CEO MET R IB

sement aura lieu également sur tous les points entre les deux meules.

On voit ici le grand avantage, je dis plus, la nécessité de la précision dans l’exécution des machines. Si le parallélisme des roues n’était point parfait; si l’arbre de la meule mobile n’était pas rigoureusement perpendiculaire au plan de ces roues ; si , lor$ de son mouvement , il pouvait, pencher un yieu vcrsla drpite ou vers la gauche: en tous ces cas , les deux plans des meules ne rcsteraientpas constamment à la même distance.Entre les parties trop rapprochées, le blé trop écrasé, s’échauderait, se gâterait; dans d’autres partie.^, il ne serait pas même moulu,, et les roues joueraientà vide. Par conséquent, ici, l’exactitude est plus qu’une chose de luxe et de satisfaction intellectuelle : c’est une condition imposée par la nécessité môme, pour le succès de l’opération.

Application au tournage. Les propriétés que nous venons d’exposer sont employées dans les arts, pour décrire les cercles au moyen du tour. C’est un instrument qui présente deux points lixes auxquels on assujétit le coips à tourner. Lorsqu’on tient un outil tranchant , dans une position^ immobile, et qu’on fait tourner le corps, l’outil enlève les parties trop saillantes du corps , il y trace un cercle ayant pour axe la ligne droite qui passe par les deux points lixes, et qui, de plus, a son centre sur cette ligne droite.

SIXIÈME LEÇON. l37

Si l’on suppose que le tranchant de l’outil avance par degrés, en suivant une perpendiculaire à cette ligne droite, tous les cercles qu’on trace successivement avec le tranchant de l’outil .sont placés dans un même plan perpendiculaire à la droite qui passe par les deux pointes du tour. Ainsi l’on peut faire usage du tour pour exécuter un plan.

Tel est le moyen qu’on emploie dans les manufactures de machines , où l’on a besoin de tailler, suivant la figure d’un plan , soit des plateaux métalliques, soit les extrémités des cylindres qu’il s’agit d’ajuster bout à bout avec une grande exactitude.

Application à la machine de Bramah , pour tailler des surfaces planes. Bramah fait lourucr, autour d’un axe vertical et fixe , une roue horizontale munie d’un grand nombre d’outils tranchants. Ces outils ne saillent pas tolis égalemefit sous le plan du cercle ; ils sont groupés par cinq ou sjx , qui saillent graduellement de plusen plus. La pièce de bois qu’il s’agit d’ aplanir est posée sur un chariot horizontal qui s’avance çt passe sous la roue armée de tranchants. Les trauchauts de chaque groupe entaillent la pièce de bqls , de manièrequele moinssaillantde tous forme mi premier trait, successivement approfondi parles quatre à cinq autres du groupe; après quoi, la pièce , qui continue d’avancer, est aplanie dans sa partie T. 1. — Géom. • i8

CÉOMÉTRIE.

subséquente , par un nouveau groupe de cinq à six tranchants. Quand tous les tranchants distribués sur le contour de la roue ont fait , sur la pièce de bois, leurs rainures respectives et fort étroites, un rabot fixé h la roue, à hauteur des tranchants les plus saillants, passe sur la pièce de bois <!ju’ont sillonnée tous les tranchants, et , faisant disparaître les aspérités de ces sillons , il achève d’aplanir la pièce.

Dvux perpendiculaires AB , CD , fig. i5, au même plan MNPQ , sont parallèles entd elles.

Pour le démontrer, par les pieds B, D, de ces perpendiculuires menons la droite BD sur le plan ; puis surce plan, par le milieu O de BD, menons la perpendiculaire EOF.

En faisant üE=OF, les deux points B, D, seront également éloignés de E et de F, De plus, tout point A, G, des lignes AB, CD, perpendiculaires au plan MAPQ, est également éloigné des points E et F. En effet , si nous menons FD et^ED , ces deux obliques étant également éldignées de la perpendiculaire OD sur EOF, sont égales. De même CE, CF, étant deux obliques également éloignées de la perpendiculaire CD du plan , sont égales ; enfin A£ , AF, sont égales au même titre. Ainsi les perpendiculaires AB, CD^ appartiennent au plan unique qui contient tous les points également éloignés des deux points fixes E , F. Donc AB , CD , perperdiculaires à la même droite BD , se trouvent sur un même plan : donc elles sont parallèles.

Le plan horizontal est la surface que présentent les eaux tranquilles, à partir d’un point i conqne, de celte surface. La perpendicu^ '

SIXIÈME LEÇON. 13g

plan est ce qu’on nomme la verticale. Par conséquent, pour un même plan horizontal donné, toutes les verticales sont parallèles.

Le fil à plomb est un fil dont un bout se tient à la main, ou s’attache à quelque point üxe, et dont l’autre bout porte un plomb. Au repos , le fil prend la direction de la verticale du lieu où l’on se trouve. Il peut donc servir ii déterminer si une ligne ou un plan XY , fig. 6 bis , .sont horizontaux. Pour cela, les maçons emploient un triangle AEC, qu’ils appellent niveau. Cet instrument se compose de deux côtés égaux £A, EC , et d’une traverse GH , dont le milieu O se trouve sur la ligne droite EOB, perpendiculaire à ABC. Donc , si la ligne ABC est horizontale, il faudra qu’en posant dessus le niveau, et fixant en E le fil à plomb , ce fil touche GOH eu O , point indiqué par une marque.

On appelle plans verticaux , les plans qui contiennent une verticale toute entière dans leur surfiice. Si , d’un point quelconque d’un tel plan , l’on mène une verticale , comme elle est parallèle à une première verticale placée sur ce plan , elle-même y doit être toute entière.

Deux pLins verticaux se coupent nécessairement suivant une ligne droite verticale ; puisque la verticale menée par un seul point où se coupent les deux plans , doit être toute entière sur l’un et sur l’autre plan.

l4o OÉOMÉfRlB.

' Un' grand nombre d’arts'j et surtout de ceux qui SC rapportent h la construction des édifices , font un fréquent usage des plans horizontaux •, des plans, verticaux et des verticales.

Dans nos habitations, les planchers,' les plafonds, le joint inférieur et supérieur des assises de pierre détaillé, de brique, etc., pour le s murs ordinaires, sont des plans horizontaux.

Les plans des murs extérieurs , des murs de refend et des cloisons , sont des plans verticaux ; et les arêtes formées par les murs , par les côtés des portes , des fenêtres, etc., sont des verticales, parce qu’elles se trouvent à la fois sur deux plans verticaux.

Dans le dessin de la géométrie descriptive , de la coupe des pierres , de la charpepte et de l’ar- ' chitecture en général, on suppose qu’un premier dessin s’exécute sur un. plan horizontal; on suppose qu’un second dessin s’exécute sur un second plan vertical; c’est Félévatioh, si ce plan est en dehors de' l’édifice; c’est la coupe , si ce plan traverse l’édifice.

Lorsqu’une droite passe par deux points A, C , tig. 1 6 , également éloignés d’un plan MNPQ , tous les autres points de cette droite AC sont à là même distance du plan.

En effet , à partir de AG , menons les parallèles AB, CD, EF, perpendiculaires au plan MNPQ. En traçant la ligne droite BFD dans ce plan, l’on aura AB = EF = CI1, quelle que soit la position du point E.

SIXIÈME ^BÇON. l4l

L’ensemble de toutes les droites parties du point A , fig. 1 6 , perpendiculairement à AB , forme un plan. Donc^ tous les points de ce plan ont AB pour mesure de leur distance au plan MNPQ. Ainsi , deux plans perpendiculaires à la même droite AB, sont partout à la même distance l’un de l’autre; et partout, les lignes AB, CD, perpendiculaires à l’an , le sont à l’autre : elles mesurent la plus courte distance de ces plans.

Deux plans NPQM, NPRS, fig. 17, qui' se rencontrent, se coupent en ligne droite NP. •

En effet, si par deuï des points de rencontre N , P, on mène une droite , il faudra- qu’elle soit toute entière sur les deux plans qui contiennent ces deux points. Elle sera donc la ligne même commune à ces deux plans.

Oq peut supposer que le plan KPQM soit incliné plqs ou moins sur !NPRS; alors on obtient un angle plus ou moins grand, compris entre NPQM, NPRS. Pour mesurer cet angle , voici ce qu’on fait :

On mène , fig. 1 7 , dans le premier plan , CA , et dans le second , CB , perpendiculairement à NP droite commune aux deux plans. L’angle formé par les deux plans est représenté par l’angle que forment ces deux droites.

Supposons que le plan NPQM tourne autour de NP , comme autour d’un axe. Chacun des points de ce plan va décrire un cercle ; et le plan même aura parcouru tout l'espace autour de l’axe , quand chacun de ses points aura parcouru 'la circonférence complète d’un cercle. Si l’on divise en parties égales l’espace ainsi par-

i42 Géométrie.

couru, chaque poiut aura décrit, dans chaque partie, le même nombre de degrés. Ce nombre sera donc propre à mesurer l’angle même des plans tournants autour de INP.

Les fabricants d’instruments de mathématiques fabriquent , pour les astronomes , pour les navigateurs et pour les ingénieurs géographes , des instruments qui servent à mesurer l’angle qu’un plan fait avec un autre , et qui sont généralement exécutés d’^après le principe que nous venons de faire connaître. Un arc de cercle gradué AB , fig. 17 , est dans un plan déterminé par les fils des alidades perpendiculaires CA, CB , aux plans dont on doit mesurer l’inclinaison. Une extrémité B est fixe sur un des plans; et le point A , où l’arc traverse l’autre plan , indique le nombre de degrés d’inclinaison des deux plans.

Pour déterminer la direction des plans , nous les rapportons d’ordinaire à quelque plan horizontal; l’intersection du plan incliné sur le plan horizontal , est ce que l’on appelle la trace de ce plan incliné. Par conséquent , si l’on conçoit, perpendiculairement à cette trace : i“. une horizontale ; 2“. une droite placée sur le plan incliné, l’angle qu’elles formeront entr elles représentera l’angle des deux plans.

/La ligne inclinée CA, fig. 17, que nous venons de déterminer , l’est plus que toute autre ligne tracée sur le plan incliné IMPQM.

Pourledëmontrer, menons l’horiiontalc XOY parallèle à la trace NP du plan incljnc , et COA perpendiculaire aux deux parallèles ; CO mesurera leur distance. Donc, pour descendre des points XOY du plan incliné , points tous situés à une même hauteur, aux points P, C, N..., qui sont aussi tous de niveau , la plus courte voie , c’està-dire , la ligne de plus grande pente , est OA perpendiculaire aux deux parallèles XOY, PCN.

Lorsque nous parlerons des surfaces courbes , on verra qu’on a fait servir avantageusement les lignes horizontales et les listes de plus grande pente , pour représenter sur des plans la figure de ces surfaces.

Deux plans sont perpendiculaires l’un à l’autre quand ils forment, de droite et de gauche, des angles qui sont égaux. Ces angles, mesurés par des lignes droites perpendiculaires, sont droits.

Quand une droite est perpendiculaire h un plan , tous les nouveaux plans menés par cette droite sont perpendiculaires à ce plan.

En effet, soit AB, fig. 18, perpendiculaire au plan MNPQ, et FGDE un plan mené par AB. Traçons sur MMPQ, AC perpendiculaire à GD) l’angle BAG qui mesure l’inclinaison des deux plans sera droit. Donc les deux plans seront perpendiculaii'es l’un à l’autre. ^

Quand- deux plans parallèles entr’eux sont coupés par'un troisième , les deux droites d’in^ ■ tersection sont parallèles. Eh effet, sans cela elles se rencontreraient quelque part; donc le premier et le second plan , dont elles font

pRTtie, se rencontreraient; par conséquent, ils ne seraient pas parallèleSk

Deux droites parallèles, comprises entre deux plans parallèles , sont égales. En effet , si par ces deux droites on mène un troisième pian, il coupe les deux premiers plans, suivant deux nouvelles parallèles qui comprennent les deux premières ; or , des parallèles , comprises entre des parallèles , sont égales.

Deux droites ABC, DEF, fig. 19, coupées par trois plans parallèles NP, QR, ST , sont coupées en parties proportionnelles.

Pour le démontrer , mendns Kef parallèle à DEF ; les > points E, F, e,/", étant les points de rencontre de ces droites avec les plans QR , ST, on aura Âe égale DE ; e/=:EF. Mais les deux droites ABC , kef, sont dans un même plan qui coupe les deux plans QR , ST, suivant deux droites parallèles Be , G/*. Donc on a AB : BC : : Ae : ç/" : ! DE : EF.

. Il me resterait à parler des angles solides, tels que O ABC , formés par trois droites OA, OB, OC, concourant au point O , et représentant trois portions de plans AOB, BOC, COA. Cet angle, comme on voit , présente trois angles ordinaires AOB, BOC, COA, et trois angles formés par les plans pris deux à deux. La géométrie descr iptve enseigne les moyens de connaître les Angles formés avec les plans, par les angles formés avec les lignes , et réciproquement,

Des solides terminés par des plans. ' '

Après avoir expliqué les propriétés de la ligne droite et du cercle , nous avons examiné successivement les figures que l’industrie peut composer soit avec des lignes droites soit avec des cercles. En suivant une marche analogue, nous allons maintenant examiner les solides qu’il est possible de terminer : i°. par des plans ; 2°. par des surfaces courbes , dérivées du cercle.

Deux corps solides sont égaux, quand on peut les supposer sortis d’un même moule, comme les copies d’un buste ou d’un bas-relief, moulées par le plâtrier.

Deux corps solides, MNODEF, mnodef, fig. 23 , sont symétriques de forme et de position , quand les points correspondants de l’un , et de l’autre peuvent être joints par des droites parallèles dont le milieu se trouve sur un plan ABC qui leur est perpendiculaire : c’est le plan de symétrie de leur ensemble.

Applications. A chaque instant , l’industrie a besoin de produire des corps symétriques par rapport ii d’autres corps , et des corps composés T. I. — Gkom. 19

l/{6 GKOMliTIilf.

lie deux parties symétriques. Tels sont les édifices réguliers , les temples , les palais construits d’après un seul plan.

Souvent la syipétrie n’est qu’un objet de luxe OH de goût, pour les produits d’industrie destinés à l'immobilité, comme les maisons, les églises , etc. Elle est un objet de nécessité pour une foule de corps, qui doivent exécuter des mouvements avec une égale facilité vers la droite et vers la gauche. Voilà pourquoi la nature donne, à la plupart des animaux, deux eôtés sjrmétriques, joints par un plan dirigé dans le sens de leur mouvement progressif habituel. D’après le même principe , l’ingénieur maritime donne à ses navires deux côtés, ti'ibord et bas-bord , symétriques par rapport au plan qui marque la direction de la marche progressive. Les voitùi’es sont symétriques par rapport à ce plan , d’après un principe analogue , etc. ( Voyez deuxième volume : Machines. )

La barre ou la tringle est un solide dont la • longueur est indéfinie , et dont les faces planes sont limitées par des lignes droites parallèles , qu’on appelle arêtes. On forme le prisme en coupant ^la barre ou la tringle par deux plans parallèles; ce qui donne deux sections, qu’on appelle hases , ce sont des polygones dont le nombre de côtés est égal an nombre des faces du prisme. Le prisme est droit ou oblique , sui-

vant que les bases sont perpendiculaires ou obliques, par rapport aux arêtes. 11 est tronqué, lorsque les bases ne sont point parallèles.

Le prisme droit est symétrique par rapport au plan qui coupe à angle droit et par le milieu toutes ses arêtes , lesquelles sont alors les perpendiculaires qui déterminent les conditions mêmes de la symétrie.

Il y a des prismes tronqués stmétmqdes par rapport à un plan qui coupe pareilleitient à angle droit et par le milieu, toutes leurs arêtes.

Le prisme triangulaire , fig. i , a trois faces, et de plus deux bases triangulaires. Autant il y a de variétés dans la formé du triangle , autant il y en a dans la forme du prisme triangulaire.

Application à [optique. Les physiciens font usage d’un tel prisme , en verre ou en cristal , pour décomposer la lumière dont les différents rayons sé séparent en traversant une face du prisme pour pénétrer dans ce corps , et une face pour en sortir. Alors on voit dans l’ordre suivant, les sept couleurs primitives : le rouge , J’ orangé , le jaune, le vêrd, le bleu, l’indigo, le violet. C’est ce qu’on appelle le spectre solaire.

Application à [architecture. L’architecte emploie le prisme droit triangulaire à bases symétriques , ABCDEF , iig. 7 , pour former la toiture à deux faces et à frontons , ou à pignons , des édiüces réguliers. Le prisme tronqué symétrique ,

l48 GÉOMÉTRIE.

fig. 8 , sert pour les toits à quatre pans. Cette figure est aussi celle des^tas de pierres rangés sur le bord des routes qu’on doit recliarger; comme elle est régulière et facile à mesurer , on peut vérifier , à l’instant , la quantité de pierres contenue dans chaque tas. Par le même motif, elle est aussi fréquemment employée pour les piles de bombes et de boulets , formées dans les d*épôts d’artillerie.

Applicfitionà la méchanique. Dansla construction des machines, on fait, du prisme triangulaire k bases symétriques , un guide fixe , sur lequel glissent les châssis ou les cl ariots dont on veut rendre la marche rigoureusement rectiligne.

Ijeprismequadrangulaire, fig. 2 , a quatre faces, et pour chacune de ses bases un quadrangle, comme son nom l’indique. Quand ce quadrangle est un parallélogramme , le prisme prend le nom de paralléUpipède. On Yapp^eparallélipipède rectangle, quand toutes ses faces'sont à angles droits. Si , de plus, la base est un quarré , c’est le paralléUpipède quarré : tel est le carrelet qu’on emploie pour rayer du papier. Enfin, quand toutes les faces du pai*allélipipèdc sont des quarrés , on l’appelle cube : tels sont les dés k jouer.

Les prismes droits quadrangulaires à bases symétriques , ont des plans de symétrie parallèles aux arêtes, et passent re.spectivement par l’axe de symétrie de chaque base.

SEPTIÈME LEÇON. l4g

Quand la base est un rectangle , le prisme a trois plans de symétrie respectivement parallèles aux six faces prises deux à deux. Quand la base est un lozange , le prisme a trois plans de^ sy-' métrie : i”. le plan également éloigué dJs deux bases; a®, et 3®. le plan qui passe par les diagonales parallèles des bases lozanges.

Dans le cube; il y a neuf plans de symétrie ; trois parallèles aux faces, et trois qui passent par les diagonales des faces.

Dans chacun de ces prismes , les plans de symétrie pa.ssent par un point remarquable, qui est le centre du prisme; ils se coupent deux à deux, suivant des lignes qui sont des diamètres ou des axes du prisme. Ce point et ces lignes ont des propriétés importantes pour la méchanique; propriétés que nous expliquerons dans le deuxième volume ( des Machines ).

^Applications variées. Le menuisier, le çharpentier, le forgeron, une foule d’autres artisans, font un fréquent usage des prismes symétriques à quatre faces. Les solives et les poutres de nos maisons , les chevrons et presque toutes les autres pièces de nos toitures, sont des prismes de ce genre. Autrefois, c’étaient des prismes à base quarrée. Mais, depuis qu’on calcule mieux la force des bois, on a reconnu l’avantage d’empteyer des prismes minces dans le sens où ils ont peu

l5o GÉOMÉTRIE. *

d’efforts à sapporter, et larges dans le sen& où s’exercent les plus grands efforts. ' •

Les pilastres et les piliers quarrés sont des parallélipipèdes rectangles.

Prismes des cristaux'. La nature qui nous présente, dans ses cristallisations, des formes géométriques aussi variées que précises, nous oHire souvent des prismes triangulaires , quadrangulaires, hexagones, octogones, etc. L’étude de ces figures des cristaux est une des plus belles applications de la géométrie. Elle a donné des lumières précieuses sur les substances mêmes dont ces cristaux se composent. Enfin , en divisant adroitement les cristaux , suivant les faces de joint de leurs formes primitives , on a rendu compte , par la géométrie , de toutes leurs variétés; on a montré la constance des formes de la nature, jusque dans les irrégularités les plus grandes en apparence.

Indiquons, maintenant , les moyens de tailler un prisme droit , dans un corps de figure quelconque.

On tendra, près du corps qu’il faut tailler en prisme , un cordeau parallèle à la direction que doivent prendre les arêtes, direction que nous supposerons horizontale, pour plus de facilité. On posera contre le cordeau l’un des côtés d’une équerre tenue horizontalement. Ensuite , avec un fil à plomb qu’on fera cheminer le long de l’autre côté* de l’équerre , on marquera sur le corps une suite de points qui appai’tiendront à la base du prisme qu’on

Diuliizi

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SEPTIÈME LEÇO^. l5i

veut construire. Cela fait, avec la hache, la scie, ou tout autre instruuiciit, on taillera le corps suivant le plan vertical qui passe par les points ainsi marqués. On tracera sur ce plan le polygone que doit former la base. A partir de chaque sommet de ce polygone, on fera, dans le corps, clés entailles dont le fond suive partout une direction perpendiculaire à cette base ; ce seront les arêtes du prisme. De chaque arête h la suivante, on aplanira le corps, d’après les moyens indiqués dans la sixième leçon. Pour vérifier l’opération , il faudra s’assurer ; i“, que les arêtes sont bien perpendiculaires au plan de la base , et par conséejuent aux côtés de cette base qui rencontrent chaque arête. On verra , pour plus de sûreté, si toutes les arêtes conservent partout la même distance, ce qui est indispensable; et si , deux à deux , elles sont exactement dans le même plan; ce dont on s’aperçoit à la vue simple, en observant si une arête peut cacher complètement , à l’œil, tous les points de celle qui la suit ou qui la précède immédiatement. 11 ne reste plus à former que la seconde base ; on la trace avec une équerre , en menant sur les faces du prisme une suite de perpendiculaires aux arêtes. 11 faut que la dernière revienne juste au point d’où l’on est parti pour tracer la première. Telle est la méthode employée par les chai-pentiers de maisons et par les constructeurs de vaisseaux.

Loi'squ’on a taillé une première face du prisme, et qu'on veut travailler les faces contiguës, on emploie l’équcrie, ou la fausse équerre, pour mesurer les angles que ces faces doivent'faire , soit entr’elles, soit avec la base.

De distance en distance on fait sur la face qu’il faut travailler, des entailles assez profondes pour qu’une branche de l’équerre vienne s’y loger exactement ; tandis que l’antre branche est appliquée sur la face déjà travaillée : les deux branches étant dirigées perpendiculairement à l’arête qui sépare la face ti'availlée de la face à travailler.

l5a GÉOMÉTRIE.

Alors le fond de l’entaille est exactement placé sur cette dernièi’e face. '

Après avoir préparé, de distance en distance, des lignes de repère , on n’a plus qu’à enlever la matière et à l’aplanir enta'e ces lignes , pour avoir travaillé la nouvelle face.

En gfiométrie , pn représente avec des lignes qui, par leur étendue et leur position n'indiquent aucune différence , les figures en creux et les figures en relief susceptibles d’entrer exactement l'une dans l’autre. Mais, pour la pratique des arts , la différence est énorme entre la fabrication des deux espèces de figures en creux et en relief.

La fabrication des prismes nous’ en offre uni exemple. Nous venons d’expliquer par quels moyens on peut façonner un prisme en relief, avec le compas, la règle, l’équerre et des outils tranchants. Supposons maintenant qu’on nous demande d’exécuter un prisme creux; par exemple, un parallélipipède rectangle, tel que sont la plupart des boîtes employées dans nos ateliers et pour nos transports.

On commencera par réduire les planches à l’épaisseur convenable. Ces planches , étant taillées d’équerre , à la largeur et à la longueur requises, seront elles-mêmes des prismes en relief; elles vont servir de faces au prisme creux qu’on ^'eut fabriquer. Deux de ces planches sont taillées suivant la longueur et la largeur de la boîte, deux suivant la longueur et la hauteur, enfin deux suivant la hauteur et la largeur de cette boîte. On les pose cote à côte, en les unissant , soit avec des clous , soit avec de la colle. Souvent, on fixe à charnière un des côtés, qu’on

SEPTIÉMK LEÇON. 1 53

fci me avec dos serrures ou des cadenas. Si les planches sont taillées avec précision, leur assemblage formera nécessairement unparallélipipède. Il faut seulement remarquer que les planches des faces, vu leur épaisseur, doivent être assemblées à 45”, en biseau, comme flans la figure 3 , en ha , BZ»... ; ou bien à recouvrement, comme dans la figure 4<

Lorsqu'une boite est trop grande pour que la largeur d’une planche suffise à quelqu’une de ses faces , on cti met plusieurs à côté l’une de l’autre. Si l’on n’a qu'un travail grossier à faire, on pose simplement des traverses clouées sur toutes les planches d’une même face de la boite. Telles sont les caisses ordinaires d’objets qu’on floit transporter par le roulage.

S’agit-il d’elfeetuer un travail soigné? L’on joint les planches, en taillant : i°. sur le champ de l'une, BDQP, fig. 5, une languette en relief; 2 “. sur le champ de la planche contiguë BDNM, une rainure de même forme, afin que la languette emboîte exactement dans la rainure.

La languette, fig. 5 , n’est autre chose qu’un prisme rectangulaire en relief, et la rainure un prisme rectangulaire en creux. On peut fabriquer l’une e^ l’autre au rabot , ainsi que nous l’expliquerons par' la suite.

Le tenon et la mortaise , fig. 6 , sont encore deux prismes rectangulaires , l’un en relief et l’autre en creux, qui, semblables en cela aux rainures et aux languettes, sont taillés de manière à s’assembler avec exactitude. Ou les emploie lorsqu’il s’agit d’unir d’étjuerre deux prismes. Le tenon peut se tailler avec la scie ; la mortaise ne peut se tailler qu’avec le ciseau, et demîinde beaucoup plus de temps. C’est encore un exemple de la difficulté différente f(ue l’ouvrier trouve à faire un même prisme , en creux ou en relief.

La menuiserie et la charpente, outre les for- T. I. — Géom.

> GÉOMliTRIE.

mes que nous venons de citer, offrent beau^ coup d’applications ingénieuses et simples, de figures terminées par des plans : les unes en creux, les autres en relief,, et s’emboîtant avee exactitude.

Souvent les charpentiers ont à construire ou plutôt à figurer des prisnies, par des pièces de bois qui en composent les arêtes; comme dans la construction des toits. Par exemple , la fig. «j représente la charpente d’un toit ayant la forme d’un prisme triangulaire qui surmonte un prisme quadrangulaire ou maison rectangle en bois. Pour construire cette maison , le chai> pentier doit résoudre beaucoup de questions de géométrie qui sont faciles d’après les principes donnés daqs ces leçons. Il doit pouvoir mesurer et produire chaque pièce de charpente , dans sa longueur et dans sa figure véritable, avec ses angles rigoureusement relevés et bien rapportés sur les pièces de bois qu’il taille suivant la forme convenable , etc.

II est donc d’une grande importance, pour le charpentier de maisons , qu’il connaisse tous les principes de géométrie que nous avons exposés; 'afin qu’il puisse en faire une application judicieuse, et ne soit pas arrêté par les cas imprévus , lesquels ne laissent d’autre ressource à l’ignorance , que d’opérer au hasard , ii tAtons, et presque toujours mal.

SEPTIÈME LEÇON. l 55

La géométrie est plus importante encore pour le charpentier de navires ; parce que celui-ci doit produire des formes plus savantes et plus compliquées, dont; l'excellence dépend d’une exécution rigoureuse.

Une figure, en apparence plus simple que le prisme, puisqu’elle a moins de faces; mais plus compliquée en réalité, parce que ces faces ne sont pas parallèles , est la pyramide.

' La pyramide , fig. 9 , 10, 1 1 , i a , 20 , se compose de faces planes triangulaires , ayant toutes leur sommet au même point, et formant avec leur base un polygone plan. Ce polygone est la hase de la pyramide ; de même que le sommet commun des faces triangulaires est le sommet delà pyramide.

La pyramide symétrique a pour base un polygone symétrique, et son sommet est placé dans le plan de symétrie.

La pyramide régulière a pour base un polygone régulier. Il faut de plus que le sommet de la pyramide soit, avec le centre de la base, sur une ligne droite perpendiculaire au plan de cette base. Ainsi, la base étant supposée horizontale, le sommet de la pyramide doit être à \aplomb du centre de la base. Le fil à plomb ainsi placé, représentera l’axe de la pyramide régulière.

La pyramide triangulaire O ABC, figurt; la, a pour base un triangle ABC. La pyramide

l56 GÉOMÉTRIE.

quadrangulaire ABCDE , fig. 1 1 , a pour base un quadrilatère , BCDE, etc.

Les toits des tours et des clochers , soit triangulaires soit quarrés, sont des pyramides ayant pour base le triangle ou le quarré formé par la corniche du clocher et de la tour, fig- g et io.

Les obélisques sont des pyramides régulières employées comme monuments publics. Ce sont ordinairement des pyramides quadrangulaires.

Proposons-nous de tailler , dans la carrière, un pareil obélisque , supposé couché ; son axe étant horizontal et sa base verticale.

On taillera, dans le roc ou dans le granité, . un plan vertical sur lequel on tracera le quarré fiCDE, hg. 1 1 , qui doit sexn’ir de base à l’obélisque. Ensuite , on commencera la taille de la face supérieure ACD et des deux faces contiguës ACB, ADE, en observant avec la plus grande exactitude : i“. que les angles formés par les faces ACD , ACB, ADE , avec le plan de la base , soient parfaitement égaux à ceux de l’obélisque qu’on a projeté. On vérifiera cette opération , en s’assurant que le sommet A est sur une droite AO perpendiculaire au plan de là base, qui passe par le centre O de cette base. A cet effet, on verra si , dans deux directions différentes , prenant OM sur le plan de la base , puis AlV parallèle et égale à OM , la droite NM , qui doit être parallèle à AO , se trouve d’équerre avec AN et OM., Alors, l’axe OA sera perpendiculaire à deux droites tracées par le point O , sur le plan de la base. Cet axe sera par conséquent perpendiculahe à ce plan. Toutes les vérifications achevées, et les erreurs qu’elles indiquent rectifiées , on n’aura plus qu’à travailler la face inférieure ABE, dont le plan est déterminé par les arêtes AB et AE.

Demandons-nous maintenant de tailler une pyramide triangulaire de forme quelconque, dans un bloc de pierre ou de bois, en supposant que l’on connaisse la figure de la base et les angles formés par le plan de cette base avec les trois autres faces.' *

■ On trace , on taille la face plane , suivant les moyens donnes dans la sixième leçon; ensuite, au moyen 'de la fausse équerre dont les deux branches sont dirigées perr pcncliculairement aux côtés de la base , on trace trois faces planes ABO, BCO, ACO, lig. 12, faisant les angles donnés avec cette base. Ce sOnt les trois faces de la Pyramide.

Souvent la position seule du sommet est donnée par le point m , fig. 12, où la perpendiculaire Ow aboutit sur la base , et par la hauteur O/n. Dans ce cas , on trace la base, on la pose de niveau ; puis on mesure , a^-ec un fil à plomb, deux hauteurs NP, QR, égales à O/n ; les points Q , N, étant pris au niveau du plan de la base , on mène ensuite OR égale niQ, OP = ///N, et le point O où les deux horizontales OR, OP, doivent se rencontrer, est le sommet de la pyramide. Le sommet connu et marqué, l’on dégrossira d’abord le bloc de bois ou de pierre , en y faisant des cOches ou entailles en ligne droite suivant OA, OB , OC ; puis, l’on aplanira la matière entre ces droites.

Dans certains cas il serait beaucoup plus simple de commencer , au moyen d’ui? petit tracé géométrique, par mesurer les aàgles des trots faces sur la base, et de construire ensuite ces laces, sans s’inquiéter de la position du sommet.

Il suffirait , par exemple, fig. i 3 , du pied m de la perpendiculaire Om , abaissée du sommet sur la base, de me-

l58 GÉOMKTRIB.

lier mn, nip, mq , respectivement perpendiculaii-cs à ÀB, BC , CA J puis , de construire à part les triangles rectan-, gics 0/KB, Omp,Oniq : les angles Onm, Opm, Oqm, seront ceux des trois faces de la pyramide avec la base.

Les éléments nécessaires pour tracer un trian-gle font ^connaître les conditions nécessaires pour que deux triangles soient égaux. Il en est de .même relativement aux pyramides. Deux pyramides triangulaires sont égales: i“. quand trois faces de l’une sont égales à trois faces de Tautre ; a», quand deux faces et- l’angle plan qu’elles comprennent sont égaux de part et d autre; 3°. quand une face et les trois angles plans auxquels appartient cette face, sont égaux de part et d’autre; 4°- quand les six arêtes sont égales de part et d’autre, etc.

L’étude, le tracé, le calcul des pyramides ont unegi'ande importance dans les opérations topographiques , où les points dont il s'agit de déterminer la position ne sont pas dans un même plan. . Alors on rapporte la position de chaque ^ point qu’on observe, à celle de trois autres points formant un triangle pris pour base. Avec des instruments tels que le graphomètre, le cercle répétiteur et le théodolithe , on mesure l’angle que le rayon visuel mené , de chaque sommet <lu triangle pris pour base , à l’objet observé , forme , soit avec un côté de la base , soit avec le plan, de la base. Les trois rayons visuels réunis

SEPTIÈME LEÇON. l5()

aux troiscôtésde la base composent uncpyramide <Iout le sommet est le point observé. Ces opérations compliquées n’appartiennent qu’à des prol’essions savantes , telles que celles des ingénieurs hydrographes ou géographes , et celle des arpenteurs chargés d’opérations étendues , comme les opérations du cadastre.

Lorsqu’un corps est de tous côtés terminé par des faces planes, ces faces sont elles-mêmes terminées par des lignes droites qui forment des polygones plans; et nous savons qu’on peut décomposer tous ces polygones en triangh's.

Si donc nous prenons un point O dans l’intérieur du corps , ABC... , üg. 2 1 , nous pouvons , à notre gré, le regarder : i“. comme lesommetd’autant de pyramides polygonales qu’il y a de polygones pour faces du corps; 3". comme le sommet d’autant de pyramides triangulaires qu’on peut tracer de triangles sur ces faces. Dans les deux cas , l’ensemble de toutes ces pjTamides représentera complètement le corps.

Mesure des solides terminés par des faces planes. On a pris le quarré pour mesurer les surfaces; pour mesurer les volumes , on prebd le cube , solide terminé de tous côtés par des quarrés.

Cuber un corps, c’est déterminer combien <le fois il contient un cube pris pour unité. Commençons par montrer comment on mesure le volume d’un grand cube avec un petit.

ClcOMÉTIttE.

iGo

Sirpposons , par exemple*, que le côté du granel cube C, üg. 14 , contienne dix fois le côté du petit cul>e c. Coupons le grand cube eu dix tranches parallèles h l’une de ses faces, et toutes d’égale épaisseur. Cette épaisseur sera celle du petit cube. Les bases dé ces tranches contenant dix fois dix fois une des faces du petit cube , chaque tranche contiendra dix fois dix petits cubes. Donc les dix tranches contiendront en somme dix fois dix fois dix petits cubes : multiplication qu’on indique ainsi, Io^ En suivant le même raisonnement, et calculant qué a fois a fois a font 8, .3 fois 3 fois 3 font ay, etei', on verra que si les côtés du grand cube contiennent le côté du petit...

i.a. 3 . 4 * 5 . 6 . 7 . 8 .^9 .10 fois, il y a I, 8, 27, 64, ia5, 216, 343 , 5i2, 729, looo petits cubes dans le grand. ■ ' . - ' <

Pour parler par abréviation, l’on dit que 8 est /e cuùe de 2 , 27 le cube de 3 , 64 le cube de 4 > etc. Cela veut dire le nombre de petits cubes contenus dans un grand cube dont le côté égale 2, 3 , 4 ->" fois, le côté du petit cube.

Lç volume d’un prisme quadrangulaire égale le,produit de sa base par sa hauteur . ,

i“. Supposons le prisme rectan^/c, fig. i 5 . Coupons-lc, parallèlement à sa base, en autant de tranchas que sa hauteur contient de fois l’unité de mesure , c’est-à-dire, le côté du petit cube pris pour cette unité. Autant de fois la base de' la tranche contient la base de ce cube.

■' Di'j"'- ;>1 jy C .noglc

SE.PTItMK LEÇO::r. l6l

autant il y aura da pçdu cubes dans la tranche. Donc la nombre total de petits cubes égale le nombre qui indiq^ue la surface de la base ^ multiplié par le nombre qui indique la hauteqr. G’est ce qu’on appéllë le produit de la. base par la hauteur.

. ^Vv ■* ^ ‘ J

Deux, prismes ayant meme base rectangle, et même hauteur, mqîs Inn droit AG , fig, i6, ef Vautre oblique , ont même volume- i » •

Pour le prouver, j’observe que les deux prismes triangulaires ABEF^.IKUGi^, sont égaux. En effet, ils ont même hauteur. AB ; et leurî bases AEe, DIIA , sont deux* triangles, égaux^ puisque AEt=rDH , et que les deux autres côtfe »nt respectivement parallèles. Mais , sî j’ajoute, au parallélipipède ABCDEFGH , le prisme triangnlairoDÇGH&g',' et que je retranche son égal ABEFyè, j’ai le prisme. quadrangulaire' oblique ABCDe/^A. Donc ce ^rnier a même volume que le prisme rectangle de mèine' base et de même hauteur.

• On ferait voir aveofacilité que les prismes ABCDEFGH, al>cdejgh, fig. i5. Ont même volume que tout autre qui aurait même hauteur, et dont les bases seraient dcsparallélograran^es de même surface que la base rectangle ABCD.

Le volume dun prism^ droit triangulahe égale le produit de 'sa base par sa hauteur . .

En effei^ tout prisme, quadrangulaire ABCDEFGH, %• *7« peut se diviser en deux prismes triansulaires de même x-olume, et cette égalité se -conserve, quelque inclinaison qu’on donne aux arêtes du parallélipipède, saijs changer sa base ni sa hauteur.. Mais la surface delà base ABC ou ADC , de? prismes triangulaires , est moitié île la surface de ABCD base du parallélipipède. Donc le x'o,lumc du prisme triangulaire est égal uu produit de sa base, par sa hauteur, ' . •

♦ T. î. — Géom. ai

i6a GÉOMiTuiK; '

* Le. prisme polfgonal^ijuelconque ABCDE, ahcde, fig. i8, a pourwlumc le produit de sa hase par sa hauteur.

En effet , ce prisme peut se décomposer en autant de prismes triangulaires que sa base AI 5 GD, peut contenir de triangles ABC, ACD.-..Tons ayant la hauteur même du prisme total , leur volume total sera la^omme des bases triangulaires ABC, ACü, ABE... , multipliée par la hauteur.

Cubage des pyramides. Commençons par Ja pyramide irifliigiilaire.

Le volume d'une pyramide triangulaire est le tiers du produit de sa hase par sa hauteur.

Pour le démontrer, prenons le prisme triangulaire quel- •couque AP, fig, 19 ; coupons-le par un plan AGE qui ]>assc par le côté AC de la hase et par le sommet de l’angle E.Nousaurons d’abord unepyraiKide triangulaire ABGE, ayant même base et même hauteur que le prisme. 11 nous reste une pyramide jquadrangulaire dont ACFD est la base, et E le sommet; divisons-la en deux pyramides triangulaires par un plan AEF. Nous aurons la pyramide renversée AUEF, dont DEF est la base et A le sommet : pyramide qui, parconséquent,amême baseetmême hauteur que le prisme donné. Enfin , si nous comparons la troisième pyramide AGFE à ADEF, nous ■i’cffons qu’elle lui est égale en volume; parce qu’en prenant tps triangles ADF=ACF pour leurs bases, elles ont même som- Uièt £..Bodc, enfin, on peut regarder le volume de tout prisme triangulaire comme équivalent à celui de trois pyramides ayant même base et même hauteur ; donc, le produit de la base de chaque pyramide par sa hauteur, qui est le volume du prisme, est égal à trois fois le volume de cette pyramide. . .1

SËPTlÈMi: l,KÇOM. l\VS

Ix volume d une pyramide quelconque, fig. 20, est le tiers du produit de la hase par la hauteut.

, Pour le démontrer, divisons la base en trianj’les ABC, ACl), ADE... , dont cliacun soit la base d’une pyramide triangulaire ayant 0 pour sommet. Chacune de ces pyramides triangulaires, aura pour mesure la surface des triangles ABC , ACD... , multipliée par le tiers de la hauteur commune OH. Par conséquent , la pyramide totale aura pour mesure le produit du la base totale par le tiers de cette hauteur.

Cubage dun corps terminé par tant de faces planes qu’on voudra, fig. 21. On prend dans ce corps un point quelconque O , pour sommet de pyramides ayant pour basé les faces planes du corps. La superficie de chaque face , multipliée par le tiers de sa distance au sommet O , sera le volume de la pyramide correspondante , et la somme des produits sera le volume du corps. Pour qu’il fût aisé de mettre cette méthode en pratique , il faudrait qu’on pût se placer dans l’intérieur du corps à faces planes , et mesurer directement la distance de chaque face à ce plan. Sans cela , l’on se jetterait dans des opérations de géométrie extrêmement compliquées, et qui ne peuvent convenir à la rapidité, à la simplicité des opérations de l’industrie. Il existe heureusement une autre méthode , ü la fois plus facile et plus expéditive.

Avant (l’exposer cette méthode, demandons-nous d’evaluer le volume du tronc de prisme triangulaire ABCDEF , fig. 11. Nous pouvons le (lécomposcr en tious pyraini-

l64 GÉOMÉTRIE,

des ! la première ayant ABC pour base, BE pour hauteur ; et, par conséquent, pour volume, la base ABC multipliée par le tiers de BE. La seconde pyraijiide ayant ACF pour base , et son sommet eh E est équivalente à* la pyramide ayant en B son sommet , et ACF pour base ; ou ce qui revient au même, ayant ABC jiour base et sou sommet en F. La troisième pyramide ADFE est équivalente à la pyramide AÜFB, laquelle est équivalente à ABCD.^Donc, enfin, le tronc de prisme ABCDEF est èquwalent en t’oltirne à trois pyramides ayant ABC pour base commune et leurs sommets respccti/s en D , E , F, à l’extrémité des trois arêtes.

Si les trois arêtes sont perpendiculaires à la base , or» aura pouj- volume des trois pyramides et par conséquent du tronc de prismft, surface' ABC X î (AD plus BE plus CF).

. On demande le volume d’un tronc de prisme MN ODEF, fîg. a3, compris entre deux plans M?fO, DEF, obliques aux arêtes du prisme ? Pour le trouver, en supposant que ABC soit perpendiculaire à ces arêtes, on aura v

- Folnme ABCDEF = sur/. ABC X KAD-f-BE+CF) Folume ABCMNO=sn;^. ABC X i (Aftl + BN-f CO)

- Donc,* enfin, .»

FolumeMfiOïiEF=surf. ABCX j (PM-|-EN-j-FO.)

^ Avec ces principes, on déterminera facilement le volume d’un corps terminé par des faces planes quelconques ; on décomposera ce corps en prismes et troncs de prisines triangulaires, dont on obtiendra sur-le-champ le volume. La somme de tous ces volumes sera celui du corps même.

On peut démontrer avec une égale facilité que tout prisme ou tronc de prisme quadrangulaire ABCDEFGH , fig. 24 , ayant ses arêtes perpen-

Dh'flzed t>y Cj

SEPTIÈME EEÇOïC. l05

diculaires à la base ABCD , a pour voluine la surface de cette base rrudtipliée par le quart de la somme des quatre arêtes AE, liF, CG, DU.

Pour cela, décomposons successivement le prisme quadrangulairc en deux prismes trianp;ulaircs AJICEFG, ADCEHG, puis ABDEFII, BCDFGII.

JVous aurons pour volume des deux premiers prismes = i surf. ABC DXi (AE 4 -BF+CG+AE+DII-I-CG), et pour volume des deux seconds prismes = i surf. ABCDxi(AE-fBF+DH-|-BF + CG + DH) Prenant la somme de ces deux produits , ou a deux fois le volume du prisme qu.adrangulaire,

— ^surf. ABCDx-i (3AE4-3BF+3CG4-3DH Donc le simple volume du prisme quadraiiguH^c est ^surf. ABCD (AE+BF-frCG+DH).

AppUcationaucubage de la carène des navires.

Nous avons vu, dans la seconde leçon , qu’on divise la carène en sections horizontales , par les plans horizontaux des lignes d’eau , qui sont à égale distance. On la divise eu tranches verticales par d’autres pl!ms également espacés , appelés plans des couples. Ces plans coupent le volume de la carène en prismes rectangles d’égale hase , tronqués de chaque hord. On obtient le volume total de ces troncs de prismes, en multipliant leur base commune par le quart des quatre arêtes de chaque prisme. Mais chaque arête sert à quatre prismes (i); donc le volume

(i) Excepte les arêtes des bords qui ne servent qu'i deux'prismes et qui, pour cette raison, ne doivent être prises chacune que 7 fois. Il peut y avoir quatre arêtes qui ne servent qu'à un prisme, et dontilê'aut simplement prendre le quart pour l'ajouter a la somme de toutes les arêtes qui serrent à quatre primics.

iGG GKOMÉTiUE,

total (le la carène du navire égale la surface d’un des rectangles, c’est-à-dire, le produit de la distance des plans de ligne d’eau , par la distance des plans découplé, et parla simple somme de toutes les arêtes , lesquelles sont des horizontales placées, à la fois, sur chaque plan de couple et sur chaque ligne d’eau. Cette opération approximative; aussi simple que facile, peut servir à calculer le volume de tout autre corps.

Deux corps sjmétriques sont égaux en volume.

En effet, si nous d(*composons ces corps en troncs de prfsnies triangulaires ayant j>our arêtes les lignes parallèles quistlcterminent la symétrie , pour chaque tronc de prisme WNODEF, fig. a3, placé d’un coté du plan de symétrie ABC , nous aurons de l’autre côté un tronc de prisme mnodef, tel que U3I=; , EN = en , FO =-fo ; •

et les deux troncs seront égaux en volume. Donc la somme de tous les troncs de prismes, pour le premier corps, est égale à la somme de tous les troncs de prismes correspondants, pour le second corps. Ainsi, quand deux corps à faces planes sont syiftclriqucs, leurs volumes sont toujours égaux. Cette propriété étant vraie, quel que soit le nombre des faces, le serait encore, quand il y aurait tant de faces si petites qu’on pût regarder les corjw comme terminés par des surfaces courbes et non plus par des faces planes.

Par conséquent, tout plan de symétrie d'un corps', coupe ce corps en deux parties d'égal volume.

Des solides semblables- Deux pyramides A J3CD,” abcd, lig. a5 , sont semblables, quand toutes leurs arêtes correspondantes AB et ab, BC et bc , CD et cd , AD et ad, sont parallèles.

Il est évident , eu effet, qU’alors les tiianglcs formes

par leurs laces correspondantes , ayant leurs côtés parallèles , sont senihlalïles. Donc les trois angles plans qui forment chaque sommet des deux pyramides sont rcsjjectivement égaux. De plus, les trois arêtes formant chaque angle solide étant parallèles , si l’on transjiorte abcd parallèlement à elle-même , de manière que le ' ■

point a vienne se placer en A , ab s’appliquera sur AB, ac sur AG, ad sur AD; donc les plans abc et ABC, abd et ABD, acd et ACD , se confondront ; donc aussi les deux angles solides A et a des deux pyramides seront égaux, üii démontrera de même que les angles solides B et Z>,C et c , D et r/ , sont égaux. Toutes les conditions |^K>ur que les deux figures soient semblables sont donc remplies par la seule condition que les deux pyramides ont leurs côtés correspondants parallèles.

Si deux pyramides triangulaires, sans avoir leurs côtés parallèles, ont leurs ai ôtes proportionnelles, elles n’en seront pas moins semblables.

En elfet , les trois côtés de chacune de leure faces correspondantes étant proportionnels , ces faces seront semblaldes , les angles plans seront égaux , et par conséquent aussi, les angles solides qu’ils forment trois à trois. Toutes les conditions de la proportionnalité seront ainsi remplies.

Deux solides terminé.s par des faces planes sont semblables , quand leurs arêtes correspondantes sont proportionnelles, et leurs angles cerres- ^ pondants , plans ou solides , égaux eutr’eux.

En cll'et, on jieut toujours décomposer ces solides en pyramides dont les côtés soient proportionnels, et par conséquent les angles correspondants égaux.

Les volumes des pyramides semblables ABCDE... , abede, fig. 26, sont proportionnels aux cubes des arêtes correspondantes.

ï68 CÊOMÉTKIE.

' En effet, le volume de chaque pyramide égale le pit>duit de sa base par le tiers de sa, hauteur ; or , les bases BCDEF, bcdcf...., étant des figures semblables, sont proportionnelles au quari'é construit sur un de leurs côtés; on a donc, /t^. 26 :

Surfaces... BCDEF : bcdef : : BCMN : bcmn.

, A présent , sur BCMN, et bcmn comme bases , construisons un cube, nous aurons pour volumes des deux cubes : BCî=BC^XJiC , et bc^=:bc’^^bc.

Mais BC •. bc ^ AU : j ah ;

Donc BC’ : ic’ :: BG^Xi AH :

Dans la dernière proportion, les deux derniers termes représentent le volume des deux pyramides, et les deux premiers termes représentent le volume des deux cubes.

Les volumes de solides semblables , terminés par tant de faces planes qu'on voudra , sont comme les cubes des lignes correspondantes.

En effet , nous pouvons les décomposer en un même nombre de pyramides semblables , ayant toutes le même rapport r, pour celui de leurs côtés correspondants Mais deux pyramides dont les côtés correspondants sont enlr’eux comme i est à r, ont des volumes qui sont entr’eux comme 1 est au cube de r. En ajoutant d’un côté toutes les petites pyramides , de l’autre toutes les pyramides r’ fois plus volumineuses , les volumes seront entr’eux : : i : /•’.

Il faut expliquer cette leçon , en montrant aux élèves , dps prismes et des pjramides en relief, égaux , semblables -, symétriques, etc. De même , il faudra qu'on leur explique les leçons suivantes , en leur montrant des cy lindres, des cônes , des sphères, etc. , en relief, avec des sectioni bien exécutées.

Les cylindres.

Lorsqu’une ligne droite se meut le long d’uhe courbe ABCD..., fig. i , 2,3, en restant toujours parallèle à une direction donnée, cette droite engendre un cylindre. Elle est, pour ce motif, génératrice du cylindre.^ Chaque

droite Au , B6 , Ce... , qui représente une position de la génératrice , est une arête du cylindre.

Il existe autant d’espècefe différentes de cylindres, que d’espèces de courbes ABCD..., qui peuvent servir à diriger le mouvement de la droite génératrice. De plus, avec une même courbe ABCD , fig. i et 2 , on peut former une infinité de cylindres difl’érents , suivant les itaclinaisons diverses qu’on donne à la droite génératrice , Aa , lAh....

Comme, aux yeux du géomètre, une droite complète s’étend à finfini par les deux bouts j un cylindre, pour être cômplet , doit s’étendre à l’infini par les deux bouts de ses arêtes.

Mais , dans l’industrie , les cylindres ont toujours une longueur limitée , des deux côtés de leurs arêtes ; ainsi , pour un artiste , tout cylindre a deux extrémités,

T. I — Géomj

I>yO ■ ^ GÉOMÉTRIE.

- Quand, d’un bout, le cylindre se termine par une superficie plane ABCD, on appelle base cette superficie. Si le cylindre est terminé des deux bouts par des superficies planes et parallèles , on dit qu’il a deux hases. Il est droit , fig. i, ou oblique , fig. 3 , suivant que ses arêtes sont perpendiculaires ou obliques aux plans des bases.

Parfois , l’un des plans qui terminent le cylin- I dre n’est pas parallèle U l’autre, comme dans la lig. 8 , où l’on voit un cylindre terminé par les superficies planes ABCD,MNPQ. L’on suppose^ alors , que le plan MNPQ a tronqué le cylindre è bases parallèles ABCDabcd , et l’on appelle troue de cylindre ou cjlindre tronqué, \a partie ABCDMNPQ , de même que aict/MNPQ.

Le cylindre dont la base est un cercle , se nomme cylindre circulaire. Les artistes le nomment simplement cyùWrc; parce qu’il est d’un usage pour ainsi dire exclusif , dans la plupart des branches de l’industrie. ‘

La ligne droite Oo , fig- 4 . menée par le centre des cercles qui servent de bases au cylindre circulaire, est Vaxe de ce cylindre ; elle passe par le centre de tous les cercles formés en coupant le cylindre par des plans^ parallèles au plan des deux bases.

Diaprés les propriétés des parallèles ( que nous avons démontrées, deuxième leçon) , la surface du Cylindre est exactement la même , lorsqu’on la

Digilized h - C

HUITIÈME LEÇOît. iqi

produit ; i”. par le mouvement d’uue droite prenant successivement les positions parallèles Aa, B 6 ,Cc,Dc?..., le long de ABCD... , fig. 3 ; 2 *. par le mouvement de la courbe AJ3CD...., fig, 4 , qui prend successivement les positions parallèles ABCD, A'B'C'D', A"B"G"D" , etc. , le long d’une ligne droite : de manière que le même point de la courbe , A , par exemple , occupe tour à tour les positions A', A", A'"..., d’une arête Aa.

Les arts ont mis à profit ces deux moyens d’engendrer le cylindre droit et circulaire. Suivant qu’ils ont besoin de donner à cette surface une grande continuité dans un sens plutôt que dans un autre , ils préfèrent le premier mode au second , ou le second au premier.

I. Confection du cylindre par arêtes. Lors-r qu il importe surtout de donner au cylindie une continuité parfaite dans le sens de ses arêtes , on inscrit dans un cercle , ou l’on circonscrit au cercle , un polygone régulier d’un assez grand nombre de côtés , ABGDE ; puis ou exécute avec précision autant de facettes planes ou parallélogrammes ABôa BGcô , etc. , lig. 3 , quil y a de côtés dans la base. Ensuite , avec un rabot, une bâche, une bisaiguë, une scie, ou tout autre instrument propre à tailler des surfaces planes, en suivant la direction longitudinale des droites parallèles Aa, Bô^ Gc... , l’on abat ces arêtes saillantes , et l’on arrondit le cylindre.

CéOMÉTRIE.

Par ce' moyen , l’on s’assure que la surface satisfait à la condition d’être formée d'arêtes rectilignes et parallèles. Mais l'on n est pas également sûr que la surface qu’elles représentent ait par:tout un cercle pour contour ; parce que le rabot, la hache, etc. , donnent la continuité dans le sens rectiligne des arêtes, et non pas dans le sens du contour circulaire. ■ •

Application à la confection des mâts de navire. Ces mâts et surtout les mâts supérieurs ( de hune et de perroquet ) ont besoin que leur surface soit très-continue dans le sens de la longueur, afin que les colliers des vergues ( appelés colliers de racage ) glissent sans résistance, de bas en haut et de haut en bas , autour de ces mâts : aussi l’ouvrier exécute-t-il ses mâtures suivant la méthode que nous venons d’expliquer.

II. Correction du cjlindre, par courbes égales et parallèles. Quand il s’agit d’assurer, avant tout, la continuité dans le sens perpendiculaire à la longueur, des arêtes , on fait usage d’outils de tournage. Avec ces outils, 'on décrit successivement un assez grand nombre de cercles ABC.

A'B'C', A"B"C", ...fig. 4 J pour que leur ensemble repi'ésente un cylindre. Alors on est sûr que la surface exécutée est parfaitement circulaire et continue dans le sens transversal ; mais , eu général , on n’est plus certain de la continuité dans le sens longitudinal.

Diylilzad by Gooy^Ic

HUITIÈME LEÇOH. i']?*

Application à la confection des bois de lance, des hampes découvillon, etc. J’ai vu , dans les arsenaux d’Angleterre , emploj'er le moyen suivant, pour tourner des surfaces cylindriques J On prend un prisme en bois dressé d’avance à quatre ou à huit pans; on le pousse dans l’entonnoir d’un rabot circulaire. A mesure qu’il chemine, le fer du rabot l’arrondit. Par ce moyen , l’ou forme une surface cylindrique exactement circulaire, si le prisme est parfaitement droit; mais plus ou moins infléchie, si le fd du bois est gauchi quelque part.

Lorsqu’on veut exécuter une surface qui soit rigoureusement cylindrique , il faut s’assurer de la continuité dans les deux sens. Voilà ce qu’oii fait, par exemple , eu conduisant l’outil tranchant du tourneur, au moyeu d’un guide parallèle à l’axe du cylindre , de manière à ce que le tranchant reste toujours à la même distance de cet axe. Alors on est certain que tous les cercles sont égaux entr’eux , et que les arêtes sont exactement rectilignes.

Application aux treillis , aux grillages , etc. Les deux moyens d’exécuter un cylindre se réunissent pour faire des surfaces cylindriques à jour, telles que celles des grillages et des treillis. On emploie , soit des fds, soit des barres de fer , soit des tringles de bois , ou de simples cordages tendus eu ligne droite , pour re-

l<y/[ GÉOMÉTRIE.

présenter ks arêtes. Des cerceaux de même' matière, ayant tous même grandeur et naême courbure, représentent les courbes égales et parallèles aux bases du cylindre. L’on soude ensuite, ou l’on attache avec des fds métalliques ou autres, les arêtes et les courbes, à chaque point où elles se croisent f et la surface cylindrique est parfaitement représentée. C’est ainsi qu’on donne une figure cylindrique à des tours , à des colonnes de treillis , à des cages , à des paniers , etc.

On peut figurer des cylindres d’une certaine grosseur, en réunissant côte à côte un grand nombre de plus petits cylindres , et les attachant extérieurement par des cerceaux , ou par des courroies circulaires. Telles sont les fascines exécutées pour les travaux militaires. Tels sont les faisceaux de piques, formés dans un but d’ornement ou d’utilité, etc. . ■ >

Il y a des arts dont l’objet principal est de fabriquer des surfaces cylindriques , en pliant des surfaces planes continues. (Voyez , dixième leçon. Des surfaces développables. ) . «

Ainsi le boisselier prend des planches bien aplanies , et partout également minces, pour les plier suivant la forme et d’après les dimensions des diverses mesures ^ telles que l’hectolitre , le décalitre , le litre , etc. On appelait boisseau l’ancienne mesure cylindrique employée

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IICITIÈME LEÇON. l^S

pour les grains; l’artisan qui fabriquait des boisseaux a pris le nom de boisselier.

Pour s'assurer de la fox'me cylindrique de ses boisseaux , cet artisan leur donne un fond plan et solide , pareil ù celui des barriques. Souvent le bord supérieur des boisseaux est garni d’un cercle de fer et d’un ou deux diamètres en fer ; ce qui empêche que la mesure ne prenne une figure irrégulière, et ne change de contenance.

Le chaudronnier et le ferblantier , qui travaillent avec des feuilles très-minces de cuivre , de tôle et de fer-blanc, fabriquent très-souvent des surfaces cylindriques; ce sont les plus faciles de toutes les surfaces courbes qu’ils aient a fabriquer. Tels sont les tuyaux de poêle, les gouttières, etc. On donne ordinairement à ces artistes le diamètre et la longueur de chaque tuyau; ils en concluent sur-le-champ la circonférence du tuyau : circonférence qui , multipliée par la longueur, leur fait çonnaître la surface des feuilles de cuivre , de tôle ou de fer-blanc, dont ils ont besoin.

Il faut avoir soin d’ajouter: i°. à la circonférence du tuyau, une largeur égale au recouvrement des deux parties de chaque feuille qu’on doit mettre en contact pour former le cylindre ; 2 ®. k chaque longueur des tuyaux , un surplus égal à 1a longueur de leur emboîtement bout à bout.

Les chaudières des machines à vapeur àoïseat

^,^6 géomé^rik^

être comptées parmi les plus grands ouvrages que le chaudronnier exécute suivant la forme du cylindre ; mais ces chaudières ne sont pas à base circulaire. ( Voyez tig. 5. ) Pour assembler les diverses feuilles de tôle ou de cuivre , dont se compose une grande chaudière , il faut employer des clous cylindriques , ou rivets , qui traversent les feuilles avec une précision telle qu’aucune portion de la vapeur ne puisse séchapper entre eux et les feuilles. On parvient à ce résultat avec un groupe de quatre à cinq poinçons également espacés et formant une matrice unique. Gîtte matrice peut se lever et se baisser alternativement, au moyen d’un appareil méchanique très - puissant. La feuille de tôle , dans laquelle il faut percer les trous que devront traverser les rivets cylindriques , est posée sur un châssis. Ce châssis reste immobile quand la matrice s’abaisse , afin que tous les poinçons traversent la tôle , à la distance requise. Quand la matrice se relève après avoir percé les trous cylindriques , la feuille avance d’une longueur telle que les poinçons, en s’abahssant de nouveau, percent les quatre ou cinq trous suivants , à la distance convenable des premiers.

Tel est le moyen qu’on emploie pour préparer l’assemblage exact, non-seulement des feuilles métalliques dont se composent les grandes chaudières des machines h vapeur , mais les

Dij ■ ^'ecl by Googlt

• HUITIÈME tEÇO». '. '17^

feuilles qui servent à fabriquer l’enveloppe extérieure des navires en fer , les caisses à eau récertimeut introduites dans la marine, etc.

Remarquons, au sujet de ces caisses en fer, qui ont la forme de cubes ou de prismes rectangles tronqués, que les ai'êtes «le ces cubes et de ces prismes, sont émoussées, et figurées par des portions de tôle arrondies en quart de cylindre droit circulaire.

Le plombier et le facteur d'orgues exécutent leurs tuyaux en forme de cylindres. Pour fabriquer ces tuyaux , on peut les plier, comnvî les^ plient le chaudronnier et le fcrlilantier , ou les tirer à la filière.

* ' Fabrication des cjlindres par l’étirage. Je. vais décrire un moyen pratiqué dans farsenal de Cbatham,pourexécuter,en plomb, des cyli mires creux d’une épaisseur et d’un diamètre donnés.

Soit ABÇD, fi". 6 , uncvlimlre massif ayant pour dia-, mètre, le diamètre intérieur du cylindre creux qu’il s’agit (le produii'e. On commence par couler, autour du cylindi-e inas.sif,- ou d’une matrice de même diamètre , un cylindre de plomb, plus épais et plus court que celui qu’on veut fabriquer. On enfile le cylindre massifABCU, dans le cylindre creux : puis , on fait passer le tout dans une filière circulaire, qu’on féU’écit à cliaquc Ibis. Par l’effet de la filière , le cylindre creux s’amincit et s’allonge^ en conservant pour diamètre intérieur le diamètre de ABCD. On l’amène ainsi , par degrés, à l’épaisseur convenable. Ce moyen pi'oduit des cylindres dmitla continuité

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