TROISIÈME LEÇON

Force* parallèle*.

Jdsqu’ici nous n’avons considéré que des forces dirigées suivant la même ligne droite. Nous avons vu que leurs actions s’ajoutent ou se retranchent , suivant que les forces agissent dans le même sens ou en sens contraire.

Des effets pareils sont produits lorsquè les forces agissent , non plus suivant la même ligne droite, mais suivant des lignes parallèles.

Ainsi, par exemple, deux chevaux tirant à la hle et sur la même ligne droite, produisent le même effet que deux chevaux attelés de front et tirant parallèlement : trois chevaux attelés à la 61 e et tirant sur la même ligne droite, produisent le même effet que trois chevaux attelés de front et tirant parallèlement, etc.

Donc : 1°. plusieurs forces parallèles et dirigées dans le même sens, produisent le même effet qu’une force unique égale à leur somme et tirant dans la même direction : cette force est leur résultante.

S’il y a des forces parallèles qui tirent en avant et des forces parallèles qui tirent en arrière , on réduira les premières à une seule force égale à leur somme , lessecondes à une seule pareillement égale à leur somme ; la résultante déhnitive sera égale à la différence des deux sommes et dirigée dans le sens de la plus forte.

Je vous donne ces résultats comme démontrés par l’expérience ; j’aime mieux suivre cette marche que vous présenter des démonstrations peu faites pour satisfaire des esprits justes. Ainsi, par exemple, je pourrais dire,' avec quelques auteurs élémentaires , qu’il faut regarder deux forces dont les directions sont parallèles, comme concourant en un même point, à Vinfini, et comme ayant, à /’m/îm, une seule et même direction. Mais, en parlant ainsi , je vous dirais cer-

4o MBCHAIflQDB.

tainemeot des choses peu rigoureuses et fort peu seosibles à votre intelligence.

Il est facile de voir que la résultante des forces parallèles, a la même direction que les composantes, et qu’elle est égale à la somme de celles qui font avancer , moins la somme de celles qui font reculer; mais il n’est pas aussi facile devoir, • dans tous les cas , quelle doit être la position précise de la résultante. L’on a besoin , pour trouver plus aisément cetU position , de recourir à la géométrie.

La géométrie sert à représenter , par des lignes proportionnelles, non-seulement des espaces parcourus on à parcourir, non-seulement des espaces occupés par des machines et par des produits d’industrie , mais d’autres éléments de mécbani-

? ue qui semblent n’avoir rien de commun avec la science de étendue. Il importe, avant tout, de bien fixer vos idées à cet égard.

A coup sûr, il n’y a rien de commun entre la durée d’un temps et la longueur d'une ligne. Mais divisons le temps en' parties égales, par exemple, eu heures. Divisons ces heures en parties égales, en minutes, en secondes, etc. Divisons une ligne, droite ou courbe, en parties égales, numérotées par i ,

U, 3...., comme les heures qui se suivent à partir d’un instant déterminé. Divisons chaque portion de ligne en autant de parties égales qu’il y a de minutes dans une heure ces nouvelles divisions représenteront les minutes de chaque heure. Subdivisons ces nouvelles portions de ligne, en autant de parties qu’il y a de secondes dans la minute; les subdivisions formées delà sorte représenteront les secondes ; et ainsi de suite.

Si je numérote avec des cbiiTres toutes ces divisions, je pourrai représenter le temps : i° par des nombres; par des longueurs de lignes; et, si j’ajoute, ou retranche, ou multiplie, ou divise les portions de ligne, comme j’aurais fait des portions mêmes du temps qu’elles représentent, il est évident que la ligne finale, résultat de toutes ces opérations, indiquera le temps final qu’il fallait calculer. Voila comment la géométrie sert à représenter le temps par des lignes.

Les cadrans des montres et des norloges portent un cercle gradué, divisé en douze parties égales, qui désignent les heures, et subdivisé en soixante parties égales qui désignent les minutes. Mais l'unité de mesure n’étant pas la même pour les minutes et pour les heures , il faut deux aiguilles pour suivre les deux mouvements, et l’aiguille qui marque les minutes va

THOISIÈUE LEÇON. 4 I

douze fois plus vite que l’aiguille qui marque les heures.

Sur les cadrans solaires, la durée du temps est aussi représentée par des éléments géométriques : ce sont des, angles. On mène , par le centre du cadran , une ligne droite parallèle à l’axe de la terre. On suppose qu’un plan passe à la fois par » cette droite et par le centre du soleil. Il tourne uniformément , et les angles qui mesurent son mouvement , mesurent les espaces parcourus.

Les vitesses , comme les temps , sont susceptibles d’être représentées par des lignes. Ainsi, dans la figure i , seconde leçon, les hauteurs ÔA, AB, BC,.... représentent les temps écoulés , tandis qu’un corps acquiert des vitesses représentées par des parallèles AI , BII , GUI... . . '

Alors , ainsi que nous l’avons vu , les espaees parcourus sont représentés par des surfaces.

Quand on veut que les espaces parcourus soient représentés par des lignes proportionnelles à- ces espaces mêmes , et que les temps soient aussi représentés par des lignes, les vitesses deviennent les rapports de ces lignes, et ne sont plus représentées que par des nombres.

Les forces ne sont ni des temps, ni des vitesses, ni des espaces, mais des agents qui emploient le temps pour faire parcourir aux corps , certains espaces , en certain temps , avec certaines vitesses.

Les forces, eomme le temps , comme les vitesses , comme les espaces, peuvent être représentées par des lignes qui leur soient proportionnelles, et qui aient la direction même de ces forces.

Ces notions sont simples et faciles ; elles vous font tout à coup découvrir une immense utilité de la géométrie. La géométrie sert ici pour faciliter l’intelligence de la méchanique, et pour représenter , pour peindre à nos yeux des choses trèsréelles, mais qui n’ont pas d’apparence que nos sens puissent saisir. Ainsi , nous ne pouvons ni voir, ni toucher, ni entendre le temps; mais nous pouvons voir des lignes, des points, des chiffres marqués sur un cadran. C’est alors la géométrie qui rend visible , en quelque sorte , et qui nous permet de mesurer le temps.

De même, nous ne pouvons pas voir, entendre, toucher le poids de l’atmosphère ; mais nous pouvons voir les divisions d’une ligne droite appliquée le long d’un baromètre, et lire ainsi les variations du poids de l’atmosphère : c’est la géométrie qui les rend perceptibles q>ar nos sens.

T. I. — Méch. 4-

4 J méchanique.

De même encore nous ne pouvons pas juger, par notre vue, de la pression que la vapeur exerce dans une chaudière de machine à vapeur; mais, au mo^en d’un manomètre , qui n’est autre chose qu’un baromètre a vapeur, nous pouvons représenter CCS pressions par une ligne divisée en parties égales. Voyez III». vol. Emploi des forces.

Ne soyez donc pas étonnés de nous voir représenter des forces par des lignes droites. La direction de ces lignes, sera la direction môme que suivrait un corps soumis à l'action de la force représentée. La longueur de la ligne représentera la grandeur de la force. Revenons maintenant 'a l’examen des forces parallèles.

Quand deux forces AX, BY, Cg. i , tirent une ligne droite AB , qui leur est perpendiculaire, il est évident qu’une verge CR, attachée au milieu de AB et parallèle aux forces, étant

f dacée symétriquement par rapport à elles, doit représenter a direction de leur résultante. En effet, la force de droite n’étant pas plus grande que celle de gauche, il n’y a pas de raison pour que la résultante soit plus rapprochée de la droite que de la gauche , ou de la gauche que de la droite.

S'il y avait trois forces tirant parallèlement en AX, BV , CZ, ûg. a, et placées à égale distance, la résultante agirait suivant BV, et ainsi de suite. Ces deux cas ont leur application dans un grand nombre d’attelages.

Lorsqu’un seul cheval tire une voiture, au moyen de deux traits ou de deux limous symétriquement placés à droite et à gauehe du milieu de la voiture , le cheval tire également le trait ou le limon de droite et celui de gauche. Ainsi la voituic doit avancer dans une direction parallèle à ces limons ou à ces traits, comme si le cheval ne tirait qu’avec une corde ou un timon fixé dans le milieu de la voiture.

Quand il y a deux chevaux de front, ils .sont placés à égale distance du milieu^, flg. 3. Alors les quatre traits sont t,i' , t" , plaeés .symétriquement à droite et h gauehe du milieu : i ". les deux traits t et t' , ont pour résultante une force égale h t-}- / appliquée, en Es, au milieu du palonnier ai ; 2 ®. t" et i"' ont pour résultante une force égale .à t" -f- , appliquée ,

en Fy, au milieu du palonnier cd-, 3®. Ixjs deux forces eE,/F, ont ellesmêmes pour résultante,^, égale à leur somme , c’est-à-dire et placée à égale distance de eE et de JF.

Par conséquent , la ligue , qui passe par le milieu de la voiture , repré?

sente en direction la résultante définitive.

Supposons qu’il y ait deux forces parallèles, oX, bY , inéga-

THOISIÈMB LEÇON. 43

les, et tirant la verge a&, fig. 4; demandons-noiui la position de la résultante.

Pour représenter ce cas, supposons quearaC et yhd, fig. 5 , soient deux prismes ou deux cylindres de même matière et de même grosseur, et d’une longueur telle que, mis bout à bout, ils occupent deux fois la lougueur ab ; c’est ce que nous pouvons toujours faire.

Cela posé , il est évident que le poids de Caor = X et de Cby = Y ne changera pas, si je suspends Cax et Cby horizontalement par leur milieu. Alors, il y aura entre a et b : i°. la moitié de la longueur du petit poids; 2 °. la moitié de la longueur du grand poids. Or, la somme de ces demi-longueurs égale la distance ab. Donc les deux poids seront bout à bout et placés comme s’ils ne formaient qu’un poids unique. Supposons qu’ils soient tout à coup collés l’un à l’autre , cela ne changera rieu à l’équilibre; mais il est évident qu’un poids unique x y , également gros d’uu bout à l’autre , serait en équilibre, en le suspendant avec une seule force par son milieu. Soit 0 ce milieu , la résultante R des deux forces X et Y passera par le point c.

Supposons qu’ou renverse bout pour bout acb ; le point c se trouvant posé en C , on aura évidemment AC = ae = 6Y.

aC = Ac = aX ,

Ainsi le point C tombera sur c, au milieu deaA.

'Donc, il guffit de ee placer en c , à des distances de oX et de A Y , qui soient proportionnelles aux forces AY et a X, pour avoir le point d’application de la résultante.

Je vais vous olfrir un exemple de cette vérité, dans l’attelage des chevaux.

Souvent on emploie le système suivant. On a trois chevaux de fi-ont, X, Y, Z, ftg. 6; Y et Z sont attelés au palonnier ah ; leur résultante cR est égale à la somme de leurs forces et placée au milieu de ah. Cette résultante agit directement avec la force simple du troisième cheval. Alors on place le point E deux fois aussi près de cR que de e?X; c’est le point d’application des forces cR ct</X, et, par conséquent, de la résultante définitive Q. Aussi , EQ se trouve-t-il dirigé suivant l’axe longitudinal de la voitiu’e. ^

Supposons que, dans la figure 4» la force R=X-|-Y , surpasse de moins en moins la force Y , parce que X diminue de plus en plus. Dans l’égalité Rx^C=Xx«A, si nous suppo-

sons que R et AC ne changent pas , on voit clairement que , plus X diminuera , plus ab augmentera. Si la force X est successivement réduite à la moitié, au tiers, au quart, etc., de sa longueur primitive, il faudra que la distance aC double ^ triple , quadruple , etc. , pour conserver le même produit Xxai. Quelque grand que soit ah , on trouvera toujours une petite valeur de X qui pourra satisfaire à cette égalité ; et R=X-f-Y , surpassera toujours Y, de la petite quantité X.

De la résulte une conséquence Lien remarquable : c'est que deux forces Y et R, quand elles sont égales, parallèles et dirigées en sens contraires , ne peuvent pas être mises en équilibre avec une troisième force X. Quelque petite que soit X et quelque loin qu’on la place, elle ne sera jamais assez petite et jamais placée assez loin.

Puisqu’une force unique ne peut pas faire équilibre à deux forces égales, opposées et parallèles, il faut que ces deux forces ne puissent pas avoir pour résultante une force unique, capable de faire avancer le corps en ligne droite. Les deux forces égales , opposées et parallèles , doivent donc produire , sur le corps auquel on les applique , un autre effet que de le transporter en ligne droite. Les lois du nouveau mouvement que le corps prend alors , seront expliquées dans la quatrième leçon, après que nous aurons expliqué tout ce qui concerne les mouvements opérés en ligne droite.

Revenons à l’action des forces parallèles qui peuvent avoir une résultante, et faisons connaître à leur sujet un principe fort remarquaTile.

Quand deux forces X , Y , agissent perpendiculairement sur une verge AB, lîg. 7, si l’on oblique également ces deux forces, c’est-à-dire, qu’on les conserve parallèles, en Xet R, la résultante R, toujours égale à leur somme, reste appliquée au même point G. Ainsi, la pogition du point d’application , et la grandeur de la régultante , ne dépendent nulletnent de r obliquité des forces parallèles , relativement à la droite qui joint leurs points d’application.

Cette propriété du mouvement, bien simple en apparence, a des résultats d’une extrême importance , dans toute la méchanique , et dans l’industrie ; indiquons les principales.

Supposons qu’on ait trois forces parallèles X, Y, Z, appliquées à trois points qui ne sont pas en ligne droite ; AX, BY, CZ, fîg. 8, représentant la drrection de ces forces. D’abord ,

TROISIÈKB tBCON. 4^

X et Y aaront une résultante R appliquée en D, égale à X -j- Y , et telle qu’on ait la proportion i