P X CD = M X CO

R X crf = M X cO CD cd

Donc P X — = R X —

CO cO

D'après cela , nous voyons : que CD et cd étant donnés ,

plus cO est petit ,

P cO CA

plus est grand.... — = — X — •

R CD cO

que CD et cd restant les mêmes, P et R sont en raison inverse du rapport des rayons CA et ca des roues dentées. Ainsi , quand la première est double, triple, quadruple de la seconde, la résistance R, contre-balancée par la puissance P, est pareillement double, triple, quadruple de cette puissance P.

Une machine qu’on peut rapporter à la roue dentée : c’est la rôtie des voitures.

Tons les corps de la nature sont terminés, non point par des surfaces parfaitement unies, mais par des surfaces parsemées d’aspérités plus ou moins nombreuses et plus ou moins saillantes. Les corps mêmes qui nous paraissent d’un poli parfait, regardés avec un microscope, nous semblent hérissés de pointes. C’est l’effet de ces pointes qui détermine le mouvement des roues d'une voiture.

En effet, si la roue était d’un poli mathématique, ainsi que le terrain horizontal , une force horizontale tirant la roue, celle-ci toucherait toujours le terrain, sans en éprouver aucune résistance. Mais, la pesanteur faisant engrener les aspérités ou

J^S MÉCHÀNIQUZ.

dents de la roue entre les aspérités ou dents du terrain qui reste immobile , la roue est foreée de tourner. A chaque instant, une nouvelle résistance fait perdre à la roue une partie de sa vitesse ; et bientôt celte roue s’arrête , si l’on ne renouvelle pas la force perdue.

J’ai remarqué, dans plusieurs établissements d’Angleterre, des routes en fer , dentées , sur lesquelles roulaient des chariots à roues dentées. Ces routes et ces roues dentées sont une image sensible de ce qui se passe entre les aspérités presqu’invisibles des surfaces plus ou moins unies des routes plates et des roues ordinaires.

Que les roues dentées soient cylindriques ou coniques , et ,

[ >ar conséquent, que leurs axes soient parallèles ou divergents, e rapport de la puissance à la résistance n’en est pas moins toujours celui des distances du point où s’opère le contact des dents aux arbres respectifs qui communiquent avec la puissance et la résistance.

^ La fabrication des roues dentées est an travail fort délicat , qui demande l’emploi de méthodes géométriques rigoureuses , lesquelles se rapportent à la division du cercle, GÉoMÉraiB, III° leçon, aux propriétés des cylindres, V1U° leçon, et des cônes, 1X‘ leçon.

Lorsqu’il est question de construire des roues d’un diamètre considérable, la figure des dents devient un objet essentiel, qu’on doit soumettre à des méthodes géométriques. On s’impose la condition que les roues tournent de manière que les points de deux dents en contact ne puissent que s’appliquer l’une contre l’autre, comme une roue de voiture s’applique sur le terrain, sans que l’une glûse, frotte sur l’autre , pour avancer plus vite ni moins vite.

Il y a des ouvrages de méchanique qui contiennent des solutions fort complètes de ces questions , et nous y renvoyons. Voyez le très- utile Traité des machines, par M. Hachette.

Au lieu d’employer un petit nombre de dents grosses , saillantes, et courtes, comme on le faisait autrefois, il vaut mieux multiplier le nombre des dents, et les rendre moins saillantes, moins larges et plus longues , afin de leur conserver une solidité suffisante. Alors la figure des dents devient beaucoup plus simple à tracer, il suffit de donner à leur profil la figure d’un rectangle, dont les angles saillants soient rendus un peu obtus par un Ip'ger arrondi des deux faces perpendiculaires au contour de la roue. La machine elle-même , par son jeu, usant

SIXIÈUE LEÇOH. 1^9

d’abord les parties plas saillantes que la théorie ne l’indique , elle s’améliore par l’usage même.

C’est ainsi qu’opèrent la plupart des constructeurs de machines , et mêmes les horlogers , pour leurs roues dentées ordinaires; seulement, dans ces roues ordinaires, l’arrondi est complet.

Les horlogers emploient des roues dont les dents ont des figures variées et fort différentes. Il y en a qui sont taillées sur le contour d’un cylindre, fig. Les roues d’encliquetage ou d’arrêt, 6g. i 6 , ont des dents pointues et toutes inclinées vers le cliquet ou bras de levier , qui empêche la roue de rétrograder.

'Toutes les fois qu’il y aurait inconvénient grave ou danger k la rétrogradation, dans un mouvement circulaire, il faut recourir à Vencliqwtage ; à moins de faire usage du frein , dont nous parlerons au sujet du frottement , XIII’ leçon.

On emploie souvent la combinaison suivante : on remplace une des roues dentées par un cylindre denté à jour , qu’on appelle lanterne , fig. i5. Il se compose d’une suite de bâtons tournés circulairement; les axes de ces bâtons sont également espacés sur un contour circulaire. Deux plateaux, taillés en cercle, reçoivent dans des mortaises quarrées, le bout de ces bâtons équarri en tenon. La lanterne n^étant qu’une roue dentée, le rapport de la puissance avec la résistance , s’estimera suivant la règle générale que nous avons démontrée.

Le cric , fig. 1 8 , est une machine où l’axe de la roue dentée AB est fixe, tandis qu’une tige droite et dentée EF, est mise en mouvement par la roue.

Dans le cric simple, une manivelle CBB' fait mouvoir la roue dentée A, engrenée sur la barre dentée EF. Dans cette machine, on a pour rapport de la puissance à la résistance,

î ^ ; égalité dans laquelle ^ est le rapport des espaces

parcourus, dans le même temps, par la puissance et par la résistance.

Dans le cric composé, 6g. 19 , la manivelle agit sur un premier pignon, lequel s'engrène avec une roue. L’axe de cette roue porte un second pignon qui s’engrène directement avec la barre du cric. v

En appelant D, D', les rayons delà manivelle et de la roue, rf, it , les rayons des deux pignons , on a pour condition d’é- ({uilibre, dans ce nouveau cas,PxDX D' = R X d X d!.

l8o MÉCBÀIflQUB.

Ainsi ; par exemple , si D est triple de et IX triple de dû on aura 3 'fois 3 fois P = I fois 1 fois R , ou 9 P = R ; donc une force P fait alors équilibre il une force 9 fois aussi grande. Tandis que, avec les mêmes dimensions, si la barre dentée eût été immédiatement appliquée au premier pignon, la puissance P n’aurait pu faire équilibre qu'’î une force 3 fois aussi grande. Mais il faut que la puissance P parcoure 9 fois autant d’espace que la résistance, lorsqu’on veut qu’il y ait mouvement.

Équilibre tur de» plans fixe» ; plans incliné* ; routes en fer , avec leur» plans incliné*.

Dans l’équilibre du levier , nous avons fait entrer la consi- ' dération d'uu point fixe. Dans l'équilibre du rouet de poulie , du treuil, etc., nous avons fait entrer la considération d’une ligne droite ou axe fixe. À présent , nous allons examiner quel peut être l’équilibre de forces agissantes sur un plan 6xe. Nous supposerons d’ailleurs ce plan d’un poli parfait.

- Pour qu’une force PC, fig. i , poussant le point matériel G, contre un plan 6xe ÂB , ne produise aucun mouvement, cette force doit être perpendiculaire au plan.

Lorsqu’en effet la force est perpendiculaire au plan fixe , comme tout est symétrique dans la direction de la force, et dansla figure du plan , considérée sous tous les sens possibles , le point n’est sollicité à se mouvoir dans aucun sens plus que dans le sens opposé. Par conséquent, il doit rester en repos.

Si la force PG est oblique , fig. 2 , on peut la décomposer en deux; l’une CQ dirigée suivant le plan même, l’autre GP' perpendiculaire à ce plan ; or , cette dernière force a son effet détruit par le plan ; donc il reste seulement la force CQ , laquelle agissant dans le sens CA, n’éprouve aucune résistance. Par conséquent, alors, il ne peut pas y avoir équilibre.

Soit un nombre quelconque de forces CP, CQ, CR,..., fig. 3 , poussant toutes le même point matériel C , contre le

[ )ian ACB. Il faudra transporter ces forces au bout l’uue de 'autre , sans changer leur direction, puis fermer par une dernière ligne droite, le polygone des forces : cette droite représentera la l'ésultante , en grandeur ainsi qu’en direction. Il v aura équilibre dans le cas seulement, figure 3 , où la résultante CR' de toutes les forces, sera perpendiculaire au plan fixe. S’il n’y avait pas équilibre , le point matériel C , fig. /}, se mouvrait le long du plan fixe ; comme s’il était animé par la force unique Cr, égale à la projection de la résultante CR sur le plan fixe.

Au lieu d’un point matériel, considérons un corps CEF, fig. 5 , poussé contre le plan fixe, par une force P. Il faudra

MECHANIQUE.

que la direction de P passe par le point C, si ce point est seul commun entre le plan et le corps.

Supposons, en eflet, que la force P passe par un autre point C' du plan fixe. En applit^uaut cette force au point D du corps, le plus voisin du plan fixe , sur P C, rieu n’emp^cherait la force P de pousser le point D jusqu’à toucher le plan , et d’entraîner ainsi tout le corps CEF : donc il n’y aurait pas équilibré.

11 faut aussi que la force PC ne cesse pas d’être perpendiculaire an plan fixe, afin de n’être pas décomposée en deux autres : la première , perpendiculaire et détruite par le plan ; la seconde , dirigée dans le sens même du plan et que rien ne contrarierait.

Si plusieurs forces agissaient sur le corps , il faudrait que leurs résultante passât par le point C , et fût toujours perpendiculaire au plan fixe, pour que le corps restât en équilibre.

A présent, supposons que le eorps touche le plan fixe, en deux points A, B , fig. 6. Il faudra que la résultante unique de toutes les forces qui sollicitent le corps , puisse être décomposée en deux autres qui passent par ces deux points.

En effet , soit, en projection verticale , Rr , fig. 6, la résultante de tonies les forces,- soit, en projection horizontale. A/,, la position des deux points fixes A, B et du point r, où la résultante rencontre le plan fixe.

, On pourrait d’abord mener par B* et n une droite B* r;, C/, , et décomposer la force Rr en deux forces parallèles à Rr : l’une P appliquée en B , l’autre Q appliquée en un point quelconque C de BrC. La force P étant perpendiculaire au plan fixe , et passant par un point B où le corps touche le plan , ne

f ieut rien changer à l’équilibre du plan. Il resterait donc la orce Q , qui ferait nécessairement tourner le corps , si le point C n’était pas commun à ce corps et au plan fixe : à moins que C ne se trouvât entre A et B. En effet, si le point C se trouvait au-delà de A ou de B , il tendrait à renverser le corps de ce côté.

Soit un corps appuyé par trois points A, B, C, fig. y, sur un plan fixe. Joignons les points A , B , C , par les lignes droites AB , BC , CA. Pour que le corps , sollicité par une force

J pelconque PG, soit en équilibre, il faudra : t® que cette orce soit perpendiculaire au plan fixe ; 2 ° que le point où elle rencontre le plan fixe , ne soit pas en dehors du triangle ABC. Sans cela , rien n’empêcherait cette force de faire tomber le corps du côte où elle sc trouverait.

Si , au lieu de trois points d’appui , le corps posé sur un plan Hze en avait un nombre quelconque , il faudrait joindre ces points deux à deux par des droites; de manière à former un polygone fermé complètement et n’ayant pas d’angle rentrant. Alors les conditions d’équilibre de ce corps , poussé par une force quelconque , seraient : i°que cette force fût perpendiculaire au plan fixe ; 2® que sa direction prolongée jusqu’au plan fixe , ne tombât pas en dehors du polygone que nous venons de former.

Gîs divers cas d’équilibre trouvent des applications importantes et nombreuses, lorsqu’on fait entrer la pesanteur des corps dans la comparaison et le calcul des éléments des machines.

Tout ce que nous venons de dire des corps posés sur des plans, s’applique à des corps placés sur des surfaces de figure quelconque , et composés de parties droites on courbes. Il faut toujours que la résultante des forces qui agissent sur le corps,

S uisse être décomposée en forces qui passent par les points 'appui et soient perpendiculaires à la surface fixe ; il faut , en outre , que cette résultante ne passe pas en dehors du polygone formé, sans angles rentrants , par les lignes droites menées de chaque point d’appui aux autres points d’appui.

Vous pouvez observer, dans les arts, de fréquentes applications de ces principes. Pour tenir en équilibre un poinçon , quand on le pousse avec la main contre une surface quelconque , il faut le diriger perpendiculairement à cette surface , afin qu’il ne glisse pas ; il faut, eu outre , que la force pousse le poinçon dans la direction de sa tête à sa pointe ; car sans cela il tomberait ou glisserait. .

Lorsqu’un corps est poussé contre un pian fixe, et porter contre ce plan par plus de trois points , on doit recourir à des considérations qui dépendent de la nature même des corps , pour connaître suivant quelles lois s’opère la répartition des pressions exercées par le corps en chacun des points de contact avec le plan fixe. .

Il est un cas remarquable où l’on trouve immédiatement la valeur de cette pression; c'est le cas où les points de contact formant sur le pian fixe une figure régulière, la puissance qui pousselecorps contre le plan fixe est dirigée de manière'a passer par le centre de cette figure. En supposant aussi que le corps soit symétrique par rapport à des plans qui passent respectivement par les axes de symétrie du polygone, du de la

l8i MÉCHAiriQUE.

figure régulière que nous venons déformer avec les points de contact, chacun de ces points supporteune ^gale pression. Par conséquent, la pression supportée par chaque élément de la surface de contact , est égale à la puissance qui pousse le corps contre le plan fixe, divisée par le nombre de ces points.

Dans les arts, on fait usage d'un grand nombre de corps, posés contre des plans fixes, en des points disposés suivant les règles de symétrie que nous venons d'indiquer.

L’homme, et tous les animaux qui marchent, appuient le poids de leur corps sur des pieds symétriques , ayant pour plan de symétrie celui du corps même. Par conséquent , les pressions exercées sur chaque pied sont égales. Dans l’industrie , on procure trois ou quatre points de support à la plupart des objets usuels. Par analogie, on àppelle les parties du corps qui touchent immécliatement contre la terre , et souvent on leur donne la figure d'un pied d'homme ou d'animal.

Le trépied, comme son noml'indique, est un corps soutenu par trois pieds. Quand la figure satisfait aux conditious de symétrie que nous avons données , la pression supportée par chaque pied contre le plan fixe, est égale au tiers de la puissance qui pousse le trépied perpendiculairement contre le plan fixe. Les tables, les commodes, les lits, une foule de meubles, sont supportés par quatre pieds, qui satisfont aux conditions de symétrie que nous avons données. Par conséquent, chaque pied de ces produits d'industrie supporte le quart de la pression exercée perpendiculairement contre le plan fixe , par une puissance quelconque.

Il y a des objets qui portent sur des plans fixes suivant des lignes continues et régulières. Dans le cas où le corps satisfait aux conditions de symétrie que nous avons indiquées , tous les points de ces lignes supportent une même pression ; la pression supportée par chaque élément de ces lignes est, par conséquent, en raison inverse de leur longueur totale.

On fait souvent usage, dans les arts, de surfaces de révolution qui posent contre un plan fixe, MN, fig. 8 , en touchant ce plan suivant un cercle parallèle ABC. Si la puissance qui presse la surface contre le plan, la presse suivant l'axe même de la surface , il est évident que tous les points du cercle de contact supportent la même pression. Nous ne pousserons pas plus loin l'indication de ces applications à l'industrie.

Considérons un corps BCF, fig. g, posé sur deux plans

files , (i) et (2), qu’il touche en B C. Pour que ce'corps , sollicité par la force AP , soit en équilibre , il faut évidemment : que cette force puisse se décomposer en deux , dirigées suivant les droites PM, PN, passant par les deux points d’appui B , C ; 2° que PM soit perpendiculaire au plan (i) , et PN au plan (2).

Quand ces conditions seront remplies' , la force PM se trouvant détruite par le plan fixe (1) , et la force PN par le plan fixe (2) , il y aura équilibre.

Dans tout autre cas , l’équilibre ne peut avoir lieu. En effet, la seule résistance que chaque plan produise est dirigée suivant la perpendiculaire menée par les deux points d’appui du corps sur ce plan. Donc il faut que les deux résistances, ainsi diri-

? ées , fassent équilibre à la puissance. Mais , pour que trois orces soient en équilibre , il faut d’abord qu’elles concourent en un point. Donc, dans tous les cas d’un corps poussé par une force contre deux plans, dont chacun le touche en un point , il faut que la droite suivant laquelle agit cette force et les perpendiculaires élevées de chaque point de contact , passent par un même point. Alors un parallélogramme construit sur ces trois ligues, en prenant sur la première une diagonale égale à la puissance , fera connaître les pressions éprouvées par chaque plan.

Dans le cas d’un corps touchant trois plans , en un point , il faut toujours que la puissance fasse équilibre à des forces appliquées à ces points suivant des lignes perpendiculaires à ces plans et représentant les résistances éprouvées par les plans. Mais il n’est plus nécessaire que toutes les directions des résistances concourent en un même point.

Qrasidérons le corps MN , fig. 10, sollicité par les forces P , Q, qui concourent en A et se tiennent en équilibre autour du point d’appui C, contre le plan fixe XY. Supposons que , sans changer ce point d’appui, l’on dérange infiniment peu la position de CA, c’est-à-dire, que l’on fasse tourner CA autour de C. En menant les perpendiculaires CD, CE, sur AP, AQ, nous pourrons regarder DCE comme un levier coudé. D’après ce que nous avons démontré pour le levier , nous verrons immédiatement que l’espace De? parcouru par le point d, et l’espace Ee parcouru par le point E, quand le corps se dérange infini ment peu, sont réciproquement proportionnels aux forces P et Q qui leur correspondent, c’est-à-dire, qu’on a

P : Q : : Ee : De?. D’où.... P X De? = Q x Ee.

Ainsi, le prirjcipe des vitesses viriivelles trouve encore ici son application.

T. II. — Méch. i 3

I(j(> HÉCIIAKIQUE.

Tous les corps étant animés à chaque instant par là' force de la pesanteur , on voit que les corps, po. ^ sur des plans , ont besoin , pour y rester en équilibre, de satisfaire aux conditions que nous venons de démontrer. En supposant qu’aucune autre force ne sollicite ou ne retienne un corps posé sur un plan fixe , pour qu’il y reste en équilibre, il faut, par conséquent, que ce plan soit perpendiculaire à la direction de la pesanteur, c’est-à-dire, à la verticale.

Ainsi , le plan fixe doit être horizontal pour qu’un corps y reste en équilibi'e, lorsque ce corps n’est sollicité ni retenu par aucune autre force.

Tel est le motif pour lequel on fait, dans les arts, un si grand usage des plans fixes et horizontaux. Les parquets de nos appartements sont horizontaux , afin que les meubles qu’on y pose restent en équilibre ; afin que nous-mêmes , nous ne tendions pas à glisser et k tomber d’un côté plutôt que de l’autre. Pour un motif analogue, les tables, les étagères, etc. , présentent aussi des plans horizontaux.

La résultante du poids d’un corps, passant toujours par son centre de gravité, cette résultante doit satisfaire à toutes les conditions d’équilibre que nous avons données , pour qu’un corps abandonné à sa pesanteur et posé sur un plan horizontal , y reste en équilibre. Ainsi ;

1°. Quand un corps, posé sur un plan, ne le touche que par un point, il faut que la verticale, menée par ce point, passe par le centre de gravité du corps.

3 °. Quand le corps pesant touche en deux points le plan fixe, il faut que la verticale, menée par le centre de gravité de ce corps, passe par la ligne droite qui joint les deux points de contact du corps et du point fixe.

30. Quand le corps pesant touche en plus de deux points le plan fixe, il faut que la verticale menée par le centre de gravité de ce corps ne rencontre pas le plan fixe en un point

3 ui soit hors du polygone formé sans angles rentrants, par es lignes droites qui joignent deux à deux les points de contact du corps et du plan fixe.

Revenons au cas d’un corps soutenu par un seul point et en équilibre. Il est facile de voir que tout corps sphérique ABC, fig. 1 1 , et d’une matière homogène, jouit de cette propriété, qu’en le posant sur un plan horizontal, il s’y trouve nécessairement en équilibre. En effet, le centre de gravité de ce corps se confond avec son centre de figure. Tout rayon GPC

est perpendiculaire au plan horizontal MN qui touche la sphère en ce même point C. Donc la droite GPC , perpendiculaire au plan horizontal MN, est verticale. Donc, la force GP, équivalente à l’effet du poids de ce corps sur MN , remplit toutes les conditions ne'cessaires à l'équilibre.

Prenons un corps ABC, fig. 12, ayant la forme d’une molette, et formé en faisant tourner une ellipe autour de son grand axe. Si l’on pose ce corps sur un plan horizontal, de manière que le grand axe AB soit horizontal, il y aura équilibre. En effet, le centre de gravité G de ce corps, supposé homogène , se confond ici , comme dans la sphère, avec le centre de figure; et la verticale PGC, menée par le centre , passe par le point C où le corps touche le plan horizontal.

Il y aurait encore équilibre si je posais le corps ABC, de manière que le grand axe AGB , fig. i 3 , fût vertirâl ; puisque la résultante du poids de ce corps passant par le centre G, passerait également par le point A.

Mais il existe, entre ces deux états d’équilibre , une différence bien remarquable. Si je change un peu la position de ce corps, fig. 12, il va sur-le-champ se mettre en mouvement pour revenir à cette position d'équilibre; si je change un peu la position, fig. i 3 , le corps va s’en écarter de plus en plus, et tomber.

Le premier équilibre est ttahle, le deuxième est instable

( I ) Les résultats précédemment exposés, nous permettent de résoudre le problème suivant :

Deux corps ABC, abc, fig. 16, posés sur le plan MN, de manière que AG, ag, fussent verticales, n’y auraient qu’un équilibre instable: on demande quelles conditions doivent être satislaites pour que ABC, abc, dérangés de leur position d’équilibre , mais appuyés l’un sui' l’autre en im point D, soient en équilibre. Supposons, pour plus de simplicité, que les deux corps sont exactement égaux et également inclinés; soit P leur poids.

Chacun touchera l’autre suivant un plan vertical , et ils exerceront l’un sur l’autre une même pression X = *. Soient maintenant GE,ge, les verticales abaissées des centres de gravité G, g, de ces corps. Soient C, c, les points de contact de ces corps avec le plan MN. Le moment des poids P sera , pour le corps BCD, P X CE, et pour le corps bed, P X ce. Ces deux moments seront égaux. Mais X, x, représentant la pression mutuelle des deux coq» , en élevant des deux points d’appui C, c, les peqrendicuiaires CX' , ex' , sur ces corps , on aura X X CX' = x x ex' pour le moment résultant de cette pression.

Digiti/ra by Googk

l88 MLCIIAMQI!R.

On appelle tlabilité et inslabilité la force avec laquelle les corps tendent à se rapprocher ou à s’éloigner de leur position d'é^ilibre, aussitôt qu’ils l’ont perdue.

t^sayons de mesurer la force qui ramène ainsi dans son état d’équilibre, ou qui l’en écarte, le corps que nous considérons.

Commençons par la première position. Supposons qu’on incline un peu le grand axe ÂB, fig. t 4, de manière que ce ne soit plus le point C, mais le point D qui touche le plan horizontal. Alors ce n'est plus PGC qui représente la direction de la résultante du poids du corps , mais V'Gd. ,

Maintenant, la force P' = F agit pour faire tourner le corps AB , autour du point d’appui D , avec un bras de levier égal à Dd; donc, le moment avec lequel le poids du corps tend à faire descendre la partie GAG et remonter la partie BCG, est égal à P X Mais le poids P du corps restant le même, plus ce corps est écarté de la position primitive, plus rfD est grand, plus est grand le moment P X dD; plus, par conséquent , le corps tend avec énergie à revenir vers sa position primitive; en l’abandonnant à lui-même, il reviendra donc naturellement vers sa position d’équilibre. Cet équilibre e*t stable.

Elevons la verticale DÿO jusqu’à la droite CGP, qui est verticale dans la position d’équilibre; menons ensuite l’horizontale Gg. Nous aurons Dd = Gy; par conséquent, P X Gy égale le moment avec lequel le corps tend à reprendre sa position primitive. Eu supposant que l’angle GOy soit infiniment petit, on pourra regarder Gy comme égal à l’arc décrit entre

Il faut donc , dans le cas de l’équilibre, qu’on ait

P X CE = X X CX’ = P X ce = X X ex'.

S’il y avait trois corps au lieu de deux , on résoudrait le problème de la même manière; en mettant en équilibre les moments P X CE de chaque corps , avec la pression exercée sur ce corps par les trois autres.

Les .soldats résolvent ce problème d’une manière pratique, lorsqu’ils placent trois fusils en laisceau. Chacun de ces fusils , s’d était posé en équilibre sur l’angle c de la crosse, n’y aurait pas de stabilité ; mais, en croisant les bai'onnettas de manière à ce que le bout de chaque arme exerce une pression contre les deux autres armes, l’équibbre stable s’établit. Rien ne serait plus facile que de calculer les prassions exercées sur chaque fusil par les deux autres, pour qu’il y eût équilibre dans cette position.

OKZIÉME LEÇON. l8t)

OGC, OÿD, du point O comme centre, et avec OG pour rayon.

Le point O est ce que les géomètres appellent le métacentre du corps ACB. Par conséquent, lorsque l’équilibre est stable , le métacentre est toujours au-dessus du centre de gravité. Pour un degré constant d’inclinaison de la nouvelle verticale OD sur la primitive OG , l’arc Gg est proportionnel au rayon ; donc le moment P X Gg est aussi proportionnel au rayon GO , égal à la distance du centre de gravité et du métacentre. Ainsi, cette distance est propre à donner la mesure de la stabilité des corps.

Revenons au second cas. Supposons qu’api'ès avoir posé le corps ACB sur le bout A de son grand axe, on l’ait un peu dérangé de son état d’équilibre, comme on le voit dans la figure I 5 , où D est le nouveau point de contact du corps avec le plan horizontal. En menant la verticale Gd, elle tombe en dehors des points A et D ; et l’on a , pour mesure de la force avec laquelle le poids P tend à tirer le corps afin de le faire tomber , P X = P X Gg.

Ici , comme dans le cas précédent, si l’angle GOg est infiniment petit, on peut regarder Gg comme un arc ayant O pour centre. Alors, pour une inclinaison donnée de AB, par rapport à la verticale, le rayon OG est proportionnel à la distance Gg = Drf.

Le point O est encore ce que nous avons appelé le mètacentre. Mais ce métacentre , au lieu d’étre au-dessus , se trouve au-dessous du centre de gravité. Du reste, sa distance au centre de gravité, est aussi propre à servir de mesure à \'inttabili^é , que, dans le cas de la fig. i4, elle était propre à donner la mesure de la ttabilité du corps ACB, posé sur le plan MN.

Si le métacentre O et le centre de gravité G se confondaient , il faudrait que les verticales OD et Grf se confondissent. Mais , alors, la verticale qui passe par le centre de gravité G, passant aussi par le point d’appui D , la distance Dd serait nulle ; ainsi le moment P X Drf = o. Donc il n’y aurait plus d’effort pour faire mouvoir le corps , qui resterait eu équilibre.

En résumé : Quand le métacentre se confond avec le centre de gravité, l’équilibre subsiste après le dérangement du corps, comme auparavant : l’équilibre est ce qu’on appelle indifférent. Quand le métacentre est au-dessus du centre de gravité, le corps, s’il est dérangé de son état d’équilibre, tena à repren-

igo MÉCHANIQUE.

dre sa première position ; alors, l'équilibre est «table. Quand le métacentre est au-dessous du centre de gravité, le corps, s'il est une fois dérangé de son état d’équilibre , tend à s'eu écarter de plus en plus ; alors , l’équilibre est instable.

Enfin, dans tous ces cas, la mesure de la stabilité ou de l'instabilité est donnée par le produit du poids du corps par la distance du centre ne gravité au métacentre, lequel est ici le centre de courbure de l’arc AD tracé sur le corps, entre A et D.

Par là , les propriétés de k stabilité des corps oscillant sur des plans fixes , se rattachent à celles de la courbure des surfaces. ( Voyez Gbométbib, XV® leçon. ) De même qu’à partir d'un point fixe, la courbure d’un corps est symétrique par rapport à deux directions placées k angle droit, de même la stabilité d’un corps sur un plan horizontal est symétrique par rapport à deux directions placées à angle droit. Une de ces directions appartient à la plus grande, et l’autre à la moindre stabilité. Les stabilités intermédiaires sont égales quand elles sont prises par rapport à deux axes horizontaux, faisant un même angle avec la direction de plus grande stabilité; et par conséquent, aussi, faisant un même angle avec la direction de moindre stabilité, etc.

La théorie de la stabilité des corps qu’on dérange un peu de leur position d’équilibre, présente des applications d’une extrême importance pour la richesse et la yie des citoyens, pour l’honneur et la force de l’état. Quand les vaisseaux gardent sur la mer un équilibre stable, ils naviguent avec sûreté pour l’industrie publique ou pour la défense du pays. Au contraire , dès l’instant où cet équilibre devient instable, le vaisseau tend à se renverser, à chavirer, à engloutir avec lui tous les matelots et les soldats qui le montent. La théorie de la stabilité des vaisseaux a des relations intimes avec les principes que nous venons d’exposer ( i). Mais, pour être complète, elle a

(i) Depuis i8ao, j’expose chaque année ces principes dans mon cours, et je montre comment ou peut y ramener la recherche des conditions d’équilibre des corps flottants. Je place ici cette remarque , parce que l’estimable auteur des Annales de Mathématiques, auquel ce fait n’était pas connu, a présenté, comme une simplification qui m’avait échappé, un semblable rapprochement, que je n’ai pas inséré dans mon mémoire sur la stabilité des corps flottants, uipplicalions de Géométrie ; in-4“, imprimées à Paris, chez Bachelier.

0K2IEME LEÇON.

besoin d’autres principes fondés sur la force des ûuides. Voyez 111® vol., Forces motrices.

Après avoir considéré l’équilibre d’un corps sur un plan horizontal, il faut considérer l’état de ce corps sur wnplan incliné. On uomme ainsi tout plan qui n’est ni horizontal ni vertical.

On mesure son inclinaison par l’angle qu’il fait avec un plan horizontal, et la Géométrie, VII® leçon, ramène facilement la mesure de cet angle de deux plans a la mesure de l’angle formé par deux lignes droites. La i®® droite est sur le plan horizontal, la a® sur le plan incliné; et toutes deux sont menées, d’un même point, perpendiculairement h l’intersection des deux pians.

Représentons le plan horizontal par une horizontale MN , fig. 17 , et le plan incliné par la ligne droite AC, qui fait avec MN le même angle que le plan incliné avec le plan horizontal.

Fosons un corps quelconque X, sur GA. Si ce corps n’est retenu par aucune force étrangère, on pourra décomposer son poids GP en deux forces Gç , Gp , l’une parallèle , l’autre perpendiculaire au plan incliné. L’effet de celle-ci sera détruit si la perpendiculaire Gp ne tombe pas en dehors du polygone

3 u’on forme en joignant les points de contact par des lignes roites. Ainsi nous pourrons appliquer à la force Gp toutes les considérations que nous avons présentées sur l’équilibre stable , instable et indifférent, des corps appuyés sur des plans horizontaux.

Quant à la force GÇf comme elle agit parallèlement au plan CA, elle n’éprouve aucune résistance de la part de ce plan ; si donc elle n’est combattue par aucune force étrangère, elle fera glisser le corps le long du plan incliné.

L’espace que parcourra ce corps sur le plan , est à l’espace qu’il parcourrait dans le même temps, s’il tombait librement suivant GP , comme la force Gy qui le tire parallèlement à AC est à la force GP qui le tire verticalement.

Que le corps se meuve en vertu de la force Gy, ou bien soit retenu par une force Gy’, égale et tirant en sens contraire, il faut toujours, si l’on veut que l’équilibre ait lieu, que la perpendiculaire Gp tombe sur le point où le corps touche le plan incliné AC, s’il n’y a qu’un seul point de contact. S’il y a plusieurs points de contact , il faut que la perpendiculaire Gp tombe dans le polygone formé , sans angles rentrants , en

iga HÉCHANIQCE.

joignant deux à deux les points où le corps touche le plan indiné. Cette théorie trouve une application très-utile dans la stabilité des voitures en repos ou en mouvement.

Quand un corps G , fig. 1 8, est tenu en équilibre sur un plan incliné ÂC , par une seule force GQ parallèle à ce plan , il faut , en décomposant GP poids du corps, en Gp et Gÿ :

1°. Que la force Gp, supposée agir seule perpendiculairement à AC, y tiennent en équilibre le corps G, supposé sans pesanteur; a°. Que Gj' passant par lecentre de gravité G, on ait

Force Q force P ' 1 Gy | GP.

Si nous menons NO perpendiculaire au plan horizontal MN , les triangles ANO , et PGy seront semblables ; et l’on aura AO ", NO ; ■ GP I Gÿ = GQ; c’est-à-dire, le poids du corps est à la force GQ qui lui fait équilibre, comme la longueur AO du plan incliné est à sa hauteur NO.

Si la force GQ , fig. 1 9 , était horizontale , il faudrait que la résultante Gp de GQ et de GP passât par le point p de contact du corps et du plan; ce qui donnerait la proportion GP [ GQ = Pp ; MN I NO, c’est-à-dire, le poids du corps est à la puissance qui lui fait équilibre , comme la base du plan incliné est à sa hauteur. Ces théorèmes , d'une expression très-simple, sont d’un usage continuel dans la méchanique.

Nous terminerons cette leçon par un extrait de nos K oy âges dans la Grande-Bretagne , Force commerciale, voies publiques , en présentant ce que nous avons dit déplus essentiel sur les routes à ornières en fer et sur les plans inclinés , tels qu’on les emploie dans la Grande-Bretagne. Ces routes et ces plans inclinés peuvent être du plus grand avantage pour les établissements d’industrie, en France.

Le tracé des routes- oniières, en fer, se présente sous deux points de vue très-distincts: i" quand les transports s’opèrent tous suivant une seule direction ; 2“ quand ils s’opèrent également suivant les deux directions opposées.

Dans le premier cas, ce qu’on ti-ouve de plus simple, est de monter verticalement avec des machines , tous les fardeaux à transporter , jusqu’au sommet de la route inclinée , sommet d’où les chariots n’ont plus ensuite qu’à descendre.

Lorsqu’il s’agit seulement de descendre pour conduire des chargements jusqu’aux rivières, aux canaux, ou bien aux grandes routes, quelle que soit la distance, il est facile, par des routes-ornières bien ménagées, de rendre le transport avantageux. Voilà ce que nous pourrions faire avec un grand succès , en exploitant les bois nécessaires à la marine ainsi qu’aux constmetions civiles, dans les lieux élevés et trop éloignés de toute rivière pour qu’on puisse, au moyen de routes ordinaires, arriver sans trop de frais aux cours

ONZIÈMB LEÇOf». l y3

d’eau qui permettent le flottage. C’est un objet de la plus haute importance pour notre force navale , pour notre commerce maritime , et pour une foule d’auti'es branches de notre industiie.

Quelle est la pente la plus avantageuse qui convient aux routes-ornières? C’est celle qui permet aux chariots chargés , de prendre un mouvement uniforme, par le seul eifet de leur poids. En la suivant, un cheval qui conduit une fde de chariots, n’a besoin d’exercer que la force nécessaire pour vaincre l’inertie des masses qu’il transporte , et les petits arrêts que des inégalités légères pourraient présenter sur la route.

Le nombre des chariots chargés qu’un cheval doit traîner, est égal au plus grand nombre des chariots vides que ce cheval peut remonter sur la même route. Ainsi, plus l’inclinaison de la route est considérable , moins le cheval descend de chariots, à chaque voyage. On voit par là qu’il existe une certaine pente plus avantageuse que toutes les autres; c’est celle qui, sans aucune perte, emploie toute la force du cheval, pour aller vers le haut et vers le bas. Plus un chariot chargé est pesant, moins est grande l’inclinaison suivant laquelle il commence à descendre de lui-même, plus est grand aussi le nombre des chariots vides que le cheval peut remonter suivant cette inclinaison. Sous ce point de vue, il y a donc plus d’avantage à se servir de grands chariots. On doit préférer ceux qu’on emploie aux environs de Newcastle, lesqueb portent 2, 5 oo kilogrammes, et pèsent i, 5 oo kilogrammes, à ceux qu’on emploie aux environs de Glasgow, lesquels ne portent que 600 kilogrammes etpêsent 3 oo kilogrammes.

La caisse de ces chariots est un tronc de pyramide quadrangulaire évasée et découverte par le haut. La largeur et la longueur du fond respectivement , I”*'-, 6 et 2 mètres; la longueur de la base supérieure est de 2“*'- , 8 à 3 mètres. Enfin les côtés , inclinés à l’horizon d’un peu plus de 45 “ , ont I 6 de largeur. Le fond du chariot est garni d’un sabord de déchargement, placé vers l’extrémité qui regarde les navires en chargement. Le sabord est fermé par deux pattes de fer qui tournent à charnière et se rabattent sur la face inclinée antérieure du chariot ; là , elles emboitent l’œil du piton. Une même goupille traverse les deux yeux de ces pitons , lorsqu’on veut fermer le sabord. En retirant la clavette et dégageant les deux pattes de fer, le sabord s’ouvre par l’eflét de la charge qu’il supporte , et cette charge descend entre les quatre roues.

Il y a des crochets à l’avant et à l’arrière du chariot, pour y fixera volonté la corde de traction. Les roues, en fer coulé, ont 6 à y décimètres de diamètre; leur largeur horizontale est de i 5 à 16 centimètres; clics présentent un rebord qui rc.stc en dedans de la route en fer : enfin la largeur de la voie est de 1 4 à 1 5 décimètres.

devais maintenant décrire plusicuis particidarités d’une roule-ornière trèsremarquable, qui vient aboutir sur les bords du Wcar, près de Sunderland.

La raine de charbon d’où part cette route est éloignée d’environ i o kilomètres du point d’embarquement. Dans toute cette longueur, le terrain

1^4 MÉCHANIQOI!.

qu’on avait à parcourir u’ofTrait pas de très-fortes pentes; néanmoins, lorsqu’on a rencontré des monticules un peu trop accidentés, on a fait une coupée pour les traverser. La route aboutit sur la côte escaipée qui borde le Wear, par ime levée Lorizontale qui se rend au premier étage d’un vaste magasin bâti sur la crête de cette côte. Ce magasin, long d’environ 5o mètres, sur 25 à 3o de large , est élevé au moins de 4° mètres au-dessus du niveau moyen des eaux du fleuve; il est composé de ti’ois parties longitudinales, sé parées par deux rangs de piliers. Les trois planchei-s du premier étage sont garnis chacun d’une route en fer , allant d’un bout à l’autre du magasin. Des écoutilles équidistantes sont ouvertes entre les supports en fer de cette route. Les chariots, arrivant chargés de la mine, entrent donc au premier étage. Ils parviennent à des plateaux circulaires et tournants qui , respectivement , ont leur centre sur chacune des trois routes en fer. Les chariots font un quart de conversion sur ces plateaux circulaires ; puis on les conduit h la main sur les routes longitudinales de cet étage , jusqu’à l’aplomb d’une des écoutilles , pour foire tomber le charbon dans tel endrëit du rez-de-chaussée qu’on le désire. Chacune des trois parties lougitudiuales de ce rez-de-chaussée , contient une nouvelle route en 1èr, qui sort du magasin et descend jusqu’au Wear. Deux (les trois routes soilaut du magasin, se réunissent en une, qui plus bas se réunit à la troisième : puis elles se divisent en deux , et se rémiissent encore avant d’arriver à leur terme. Les chariots chargés et conduits jusqu’au commencement de la descente , passent d’abord sur un pont de cent mètres d’ouverture , jeté sur un profond ravin; ensuite iis travei'scnt un rocher, dans une étendue de près de quarante mètres.

Dans toute cettp partie, la route en fer est composée de plates-bandes simplement clouées sui' des lougiines en bois, ayant vingt mètres de longueur.

Le pont en charpente établi sur le ravin réunit la hardiesse et la légèreté. C’est un système b'ès-simple de mâteraux plantés verticalement, avec des traverses et des soutiens obliques pour les consolider. La plate-forme du pont est composée de pièces longitudinales recouvertes par des bordages de navires démolis.

Quand un chariot descend , l’autre monte ; ils se rencontreraient à moitié chemin, s’il n’y avait qu’une route; mais il y en a deux en cet euth'oit ; ainsi les deux chariots, pour se civriser, suivent luic route dificrente, puis chacun pi-cnd celle que l’autre vient de quitter.

L’intervalle entre les deux routes présente , de distance eu distance , de gros rouleaux dont l’axe, horizontal , est perpendiculaire à la direction de la route. Ils supportent la corde qui sert à retenir les chariots dans la descente , et h les tirer dans la montée.

Au bas de la route , les chariots arrivent sur utre plate-forme au-dc,sstrs de l’endroit oit se placent les navires qu’on veut charger de charbon. Au milieu de la voie de la route en fer , il y a sur cette plate-forme trois oitvertures : ce sorrt les boucltes d’autant d’entonnoirs en fer, inebnées d’à peu près 45“.

La partie inférierrre de l’entonnoir est mobile autour d’une charnière horizontale qui l’imit au fond de la partie sttpériettre. I,es rebords de la partie