R X AC = P X AA = P X AB

Ainsi , quelles que soient la direction de la puissance et la direction de la résultante , il faut toujours que la puissance , multipliée par sa distance au point d’appui , égale la résistance multipliée par sa distance au point d’appui.

HmilÈHE LEÇON. l3l

Application à la tranêinisgion de» mouvement». Lorsqu’on veut , au moyen des cordes , transmettre un mouvement suivant deux directions différentes BP , CR , on emploie un levier condé tel que BAC , fig. 9 et 10, auquel on fixe deux cordes , chaînes , cordons ou fils métalliques BP , CR. Le sommet A de l’angle BAC est fixé sur un petit essieu autour duquel le levier tourne ; c’est son point d’appui.

Quand on ne doit transmettre que de petits mouvements , si l’on tire le fil P, fig. 10, B venant en h , l’arc B& différera extrêmement peu d^ne portion de la droite BP ; par conséquent le cordon BP n’aura , pour ainsi dire , pas changé de direction. Il en sera de même du cordon CR tiré par le second bras de levier , comme le premier bras de levier est tiré par le premier cordon.

Tel est le système qu’on emploie pour diriger les fils métalliques qui conduisent , d’une sonnette posée près des lieux . où sont les domestiques, au cordon de sonnette suspendu dans l’endroit d’où l’on doit appeler. Dans les grandes machines , on emploie aussi le système des cordons et du levier coudé , pour transmettre des mouvements alternatifs.

Supposons qu’on veuille faire monter et descendre alternativement , dans un corps de pompe , le piston MM , fig. 12 , au moyen d’une force horizontale qui tire suivant BP. Il est évident qu’au moyen du levier coudé d’équerre BAC , quand on tire le cordon BP dans le sens indiqué par la flèche , le bras de levier AC s’élève et fait monter^le piston M. Si l'on veut que la tige CT du piston reste toujours sur la même verticale , il faut l’obliger à rester toujours tangente à un arc solide Ce , décrit de A comme centre.

Quand on lâche le cordon BP , le poids du piston ramène le levier à sa position naturelle, après quoi le cordon BP re- / commence d’agir pour soulever le piston. On appelle mouvements alternatifs ces mouvements qui se font alternativement dans un sens et dans l’autre. Les oscillations du pendule nous ont offert un premier exemple de semblables mouvements.

On applique avec succès le levier coudé à l’opération du sciage de long par la méchanique. La scie DS , fig. i 3 bis, est boulonnée en D à la tige DC , boulonnée en C au bras CA du levier CAB ; tandis que la puissance P agit sur une tige inflexible BP. Quand on tire BP , le bras de levier AC décrit un arc , et la scie est tirée vers le levier ; quand on pousse BP, l’effet contraire est produit, et la scie est poussée par le levier.

l3a HÉCHANIQUB.

C’est ainsi que la méehanique imite le mouvement des scieurs , figt i3 , dont les membres CABPRS, cahprt sont des leviers coudes.

Qxi peut , au moyen du levier , faire équilibre à une trèsyrande force , avec une trèe-petite. Si , par exemple , la résistance est ccnt fois plus près du point d’appui <^ue la puissance , et parcourt en conséquence cent fois moins d’espace quand il y a du mouvement , il faudra par compensation que la résistance soit cent fois plus grande que la puissance (i).

Quelques personnes , qui comprennent mal les principes de la méehanique , frappées d’un tel résultat , s’imaginent qu’au moyen des machines il est possible de créer de la force. Selon elles , en effet, puisqu’une très-petite force peut faire équilibre à une très-grande, on peut , avec celte petite force , vaincre une résistance moyenne , et conserver encore un reste de force sufBsant pour produire des effets considérables.

Afin d’apercevoir l’erreur d’un tel raisonnement , il suffit de cousidérer le mouvement du levier. Supposons que les forces P , R , fig. lo , soient en équilibre au mt^en du levier BAC , et qu’on augmente un peu la puissance P. L’équilibre étant détruit , il y a mouvement ; le bras de levier AB commence à tourner dans le sens BP de la puissance , tandis que le bras de levier AC tourne dans le sens RC, opposé à la résistance. Au bout d’un temps quelconque , les deux bras de ^ levier ont parcouru un angle égal BAi , CAe ; donc les arcs BA et Ce , parcourus par les points B et C ( 2 ) , sont proportionnels à la longueur des bras de levier AB et AC.

Mais on a P 1 R AC AB. ^

Donc P 1 R 1 ! arc Ce ; arc Bi.

Ainsi, les forces P et R sont réciproquement proportionnelles aux arcs que leurs points d’application parcourent , lorsqu’on suppose l’équilibre dérangé. '

(1) Si le produit de la résistance par son bras de levier est moindre que produit de la puissance par son bras de levier , il y a mouvement dans le sen delà puis,sance, et la machine avance; mais elle n’avance qu’en vertu de 1 jiortion de la puissance <pù n’est pas consommée jwur faire équilibre à la ré • .sisfcmcc. Il faut donc toujours retrancher cette poitioii , lorsqu’on veut avoir la jtartie de la puissance qui doit produire le mouvement.

(2) Noits supposons que AÎB et AC sont pei pcndiculaires à la direction de.* forces qui leur correspondent.

BmilÈMS KECON.

On, voit par cette démonstration, que la puissance qui feit équilibre kla résistance est obligée de parcourir un arc d’autant plus grand qu’elle est moins considérable par rappmt à la résistance , ainsi, la puissance doit j>erdre, en espace parcouru, ce qu’elle gagne en force absolue, pour faire équilibre à la résistance. La quantité de mouvement que mesure le produit de chaque force par l’espace parcouru, est donc la même du côté de la résistance, et cette quantité ne saurait être augmentée. Le principe que nous venons, d’exposer est d’autant plus remarquable qu’il est général dans toutes les machines. Jamais on n’y peut augmenter la quantité de mouvement; ce qui montre l’imjtossibilité de créer de la force.

Si l’on prend pour unité la durée du mouvement exécuté par les points B, C , fig. 1 0 , les vitesses de ces mouvements seront représentées par les espaces parcourus B A , Ce. On appelle vitesse virtuelle ,cciXc vitesse que prendraient les points d’application B , C, de la puissance et de la résistance, .si l’équilibre était tout à coup infinim ent peu dérangé. L’égalité P X BA = R X Ce se traduit en disant que, dans le levier, la puissance multipliée par sa vitesse virtuelle , égale la résistance multipliée par sa vitesse vir- •uelle , toutes les fois qii il y a équilibre.

Supposons que le bras de levier AB, fig. 1 1 , au beu d’être pei-pendicu- !aire à la direction BP de la puissance, soit obh'que. Faisons tourner infiniment peu le levier, d’un angle B AM = h km. Soit AA perpendiculaire à BP prolongé ; les rayons étant proporbonneb aux arcs , on aura

AB : AA : : BM : bm.

Si , du point M , ou mène MN perpendiculaire k BP prolongé , les ü-iangles BMN, ABA, seront semblables, comme ayant leurs côtés perpendicidaires.

Donc AB : AA : : BM : BN.

Ce qui exige qu’on ait BN = bm. Ainsi, quel que soit le point d’application B de la puissance P sm’ le bras AB, en dérangeant infiniment peu l’équilibre, et mesurant l’espace parcouru par le point d’appbeation, stiivautla direction BM de la puissance, on aura la même vitesse virtuelle, estimée suivant la direction de cette force. Par conséquent, Y équilibre aura lieu quand la puissance , étant multipliée par sa vitesse virtuelle , ainsi mesurée , et la résistance également multipliée par sa vitesse virtuelle , mesurée de la même manière , donneront un même produit, quel que sgitle point dl application de la puissance et de la résistance : en supposant toujours que ces deux forces tendent à faire tourner le levier en sens contraires.

Tel est le principe célèbre connu sous le nom de principe des vitesses virtuelles; principe qui s’apptique non-seulement au Wier, mais à toutes les autres machines et à toutes les combinaisons imaginables de forces. L’illustre Lagrange a feit de ce principe le fondement général de sa Méchanique Analytique , l’un des plus beaux ouvrages que la science ait produits.

La résultante des deux forces en équilibre sur un levier ,

l34 MÉCHANIQUB.

ctant détruite par le point d’appui , celle résultante égale la pression que le levier fait éprouver au point d’appui.

Donc : i° quand la puissance et la résistance sont parallèles et dirigées dans le même sens , la pression du levier sur le point d’appui est égale à la somme de la puissance et de la résistance.

2°. Quand les deux forces agissent en sens opposés , la pression du levier sur le point d’appui , est égale à la différence de ces deux forces et dirigée dans le sens de la plus considérable.

Ainsi , dans le levier du premier genre, fig. 5 , la pression Z qu’éprouve le point d’appui , égale la somme de la puissance et de la résistance.

Dans le levier du second genre , fig. 6 , cette pression est égale à la résistance moins la puissance , et dirigée dans le sens de la résistance.

Dans le levier du troisième genre , fig. 7 , la pression est égale à la puissance moins la résistance , et dirigée dans le sens de la puissance.

Quand les forces BP , CR , ne sont pas parallèles , il faut prolonger leurs directions jusqu’à ce qu’elles se rencontrent en D, fig. i 4 ; ensuite , sur les droites DB, DC , construire le parallélogi'amme AiDc , des forces P , R. Alors....

1°. La diagonale passera par le point d’appui A ;

20. Cette diagonale représentera , en grandeur ainsi qu’en direction , la pression éprouvée par le point d’appui (i).

. Si l’on supposait qu’on eût un nombre quelconque de forces P , Q , R, S , T ,

(i) Soit AliDc le parallclogramme construit en menant Ai, Ac, parallèlement à CR et BP. Les droites AB , AC , étant pcipendiculaircs aux droites BP , CR , les uianglos ABû ; ACr, sont rectangles. De plus, l’angle l> du premier, et l’angle c du .second, sont égaux à l’angle BDC, et par conséquent égaux entr’eux. Donc les uianglcs ABû, ACc, sont semblables. Par conséquent :

AC : AB ; : Ac ; Ai ; mais Ac = Di , Ai = De, et le parallélogramme des forces donne : P : R : : Di : De Donc P:R:; Ac: Ai::AC:AB

et P X AB = R X AC.

Donc le point A, pris au point ou la diagonale du parallélogramme des forces rencontre le levier BAC, est précisément le ponit d’appui. Ce qui devait èti-c; mais ce qui a l’avantage de nous montrer l’accord de deux marcbe.s très-opposées.

HUlXliüB LEÇON. |35

fig. i5, appliquées sur un levier CBADEF, il suffirait de mener une pei-pcndiculaire Ap , A^ , Ar à la direction de chacune de ces forces. Ensuite on prendrait : i° pom* toutes les forces qui tendent à faire tourner le leader dans im sens, la somme des produits de chaque force par son bras de levier; a® la .somme des produits correspondants, pom toutes les forces qid tendent à faire tourner le levier dans le sens contraire : J’équilibre aurait beu si les deux sommes étaient égales. Ainsi, la condition d’équilibre serait donnée par l’égabté.

P X A/) + Q X Aq... = R X Ar + S X Ss....

Après avoir exposé , dans toute sou étendue , la théorie du levier , revenons aux principaux cas particuliers et aux applications qu’elle présente.

Levier du premier genre. Le plus simple et le plus régulier est celui dont les deux bras son égaux , et dont l’équilibre exige que la puissance et la résistance soient pareillement égales. La balance est une machine de ce genre. - rj

La balance, fig. i6, se compose d’un levier à bras égaux , AB , AC, appelé le fléau. Le point d’appui A se trouve porté par une espèce d’anse Imn, qui supporte un axe horizontal /An , autour duquel peut tourner le fléau de la balance. A chaque extrémité du fléau setrouvent attachés , par des cordes ou des chaînes , des bassins ronds comme dans la fig. i6 , ou des plateaux quarrés comme dans la fig. ig. Les plateaux ou les bassins doivent être de même poids. Ils sont généralement semblables , de mêmes dimensions , et suspendus par des cordes égales ; ils ont un axe de symétrie , lequel passe par leur centre de gravité ; leur position naturelle d’équilibre est celle où cet axe se trouve vertical. De sorte qu’en plaçant au centre de symétrie des plateaux ou des bassins , les objets qu’on veut peser, ces bassins et ces plateaux conservent leur situation naturelle, et n’exposent pas les objets qu’on pèse, à tomber par l’eflel d’une inclinaison plus grande d’un côté que de l’autre.

On met dans un plateau le poids P qui représente la puissance P , et dans l’autre l’objet à peser, qui représente la résistance R. Quand ces deux forces sont égales , et que le fléau de la balance est horizontal , la condition de l’équilibre est

P X ÀB = R X AC.

Si AB n’est pas égal à AC , et se trouve plu^ petit , alors il faut , pour que les produits restent égaux , que P soit plus grand que R. Ainsi , quand les bras de la balance sont inégaux , et qu’on met le poids du côté du plus petit bras , il fait équilibre à un moindre poids de marchandises. Tel est le principe d’après lequel les vendeurs fripons font leurs pesées avec

CV '!-r

l36 MÉCHAMIQIJB.

de fausse» balances. On découvre la supercherie , en mettant le poids i\ la place des marchandises ; la plus petite force étant alors au bout du plus petit bras de levier , il n’y a plus d'équilibre.

Dans un grand nombre d’arts et dans les expériences exécutées maintenant avec beaucoup de précision par les chimistes , les physiciens et les géomètres, on emploie un moyen qui ne dépend pas de l’exactitude plus ou moins grande de la balance. On met dans un plateau le corps R qu’il s’agit de peser , et dans l'autre les poids P , qui lui font équilibre ; puis on retire ce corps R ; on le remplace par de nouveaux poids qu’on accumule jusqu’à ce qu’ils fassent , comme le faisait le corps R, équilibre aux poids P. Il est évident que les nouveaux poi^ doivent représenter en somme le poids exact du corps R.

Pour examiner d'une manière complète ce qui concerne la balance , on doit faire entrer en considération les poids des bassins et du fléau. Il faut d’abord que l’équilibre existe avant qu’on mette aucun poids dans les bassins. Il faut que les deux bras soient d’égal poids , d’égale longueur , et que leurs centres de gravité setrouvent à la même distance de la -verticale menée par le point d’appui ou par l’axe du fléau.

Si , AB , AC , fig. i6 , sont les deux bras de la balance , en désignant par G , H , les centres de gravité des bras de droite et de gauche , il faudra que le poids A du bras AB , concentré en G , fasse équilibre au poids Y du bras AC , concentré en H. Donc , X X AG = Y X AH.

Si les deux centres G, H , et le point d’appui A, sont sur une même ligne droite , il y aura toujours équilibre , quelque inclinaison qu’on donne au levier. Donc , alors , la balance ne prendra , de préférence , aucune position , quand elle ne sera par chargée de poids étrangers. De plus , la moindre différence de poids entraînant un des bras de la balance, rien ne limiterait l’étendue de ce mouvement.

On a soin que les deux centres G, H soient un peu plus bas que le point d’appui A , fig. i8 , mais tous deux k la même hauteur, quand les bras AB, AC , sont horizontaux. Alors , si l’on dérange un peu l’équilibre , par exemple , en baissant AB , fig. 19 , pour lever AC , la ligne droite AH se rapproche de l’horizontale , tandis que AG s’en écarte encore plus que dans la première position. Donc , si l’on mène les deux verticales XGy , YHÂ, pa r les centres G , H, puis l'horizontale

BCITISMB LEÇON.

g Ah , on anra nécessairement Ah plus grand que Ag. Mais , dans cette position , X X Ag est le moment de X ; Y X AA est le moment de Y = X ; donc le moment de droite l’emporte ; donc il tend à faire baisser le bras ÂC jusqu’à ce que la position du levier BAC redevienne horizontale. Comme le bras AC est descendu avec une certaine vitesse , à cause du mouvement acquis , quand il revient à la position horizontale , ce mouvement se continue ; AC descend au-dessous de l’horizontale, tandis que AB monte au-dessus. Il se produit donc un mouvement d’oscillation qui serait un mouvement perpétuel, si l’on pouvait exécuter une balance où le frottement et la résistance de l’air ne présentassent aucun obstacle à cette perpétuité. Mais , par l’edet de ces résistances , les balances les plus parfaites s’arrêtent après un nombre d'oscillations plus ou moins long , et néanmoins toujours assez borné.

Soit O , Gg. i8 et 19 , le centre de gravité du fléau de la balance. Quand l’équilibre est très-peu dérangé, le poids X-j- Y tend à ramener O dans la verticale, avec une force=(X -j- Y ) multiplié par l’arc MO , que parcourt le centre O depuis la verticale AM : arc qui , pour un même angle , est proportionnel à la distance ÂO.

Âûn de savoir, lorsque l’on construit une balance , si le centre de gravité du fléau n’est pas placé trop près ou trop loin du

E oint A , il faut compter pendant un temps donné les oscilitions de ce fléau. Si elles sont extrêmement lentes et difficiles à produire , le centre est trop près du point d’appui ; si elles sont trop rapides , on doit, au contraire, rapprocher ce centre dm point d’appui. On élèvera , on abaissera le centre de gravité du fléau , en ôtant ou en ajoutant de la matière à sa partie inférieure. '

Le fléau de la balance est un pendule composé , et les calculs indiqués dans la leçon précédente donneront la vitesse et la durée aes oscillations des fléaux delà balance, aussitôt qu’on aura déterminé le moment 'd’inertie dè la balance et la position du centre O.

Pour juger exactement de la position du fléau , l’on se sert d’un moyen bien simple. L’on emploie une aiguille Ant solidement flxée au fléau, flg. 16 et 17 , et perpendiculaire à la ligne droite BAC. L’anse Imn , tenue en m , se place dans une position verticale , lorsqu’on soulève la balance ; mais , lorsque BAC est horizontale , l’aiguille perpendiculaire àBAC, est verticale. Il suflBt donc d'observer si l’aiguille ne penche ni T. II. — Méchan. 10

1 38 M^CHANtQVB.

à clroile ni à gauche : i® quand les bassins sont vides ; ao quand on a mis dans un bassin les poids- mesures , et dans l’autre les corps à peser.

Par les détails que je viens d’offrir , vous devez voir que les inslruiuenlsles plus simples ne peuvent être exécutés avec perfection , si l'on ne détermine B quelles lois de méchanique les diverses parties de ces instruments doivent satisfaire pour réunir au plus haut degré tous les avantages qu’on doit en attendre.

Les romatnea sont, comme les balances , un levier du premier genre , employé pour faire équilibre à un poids donné , avec une puissance moins considérable, appelée le jpeaon.

Qu’on imagine un levier droit BÂG , dont le petit bras AC soit pris pour unité de mesure , et dont le grand bras soit divisé en un certain nombre de fois cette unité. Suivant qu'on pose le peson P, aux points de division i , 2 , 3 , 4 il fait équilibre à un autre poids R, égal à t,2,5,4..-. fois le poids du peson.

En subdivisant en dixièmes , par exemple, chaque partie du levier AB , déjà divisé en parties égales au bras du levier AB , chacune de ces parties représente , dans le produit AB X ï*, un dixième de AC X P, et par conséquent exigé, pour l’état d’équilibre, une augmentation de poids en R, égale au dixième de P. Chaque subdivision qui serait égale au centième de AC , représenterait de même , dans le produit de P X AB= AC X R, un centième de P X AC.

Par conséquent , si l’on divise avec précision le bras du levier AB, en unités, dizaines , centaines , etc., l’on pourra(*déterminer combien de fois un poids quelconque R contient non-seulement le poids P, mais les dixièmes, les centièmes, etc., de ce poids pris pour unité.

Une partie des observations que nous avons présentées sur l’oscillation des balances, s’applique à l’oscillation des romaines. Il faut de même : 1 ® que les deux points B , C , d’application soient exactement en ligne droite avec le point d’appui A; 2 ® que le centre de gravité de la romaine soit un peu au-dessous du point A, et sur la même verticale que ce point , quand la ligne AG est horizontale.

Lorsqu’il est nécessaire de faire des pesées fort exactes en employant la romaine, on peut recourir avec beaucoup d’avantage, au doubles pesées, c’est-à-dire, après avoir mis le corps en équilibre et fixé le point où il fait équilibre au

' HDITIÈHE tEÇON. iSg

peson, remplacer ce même corps par des poids- mesures. En effet, quelles que soient les inexactitudes de l’instrument qu'on emploie , les poids-mesures qu’on substitue au corps h peser , en représentent exactement le poids , quand , placés au même endroit, ils font équilibre au même peson. Vous reconnaîtrez, dans une foule de circonstances, combien il est avantageux d’employer ce moyen pour les opérations rigoureuses que vous aurez k faire relativement k des expériences, à des épreuves, k des vérifications, etc.

La romaine offre un exemple de leviers du premier genre , où l’on fait équilibre à une résistance donnée, avec une moindre puissance. Ces leviers ne servent'pas seulement à produire des équilibres ; on les emploie souvent à produire des mouvements.

Le gouvernail des navires et des bateaux est l’exemple le plus remarquable que nous puissions offrir. Qu’on imagine un levier CAB , fig. 21 , fixé en A, contre la poupe d’un navire , le bras AB plonge dans l’eau , le bras AC est tenu en C, par le timonier ou par un appareil mécbanique quelconque.

Quand le navire est en marche et que le gouvernail CAB se trouve dans la direction de la marche , il n’éprouve aucune résistance de la part de l’eau. Mais , quand le timonier pousse la barre ou timon AC , jusqu’en c par exemple , alors la partie Ai& du gouvernail éprouve une résistance X qui augmente avec l’angle BAft. La force oblique X se décompose en deux ; l’une y dans le sens de Ab , laquelle ne produit d’autre effet que de tirer le gouvernail dans le sens de sa longueur, pour l'arracher de ses gonds; l’autre x, perpendiculaire à Ab , pousse le gouvernail dans un sens différent de la marche. D’après ce que nous avons exposé, V* leçon, la force x agit pour faire tourner le navire avec une action dont le moment égale x XGg: en supposant que Gjr soit la distance du centre de gravité G du navire k la direction d.e x. Appelons P la puissance des timoniers appliquée en C , et nommons D le centre d’application de x; nous aurons pour l’équilibre du gouvernail, P X AC = a? AD.

Leviert du second genre. Dans ces leviers, avons-nous dit , la résistance se trouve entre la puissance et le point d’appui. On ne les emploie que dans les cas où la puissance doit être moindre que la résistance.

Les avirons ou rames qui servent pour faire avancer les bateaux et- les navires, sont des leviers du deuxième genre.

l4o MlBCKAHIQtJt. '

La puissance est appliquée à la poignée N , fig. ai , de l’aviron NOM , et tire cette poignée de l’arrière à l’avant du navire. Le point d’appui M se trouve à l’autre extrémité de l’aviron , et la résistance est produite par le navire même , en un point O du bord de ce navire, soit au moyen d’nne entaille faite dans ce bord, soit au moyen d’une cheville verticale qu’on appelle tolet. Il est évident que si l’on détermine le centre de résistance de la partie de l’aviron , plongée dans l’eau , ce centre étant regardé comme point d’appui , la puissance multipliée par la distance de ce centre k la poignée de l’aviron , est égale à la résistance multipliée par la distance du même centre au point où l’aviron est soutenu contre le bord du navire.

Afin de ne pas ajouter au travail du rameur , la fatigue de peser sur le petit bras du levier , pour faire équilibre au long nras, on leste le petit bras avec un poids tel que le levier se trouve à peu près en équilibre sur le point O où il est porté par le navire.

Dans le troûiètne genre de leviers, la puissance étant entre le point d'appui et la résistance, est nécessairement plus grande que la résistance. Ce genre de leviers ne peut donc être employé que daus le cas où l’on dispose d’une force supérieure à la résistance,

La plume, le pinceau, le porte-crayon, nous offrent des exemples remarquables de ce genre de levier. Il importe beaucoup d’imprimer des mouvements rapides à la pointe de la plume et du crayon ; la résistance qu’ils éprouvent sur le papier est peu considérable. De là la position préférée pour la tenue de ces instruments.

La plume ABC, fig. aa , a son point d’appui A contre la première phalange de l'index. La résistance est en C , sur le

Î apier où se trouve l’écriture à produire comme effet du levier.

la puissance est partagée eu m, n , o , entre le pouce et les deux premiers doigts. En renversant la main, fig. aü, pour regarder la plume par le bec, on voit les trois points d’application m,n,o , des trois doigts dont nous parlons. Suivant que nos muscles augmentent la force exercée en wi, en n ou en O ^ pour la diminuer dans les deux autres points, la plume est poussée dans les sens variés qui peuvent convenir au tracé de toutes les espèces de lettres et de figures.

L’écriture offre un exemple remarquable de la complication réelle de machines simples en apparence. Les deux derniers doigts de la main droite servent d'appuis à la plume , l’avant—

HUlIliME jLBÇON. l4>

bras droit et le bras gauche servent d'appuis au corps entier , quand la main droite écrit. Chaque bras, avec sa maiu, se compose de vingt-deux leviers du premier genre , et chaque jambe, avec soo pied , se compose de vingt-trois leviers.

Ainsi , les personnes qui écrivent pour bannir de nos arts l'usage des machines composées , afin de revenir , disent-elles, à la simplicité de la nature , emploient un levier artificiel , mû par trois puissances résultant d’un système de quatre-vingtdix leviei's que la nature a placés dans nos membres f et ces quatre-vingt-dix leviers sont alternativement tirés et poussés par cent quatre-vingts groupes de cordes appelées muscles , qui sont attachées, les unes en deçà, les autres au delà de chaque point d’appui. Loin que cette multiplicité de cordes et de lévriers produise aucun d^rdre , aucun embarras dans les opérations que l'homme peut exécuter avec ses membres , il est facile de prouver, au contraire, que nous devons à cette admirable combinaison, notre adi'esse et notre aptitude à faire une foule d’opérations délicates : opérations que ne peuvent exécuter les animaux , dont la structure plus simple , présente moins de cordes et de leviers.

Les arts emploient , à l’imitation de la nature , des combinai* sons variées de leviers et de cordes. Ainsi les bras des télégraphes sont des leviers mus avec des cordes, comiùe nos bras se meuvent à l’aide de nos muscles. .

S’il fallait, avec une très-petite puissance, faire équilibre à une très-grande résistance , on serait obligé , en faisant usage d’un levier unique , de placer le point d’appui extrêmement près du point d’application de la résistance ; ce qui , dans beaucoup de cas, présenterait des difficultés insurmontables , et ne permettrait pas d’obtenir, avec la précision nécessaire, le résultat qu’on désire. On obvie à cet inconvénient

f iar l’emploi d’une combinaison de leviers, telle que celle de afig. 2/f. La puissance P étant appliquée à l’extrémité du long bras du levier BAC ; un second levier CDE a l’extrémité de son grand bras L', posée contre l’extrémité C du petit bras i du levier précédent; un troisième levier EGH présente une disposition pareille; et ainsi de suite.

Soit X, X', X"..., les résistances éprouvées aux points de contact C,E,H',... des leviers consécutifs; L, L', L",..., étant les grands bras de leviers, et l, F, t' , les petits bras , on aura pour condition de l’éqUilibre :

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l4a HÉCBAKIQUB.

Premier levier, Pxl*=XX^^

Deuxième levier, X X L' = X' X

Troisième levier , X' X = X." X f

Multiplions ensemble : i° tous les premiers termes de ces égalités; tous'les seconds termes. Otons des deux produits, les quantités communes X , X' , X" , etc. ; R étant la dernière de ces forces ou la résistance , on aura simplement pour condition d’équilibre :

C’est-à-dire, lapuistance, multipliée par tou» le» grand» bras de levier , est égale d la résistance multipliée par tous le» petits bras.

Supposons, par exemple, que, poiu- tous les leviers, le gi-andbras égale dix fois le petit; nous verrons q[u’en prenant successivement i , 3 , 3 , 4..., levners , la résistance est égale à la puissance mnltn)liée par i o , 1 00 , 1 ,000 ,

10,000 Ainsi, quatre leviers, où le point d’appui se trouve seulement

dix fois aussi près de la résistance que de la puissance, sufGsent pour faire équilibre à une résistance dix mille fois aussi grande que la puissance.

Un système de leviers, tel que celui de la fig. 24 > sert en Angleterre , à mesurer la force des câbles de fer.

On a fait un usage ingénieux de ce système de leviers, pour démontrer l’allongement que prennent des barres métalliques, lorsqu’on les expose à la chaleur. Cet allongement, trop peu considérable pour être sensible à la vue simple, se trouvant multiplié par dix mille , avec quatre leviers tels que ceux dont nous venons de parler, si le long bras du dernier levier est l'aiguille d’un cadran, cette aiguille s’avancera rapidement, et l’on pourra juger, par la division de l’arc qu’elle parcourt, de rallongement pris par la tige métallicpe. Avec ce moyen l’on a pu déterminer très-exactement les rapports d’allongement du fer, de l’acier et du cuivre : rapports dont l’horloger a su tirer habilement parti.

Voyez VII* leçon , p. 126 . Pendules de compensation.

De» poulie» et de» rouleaux.

Une poulie simple , fig. i , se compose : d'un rouet cir-

culaire, doul le contour oflfre une cavité partout également

f )rofonde , pour recevoir Une corde ; d’un essieu sur equel tourne le rouet ; 3° d’une chape. La chape ABCD , est un solide percé d'une mortaise MN , dans laquelle tourne le rouet , et d’un trou rond , TT , perpendiculaire à cette mortaise , pour recevoir l’essieu.

Dans la poulie fixe , fig. 2 , la chape reste immobile ; elle est attachée à quelque obstacle X , inébranlable, ou considéré comme tel. L’essieu reste pareillement immobile, ou du moins sa distance au point X est invariable. La puissance P agit sur un des bouts de la corde PAMBQ , et la résistance Q est fixée à l'autre bout de celte corde. Quand la puissance agit sur la résistance , elle tend la corde , de manière que cette corde présente deux parties rectilignes AP et BQ , l’une qui va de la poulie à la puissance, l’autre qui va de la poulie à la résistance ; elle offre de plus une partie de ligne courbe AMD , qui suit le contour de la gorge de la poulie , et qui est la ligne la plus courte qu’on puisse mener entre les points A et B , sur la surface de cette gorge : surface dont nous avons expliqué les propriétés, Géo.métrie , XV® leçon.

Lorsque les deux forces P et Q se trouvent dans un plan vertical , ce plan doit être aussi celui de la courbe AMB ; et les deux forees P, Q, ne peuvent être en équilibre , par rapport au point fixe X , que dans le cas où ce point se trouve également dans le plan vertical de la puissance et de la résistance.

La poulie fixe , telle qu’on l’emploie pour élever les seaux des puits , et les matériaux des mines et des carrières , nous offre ainsi la puissance , la résistance , et le point d’appui jdacés dans un même plan vertical. Le bout BQ de la corde , auquel est fixée la résistance, se trouve de même dirigé suivant la verticale : la résistance n’étant autre chose qu’un poids suspendu librement à la corde BQ, et qu’il s’agit d’élever.

l44 HÉCHANIQDE.

Dans le cas même dont nous parlons , si la direction AP de la partie de corde à laquelle est fixée la puissance , n’est pas verticale , cette corde prend la figure d’une courbe que nous avons appelée chaînette , et dont nous avons expliqué les propriétés , VI® leçon.

Dans tous les cas , la corde étant pliée librement sur la gorge de la poulie , les conditions d’équilibre de cette corde doivent être les mêmes que les conditions données dans la lY® leçon ; pour l’équilibre d’une corde pliée sur une surface , et tirée à ses deux extrémités par des forces. Ainsi , la tension qu’éprouve celte corde, dans tous ses points A , M , B , appliqués sur le contour de la poulie , doit être la même; donc , si la puissance était appliquée immédiatement au point A , et la résistance immédiatement au point B , ces deux forces devraient être égales : quelle que fût leur direction.

Si les forces ne sont pas appliquées immédiatement aux points A et B , mais k une certaine distance , et si l’on fait abstraction du poids de la corde, il faut encore que ces forces soient égales, si l’on ne fait pas abstraction du poids de la corde , ce poids s'ajoute , d'une part , à la puissance , de l’autre , ê la résistance ; il faut que les deux somnies soient égales pour qu’il y ait équilibre autour de l’axe de la poulie.

Cette considération est d’une grande importance , lorsqu’il s’agit d’élever des fardeaux à des hauteurs considérables. Au fur et à mesure que la puissance agit , elle descend avec la corde qu’elle tire ; elle acquiert une partie du poids de cette corde , précisément égale à la partie soustraite du côté de la résistance. Par conséquent , la puissance devenant de plus en plus prépondérante , imprime à la résistance un mouvement d’ascension qui devient de plus en plus considérable et pourrait finir par être dangereux.

Pour qu’il y ait toujours une même différence entre la puissance et la résistance , on fait usage de la chaîne de compensation QNO , fixée sous le fardeau Q , qu’il s’agit d’élever verticalement. Supposons que , pour la même longueur, cette chaîne soit deux fois plus pesante que la corde à laquelle on a fixé la puissance et la résistance. Quand la puissance P tire la corde , de manière à se transporter en P' , la partie AB se trouve augmentée de PP', et la partie BQ se trouve diminuée d’une quantité égale, QQ'. C’est , par conséquent , comme si la résistance Q n’avait rien perdu , et que la puissance P eût acquis deux fois le poids d’une partie de corde PP'. La résis-

tance Q s'étant élevée de QQ'=PP', une partie NN' de la chaîne de compensation , qui se trouvait couchée sur une plateforme horizontale, se soulève , devient verticale, et pèse du côté de la résistance. Mais NN' , égale en longueur à PP' et à QQ' ,

g èse âeux fois autant que chacune de ces parties de corde.

*onc , d'une part , la puissance P acquiert deux fois le poids PP' ; de l’autre , la résistance Q acquiert deux fois le poids PP'. Par conséquent , il y a toujours la même différence entre la puissance et la résistance : résultat important dans, beaucoup de cas.

Quand les cordons ÂP , BQ , fig. 2 , sont parallèles , la résultante des deux forces égales, P et Q , est parallèle aux directions AP et BQ , et passe par l’axe du rouet. Lorsque P,Q.ÿ ne sont plus parallèles , fig. 4 , il faut toujours que leur résultante passe par l’axe C du rouet, et par le point de suspension X. Mais les deux forces P et Q ne cessent pas d’être égales. Donc , en prolongeant les deux directions AP , BQ , jusqu’k leur point de rencontre D , il faut que les trois points C , X , D , soient en ligne droite , et que cette droite fasse le même angle avec les directions AP 'et BQ , de là puissance et de la résistance.

Si l’on veut connaître quelle est la pression produite sur l’axe C , du rouet , par les forces P et Q , on déterminera la résultante DH d’un parallélogramme DEHF , dont les côtés égaux DE , DF , représentent la puissance et la résistance ; la diagonale DH sera la résultante des deux forces dirigées suivant DXC , c’est-à-dire , la pression qu’éprouve l’axe du rouet.

Cette pression , ajoutée au poids de la poulie , représente l’effort total que supporte le point d’appui X.

Dans la poulie fixe , la puissance étant toujours égale à la résistance, on ne peut employer cette machine que pour transmettre une force d’une direction dans une autre , sans rien changer à la valeur de cette force. Aussi , les poulies fixes, employées dans ce but, prennent-elles le nom très-convenable de poulie» de renvoi ; pour expliquer qu’elles n’ont d’autre but que de renvoyer la même force d’une direction dans une autre.

Si les deux forces P et Q n’étaient pas égales entr’elles , la plus petite détruirait une portion de la plus grande , égale à cette plus petite force ; alors le rouet de la poulie se mouvrait dans le sens de la plus grande , comme s’il n’était sol-

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licite au monvemeot que par la diflërence des deux forces ; mais la pression exercée par le rouet ou par l’axe , sur la chape , serait égale à la résultante des deux forces supposées égales à la moins grande. Ainsi le mouvement de la poulie pourrait devenir très-lent , quoique les pressions sur l’axe devinssent très-considérables ; il suffirait, pour cela, que la puissance et la résistance fussent très-grandes, mais peu différentes l’une de l’autre. Tel est le principe de la machine imaginée par Atwood pour démontrer par l’expérience les lois de la chute des corps : lois que nous avons exposées dans la II* leçon.

Menons les rayons CA , GB , hg. 4 t perpendiculaires aux directions AP , BQ ; la droite AB sera perpendiculaire à CHD , qui divise l’angle AGB én deux parties égales. Donc , les triangles DEH et AGB auront leurs côtés correspondants perpendiculaires ; ce qui donnera la. proportion

P = Q : R : : de = df : dh ; : ac = ce ; ab.

Donc , daM la poulie fixe , la puiseance qui égale la rétietance , eet à lapreesion R , que eupporte le point d'apptii, comme le rayon du rouet e»t à la corde AB qui touttend t are AB embrassé par la portio-n de la corde courbée sur le rouet.

Poulie mobile. Si , dans la poulie fixe , fig. 2 et 4 , on remplace le point fixe par une force R , égale à l’effort même exercé sur ce point par l’effet de P et de Q , l’équilibre continuera de subsister entre les trois forces P , Q , R , et l’on aura changé la poulie fixe en poulie mobile, fig. 5 et 5. Donc dans la poulie mobile , les forces P , Q , appliquées aux deux bouts de la corde qui pdsse sur Ife rouet, et la force R , appliquée à la chape , conservent les rapports