AC , , , AC

’! y t BC ■ ty 1 B®-

, bc = ^^ab...bc^-ab...

Donc si a'b'=ab, il faut que a'c' égale ac, el que* b'c' = bc.

Donc les deux triangles abc, c(b'c' , ont leurs trois côtés respectivement égaux , et sont par conséquent égaux ; donc les angles a! ~a= h.,

Ainsi, quand deux triangles ont leurs côtés proportionnels, par cela seul, les angles opposés aux côtés proportionnels sont égaux , et les . triangles sont semblables.

Quand deux triangles ABC, abc ont les côtés , AB, AC, proportionnels à ac, et q^l’angle

■» I iG ^ CKOMETRIB.

A=rt,les deux triangles sont semblables; car, en posant l’angle a sur A, la. proportion AB ; ab ' : : AC : ac exige que AC et ac soient paralèlles; alorUles trois côtés sont parallèles. *

Si, dans la figure 6, on mène, à partir du poinif , O, trois lignes droites OPR, OQS, OTTJ; coupant les deux parallèles PTQ : RUS , on aura successivement, à cause des triangles semblables, ^

' OPT, ORU; OT:OU: :PT :RU,

OQT , OSU; OT ; OU : : QT : SU, * ‘

Donc enfin.... PT : RU : : QT ; SU.

Cesl-à'dire que les portions PT^ QT, TIU, SU, de deux parallèles coupées par trois lignes droites parties d'un même point, sont proportionnelles . La réciproque de ce principe est également orale.

A présent, nous pouvons étendre nos idées, et démontrer que deux polygones ayant leurs cotés correspondtmts parallèles et proportion- ,nels sont des polygones semblables.

Soient les figures ABCDEFGA, abcdefga , fig. 9 , qui aient leurs eûtes coiTespondants proportionnels et parallèles. Ainsi AB ab : BC : bc... : m: t. Les angles cor-

respondants, étant formés par des lignes parallèles deux à deux, seront égaux. Donc l’angle i=iB. Menons les lignes AC, ac; les deux triangles ABC , abc seront semblables, puisqu’ils ont un angle B égal à b compris entre deux côtés proportionnels. Donc AB : ab : : BC • bc :

AC ; ac : m : I. Menant ensuite AD et ad, les tiiangles ACD, acd seront semblables au même titre ; puisque ■ ÀC t ac : CD : cd : : m > i, et que les angles ACD, açtf sont égavy^ comme ayant leurs côtés parallèles. Donc AD est paralWe à ad.

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niNQblKMK LKÇ02I. II 7

En continuant le raisonnement que nous venons de commencer, on achèvera de décom-

• poser les polygones en triangles semblables.

Par conséquent, pourvu qu’on sache exécuter des triangles semblables à d’autres, on peut, de proche en proche, exécuter des polygones semblables à d’autres , quelle que soit la com* plication des figures.

Compas de proportion, fig. i a: c’est un instrument qu’on emploie pour faciliter les réductions proportionnelles , et pour des usages très-variés.. 11 se compose de deux règles égales et graduées également.

Pour réduire les dimensions d'une figure dans le rapport d’une ligne donnée E à une autre ligne donnée F, on prendra sur le côté AB la longueur AM = E. On remarquera le nombre de la graduation correspondante à M , et le point N où se trouve le môme nombre , sur l'autre branche du compas de proportion. Avec uncom-

• pas ordinaire , on premlra pour ouverture de scs branches la longueur F ; cela fait , on posera l’une des branches du compas ordiuuir(^cu M j puis on ouvrira ou fermera le compas de proportion , jusqu’à ce que la distqpce BDi égale F ; alors il est évident que toute longueur Ai, Aa, A3,..., sur Tes deux branches, doit coirespondre à des distances i.i, a. a, 3.3,... telles qu’on ait les proportions suivantes :

E : F ; : AM : MN ; : Al : I.I : Aa i a. a : A3 : 3.3...

On pourra donc , avec un compas ordinaire , prendre sur-le-champ des longueurs réduites i.i, a.a, 3.3,... qui correspondeut aux longueurs Ai, Aa, A3... i

JjOrsqu'on ne possède pas nn compas tle

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1 18 ■ CÉOMliTRIE. '

prpporliou , on s'en fait un en traçant deux lignes AB, AG, fig. 1 1 , de la manière suivante. On mène une première ligne AB = E; puis, du point B comme centre , avec une ouverture de compas BG = F, on décrit l’arc mCn. Du point A comme centre , on décrit l’arc BDG , et par le point G où ce nouvel arc coupe le premier mGn, on mène AG. S’agit-il de réduire, dans le rapport de £ à K , une longueur hg quelconque ?

Du point A comme centre, on décrit l’arc gkh-, la distance des points g, h, est la longueur réduite , puisqu’on a