre , et la terre dn soleil. En s’éloignant, leur direction centrifuge devient oblique par rapport a la direction oenttale. Par conséquent , la force centrale s’oppose ù la force centrifuge , et la diminue de manière que c’est , au contraire , cette dernière qui finit par l’emporter un peu sur la première. Alors l’astre mobile se raptproche du centre de son mouvement. Voilà comment la lune autour de la terre , et la terre autour du soleil , décrivent une courbe allongée , une ellipse dont la terre est le foyer pour l’ellipse que suit la lune , et le soleil le foyer pour l’ellipse que suit la terre.

La force centrale de la terre , par rapport à la lune , c’est la force que nous avons appelée peganteur et attraction. C’est la force qui tend sans cesse à faire redescendre une bombe lancée de bas en haut , et qui lui fait décrire une courbe ABC , (Ig. 6 , quand on la lance obliquement.

Si la force de la pesanteur était constante , et si l’air n’op-

tl3 MÉCHAniQUE.

{ >osait aucune résistance au mouvement des corps qu’on' y ance , une pierre , une bombe , un volant , en un mot un corps quelconque , ayant reçu l’impulsion d’une force primitive, parcourraient une parai^o^ ÂBC.

La résistance réelle de l!air diminue beaucoup l’espace enfermé par la courbe ; elle aplatit surtout la seconde bran* che-de la parabole idéale , et produit la o>urbe AEF.

Un objet d’expériences important pour l’artillerie , est de déterminer y d’après la masse et le volume des boulets , des bombes , des balles , etc. , d’après la force qui les lance , et la direction de l’impulsion primitive , les points où peut atteindre le projectile y à diverses hauteurs ainsi qu’à diverses distances. Nous ne pouvons, ici , qu’indiquer ces grandes et belles applications delà méchanique ; elles composent la théorie qu’on appelle spécialement ballUtiquei

Il est aujourd'hui bieni démontré que la terre, au lieu d'étre en repos et placée , ainsi ^’on, l’a cru si long temps , comme un point fixe au centre de l’univers , tourne sur elle^même avec une telle rapidité , qu’elle achève chacun de ses tours dans la durée totale d’un jour et d’une nuit. Ainsi , par la seule rotation du globe, les habitants de la terre placés à l’équateur , sont emportés , d’occident en orient , avec une vitéssc' quatre cents fois plus grande que celle d’un piéton qui marche au pas ordinaire.

Chacun des points de la terre est donc animé d’une force tangentielle qui tend à l’emporter loin du globe, et d’une force centrale qui tend , au contraire , à le précipiter vers le centre de la terre. Cette force centrale , c’est l’attraction du globe. Quant à la force tangentielle , comme elle est à très-

{ >eu près la même pour tous les corps placés dans le voisinage es uns des autres , ces corps , emportés d’un mouvement presque égal , se tiennent , les uns par rapport aux autres , dans un état approchant du repos parfait.

Soit , fig. 7 , une projection de la terre , parallèle à l’équateur ; de sorte que l’équateur et les parallèles soient représentés par des -cercles. Comparons le mouvement des points E , A , situés l’un sur l’équateur EE'E" , l'autre sur un parallèle quelconque AA' A" , Soit mené le rayon OyY , infiniment près du diamètre EOE'. Abaissons les perpendiculaires xy , A.Y , sur EOE' ; il est évident que les rayons OA , OE , seront proportionnels aux lignes EX , A.X , qui représentent les forces centrifuges des points matériels E , A. Donc , dans

C'oOgle

SEFTIÈHE XEÇOH. I l 3

le mouvement de la terre autour de son axe , la force centrifuge , qui sollicite chaque point , est proportionnelle à la distance de l’axe à ce point.

Ainsi , la force centrifuge est la plus grande possible pour les points £, £' , situés sur l'équateur. Cette force détrui tune partie de la pesanteur des corps. Enfin, la pesanteur des corps est moindre à l’équateur qu’en tout autre point de la terre. Nous verrons bientôt comment l’expérience peut justifier ce résultat.

Soit une tour EF bâtie en E. .Décrivons , du centre O , l’arc FY' , et menons Y'X' perpendiculaire à OF, nous aurons 0 £ : OF : : EY :FY' ; c’est le rapport des forces tangentielles.

Supposons que je fasse tomber , du sommet de la tour F , un corps quelconque lequel arrive auibas de la tour quand le sommet arisive en Ge corps est animé; d’une force tangentfelle qui lui ferait aussi parcourir FY' ^ donc il doit tomber , non pas en Y , quand le pied de la tour arrive en ce point ; mais en Z , k une distance EZ=FY'. Rendons ce résultat sensible par des cbiifres.

Le rayon de la terre , à l’équateur , égale 6,376,466 mètres. Supposons que , dans une des villes bâties sur la ligne équatoriale , on ait construit une tour élevée de cent mètres-, et demandons-nous la difTérence de vitesse de deux points matériels placés l’un au pied, l'autre aii somn^t de la tour.

Le rayon de la circonférence parcourue par l’un sera de 6,376,466 mètres, et par l’autre de 6,376,566 mètres. Le rapport inverse de ces deux nombres est celui des vitesses. 11 est facile de voir qu’en un jour , le point le plus haut aura parcouru de plus que le point le plus bas , cent mètres multipliés par le rapport de la circonférence au rayon : ce qui donne 628 mètres et quelque chose. Maintenant , un corps pesant, abandonné dans le vide à son propre poids , mettrait presque cinq secondes pour descendre de cent mètres , à partir d’un des points de la circonférence de l’équateur : ce qui est la 17280* partie du jour. Divisons 628 mètres par 17280, nous aurons la quantité dont le haut de la tour s’est avancé vers l’orient, plus vite que le bas de la tour , pendant la chute de ce corps. Nous trouverons ainsi que le corps pesant doit tomber, non pas exactement au bas de la tour , suivant la verticale ; mais à l’orient de cette verticale , à la distance d’environ =36 millimètres.

Comme la résistance de l’air ralentit considérablement la chute des corps graves , il faudrait beaucoup plus de cinq se-

Il4 üiCRAIflQVB.

cotidespoRr qu'nn corps tombât de loo mèttes. Par conséqnent le corps grave tomberait à plus de 36 milfimèlres à l'orient du pied de la tour, et l’expérience serait d’autant plus concluante.

Quand un corps solide tourne uniformément autour d’un axe, tons ses points faisant en même temps un tour complet, leur vit«»e est proportionnelle à la circonférence , et par conséquent au rayon des cercles qu’ils parcourent.

Mais f sur deux cercles différents , ayant leur centre an centre même do mouvement , et chargés uniformément de parties matérielles , la quantité de ces parties est proportionnelle au rayon ; donc , pour ces deux cercles , la quantité de mouvement, c’est-à-dire, le produit de la masse par la vitesse, est proportionnelle au rayon multiplié par le rayon : c’est-à-dire an quarri du rayon.

11 suit de là que , dans les machines où l’on emploie des roues évidées , qui présentent des bandes circulaires d’égale largeur, ÂBC , abc, fig. 8, la quantité de mouvement dont ces bandessont animées , lorsqu’elles font chacsim leur tour dans le même temps, est proport i O nnelle au quarré du rayon deces roues.

A-masses égales, il est donc beaucoapplus pénible de faire timrner de grandes roues que de petites. Par exemple , lors-^ que ABC est trois fois aussi grand et trois fois aussi lourd que abc , si l’on veut que ÂBC fasse un tour complet dans le même teuqis que abc , il faut trois fois trois ou neuf fois autant de quantité de mouvement. Mais , si l’on Rendait abc trois fois anssi lourd sans l’agrandir , il sulSrait de triplts: cette quantité pour conserver la même vitesse. Cette quantité triplée serait encore plus petite que celle dont ABC est animé , puisque cette force neuf fois aussi grande.

Par conséquent , si j’ai pour objet d'accumukr dans une masse donnée de matière une gi-ande quantitéde monvement , j’ai d’autant plus d’avantage , que je distribue cette matière sur une circonférence de plus grand diamètre. Pour beaucoup de machines, il est d'une extrême importance d’accamnler ainsi la plus grande quantité possible de mouvement , dans une masse dont le poids ne surcharge pas trop les points d’appui. Par ce moyen , si des irrégularités accidentelies , ou naissant de l'inégalité des mouvements , tendeut à produire des accélérations ou des ralentissements fàchenx , une grande roue animée d’une rotation constante , pouvant acquérir ou |>erdre une quantité de mouvement assez considérable , sans

«jt

SEPTIÈME LEÇON. Il5

que sa vitesse en soit beaucoup altérée , cette roue , dis - je , agit comme un conservateur , comme un régulateur , qui produit souvent des effets extrêmement utiles : on appelle volants ces conservateurs de forces.

Au lieu de leur donner la forme d’une bande continue , ABC , fig. 8 , on concentre souvent sur trois ou quatre points équidistants A, B, C , fig. 9, ou A, B, C , D, ug. 10, toute la matière qu’on devrait répartir sur la bande ABC. Alors cette matière restant à la meme distance moyenne du centre de rotation , conserve , pour une même vitesse , la même quantité de mouvement.

Nous allons démontrer , dans un moment , que le ceutre de rotation O des volants , doit être aussi leur centre de gravité. Sans cela, la roue serait à chaque instant tirée aun côté plus que de l’autre ; son mouvement ne pourrait avoir ni régularité , ni uniformité. On satisfait de la manière la plus avantageuse à la condition que nous indiquons , en prenant le centre du volant pour centre de symétrie des poids dont on veut composer le volant. Telle est la règle suivie dans les fig. 9 et 10.

Lia théorie qui va suivre est indispensable aux constructeurs' de navire , aux horlogers, aux constructeurs de machines; mais, dans beaucoup de viUes , elle sera peut-être au-dessus de la portée actuelle des ouvriers ; alors le professeur V omettra. ‘

On démontrerait pour tout corps solide qui tourne antéurtFtai axe, comme on l’a fait pour le globe de la terre, p. 1 1 2 , que la force centri&ge est proportionnelle à la distance de l’axe à chaque pointmatériel.

Soit le plan de la fig. 1 2 , perpendiculaire à cet axe représenté par le point G. Soient les points matériels égaux en masse, m, m',... M, M',... lesquels composent le corps ABCD : les distances Gm, Gm'... GM, GM' ... seront proportionnelles aux forces centrifuges, et pourront les représenter.

Supposons que le centre de gr.ivité se trouve sm- l’axe G, et menons les perpendiculaires mn, m'n' MN, M'N',... sur une droite quelconque , XGY,

prise pour axe des moments de poids égaux m, m', M, M' Il faudra

qu’on ait i® m X Gn + »*' X Gn'... = M X GN + M' X GN'... 2®m X mn+ m' X m'n'... = M X MN -f M' X M'N'...

C’est-à-dire que les forces centrifuges Gm, Gm'... GM, GM', décomposées : I® perpendiculairement; 2® parallèlement à la droite XGY, ont une résultante nùUe , suivant quelque direction qu’on les décompose parallèlement au plan de la figui'e. Donc, parallèlement à ce plan, la résultante des forces centrifuges ne tire dans aucun sens plus que dans un autre , l axe qui passe par le centre de gravité du corps.

.SiippoBOiis, maintenant, que le ccntie de rotation ^soit à la distance G^

Di- -J : ■ tjoogli

1 1 6 MÉCHAIUQCE.

du centre de gravité G, sur l’axex^paraDèleàXGY.'Les nouvelles forces centrifuges gm, gm'... ^M, .... décomposées parallèlement à Gg , auront

pour réiàiltantc

m X ml +mf X. m'I +.... — M X ML — M' X M'L'....

On ne cliangc pas cette résultante si l’on en retranclic m X mn + m' x

c/i'n' + puis si l’on y ajoute la valeur égale M X MN + M' X M'N' +....

Mais remarquons que ml — mn — m'/ — rn'n’... = MN — ML = M'N' — MT."... Donc , le résultat de l’addition et de la .sonslraction proposées sera la •somme des masses m X m'... + M + M'... multipliée par Gg.

Tionc ,(juandun corps tourne autour <ï un axe xgy , qui nepasse pas par son centre de gravité G , la résultante des forces centrifuges augmente proportionnellement à la distance de taxe au centre; elle est la même que si ton supposait condensées au centre G, toutes les parties du corps.

Cet effet de la force centrifuge tend à déplacer l’axe et à l’entraîner sans cesse du côté du centre de gravité. C’est un inconvénient qu’il faut éviter dans la plupart des macliines de rotation , et surtout dans celles où l’on emploie des volants. Ainsi, règle générale , il faut que le centre de gravité (Sun volant soit surtaxede rotation.

Considérons, à présent, l’effet des forces centrifuges estimé parallèlement à l’axe. Supposons, fig. 12 , que le plan de la figure devienne celui de l’axe. Représentons maintenant cet axe par XGY, en admettant, d’ailleurs, que G soit le centre de gravité du corps.

Coupons le corps par une suite de plans mn, m'n' , m"n" perpendiculaires à l’axe. Soient, sur le plan de la ligure , les points m', m" , m"',.„ représentant la projection du centre de gravité des points matériels contenus dans chaque plan. La résultante de toutes les forces centrifuges , sera représentée par la résultante des forces rre X mn,m' X m'n' ,m" X m"n"*.. Ensuite , poiu* déterminer la résultante de ces forces , il faudra d’abord trouver la résultante P des forces placées d’un côté de l’axe , et la résidtante Q des forces placées de l’autre côté de cet axe. Si les deux forces P , Q , se trouvaient sim une meme perpendiculaire à l’axe , et que cet axe passât par le centre de gravité du coips , les deux forces se feraient nécessairement équilibre. Par conséquent , l’axe ne serait sollicité à se mouvoir dans aucun sens , par l’effet des forces centrifuges. Mais si, comme on l’a représenté dans la fig. 12 , les perpendiculaires Vp, Qy, menées sim l’axe XGY, ii’appailiennent pas à la meme hgne di'oite , l’axe sera sollicité à tounier par l’effet des forces P et Q , multipliées respectivement par les distances Gp et Gq. On trouve les moments de P et de Q par rapport au centre de gravité G , en multipliant chaque force ni X mn par Gn, m' X m'n' par Gn' , m" X m"n" par Gn" , etc. ; puis, eu voyant si la .somme des moments des forces qui agissent dans un sens, égale la somme des moments des forces qui agissent dans le sens opposé.

On démontre, par des méthodes de calcul que nous ne pouvons pas présenter ici, que cette égalité de moments ordinaires, est la condition indiimensable poim que le moment d’inertie du coi-ps, pris par rapport à l’axe XGY^ soit un maximum ou un minimum.

SEPTIÈME I.EÇOW. WJ

• Si l’on veut que Taxe des volants , et généralement les axes employés dans les maehiues de rotation , n’éprouvent de pression dans aucun sens , par l’effet des forces centi'ifuges , on voit qu’il faut s’arranger de manière que les forces P , Q , soient toujours placées sur une meme ligne droite, perpendiculaire à l’axe , en meme temps qu’on fait passer cet axe par le centre de gravité.

La gi’andc utilité qu’ont, pour le jeu des machines, les axes relativement auxquels cette condition est remplie , justifie leur dénomination d’oares priheipemx.

Après avoir déterminé la direction ^ plus avantageuse qu’il convienne de donner à l’axe des volants, il faut voii- quelle vitesse ces volants peuvent prendre lorsqu’on emploie, pour les faire mouvoir , une force déterminée, et que le volume, ainsi que la masse des volants, sont pareillement déterminés.

Soit pour plus de facilité l’axe de rotation perpendiculaire au plan de la fig. 1 1 , et représenté par le point O ; le corps tournant autour de cet axe envertu de la force Vf et à la distance Qf de. l’axe. Nous supposons dans le plan de la figure.

L’effort, le moment de Vf pour faire tourner l’axe, sera représenté par

F/xO/-

La vitesse angulaire a, prise par le corps, sera l'arc parcouro durant l’unité de temps, sur le cercle dont le rayon est aussi pris pour unité. Le. point matériel m du coips, va parcourir durant l’unité de temps un arc mn — aX O/n. La quantité de mouvement de /re, sera donc m x a X O/n, et la quantité totale de mouvement des points m, ml , n»'' ... du coips sera a X \/n X Om ml X Om' + /re" X O/re" -p .... j

Pour rac.surer l’effet que chaque molécule , en vertu de cette quantité de mouvement, exerce pour faire tourner l’axe, ramenons tous les points /re, m .... sur la ligne droite fo, et d’mi même côté de l’axe, sans changer leur distance à cet axe. Alors toutes les forces tangentielles qui animeront m, ml , m " ...., forces représentées par les quantités de mouvement que nous venons de trouver , seront parallèles et dirigées dans le même sens j leur résultante Rr sera donnée d’après le principe des moments, en multipliant chaque force par sa distance à l’axe ; donc R/- X Or = a f /re X O/re X O/re -p /»' X O/re' X 0ml -p ml' X Om" -p Om" ....j.

Ou , pour écrire plus simplement.

Rr X Or = a^ m X Om’ -p /re' X O/re'* -p m" X Om" ‘ -p ...’J

I.ia force Rr = F restant la même, plus fa somme m X O/re’ -p /re X O/re ■ -p .... augmente, et plus a diminue; au contraire, plus cette somme diminue, et plus 1a vitesse angulaire a augmente.

Par conséquent, cette somme représente fa résistance qu’en vertu de l’inertie, le corps oppose au mouvement de rotation, quand ce corps est sollicité par une force aonnéc. Telle est la raison qui l’a fait appeler moment d’ inertie. Donc, un point matériel a pour moment d’inertie .sa masse m, multipliée par le quarré de sa distance à l’axe de rotation. Le moment d’inertie d’un corps quelconque égale 1a somme des moments d’inertie de chacune des parties infiniment petites qui le composent. Enfin , la vitesse angulaire , autoiu* d’un axe , prise par le coips , en vertu, d’une force quelconque ,

Il 8 MÉCRAiriQDE.

égale U moment simple de cette force , divisé par le moment d! inertie du corps. Telle est la vitesse que nous nous étions jttoposé d’évaluer.

Les moments d’inertie jouissent de propriétés générales extrêmement importantes pour la mcchaniquc. Mais nous n’en pouvons donner qu’une idée , parce que cette matière suppose des connaissances trop relevées pour notre coiu^. Considérons seulement deux points matériels m,m' 12, dont le centre de gravité soit en G, et £usons les tourner autour de l’axe XGY perpendiculaire à mGm' : nous aurons pour somme des moments d’inertie de ot et m', i» X Gm * + Gm' x m'‘. Soit, à présent , l’axe xgy parallèle à XGY , le moment d’inertie , par rapport k ce nouvel axe , sera m X gm' + m' X gm'‘.

La diflereucc de ces deux valeurs est m X Gg" + m' X Gg' ; c’est-à- -dirc, le quarré de la distance G^, de l’axe au centre de gravité, multiplié par la somme des masses m et n^.

Cette propriété n’est pas vraie seulement pour deux points matériels , mais iiour un nombre quelconque de points formant un corps, dont la figure et la masse peuvent pareillement être quelconques. Ainsi , pour une direction donnée XGY de l’axe de rotation, le moment d’inertie est le plus petit possible , quand cet axe passe par le centre G de gravité du corps ; et, lorsqu’il ne passe pas par le centre de gravité, le moment d’ineitie s’accroît d’une quantité égale à la masse du corps multipliée par le quarré de la distance de l’axe au centre de gravité du corps. Représentons par MK’ le moment d’inertie du corps, dont la masse est M, quand l’axe jiasse par le centre de gravité :• K représentant alors une certaine longueur. Si l’on appelle D la distance du centre de gravite à im axe de rotation quelconque , on a , par conséquent , pour moment d’inertie, par rapport à o;t axe, M X (D‘ -b K’); valeur qui sera facile à calculer , dès qu’on connaîtra le moment d’inertie pris par rapport à une bgne di'oite parallèle à l’axe et menée par le centre de gravité.

Tous les axes parallèles à une direction donnée, et qui seront à la même distance D du contre de gravité , auront évidemment le même moment d’inertie.

On peut comparer entrieux les moments d’inertie d’un corps , pris par rapport aux divers axes qui passent par le centre de gravité. Parmi tous ces axes, il en est un pour lequel le moment d’inertie est plus petit que pour tous les autres. On pourrait l’appeler faxe de moindre inertie. Perpendiculairement à cet axe, U en existe un second qui passe pareillement par le centre de gravité, et pomr lequel le moment d’inertie est le plus grand possible : on pourrait l’appeler déplus grande inertie. Enfin, un troisième axe , perpendiculaire aux deux autres, et qu’on pourrait appeler axe intermédiaire, jouit de la propriété que, dans im sens, son mennent d’inertie est le plus grand possible, et dans l’autre sens le moindre possible, par rapport aux axes menés : i® dans le plan de ce troisi^e axe et de celui de moindre inertie ; 2® dans le plan de ce troisième axe et de celui de plus grande