I. 1 a. Je vois ensuite que le point B est dans le carreau

II. III. 6. 7 ; je mesure la distance de B aux lignes II. Ilet 6. 6 ; je rapporte ces distances sur la nouvelle âgure ; et j’ai le point b. J’obtiendrai de même tous les antres

sommets c, d, etje tracerai le polygoneafic<^e..,.a

égal à ABCD£... A.

Il y a , comme on voit , dans la méthode qu’on vient d’exposer, trois sources d’inexactitude, provenant de tout défaut: i°. dans le parallélisme ou l’égalité d’écartement des lignes qui forment les carreaux; a®, dans le tracé même de chaque ligne, quant à sâ rectitude, à son épaisseur, etc. ; 3°. dans la mesure de la position de chaque point.

Voyez, je le répète, combien l’exécution des plus simples méthodes oflre de nombreuses chances d’erreurs; combien il faut, dans les artistes, d’habileté pratique, de soin, de patience et de* bon jugement, pour éviter ces erreurs ou les découvrir, et parvenir au degré d’exactitude qui caractérise les progrès d’une industrie très-avancée. Ne vous étonnez plus , maintenant , qu’il faille des siècles pour arriver à l’exécution parfaite d’une machine dont les principes sont bien connus et les i'ormes bien déterminées; mais dont le^ succès dépend de l’exécution très-exacte de ses diverses partiesi C’est pour cela qu’il est si difficile aux nations les moins avancées dans les arts où il faut de la précision, d’atteindre les nations qui le sont T. 1 — Giom. i4

ilnvautuge; car celles-ci font servir leur avance même à diminuer sans cesse les causes d’inexactitude de leurs procédés. Une théorie bien entendue, et judicieusement appliquée à la pratique , peut seule mettre au pair les nations qui ne sont pas en première ligne, et leur faire surpasser les rivaux qui l’emportent sur elles par la perfection des produits d’industrie. Tel est l’objet de notre enseignement.

Figures proportionnelles. Il ne suffit pas à l’industrie de savoir exécuter une ligure symétrique ou égale à une autre ; elle a souvent besoin de produire des figures exactement pareilles à d’autres, mais plus grandes ou plus petites. La géométrie en fournit le moyen, par les propriétés des lignes proportionnelles et des triangles semblables.

Supposons qu’on divise une ligne droite AF,

’ fig. 3, en parties égales AB, BC, CD, DE, .... Supposons de plus qu’on mène, par chaque point de division , suivant une direction quelconque , les parallèles An, Bè, Ce, Del, Ee,....

Ces parallèles seroot toutes également espacées. En effet, si nous menons Ai, B 2 , C3 , D4,r-- perpendiculaires gux parallèles, nous allons former une suite de triangles égaux ABi, BCa, CD3,....^ puisque ces triangles ont leurs angles correspondants égaux , et de plus un côté égal, savoir : AB égal à BC égal h CD égal. à

CINQUIKMK LEÇON. 1 0'^T

DE... Doue les perpendicuiaires Ai, Ba , G3 , D 4 , qui sont, pour ces triangles, des côtés correspondants, et qui mesurent les intervalles entre les parallèles consécutives, sont égales entr'elles.

Menons à présent la ligne mnopqr, dans uné direction différente de AF ; je dis que les paiiics rnn, no, op,pq, qr seront égales entr’elles.

En effet, si nous menons les perpendiculaires m\ , ni, o3.... aux lignes parallèles, ces lignes étant également espacées, on a : m\ égale ni égale o3.... Déplus, les triangles mn\,noi, op'h... ont les côtés parallèles et par conséquent les angles égaux; donc ils sont égaux. Donc , les côtés correspondants mn , no, op... sont égaux.

Donc , enfin , dès qu’une oblique AF ,fig. 3, est divisée en parties éffales par une suite de parallèles Art, Bô, Ce, Dd..4. , ces parallèles divisent de même en parties*égales toute autre, droite mr qui les coupe.

On fait usage de cette propriété, pour diviser une droite donnée en autant de parties égales qu’on désire. •>

Supposons qn’il s’agisse, par exemple, dedi^ viser en cinq parties égales la ligne AF, fig. 4 . Du point A, menons nne autre droite AX , dans une direction quelconque; puis, avec une ou-< verture de compas, quelconque aussi, marquons les divisions i , a, 3, 4> 5, égales entr’elles. Menofi.<t, par le point 5 et le point F, la ligne F5; puis, par

]o8 , GÉOUÊTRIE.

les poiûts I, 2 , 3, 4, les lignes Bi ,.Ca, D3, E4, parallèles è F5. La.ligoe AF sera divisée en cin(| parties égales, puisque les cinq parties de cette droite seront comprises entre des parallèles éga- ^ lejnent éloignées les unes des autres, è yoilà le moyen qu’on emploie, le plus ordinairement» pour diviser les échelles qui servent à dessiner les plans d’architecture civile, militaire ou navale.

L’importance de la division ,des échelles est très-grande; d.e,. cette division dépend avant tout 1 inexactitude ou 1 exactitude des 'tracés auxquels les échelles doivent servir. Si quelques parties d’une échelle» d’ailleurs exacte , étaient fausses , tQutes les portions des tracés où ces parties seraient portées comme mesure, se tnmveraient également fausses, et la même erreur pourrait se propager beaucoup de fois ; elle pourrait devenir, à son tour , l’élément de nouvelles et plus grave» erreurs. ,

Pour arriver à former une. bonne division . d’échelle, il faut que les divisions Ai; i.a, s.S... ne soient pas pli^ petitesque AB, CD, DE.. . Il faut que l’on pose bien exactement le»pointes du compas sur la ligne AX, tracée elle-même dans une direction bien vérifiée. U faut que la marque du compas n’occufieqtte le moindre espace possible, afin que son étendue ne permiette cpi’une.tré»^' ’■ faible erreur ; enfin , quand ou tracerades parai-

Digiti^ed by Googic

CIMQti'IÈME LEÇON. IO9

lèles , il faudra que le luiliq^i de la ligne au crayon ou ^ l’encre passe bien par le point de division correspondant, et que le parallélisme soit trèsexact. La réunion de toutes ces conditions peut seule assurer le succès de l’opération.

Au moyen du compas, on vérifiera la division de AF , fig. 4 J pour voir si les parties AB , BC, CD... sont en effet rigoureusement égales.

Petites divisions des échelles importantes. Souvent on doit diviser l'unité de l’échelle AM , lig. 5 , en beaucoup trop de parties pour qu’on puisse leS marquer sur^a petite ligne droite AM, d’uue manière bien exacte et bien distincte. Dans ce cas , on mène des parallèles également distantes, Mm , N«, Oo,etc. On mène aussi les deux perpendiculaires MF, A/i l’oblique AF. Alors les longueurs B/;, Ce, J)d, Ec.... sont entr’elles comme 1 , 2 , 3, 4.... Elles représentent les divisions de MA en autant de parties égaies qu’il y a d’espaces égaux entre les parallèles Mm, Art, Oo, etc. Par exemple, si MA représente i mètre, et qu’il y ait dix parallèles à MA, toutes également espacées , les parties Bi, Ce, Drf, Ee, etc. , serpnt i-especti\ement, i, 2 , 3,4--” dixièmes de mètre. Avec des échelles ainsi construites, au lieu de porter toujours les pointes de compas sur la même ligne MA, ce qui l’aurait bientôt trouée , on les porte , suivant la variété des nombres, sur Nrt, Oo, Vp... Par là, les échelles se conservent beaucoup plus long-temps : ce qui est précieux dans le dessin.

Vérification du tracé des modèles dune machine ou d’un produit dindustrie. Lor.sque vous aurez à vérifier le tracé d’une machine ou d’un produit, exécuté d'après une échelle , la pre-

Digilized by Googk

I lO

CéOMÉTniE.

niière chose que vou^ devrez faire, sera de seriner l’échelle même employée pour le construire. Si elle est fausse, le dessin sera trèsprobablement incorrect ; si elle est exacte, le dessin pourra présenter d’autres sources d’erreur, et vous aurez à les chercher.

Revenons à la division des lignes droile.s par des parallèles. Supposons que AF, lig. 3, soit coupée par des parallèles Am, B«, Fr, inégalement espacées, alors les parties AB, BF, comprises entre c^ parallèles, lie seront plus égales entr’elîes. Il en sera de même des parties m«, nr, de toute autre droite mr coupée par ces parallèles.

Mais si BF est plus grand que AB, nr sera pareillement plus grand que mn ; de plus , nr contiendra la longueur de mn, autant de fois queBF. contient la longueur de AB.

Si , par ’exemple , BF comprend quatre fois AB ; en divisant BF en quatre parties égales, BC, CD, DE, EF, et menant les parallèles Co, JD^ , Ey, on va couper nr en autant de parties no, op, pq, qr, égales à nm , qu’il y a de parties BC, CD, DE, EF, égales AB. DoncBF'contient AB autant de fois que nr confient mn.

On indique des manières suivantes cette égalité defoisque BF contient AB, et que nr contient mn.

BF divisé par AB égale nr divisé par mn

BF nr

■ AB mn '

ou , BF est h AB comme nr est k ’ mrp ou, BF : AI3 * : : nr : mnt

CINQUIÈME LEÇON. i|i

Voilà ccqu’ou appelle une proportion géométrique-, elle contient toujours deux rapports , BF nr ..

— et— . Ainsi le rapport géométrique

de deux quantités, c’est la première quantité divisée par la seconde; le rapport inverse , c’est la seconde divisée par. la première.

Une proportion BF : AB : : nr : mn, compte quatre termes; le premier et le dernier sont appelés les extrêmes ; les deux du milieu sont appelés les moyens.

Propriété fondamentale des proportions :

Le produit des deux extrêmes égalé le produit des deux moyens.

Pour le démontrer, observons que , dans là proportion BF : AB I X nr : mn, et-£^ étant égaux, si je multiplie ces deux rapports à la fois par AB et par mn les produits seront égaux. Or BF divisé par AB et multiplié par AB, puis par nm. c’est tout simplement BF multiplié par mn ; c est le produit des extrêmes. De même nr divisé par mn, et multiplié par AB, puis par mn, c’est tout simplement nr multiplié par AB ; c’est le produit des moyens. Donc le produit des extrêmes égale le produit des moyens.

L’usage des proportions géométriques est infini dans la géométrie et dans l’arithmétique , ainsi que dans leurs applications à d’autres sciences , au commerce , aux opérations de l’iudustrie, etc.

lis

./<^Voici comment rarithniétique exprime par des nombres les proportions géométriques ;

Supposons la figure 3 faite au moyen d’une échelle ; nous pourrions représenter cbaque terme de la proportion BF : AB : : nr : mn , par le nombre de fois que ces'portions de ligne droite contiennent Xunité de l’éêhelle.

Si par exemple , BF = 3o, AB = 5 , nr= 24 > mn = 4 > l’on aura les deux proportions identiques, BF ; AB i nr mn. ^

Ainsi^ l’on peut représenter les rappca'ts et les proportions des lignes par les rapports et les proportions des nombres, et réciproquement.

Si vous divisez 3o par 5, vous avez un quotient qui est la valeur du premier rapport; c’est 6. Si vous diviez 24 par 4 » vous avez un quotient qui est la valeur du deuxième rapport, c’est 6. Les deux rapports étant égaux, il y a proportion. Si vous divisez 5 par 3o, vous avez pour quotient un sixième. Si vous divisez 4 par 24, vous avez pour quotient un •virième; ainsi, quand deux rapports sont égaux, les rapports inverses le sont également.

La proportion 3o : 5 : : 24 : 4 donne donc à

la lois -— = -7 et — =

CINQCIÈHB LKÇOK. ’ll3

Si nous multiplions par 24 les deux termes . 5 4- 5 ■ ' -,

de l’égalité = nous aurons x 24 = 4*^

Or 5 et 24 sont les moyens, 3o et 4 soiit les extrêmes. Donc un extrême égale te produit des moyens, divisé par I autre extrême.

Ondépiontrede même que c//ac««tjfe^ moyens égale le produit des deux extrêmes divisé par l'autre moyen.

Donc, des quatre termes d’une proportion géométrique, quand on en connaît trois, on peut sur-le-champ trouver le quatrième, par la règle qué nous venons d’indiquer ; c’est la règle de t/’ü», ainsi nonuriëe, parce qu’avec trois termes d’une proportion elle donne le quatrième.

La règle de trois est d’un usage perpétuel dans les calculs de la finauce, du commerce et de l’industrie.

• La géométrie possède aussi sa règle de trois. ^

Si l’on connaît trois lignes (A) , (B) , (C), fig. 6^ U est hicile d’en trouver une quatrième D, telle qu’on ait ^ (A) <B) : : (C) : (D).

On commence par mettre (C)=PR , au bout de (A)«= ' OP. De l’CTtrémité O, on mène la droite OM, dans une di4 rection quelconque ; on prend , à partir de O, la longueur OQ=;(B);on mènePQ, puisRS parallèle à PQ. Alors 00 a OP : OQ : : PR : QS ou (A) •• (B) , : (C) -• (D).

• Quand les deux moyens sont égaux entr eux*,' ' la longueur ou le nombre qüi les représente est^

T. I. — GiuM. . ’ i>

t ' > firKOMBTRlK. > '

ce qu’on appelle la moyenne proportio^elle. en- ^ tre les extrêmes. Ainsi j dans la proportion j *

4 est la moyenne proportionnelle entre les deux extrêmes 3 eî 8. . , ^

• En géométrie, étant données deux longueurs, *bii trouve aisénVent leur moyenne proportionnelle. Nous l’expliquerons bientôt.

Des triangles semblables. Si*^deux triangles' ABCj' çôc, fig. ' 7 , ont -leurs côtés correspondants parallèles', ces côtés sont proportionnels, et les triangles sont Ainsi' ' .

■ AB-: ah : : BC :-ôc : : AC : ne. - *•''

Pour lè démontrer , transportons aAc'sans cbaViger ta direction de' ses. côtés de manière qpé le point tombe en A ; proloi^eons ensuite ac et' BC jusqu’à ce qujis se rencontrent en un point m, on aura AC==c/n, Cwi=ôc (i ), puisque ce sont des pài-altèles comprises entre parallèles Mais AC et cm. Cm et ôc étant parallèles, on a

- , AB * fiô i '«e cm S: AC î ac',' j - /

■ f AB î ab'i'} BC : Cm=ôc., .

' Dpnc.j^nfin, AB AC ; BC : bc.. .

' Si deul triai^les ABC, abc, fig. 8, sont' tellenaent posés et configurés, que AB soit perpendiculaire à ab , BC à bc', AC à ac,’ je dis ''que les deux . triangles sont ^c/nô/aô/c^

En effet , sans rien cbanger^au triangle abc , faisot^e tourner d’un angle, droit autour du point a, alors ac se posera en ac' dans une position parallèle à AC ; il e

11; Ra'ppatons-noas qae le. signe â=Tcut dire égaU.

en

' CINQUIEME LtrçON. vHD

sera de inême de ab‘, et de b'c'. Donc le triangle aVc' aura ses côtes parallèles à ceux de ABC , et les deux triangles seront scmblaBIcs. Par conséquent aussi ABC et AÔe^oiit seinhlaLlcs.

(Juand deux trTangles ont leurs côtés prç- ' portioimels , leurs angles correspondants sont égaux , et les triangles sontsemblables.'Ea effet, supposons que les deux triangles ABC, a'b'c , fig. 'J, n’ont d’autre relations que celles-ci:

' AB : a'b' ; : AC : a'c' : : BC : b'c'. ' J’imagine un second triangle abc ayant le , côté ab — a'b', et de plus ses trois côtés respectivement parallèles à AB, BC, AC. Alors on a ’ AB : ab : AC •. ac : BC : bc. Donc...