fois 10 égale

Les nombres i , 4?-9 j 16 , a5, 36 , etc. , sont appelés les quarrés de i , 2 , 3 , 4 j 5 , 6 ,... ; parce ' qu’ils représentent le nombre de quarrés, ayant pour côté l’unité de longueur , contenus dans la superficie des quarrés ayant pour côtés i , ou 2 , ou 3, ou 4 5 etc. Les nombres i, 2 , 3, 4--*> qui représentent la quantité d’unités de longueur contenues dans chaque côté des quarrés , sont appelés les racines de ces quarrés.

Si le quarré qu’il s’agit de mesurer est plus petit que celui qu’on a pris pour unité démesure, il faut subdiviser celui-ci. Par exemple , on divisera ses côtés en dix parties égales, et l’on lormera cent petits quarrés égaux , chacun desquels pourra servir (, 1 ’unité démesure. Si cette seconde unité est trop grande encore , on ia divisera de même en centièmes, qui seront des cent Ibis cent

SIXIÈME r.EÇON. 123

OU dix milU(‘me.Ÿ(\eYun\t.é primitive, et ainsi de suite ( Voyez 2 ". vol. , leeon sur les mesures ).

Après avoir déterminé la superficie d’un quarré pris isolément, combinons deux à deux les cpiarrés , et demainrons-nous comment la géométrie peut représenter leur somme ou leur différence i c’est-à-dire, comment elle peut construire un qunrré égal en surface à la somme ou à lu différence de dculc quarrés donnés.

Soient ABCD, fig. i , mnpq , fig. 2 , les deux quarrés proposés. Construisons un triangle rectangle, tel que l’angle droit Y, fig. 3, soit entre deux cdtés XY=wrt,YZ =

Ail. Si l’on fait des qii.Trrés avec XY, YZ, comme côtés, on auva.\Yab=ninpq , et YZci^=.AUCD. Je dis maintenant que le grand cjiiarré \7j J\ construit sur XZ comme côté , égale en somme les deux quarrés jiroposés.

Nous avons fait voir, deuxième leçon, que, dans un triangle rectangle XYZ, fig. 3, si l’on .abaisse, de l’angle t

droit sur le grand côté, la perpendiculaire YU, l’on a : ( 1 )

XL i XY : . XY : .\Z,d’oùXYxXY=XY2=XüxXZ,

ZU : ZY : : ZY : XZ, d’où ZYx ZY=ZY^=ZUxXZ.

Doue XY'^ plus ZY'^, c’est-à-dire, la somme des deux quai-i-es XYrtô, ZYcd, égale XL plus Z ü, c’est-à-dire ,

XZ , multiplié par XZ , qui est la mesure du quarré XZe/. Ainsi le grand quarré équivaut à la somme des deux autres.

Donc , dans un triangle rectangle , le quarré construit sur le grand côté , égale la somme

(i) Pour représenter le quarré dont un cété égale AB. on écrit AB2, et la superficie de ce quarré ABCD, est par conséquent AB2, qui égale AB mnitiplié par .\B.

des quarrés construits sur les deux autres côtés.

Si l’on proposait de trouver un quarré équivalent à la différence de deux autres , on ferait un triangle rectangle ayant pour grand côté XZ, fig. 3 , celui du grand quarré , et pour un de ses petits côtés XY, celui du petit quarré connu. Le troisième quarré construit avec le troisième côté YZ du triangle rectangle, serait égal ù la différence des deux autres quarrés; puisque, ajouté avec le plus petit, il doit être égal au plus grand.

En observant que 3 fois 3=g ; que 4 fois 4 = 16 , que 5 fois 5=a5 , et que 9 plus 16 égalent aS , on voit que 3, ^ et 5 sont les côtés d’un triangle rectangle. Les artistes emploient souvent cette propriété, pour mener une droite YZ , fig. 3, perpendiculaire à une autre, XY. Ils divisent XY en trois parties; puis, prenant YZ = 4> XZ= 5 de ces parties, ils achèvent le triangle XYZ, dans lequel YZ est la perpendiculaire cherchée.

Mesurons, maintenant, la surface des figures qui s’éloignent de plus en plus de la forme du quarré.

La suijace du rectangle est égale au produit de la base par la hauteur.

Pour le prouver, divisons MQ , fig. 4 » parties égales au côté AB du quarré ABDC pris pour unité. Par les points de division , menons des droites parallèles à MN ; elles partageront le rectangle en bandes ayant toutes MN pour longueur , et même largeur que le quarré. Chaque

-dbyC

SIXIÈME LEÇON. ia5

bande contient la superficie d’autant de quarrés ABDC, que MN contient de fois AB. Donc , MN étant exprimée par des nombres, lorsque AB est l’unité , le nombre de quairés ABDC que le rectangle MNPQ contient, est représenté par la base MN multipliée par la hauteur MQ.

Dans les arts, il faut souvent trouver un quarré dont la surface soit équivalente à celle d’un rectangle MNPQ. On s’y prend ainsi :

Si l’on met bout à bout les côtés MQ , MN , fig. 5 , et que , sur leur somme comme diamètre , on décrive un demi-cercle ; si , du point M , on élève la perpendiculaire MR au diamètre QN ; en la prolongeant jusqu’au contour du demi-cercle, on aura (cinquième leçon , p. 1 19) :

QM . MR : • MR = MN, d’où QMxMN=MR^

Ainsi , le quarré construit sur MR , équivaut au rectangle MNPQ; puisque ces surfaces ont même mesure.

La suif ace d’u» parallélogramme LMNO. fig.

6, estégaleauproduitdesa base par sa hauteur.

Pour le démontrer, des points M, N, menons MQ, NP, perpendiculaires à MN , jusqu’à OLQ. Les deux triangles MQL, NPO, sont égaux ; puisque MQ=rNB ( comme pa- Tallèles comprises entre parallèles) , et que les angles correspondants sont égaux. Donc le rectangle MNPQ, comparé au parallélogramme MNOL, contient en plus le triangle LMQ , et en moins le triangle égal ONP ; donc la surface du parallélogramme est, comme celle du rectangle, mesurée ^ba- le produit de la base MN par la hauteurV^.

Le quarré de multiplication suivant fait connaître, en chifires, la surface d’un rectangle ou d’un parallélogramme , dont les deux côtés sont exprimés par des nombres qyi ne passent pas dix :

ia6 GÉOMÉTRIK.

iOO’

La deuxième colonne indique la surface des rectangle^ ou des parallélogrammes , qui , pour 2 de hauteur, ont de base i, 2, 3 , 4 ....: la troisième colonne indique la surface des rectangles ou des parallélogrammes qui, pour 3 de hauteur, -ont de base 1,2,3, , etc. H faut

que les industriels aient une table pareille suspendue dans leur atelier, et [apprennent par cœur-, cette connaissance est indispensable pour faire la moindre multiplication.

La surface dun triangle ABC , f g- 7*, égale la moitié du produit de sa base par sa hauteur.

En effet, si nous menons CD parallèle à AB, ct'AD parallèle à BG , le nouveau triangle ACD est égal au premier, ABC ; mais ABCD forme un parallélogi’amme dont la surface égale AB base du triangle ABC multipliée par sa hauteur CE ; donc la moitié de ce produit est la superficie du triangle. •

Puisqu’on peut toujours décomposer en triangles une figure 'quelconque terminée par des

Digilized by Coogic

lignes droites , on trouvera sur-le-champ la mesure (le la surface de tout polygone irrégulier ou régulier. On prendra , "pour cluujue triangle , la moitié du produit de sa base par sa hauteur ;‘etla somme de tous les produits donnera la mesure de la surface cherchée. Cette application est une de celles qui rendent l’étude des triangles si importante pour la géométrie et spécialement pour r arpentage. Commençons cette application par la mesure du trapèze. \

La surface du trapèze égale la demi-somme de ses deux hases , multipliée par sa hauteur.

Le trapèze ABCD, (ijç. 8 , dont la hauteur est mn , sera divisé par la diagonale AC eu deux triangles ABC , ACD, ayant respectivement pour mesure ; lepremiei-i ABX"in; le deuxième 7 DCX«(a- La somme de ces deux produits sera la moitié de AB plus CD, multipliée par mn -, ce qu’on écrit ainsi , 7 (AB-|-CD) mn.

Ayant ce produit , on peut sur-le-champ trouver un quarré équivalent au trapèze.

On mesurera AB-j-CD, Cg- 8, qu’on représentera par la ligne unique MN, lîg. 5 ; on prendra MQ z=!^mnon tracera le demi-cercle QBN ; et la perpendiculaire MU sera le côté du quarré cherché.

La surface dun polygone régulier, égale la moitié de son contour , multipliée par la distance de >on centre à ïun de ses cotés.

Du centre O, fig. 9, du polygone ABCD..., si nous menons des lignes droites aux sommets, nous allons le diviser en triangles égaux AOB, BOC, COD,... Soit Ont, la distance du centre à chaque côté , et par conséquent

la hauteur de ces triangles. On aura pour mesure de l’un d’eux, et par conséquent de tous les autres, | ABxOn»; la superficie totale sera f ( AB-J-BC -f- CD... ) On» ou i ( ABCD...) Offi.

Le polygone régulier dilfère d’autant moins du cercle dans lequel il est inscrit, que le nombre de ses côtés augmente ; et la différence devient moindre que toute quantité donnée, si l’on multiplie suffisamment le nombre des côtés. Donc le cercle peut être regardé comme un polygone, ayant un si grand nombre de petits côtés, que la perpendiculaire Om ne diffère pas , d’une quantité appréciable, du rayon OA. Donc....

La surface du cercle est égale à sa circorfèrence multipliée par la moitié de son rajon , ou à sa demi-circonférence multipliée par son rajon.

Impossibilité de la quadrature du cercle. Au moyen de la solution indiquée fig. 5 , il serait toujours facile de trouver un quarré dont la superficie fût égale à celle d’un cercle donné , si l’on pouvait trouver une ligne droite exactement égale en longueur ii la circonférence d’un cercle dont on connaît le rayon. Mais on ne peut avoir la mesure d’une telle ligne droite , et le problème de trouver le quarré équivalent au cercle ( ce qu’on appelle la quadrature du cercle ) est au rang des questions dont une solution rigoureuse est impossible. 11 importe beaucoup que les élèves n’épuisent pas leurs facultés en efforts quf ne sauraient avoir de succès.

SIX-IKME LEÇON. I2t)

Ou peut, avec des nombres, donner la valeur approchée de la circonférence et de la surface du cercle, en représentant. ' ,

le rayon par ioo,,i.ouo, in,ooo, 100,000, elr. ,

la circonférence pai- 6-ji8, 6,283, 62,83i, 628,3i3, etc. , et la surface par 3i4> i4i> 3i4, i56, etc.

Si, au lieu de la surface totale du cercle, on se b^^rne à celle d’un sectextr AOJi, lig. 9, dont l’arc soit la moitié, ou le tiers, ou le quart, etc., de la circonférence, on verra que ce secteur est aussi la moiti^ le quart, le tiers, etc., de la surface du cercle. Pour avoir sa mesure, il sufiira de multiplier par la moitié du rayon la longueôrdé l’arc At/B, qu’il comprend pntre les côtés ÜA , OB. Si , de ce produit , ou retranche celui de ^AB X O/n = surface du triangle OAB, on aura la superficie du segment An B. ‘

Comparaison de la surface des figures sem-< blublesi i’>. Des triangles. «

Le rapport' de la surface de dt‘ux triangles semblables , est égal an rapport du quarré des lignes correspondantes ou homologues. , ' Soient deux triangles, AOB, aot, flg. 1 1, tels que leur base égale la*moitié de leur hauteur ; un quan-é ABCD, abcd, fait sur leur base comme côté , leur, est égal en surface. Si l’on diminue ou si l’on augmente proportionncUenient les hauteurs, la base restant la même, on va former toutes sortes de triangles semblables XAB , xab , qui, conservant même base; augmentent ou diminuent de surface dans Je même rapport. Ikinc J le l’apport des T. 1. — • Gkom. 17

CKOMSTME. ‘

Mirlijçes ^taht ju-imitÎYpment lepreseote par les quarrés ACCD, abcd, des bases, le sera dans tous les a^s.

Toutes les figiires semblables peuvent se décomposer en un même nombre de triangles semblables , qui sont entr’eux comme les quarrés de deux ligues correspondantes. Donc....

'Les suif aces des f gares semblables ( terminées par des lignes droites), sont entr^lles comme les quarrés^ construits sur deux lignes correspondantes ou homologues. , .:/■

Ainsi les drus polygones ÀBCDEF^ abedefa, fig. la, étant s(!iubla|>lcs, leurs surfaces sont comme. les quarrés- ARjMN, abmn, faits sur deux côtés correspondants AB, «i».

On démontre de même que les cercles i <\vèi sont des ligures semblables , ont leurs surfaces "proportionnelles, aux quarrés construits sur leurs ràjons ou sur leurs diamètres comme cotés.

L’emploi de ces proportiotis est souvent fort comn^de. La surface d’un cercle dont le rayon est égal à l’unité ne peut être exprimée, même approximativement, que par des nombres ebmpliqués , si l’on veut un peu de précision. Mais les rapports des syrfaces pourront souvent être donnés avec une extrêmç simplicitéf , . , ,

Nous* ferons connaître ici ideux très - belles

propriétés dont jouit la surface des polygones réguliers et des cercles; mais, sans en donner la démonstration, parce quelle repoM sur des mêibodes scientifiques trop relevées.

s 1^1 KM K LEÇON. l3l

*, A contour égal, parmi tantes les figuiv.s <pû ont un nombre donné de tâtés , c'est le poljgone régulier dont la superficie est n plcs grande.

A contour égal, plus ilju de câtés dans un polrgonS régulier , plds sa surface est grande.

A contour égal, toutes les figures terminées par un nombre quelconque, de cotés , droits ou courbes , ont moins de superficie que le cercle.

Applications. Ces propriétés sout importaiiles à cotiiiuîtrc daiis l’économie de plusieurs arts.

Ainsi, la quantité de plomb qu’il faut employer au vitrage gothique d’un espace limité est la moindre possible, si les vitraux ayant un nombre donné de côtés, sont des figures régulières.

Ainsi, quand on doit faire des tuyaux de conduite pour les eaux, le gaz, etc., et que ces tuyaux doivent livrer passage à un volume de fluide déterminé , si on les fait circulaires , la quantité de bois ou de métal employée pour ces tuyaux , est la moindre possible.

Vans [architecture , la hauteur et le contour d’un édifice étant donnés, et par conséquent Té* tendue de ses murs extérieurs, l’espace qu’on peut enccindrc avec une même quantité de mâ-« çouuerio est d'autant plus grtyid , que l'édifice approche plus dé la fijrine d’un pol \ gone régii-r lier , et d’un polygone dont le nombre de côtés est plus considérable. ,

Considéronsda surface indéfinie du plan siw

|3î > GÉOMKTni f. " •

k.vjuf‘1 nous avons tracé les diverses figures dont nous venons de tléterminer la mesure. Quand une droite a deux points dans un plan, elle est toute entière sur ce plan. Cette propriété sert dans les arts, pour construire des surfaces planes , et pour parcourir des espaces plans.

Application à la faïencerie. Veut -on, par exemple, comme dans l’art du faïencier, terminer en surface plane une masse de terre quelconque?... On place deux guides parallèles, ou un encadrement plan MNPO, fig. i3; puis, avec une règle droite ST, qui s’appuie’à la fois sur les deux guides MN , PQ , l’on avance régulièrement, , et l’on détache ou l’on comprime toute la terre saillante en des.sus du plan qui passe par MN et PQ. Il n’est pas indispensable que l’encadrement MNFQ soitformé dedroites parallèles MN, PQ ; et MQ, NP ; ilsuflit que ces droites, si l’on veut les prolonger, se rencontrent toutes deux k deux.

Application au recépage des pieux. Les scies à recéper les pieux suivant un plan horizontal , dont l’abaissement sous l’tiau est donné, ont leur jeu réglé par deux guides MN , PQ, fig. i3, également éloignés du plan horizontal suivant lequel on doit couper la tête fie tous les pieux. La scie même st est une*droite transversale représentée par sa parallèle ST. Cette parallèle étant tenue à distance invariable de la scie par un cadre rectangulaire STts , et. 's'appuyant sur

Digitiz>

•SIXIEME LEÇO.X. l33

MW et PQ , la sc*ie décrit un plan mnpq, parallèle à MWPQ. » -

Le menuisier y pour aplanir une planche, fait iisat^e de l'outil qu’on appelle rabot. II commence par dresser les bords de cette planche, c’est-à-dire par k's rendre exactement rectilignes avec son rabot , dont le bois, est en ligne droite et dont le fer enlève sur la planche tout ce qui est trop saillant, pour qu’il y ait contact entre cette planche et le bois du ralwt.'fensuile il rabote transversalement, d’un côté dressé à l’autre côté, pour tracer une suite de di^iles intermédiaires passant par celles des bords.

I.e scieur de long et le charpentier marquent dessus et dessous la pièce de bois dont .ils veulent aplanir un côté, la trace du plan qu’ils ont à exécuter; ils dirigent ensuite sur ces deux lignes, l’itn sa scie et l’autre sa hache.

Jusqu’ici nous n’avons considéré qu’un plan à la fois, et des lignes tracées sur ce plan. Comparons successivement le plan avec des lignes qui n’y soieut pas toutes comprises, et plusieurs plans entr’eux. Une droite peut être perpendiculaire, oblique ou parallèle à un plan donné.

Soit Ali , iig. 1^, la. ligue la plus courte qu’on puisse mener d’un jjoint A, au plan SfNPQ. Ce sera, par conséquent, la ligne la plus courte qu’on puisse mener, du point A , à toute ligne droite tracée dans le plan : donc <-lle s<‘ra jwrpendicnl aire à toutes les lignes droites BE,BF,

lU GÉO'MÉXKIS.

tracées iur le plau , ù partir <Ju pied B de celle perpendiciiialrc. La droite AB cat dite j/ctpeiuliculaire au pian MNPQ.

Doue, 1°. la perpendiculaire menée d'un point à un plan est lu plus courlii^distatœe du' ."point au plan I 2". elle est perpendiculaire p toutes les ligues menées , par son pied, dans cé plan.

Par conséquent, ,si l’on prend. une équerre, pour la faire tourner sur un des côtés, de l’angle .droit, l’autre coté décrit néces;sait%aieut u^ plan.

Dans la construction des instruments que l’op- ' tique fournit à l’astronomie , à la navigatioal|ie(c. , on fait un fréquent usage de cette dernière propriété géométrique., ' . : ^

* . AB , ûg. 1 4 , étant perpendiculaire an plan MIN'PQ touite ligne AD , AF ,. i;nonée du point A à l’une des lignes DBF,*traeée sur le plan, est une oblique pour la ligne et pour le plan. Ainsi', pour le plan comme pour Ut ligne droite , les obliques ÀD , AF, sont toutes plus lor^ues . j qjue la perpendiculaire AB , et d'autant plus lorfgf 4 .es qu elles s'éloignent davantage de cette perptndiculaire. ^ . , r , .. !x4*r ■ • ’»A‘J ; ,

Supposons qu’on ait menéÿ du point A, toutes les obliques possibles sur la ligne droite DBfF, tracée sur le pla'n , et passant par le pied B de la point D, F...., de

la, 4 ncnte,DBF, va décrire uu cercle dans le plan

SIXIKHK I.EÇON. ‘ l35

I^îj^iPQ , et tous les points (le chnque cercle seront il la même iristanco de chaque point A de la perpeudicul:drc (i).

On appelle «;«?ed’un cercle la perpendiculaire an plan de (Æ cercle, menée par le centre. Donc cet axe est perpendiculaire à tous les rayons.

L’amie où l’essieu d’une roue «st perpendiculaire au plan de cette roue. Par conséquent , lorsque la roue tourne sur son axe , chacun de ses points SC meut sans (|uilter ce plan. Ainsi la l'oue, par rapport aux objets environnants, ne change pas de position ; ses divers points prennent seulement la position les uns des autres.

On a fondé sur ce principe de géométrie le jeu des meules de moulin. On établit deux meules sur un niêmç axe, 'dont les faces planes sont perpendiculaires à '(îet axe, et par conséquent parallèles entr elles: l’uue reste lixe, tandis que l’autre est mobile sur cet axe. Mais la roue mobile, tournant de manière (jue .sa face piano inférieure se meut sur elle-même, reste partout et toujours à la même distance de la face plane supérieure de la roue fixe. Si donccette distance des routes est établie de telle sorte que les grains de blé ne puissentpasser sans être écrasés, i’écra-

(i) Si l'on prolonge KA en Hrt = BA , le.s, points a et A seront egalement étdigncs de eliaque point D, K dn plan, et des rcr» fies que tuDus venons de tracée. . ■ •