SEPTIÈME LEÇON. II

inertie. Les trois axes très-remarquables que nous venons d’indiquer, sont ceux qu’on appelle les axes principaux des corps, et pour lesquels nous avons fait obsci-ver , p. 1 1 6 , que , dans aucun sens , parallèle ou pci-pmdiculairc à l’axe, les forces centrifuges n’agissaient pour changer la position do ces axes.

Q résulte do là qu’un corps , mis une fois en mouvement autour d’un de scs axes principaux de rotation , doit continuer éternellement à se mouvoir autour de cet axe; puisqu’aucune force centrifuge n’agit dans aucun sens pour dévier la position du corps par rapport à cet axe. De là, nous concluons que dans les machines de rotation , dont l’axe doit rester £xc, les parties tournantes doivent avoir pom' axe de rotation l’un de leurs axes principaux d’inertie.

Lorsqu’un coi'ps , ’dont la densité est la même dans toutes ses parties, est terminé par une surface de révedution, ce corps étant symétrique par rapport à l’axe de cette surface , il est facUe de voir qu’en faisant tourner le corps autour de cet axe , les forces centrifuges ne peuvent agir pour changer la position de l’axe de rotation; et cet axe est alors un des axes principaux du corps.

(^and nous expliquerons les machines de rotation, telles que la poulie, le treuil, le cabestan , etc. , nous verrons qu’on a soin de donner aux parties mobiles, la figure d’iuie surface de révolution ayant pour axe Taxe meme de rotation, afin d’éviter tout effet désavantageux des forces centrifuges.

Tous les corps qui possèdent un axe de symétrie ont leurs pmnts disposes deux à deux à égale distance de l’axe, sur une perpendiculaire à cet axe. Si l’on fait tourner le corps autour de son axe de symétrie , ces deux points ainsi disposés sont animés chacim d’une force centrifuge égale et directement opposée. Ces forces se détruisent donc deux à deux et ne produisent aucun effet sur l’axe. Par conséquent, toutes les fois qu’on fait towner im coips autour de son axe de symétrie , il doit continuer ce mouvement autour du même axe , lorsqu’on l’abjindonne à lui-même.

Tel est l’effet du jeu des toupies et des totons, qui tournent autour de leur axe de symétrie placé dans une position verticale, et qui continuent de se mouvoir avec régularité, après qu’on leur a donné une première impulsion au moyen d’une corde, aun fouet, ou simplement en faisant tourner la queue du toton entre le pouce et l’index, puis adandonnant ce toton à luimême.

Nous avons déjà remarqué que les lustres sont symétriques par rapport à l’axe vertical qui passe par leur point de suspension. Voilà pourquoi les lustres peuvent tourner librement autour de cet axe sans s’incliner d’un côté plutôt que d’uu autre : effet qu’on peut surtout remarquer dans les lustres suspendus à des voûtes fort élevées.

• Dans les machines de rotation , telles que les chevaux de bois , les chevaux et les fauteuils destinés pour les personnes qui veulent courir à la bague , sont disposés syméti-iqucmcnt autour de l’axe vertical de rotation. Par conséquent.

lao

MÉCHAIIIQUE.

lorsqu’on imprime un mouvement à ces machines , elles doivent continuer h se mouvoir sans que leur inertie exerce aucun effort , d’im côté ni de l’autre de l’axe.

Une force Mv transporte directement avec la vitesse le corps M supposé libre. Si l’on applique la meme force Mt» au corps M supposé retenu par un axe, et que l soit la distance de la force à cet axe , on a Mvl, moment de la force par rapport à l’axe, = oM ( D* + K* ) = a X le moment d’inertie du corps, par rapporta l’axe.

Supposons que le corps soit tellement placé qu’il tourne sur son axe , sans le presser dans aucun sens ; ce corps se meut comme s’il était Lbre , et son centre de gravité prend une^vitesse égale à v ; mais sa vitesse est Da j donc V = Do, et "HLvl = MDo/ = oM (D* + K*); d’où

On appelle centre de rotation le point qui, sur le prolongement de la phis

courte distance de l’axe au centre de gravité, se trouve à du centre de gra-

vité,ctàD +^de l’axe. Quand ime force agit en ce point perpendiculairement à cette droite, elle Ëiittoumer le corps sans pousser l’axe dans aucun .sens. Donc, une force égale et directement opposée détruit toute la force de rotation produite par la première, sans causer non plus aucune pression sur

l’axe. Telle est la propriété du centre de rotation : Soit-jj = d, nous an- K* K*

rons D = l = d ce qui nous montre que nom pouvons

transporter parallèlement P axe au centre de rotation , et qu’ alors le centre de rotation se transporte à Poutre bout de l , sur P ancien axe. Cette réciprocité est importante.

Pendule.

Suspendons , avec un fil très-mince et très-léger, un corps offrant une grande masse sous un petit volume , par exemple, une balle de fer , de plomb ou de platine. Retenons par un point fixe l’autre bout du fil. Dans l’état de repos, la balle prend une position telle, que le fil devient vertical, et que son centre dé gravité se trouve dans la direction verticale du fil : tel est le fil à plomb. Voyez, IV* leçon, p. 6o et figure i8 his.

On fait , du fil à plomb mis en mouvement , un usage non moins important que celui du fil à plomb tenu en repos. Lorsqu’on écarte un fil à plomb de la verticale , ce fil étant fixe en G et. tendu, voici ce qu'on remarque, aussitôt qu’on

Digilized by GoogI

SEPTIÈME lÆÇOIf . 121

l’abandoimeàlui-méme : en faisant abstraction de toute espèce de résistances.

Le plomb A, fig. i3, commence à descendre avec une vitesse insensible. Cette vitesse s’accroît de plus en plus, lorsque le plomb, passant par les points A', A" , A !" ... s’approche de la verticale CO ; arrivé là , il continue sa marche et s’élève en a'" a" a', jusqu’en a, précisément à la même hauteur que le point A. Aussitôt après avoir atteint cette limite, il redescend en a' a" a '" comme il était descendu de A ; puis remonte en A"' A" A' A, comme il était monté en a'" a" a' a, . , ; puis s’arrête en A , pour redescendre comme la première fois ; et ainsi de suite, jusqu’à l’infini.

La méchanique peut démontrer les lois de ce mouvement alternatif, qu’on appelle oscillation. On donne le nom de pendule au fil à plomb , lorsqu’on l’emploie à faire des oscillations , au lieu l’employer à marquer la verticale.

A chaque instant de la descente du pendule , à partir de A jusqu’en O , l’attraction de la terre donne une nouvelle impulsion là ce pendule pour le rapprocher du centre de la terre; cette attraction se combine avec la force tangentielle acquise , et produit une accélération qui n’aurait point de limites, sans l’action du fil AC qui produit l’effet d’une force centrale.

Représentons par Ag, fig. l’action de la pesanteur, et par AX , la force tangentielle acquise par le fil à plomb, lorsqu’il arrive en A ; soit hp , la force centrale :

1 °. Nous avons Ap •

2 °. Les deux forces Ag et Ap se combinent avec la force tangentielle A. En projetant Ag en Ag' sur la tangente du cercle au point A ; puis , en ajoutant cette projection Ag' à AX si le pendule descend ; mais , au contraire , en retranchant la même projection si le pendule remonte , on a la force tangentielle, au bout du temps que le pendule met à parcourir un arc égal à AX.

C’est pourquoi , quand le pendule remonte , à chaque même intervalle de temps , on retranche successivement les mêmes quantités qu’on avait ajoutées à la force centrifuge. Donc cette force est égale dans la descente et dans la montée , pour les points également éloignés de ce point le plus bas; par conséquent , lorsqu’elle est nulle d’un côté , elle l’est de l’autre , à la même hauteur.

Ainsi la théorie démontre ce que l’expérience avait indiqué, T. II. — Méch. 9

133 MÉCHARIQUB.

savoir : l’égalité cl la symétrie de la montée et de la descente du pendule.

Une autre propriété fort belle du pendule, c’est que la tlurée totale de deux/>e<itea oscillations reste à irèt-peuprè» la même, quoique l’arc parcouru dan&une de ces oscillations , soit double, triple, quadruple, etc., de l’arc parcouru dans l’autre oscillation : en un mot , quel que soit le rapport des , arcs parcourus.

Pour démontrer cette propriété, concevons deux pendulro égaux CA, CO .figures (5 et i6 , différemment éloignés de la verticale, au commencement de l’oscillation. Soit, pour les deux figures, l’effet de la pesanteur représenté par AG = ay qui agit seule au premier instant. Projetons AG en AG' sur l’arc AV , et oy en ojr' sur l’arc av ; nous aurons AG' et ay' pour forces tangentielles.

Menons deux liorizon taies AY et ay , jusqu’aux .verticales CV, ev. Le triangle AGG' étant supposé infiniment petit , l’arc AG' peut être pris pour une ligne droite perpendiculaire à GG' , ainsi qu’à CA j alors les deux triangles rectangles ACY, AGG' , sont semblables , comme ayant leurs côtés correspondants perpendiculaires.

On démontrera de même, fig. i6, que les deux triangles rectangles ocy, agg', sont semblables. On a doncles proportions

AC : AG ; : AY ; AG' ac : ag : : ay : ag' .

Or AC et ac sont égaux, AG et ag sont égaux ; donc ,

' ■ AY : AG' : : ay : ay' .

Maintenant, si vous supposez que l’oscillation soit fort peu étendue, la différence entre AY et l’arc AV sera presque nulle; il en sera de même entre ay et l’arc au. Ainsi , l'espace parcouru dans le premier moment est à très-peu près proportionnel à l’étendue des arcs AV et av.

On démontrera de'mème , par approximation , qu'au bout du 2 *, du 3*, du 4'> du 5® instant, la vitesse tangentielle ajoutée et par conséquent l’espace parcouru, pendant chacun de ces instants , par le premier et le second pendule , est proportionnel aux arcs à parcourir. Ainsi , quand l’espace restant à parcourir parle premier pendule sera zéro, l’espace restant à parcourir par le deuxième sera pareillement zéro ; et les deux pendules arriveront en même temps au terme de

SEPTIÈME tEÇOnr. 123

Poscillation. Donc, én négligeant des difTérences très petites , les oscillations seront de même durée :

Voici ce qui rend cette dernière propriété d’une grande utilité dans les arts ^ et dans les sciences d’observation. Lorsqu’on met en mouvement un pendule et qu’on l’abandonne à luiméme , la résistance de l’air s’opposant à tous ses mouvements , les ralentit déplus en plus ; ce qui diminue l’amplitude des oscillations. Néanmoins ces oscillations conservent la même durée.

Q uand on emploie un pendule très-pesant , comme du plomb et surtout du platine , ce corps n’éprouve qu’une faible résistance qui n’altère quefort peu la durée de ses oscillations : elles conservent donc sensiblement la durée primitive , pendant un nombre considérable d’oscillations. .Mais la répétition continuelle des oscillations, accumulant les petites résistances de l’air , diminue par degrés l’amplitude des oscillations. Malgré cela, les oscillations ne cessent pas d’être sensiblement égales entr’ elles : il y a plus, la différence très-faible qui se trouve entre les durées successives, diminue, au fur et k mesure que ces oscillations diffèrent davantage de l’oscillation primitive.

Les corps tombent plus vite lorsqu’ils partent de points plus rapprochés du centre de la terre. On a reconnu que, pendant un même temps , V espace vertical parcouru librement par deux corps abandonnés à la pesanteur , est en raison inverse du quarré des distances du centre de la terre à ces mêmes corps.

Ainsi, quand la longueur des pendules est en raison inverse du quarré de la distance du pendule au centre de la terre, les pendules exécutent dans le même temps leurs oscillations.

Les observations faites par les astronomes , combinées avec la mesure immédiate de la terre , ont démontré géométriquement que notre globe est aplati vers les pôles ; de sorte que l’habitant de la terre, en s’approchant du pôle, s’approche aussi du centre de la terre. D’après cela, vous voyez que les pendules qui font leurs oscillations dans le même temps, doivent être plus longs quand on se place au pôle , que vers l’équateur. De telle sorte qu’en partant de l’équateur, il faut augmenter graduellement le pendule a mesure qu’on approche du pôle , ailn de conserver aux oscillations la même durée. De

f ilus , la longueur du pendule , en chaque lieu , fera connaître a distance du centre de la terre au point où l’on fait battre le pendule.

-“J iiy Cj( •• '^U.

J MBCHANIQUS.

Par la rotation Oe la terre, une petite partie de la pesanteur des corps est absorbée, pour contrebalancer leur force centrifuge, et les retenir sur la surface du globe. Cette force , nulle au pôle , atteint son maximum "à l’e'quateur.

ICn combinant ces deux causes de variation , on reconnaît l'accord de la théorie et de l’expérience. Grâces à l’appareil imaginé par Borda, géomètre ingénieux, on peut obtenir, avec le pendule le plus commode , uneexactitude extrêmement remarquable. C’est avec ce pendule qu’on a mesuré les distances du centre de la terre aux points de la surface du globe qui forment le méridien dont la mesure sert de base à notre système métrique. L’accord admirable des résultats fournis, ici , par la géométrie et par la méchanique , est un des plus beaux exemples qu’on puisse oiTrir , du pouvoir qu’ont les sciences , non-seulement de se prêter un mutuel secours, mais d’ajouter aux probabilités d’exactitude attachées k chacune d'elles , tout oe que peut donner de certitude la concordance de moyens qui n’ont pour s’accorder qu’une seule chance contre une infinité d’autres : c’est d’être parfaitement exactes.

Au lieu de supposer que la pesanteur change , supposons seulement que la longueur du fil de suspension varie, et considérons deux pendules inégaux , fig. ly et i8 , GA , ca, tels que

AC : oc I .

Soit de plus l’arc AV : l’arc av ; : ; i. Les figures ACV , '

aev , seront semblables.

Soit ojr l’espace que la pesanteur ferait parcourir dans un temps , au point matériel a, supposé libre; et soit AG =m’ X uÿ. Alors , AG représentera l’espace que l’action de la pesanteur ferait parcourir , en m instants , au corps A supposé libre.

Projetons AG en AG' et ag en ag'. Les triangles semblables AGG' , agg ' , donneront

AC : ac : : AG ; ag:: AG' :ag': : AV : av. Ainsi les espaces AG' , ag ' , parcourus par les pendules , en vertu de l’action répétée de la pesanteur , durant le temps m pour le premier,

I pour le second , seront proportionnels aux arcs AV , av. Donc les pendules avanceront proportionnellement sur les arcs AV, av; les temps du premier étant m , quand les temps du second sonti. Donc les temps totaux employés par les pendules pour arriver du point le plus élevé jusqu’à la verticale , sont Liitr’eux : : m : i , lorsque les longueurs du pendule

Digilized by Googli