PREMIÈRES LOIS DU MOUVEMENT

L’observation des corps en mouvement , sur la terre et dans notre système planétaire, nous a fait connaître plusieurs principes généraux qu’il importe de présenter ici, pour servir de base à nos explications subséquentes.

I. Un corps en repos, si rien ne le sollicite à se mouvoir , reste éternellement en repos. Il y reste, parce que, dans ce cas, il n’y a pas de raison pour qu’il se meuve dans un sens plutôt que dans un autre.

Ainsi , quand un corps passe de l’état de repos à l’état de mouvement , il faut qu’une cause quelconque l'ait sollicité à se s déplacer, l’ait contraint à se mouvoir d'un côté plutôt que d’un autre : cette cause, cet agent , est ce que nous appelons une force. La nriéchanique a pour objet de connaître comment les forces agissent sur des corps isolés ou dépendants l’un de l’autre dans leurs positions et dans leurs formes.

II. Lorsqu’un corps commence à se mouvoir dans une certaine direction et avec une certaine vitesse, si nul obstacle ne

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deuxième leçon. 33

trouble ce mouvement , il le continue dans la même direction, en conservant la même vitesse, c’est-à-dire, en parcourant des espaces égaux en temps égaux. Voilà ce qu’on appelle le mouvement uniforme.

Toutes les fois qu’un corps mis en mouvement , dans une certaine direction et avec une certaine vitesse , change cette vitesse ou cette direction, l’expérience a constamment fait connaître que cette altération provient de l’action favorable ou contraire de quelque nouvelle force.

De même qu’un corps inanimé, inerte , est incapable de se donner un mouvement qu’il n’a pas, on conçoit qu’il est incapable de hâter un mouvement qu’il a reçu. Ainsi , lorsqu’un corps inanimé est en mouvement , il continue toujours ce mouvement , c’est-à-dire qu’il parcourt dans la même direction , des espaces égaux durant le même temps. La vitesse est le rapport entre l'espace parcouru et le temps.

Par exemple , en prenant la minute pom unité de temps , et le mètre pour unité de longueur , on dira : le corps qui' parcourt un mètre en une minute , se meut avec la vitesse i ; le corps qui parcourt deux mètres en une minute , a pour vitesse 2 ; le corps qui parcourt trois mètres en une minute , a pour vitesse 3 ; etc.

L’expérience nous montre encore un autre fait bien remarquable ; c’est que deux forces appliquées au même corps , dans la même direction ( comme deux chevaux attelés à la fîle pour tirer une voilure), produisent le même effet qu’une force uni-

3 ue égale ’a la somme des deux premières, et agissant aussi ans la même direction. Cette force unique est ce qu’on appelle la réiultante, parce qu’elle résulte des deux autres forces, qu'on appelle les composante* ; ou . si vous l’aimez mieux, parce qu’elle produit le méinereW/to^ que ses deux composantes.

Au contraire, quand deux forces agissent dans la même direction, mais en sens opposés, le corps se meut comme s’il était animé d’une seu.le force résultante , égale à la différence des deux forces composantes , et dirigée dans le sens de la plus grande.

Ainsi vous voyez, dans les descentes rapides, les voituriers dételer leur cheval de devant et l’attacher derrière la voilure, pour qu’il se fosse traîner comme s’il tirait à reculons. Dans ce cas , la force motrice , au lieu d’être celle des deux chevaux , n’est plus que la force du limonier pour tirer en avant, moins celle de l’autre cheval pour tirer en arrière.

34 MÊCHAiriQUE.

De VéquiUbre. Si la force qui tire en a^^i^^e était égale à là force qui tire en avant , la différence serait zéro, et le corps ne se mouvrait ni dans le sens de l’une, ni dans le sens de l’autre : il y aurait ce qu’on appelle équilibre , c’est-à-dire, repo» forcé : étal bien différent du repos naturel qui subsiste quand aucune force n’agit sur le corps pour le solliciter au mouvement.

Si l’on oppose à la résultante de plusieurs forces , une nouvelle force égale et dirigée en sens contraire à cette résultante, il y a donc équilibre : principe remarquable et fécond , qui permet de ramener à des questions d’équilibre, les questions ayant pour objet la recherche des résultats qui produisent du mouvement.

Au lieu de considérer seulement 2 forces agissant dans la même direction, nous pourrions en considérer 3, 4. S, etc.; en un mot , un nombre quelconque. Alors nous verrions que, pour avoir la résultante , il faut : i<> prendre la somme de toutes celles qui tirent ou poussent en avant ; 2 ° la somme de toutes celles qui tirent ou qui poussent en arrière : le corps se mouvra du côté de la plus forte somme, de même que s’il était poussé ou tiré par une seule force égale à la différence de ces deux sommes ( i ).

Un troisième principe, qu’il importe de graver dans votre mémoire , est celui-ci : s’il faut une certaine force pour mouvoir un corps avec une certaine vitesse, c’est-à-dire, pour le transportera une distance donnée , dans un temps donné; pendant le même temps, la moitié de cette force ne portera le même corps qu’à la moitié de cette distance ; le tiers de cette

( I ) Considérons , par exemple ,' une voiture de roulier tirée par huit chevaux de lUe. Quand tous ces chevaux sont attelés en avant, c’est-à-dire, dans le même sens et dans la même direction, la voitiu-e est tirée avec la même force que s’il n’y avait qu’un seul cheval égal en force aux huit autres. Ensuite, si le roulier détèle trois chevaux, par exemple, pour les attacher derrière la voiture et tirer à reculons : 1 “ le mouvement total est le même que s’il n’y avait qu’un cheval en avant , égal eu force aux 5 qui s’y trouvent encore, et qu’un cheval en arrière , égal en force aux 3 qu’on vient d’y placer ; 2 “ ce mouvement sera pareillement égal à celui qu’on produit ■avec un cheval unique, ayant pour force la différence des 5 qui tirent en avant , aux 3 qui tirent en arrière. Il est évident qu’alors le mouvement aurait lieu du côté des 5 chevaux , s’ils étaient tous d’égale force.

DEDXIÈME LEÇON. ^5

force ne portera le même corps qu’au tiers de cette distance ; le quart de cette force ne portera Je même corps qu’au quart de celte distance , et toujours dans la même proportion.

Au contraire, la duree du temps étant supposée constante, le double de la force portera le même corps au double de la distance ; le triple de la force le portera au triple de la distance; le quadruple de la force le portera au quadruple de la distance, et ainsi de suite.

Quand la force reste constante , et que la masse du corps varie, voici ce qui arrive.

Pendant le même temps, la forme constante transporte une masse double à une distance sous-double , une masse tri-

§ le à une distance sous-tri p!e, une masse quadruple à une istance sous-quadmple , et ainsi de suite. De même encore, la force constante porte la moitié du corps à une distance double, le tiers ducorpsà unedistance triple, le quart du corps à une distance quadruple , et toujours dans le même rapport.

Ainsi , vous voyez que les grandes masses sont plus difficiles à mouvoir que les petites masses, et cette résistance est précisément proportionnelle à la masse : de sorte qu’avec la même force employée à mouvoir le même fardeau, la résistance est toujours proportionnelle à la masse.

11 y a donc dans la matière une opposition au mouvement et à la vitesse , opposition directement proportionnelle à la masse : cette opposition qu'il faut vaincre pour mettre les corps en mouvement, est ce qu’on appelle Vinertie.

Cette inertie se sent très-bien, lorsque l’on compare les efforts qu’il faut faire pour remuer de gros et de petits corps. Le moindre enfant jette assez loin de lui un petit caillou et des grains de sable ; tandis qu’à peine les hommes les plus robustes , réunissant leurs forces , peuvent , dans le même temps, faire avancer, d’un doigt , un énorme fardeau , un gros bloc de marbre , par exemple.

Remarquons ici comment , en déBnitive , une même force peut produire un même résultat par des moyens différents. Je puis couper le corps qu'il s’agit de transporter, en a, 3,

f >arties égales ; puis appliquer à chacune toute la force. Si je e coupe en a parties égales , chaque moitié sera transportée a fois plus vite : donc les a moitiés seront transportées dans le même temps total. Si je le coupe en 3 parties égales, chaque tiers sera transporté 3 fois plus vite ; donc les 3 tiers seront transportés dans le même temps total , etc.

T. II. — Méch.

26 M^CHAIflQUB.

Supposons, maintenant, que j’aie ao fardeaux d'égale masse, qu’il faille transporter chacun, It une distance donnée, par ao forces égales. Si je joins ces fardeaux 2 à 2 , et que je les fasse tirer par les forces jointes 2 à a, j’aurai 10 systèmes de transport au lieu de 20; mais les 1ÉO» corps seront toujours transportés k la même distance dans le meme temps. Il en serait de même si j’avais joint 3 h 3,4 k 4 i'-- f^fdeaux, pour les faire tirer aussi par les forces jointes 3 à 3 , ' 4 à 4 ^ etc.

Voilà pourquoi (sous le point de vue d’évaluation de méchanique ) il est indifférent de faire voiturer le même poids

total, par des voitures à i, à 2, à 3 , a 4 chevaux , ayant

des charges comme i, ou 2 , ou 3 , ou 4 Le poids total est

toujours voituré à la même distance dans le même temps. C’est aussi pour cela que les maisons de roulage font payer un prix fixe par kilogramme a transporter, soit que le fardeau pèse peu ou beaucoup de kilogrammes ; parce que la force totale , qu’il est nécessaire d’employer au transport , est proportionnelle au poids total du fardeau. Enfin, voilà pourquoi les maisons de roulage paient aux rouliers un même prix par kilogramme, soit que les rouliers emploient des voitures à 1, ou 2 , ou 3 , ou 4 ..*. chevaux ; parce que le poids total, porté sur chaque voiture, est proportionnel à la force totale des chevaux attelés à la voiture.

Pour avoir la dépense de forces qu’exige un corps transporté à une distance donnée , il faut l’estimer ; i». d’après le poids du corps ; 20. d’après la vitesse qu’on doit mettre à parcourir la distance. Le produit de cette estimation représente la quantité du mouvement.

Le poids s’estime en kilogrammes, et le temps en heures.

Si donc I kilogramme parcourt la distance qu’on a prise pour unité en une heure , la quantité de mouvement = i .

10, 100, 1000... kilogrammes, parcourant Vunité de distance en I heure , donneront une quantité de mouvement représentée par fois lo, 100, 1000....

1, 10, 100, 1000... kilogrammes, parcourant c/eua? fois l’unité de distance en 1 heure, donneront une quantité de mouvement représentée par deux fois i , 10 , 100 , 1000 — kilogrammes.

Je me suis appesanti sur ces exemples, parce qu’ils sont propres à présenter , sous un jour élémentaire, des notions qu’il importe de rendre aussi faciles que faire se peut.

by CxLî'-M

DEUXIÈME LEÇON. l'J

Avant (l’aller plus avant , récapitulons les lois du repos et du mouvement , (jue nous venons de faire connaître.

Tout corps en repos, y reste , à moins qu’une ou plusieurs forces ne le sollicitent à se mouvoir.

Tout corps en mouvement , y persiste , à moins (ju’une force ne l’arrête.

Tout corps mis en mouvement se meut en ligne droite ; il parcourt des espaces égaux en temps égaux, si quelque force étrangère ne vient pas troubler la constance et la régularité de ce mouvement , qu’on appelle uniforme.

La vitesse est le rapport (jui se trouve entre un espace uniformément parcouru et le temps mis ’a le parcourir.

Quand le temps mis à parcourir un espace est constant , la vitesse double , triple , quadruple comme l’espace ; elle devient de même sous-double , sous-triple , sous-quadruple ; en un mot, elle est directement proportionnelle k cet espace.

Quand l’espace parcouru est constant, plus le temps employé pour le par(X>urir est grand , plus la vitesse est petite j et cela , dans un rapport exactement inverse, c’est-à-dire que, si le temps double, triple, quadruple, alors la vitesse sousdouble , sous-triple , sous-quadruple , etc.

Quand la vitesse est constante , l’espace parcoum est directement proportionnel an temps, c’est-à-dire, croît et décroît dans la même proportion.

Dans les mouvements uniformes , la force est proportionnelle à la masse du corps , multiplié par la vitesse.

Si les corps se mouvaient sans éprouver de résistance, comme ils le feraient dans un vide parfait, une fois la première impulsion donnée, ils continueraient de se mouvoir avec la même vitesse et dans la même direction.

Mais , sur la terre , à chaque instant , une foule d’obstacles, de frottements , de résistances , s’opposent à la perpétuité du mouvement des corps.

Aussi, quand nous imprimons à un corps un mouvement quelconque , voyons-nous que ce mouvement diminue par degrés , et finit par s’anéantir. '

Par exemple , lorsque des hommes jouent à la boule, si ce n’était le frottement du terrain et la résistance de l’air, cette boule , une fois lancée sur un plan horizontal, roulerait sans jamais diminuer de vitesse; or , vous savez que, même sur les plans les plus unis que nous puissions produire , cette vitesse* diminue et s’anéantit promptement.

aS UÉCBAIUQIJE.

Par conséquent , dans nos arts , pour produire un mouvement continu , il faut à chaque instant ajouter de nouveaux, degrés de force aux corps que nous mettons en mouvement.

^ Ainsi, par exemple, quand nous avons des fardeaux à transporter sur des routes , il ne suffit pas de leur imprimer d’abord un certain mouvement , il faut remplacer à chaque » instant ce que font perdre les résistances. C’est ce qu'on obtient par le moyen des hommes ou des animaux qu’on emploie à traîner ces fardeaux.

Cette quantité de forces qu’il est nécessaire d’employer , à chaque instant , est évidemment égale à la force perdue pendant l’instant précédent; et la somme des forces employées au transport , au bout d'un temps considérable , doit être regardée comme égale à la somme des forces perdues par les résistances.

Ainsi , lorsqu’un homme marche avec une force constante , pendant un temps considérable , la somme des forces employées pendant ce temps représente la somme des forces perdues.

Vous voyez qu'ici la dépense des forces est d’autant plus grande que l’espace est plus grand. Lorsque ce mouvement est ^ en tout uniforme , les forces employées à le produire, pendant un temps donné ^ sont directement proportionnelles à ce temps.

Remarquez donc bien l’extrême dilTérence qui se trouve , d’une part , entre les mouvements tels qu’ils pourraient exister dans le vide et sans aucune espèce de frottement ; de l’autre part , entre les mouvements effectués par nous sur la terre.

Si l’on avait à faire voyager dans le ciel une planète , une comète , un fardeau quelconque , et que ce mouvement se payât, il suffirait de peser la planète, la comète ou le fardeau, pour en mnltiplier le poids par la vitesse. Ce produit resterait le même , à quelque distance que dût avoir lieu le transport ;

f iuisqu’il ne serait jamais besoin de dépenser de forces nouveles pour continuer ce transport. Mais , sur la terre, il faudrait ajouter à cette première somme une autre somme>qui représenterait les forces perdues â chaque instant ; cette dernière somme , croissant toujours , surpasserait bientôt tellement la première, qu’on pourrait négliger celle-ci. Alors , on dirait, comme les entrepreneurs de roulage : toutes choses égales d’ailleurs , le prix du transport est proportionnel aux espaces parcourus. Ces observations ne s’appliquent pas seulement aux

SEDXrÈHE LEÇON. 2 g

transports , mais à la plupart des mouvements imprimés aux machines par les diverses espèces de forces. C’est ce qu’on verra mieux dans la suite de ce cours , et particuliérement dans le III* volume : Emploi des forces motrices.

Nous venons de voir ce qui se passe lorsqu’une force unique imprime, une fois pour toutes, le mouvement à un corps donné. Supposons que cette force renouvelle son action à des intervalles de temps égaux ei^’eux.

Appelons e l’espace parcouru par le corps , r la vitesse imprimée à ce corps, et t le temps mis à parcourir l’espace e, avec la vitesse v.

Au commencement de la seconde unité de temps, la force, réitérant son action, double la vitesse dn corps qui, dans le second laps de temps t, parcourt un espace égal à 2 e.

Au commencement de la troisième unité de temps , la force, réitérant encore son action , triple la vitesse de ce corps qui, dans le troisième laps de temps t, parcourt un espace égal à 3 e, etc. On a donc pour les divers instants :

i«*. temps/; 2 ®. temps /; 3®. temps. <; 4"- temps /; tr®. temps t V vitesses acq. : v 7.v iu qv mr

espaces parc. : e ne 3e 4*

L’'espace total parcouru par le corps , durant m fois le temps

égale évidemment ;

e -j- 26 5e -j- 4®».-. "j” wie.

Nous pouvons employer la géométrie pour rendre sensibles, par une figure, ces résultats relatif à la science des ' forces.

Soit, fig. I , la ligne verticale OX, divisée en espaces égaux, dont chacun représente l’unité de temps t. Soit l’horizontale OY , divisée en espaces égaux , dont chacun représente l’espace e parcouru durant le premier temps t.

En menant par les points de division, des lignes horizontales et verticales , nous allons former un escalier dont les marches auront pour longueur les espaces e, ne, 3e, 4e..., parcourus <lans les temps successifs égaux à /.... La surface des différentes marches sera

OA X e, AB X 2 e, BC X 3e, CD X 4«--

Mais OA = AB = BC = CD.... Faisons cette largeur de toutes les marches, égale à Vitnité. Alors la surface des marches sera simplement :

. e, ne, 3e , 4e ...

3ü H^CHANIQUE.

Et la turface totale de l’escalier représentera simplement l’espace total parcouru par le corps.

Supposons que la force impulsive soit réduite à moitié , mais qu’elle double le nombre de ses impulsions dans un temps donné.

En conservant toujours la même unité d’étendue , les marches du nouvel escalier , fig. 2 , qui représentera ce nouveau mouvement, n’auront que moi^é de largeur, et seront deux fois aussi nombreuses. De même, les espaces parcourus n’auront, à chaque demi-temps, qu’une moitié de l’accroissement primitif ; mais il y aura deux fois autant d’accroissements.

On pourrait de même supposer la force impulsive réduite au tiers, au quart, Cg. 3, au cinquième... de sa grandeur primitive, mais renouvelant ses impulsions trois, quatre, cinq.... fois, tandis que la force primitive ne les renouvelait qu’une ' fois. Alors les mouvements sont représentés par des marches , dont la largeur est réduite au tiers, au quart, au cinquième.... de la largeur primitive, et dont l’accroissement de longueur n’est que le tiers, le quart, le cinquième de l’accroissement primitif.

Si l’on mène une ligne droite OZ, du sommet à l’extrémité inférieure de l’escalier, elle passera par tous les points I, II, III, IV..., qui terminent le bas des marches de l’escalier, et l’on aura pour espaces parcourus au bout des temps :

AI, BII, cm, DIV ....

Le rapport des côtés de OAI ne change pas quand on prend à la fois la moitié du côté OA=t et du côté AI=:e , le tiers de OA et le tiers de AI , le quart de OA et le quart de AI , pour former les escaliers , fig. 2 et fig. 3 , qui représentent les autres mouvements que nous venons d’expliquer.

Ainsi, la direction de la ligne 01. II. III. IV... ne change pas , quand on suppose que la force diminue de grandeur dans le même rapport quelle multiplie ses impulsions durant un temps donné.

Si les impulsions devenaient tellement 'multipliées , et la force tellement petite à chaque impulsion , qu'il fallût diviser OA=ï et AI=e , en parties égales dont chacune échappât à nos sens ,' alors le proûl de l’escalier 1 I 2 II 3 III 4 IV...., üg. I , deviendrait à nos yeux une simple droite OZ , fig. 4-

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DECXIÈHE LBÇON. 3(

La surface de l’escalier O i I a II... ZX , représentant l’e.space ' total parcouru par le corps , durant le temps représenté par OX, cette surface deviendrait simplement celle du triangle

oxz, fig. 4.

La vitesse étant proportionnelle à l’espace divisé par le temps (qu’on prend ici pour unité) , les longueurs des inarclies Al , BII, cm,... représentent les vitesses acquises par le corps , au bout d'un temps égal à i t, 2 t, 3 t.,..

Donc cette vitesse est la même au bout du même temps , en " supposant que la force réduite à 5, ÿ, g..,, agisse 2, i, 4 1 taudis que

la force primitive n’agissait qu’une fois.

Quand le nombre des impulsions est si grand, durant un temps donné, que nos sens ne peuvent plus en distinguer la succession par le changement soudain des vitesses . la ligne droite OZ , avons-nous dit, fig. 4 et 5 , représente tes vitesses acquises lorsque OX représente les temps écoulés , cl la surface de l’escalier, qui devient alors celle du triangle OXZ , représente les espaces parcourus. Par conséquent , au bout d'un temjis représenté par OX, la vitesse acquise et représentée par une longueur XZ , et l’espace parcouru est représenté par une surface OXZ.

Appelons f et T les temps représentés par Ox et OX ; fig. 5 ; V, Vies vitesses représentées par xz et XZ; enfin e et E les espaces représentés par la surface des triangles Oxz , OXZ.

On aura Oar : OX : : xz : XZ

Ou f : T : : » : V.

Donc, dans le mouvement que nous considérons, les vitesses V , V, acquises au bout des temps t, T, sont proportionnelles à ces temps.

On a de plus , Géométrie , V'. leçon :

Surface Oxz : surface OXZ : : Oar’ : OX*

Ou e : E : : V T*.

Donc les espaces sont proportionnels aux qvarrés des temps mis à les parcourir.

Ain.si , les tcmp.s c tant \t, , 3<, 4^1

les espaces parcourus sont te, ,^e, 9e, 16e, i 5 e , 36e...'.

On a, dans les triangles semblables ,, Ojtz , OXZ, surface Oxz : surface OXZ : : xz' : XZ*.

Doue les espaces parcourus , en des temps donnés , sontpro- .