II

« . fi EOMETRI E.

dans les deux sens est assurée , lorsque le çylindre solide' ABGD est paifaitement exécuté.

Les ûls métalliques de toutes grosseurs , de même que les barres de fer rond , sont des cylindres qu’on fabrique en les réduisant au diamètre convenable , , par le moyen de {'étirage. On les fait passer au travers de trous circulaires ' ‘ qu’on appelle des filières. Ces trous circulaires sont de moins en moins grands , afin de réduire . graduellement, à chaque passage, la grosseur de la barre ou du fil.

' Fabrication des cylindres par la fonte et le moulage. Tels sont les tuyaux de fer coulé qu’on emploie dans nos cités, pour la conduite des eaux et tlu gaz; tels sont les tuyaux employés pour les , corps de pompes à eau, à air, ü vapeur, etc.

Fabrication des cylindres par le forage. Le moulage suUit pour les tuyaux tels que ceux qui servent la conduite des eaux, où l’on n’a pas besoin de formes extrêmement précises. Mais , pour les tuyaux qui ont besoin d’une précision , mathématique, tels que ceux des corps de pompe, de môme que pour l’intérieur, \âme des canons, des obusiers et des mortiers, il faut souvent recourir ù dos moyens plus rigoureux telle est l’opération duf orage. ( Yo;. cz , douzième leçon , Surfaces de révolution. )

Fabrication des cylindres parle sciage. Enfin on peut exécuter le cylindre avec la scie: 1“. en

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HL'ITIKME I-EÇON. I79

tenant fixe'Je coqjs qu’on veut scier, et faisant avancer la scie parallèlement à une direction donnée, tandis qu’elle suit une courbe tracée d’avance: c’est ce que font les scieurs de long; a*, en faisant monter et descendre la scie dans sa propre direction, sans avancer ni reculer, et donnant au corps h scier un mouvement curviligne convenable. C’est ainsi qu’on travaille des surfaces cylindriques, dans les moulins à scie.

Construction des cylindres, parles architectes'.- Quand les architectes veulent exécuter une surface feylindriquc, telle que le cintre d’une porte, d’une voûte, d’une arche de pont, etc. , ils commencent par construire , en charpente, une surface cylindrique piV^sentant un relief exactement identique avec le contour du cintre qu’il s’agit de construire. De distancé en distance, ils construisent un polygone ABCDE, fig. 7 , inscrit dans le contour du cintre, et donnent îi ce polygone un nombre de côtés assez grand pour former, avec le cintrC) des segments faciles k remplir, sans trop dépenser de bois. Ils remplissent, en eifet, les segments, avec*"des morceaux' de bois sur lesquels ils posent, côte ^ cô,lc, de<f madriers droits, que la figure 7 montre par un bout. Le dessus de ces madriers forme la surface cylindrique sur laquelle les maçons vont poser les pierres de la voûte, qu’ils appellent voussoirs.

Afesurv de la surface des cylindres. Nous

l8o ’ GÉOMÉTHIK. s

pouvous considérer lu surface des cylindres contine composée d’autant d’ai étes que nos yeux puissent en distinguer, en les-traçant aussi près que possible les unes des autres, et regarder le cylindre comme un prisme terminé par un graud nombi-e de facettes extrêmement étroites.

Alors le contour de la base est un polygone qui se confond k nos yeux avec celui qui sert de base au prisme.- )

' Si le ejUndre est droit , sa surface ( sans compter les bases ) égale le contour d' une de ces buses , multiplié par sa hauteur. • ’

La surface totale du cylindre droit circu^ luire , et des bases , égale la circonférence dune des bases, multipliée par la longueur dune arête , plus la longueur d’un rayon des bases.

Dans le prisme ABCD»... abed..., fig.'8,nons pouvous couper la surface longitudinale suivant l’arêle A.a,e\. faire successivement tourner cha-% que facette BicC, Cc(/D, etc. , pour la rà'mener dans le plan de AaM 3 . Alors nous formons une ligure planecomposée de parallèles ka,hb. Ce... , fig. 9 , et de côtés Alî, BG , CD, DE... , ab, bc, cd, de.... perpendiculaires à ces parallèles; ce qui. exige que ABC DE.,, , abede... , soient deux lignes droites parallèles eutr’elles, et perpendiculaires aux arêtes Art, Bô,etc. JjC rectangle, ainsi produit, fig. 9, est ce qu’on appelle le développement du contour du prisme. La surface du

TIKITIÈME LEÇON. l8l

prisme est développable , parce que ce tléveloppemeiit a pu s’exécuter, sans que les partit*» de surl’accs AaèB, B6cC, etc., aient eu l>esoin de s’allonpçer ou de se resserrer, pour rester côte à côte, et foriaer une .surface plane continue. Nous consacrons une leçon spéciale aux surfaces développables , parmi lesquelles il faut placer les cylindres, qu’on peut considérer comme des ]>rismes ayant une intinité de côtés.

Faisons, dans le cylindre «Iroit , li;^. 8, deux sections obliques et parallèles MiNPQ, mnprj; puis, demandons-nous de mesurer lu surface cylindrique comprise entre ces deux sections. Il est évident que les portions d’arêles Mm, , P/>, Q/y...., étant des lignes droites parallèles comprises entre deux plans parallèles , sont toutes égales. Si donc on regarde le cylindre comme nu prisme d’un grand noinbie de facettes , lu surface des parallélogi ammcs représentant chaque facette, sera : *

Surface MwnN = AU , multiplié par Mm ,

Surface K«/>P = BC, multiplié par Pi« =Mm ;

Surface VpqQ^Cl) , iiiiilliplié parPy; = Mm, etc.

I)ono, enfin, surface MNPQ... mnpq — AUCÜ.. , multiplié par Mm.

C'est-à-dire égale le contour de la base AUCü... , multiplié pai- la longueur d'une des portions d’arêtes eou.priscs entre les deux plans purallcles. ,

Si l’on demandait de mesurer la surlàce du

«8a 'GÉOMÉfRIE. '•

tronc de cylindre ABCD... MNPQ , fig. 8 , il faudrait développer la surlace cylindrique, en marquant chaque arrête AM, BN , GP... , suivant sa longueur , et déterminer sur le développement, lig. 9, la surface ABCD.... MNPQ.

En supposant que le cylindre fût un prisme d’un grand nombre de facettés égales, on aurait, si l’on fait AB = BC = CD...

Surface du tronc du cylindre ABCD...

MJNPQ... = AB ( AM + BN‘-h CP-H DQ..;), cest-à-dire, Ui Largeur dune des facettes, multipliée par la somme des arêtes de ces facettes.

Mesure du volume des cylindres. Si nous regardons le cylindre comme un prisme composé d’un très-grand nombre de facettes, nous verrons que son volume égale la surface de sa- base, multipliée par sa hauteur.

La base du cylindre droit circulaire, étant un cercle, a pour surface sa circonférence multipliée par la moitié de son rayon.

Donc le volume d^ ce cylindre est égal à la circonférence de labase, multipliée par la moitîédu rayon de eette base, et parla hauteur du cylindre.

Les prismes obliques, ou droits, de môme base et de meme hauteur, sont égaux en volume, <lonc les cylindres , obliques ou droits , de même base et de même hauteur, sont égaux envolume.

On peut iléterminev très-facilement le volume d'un tronc de cylindre droit circulaire. Soit

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HUITIÈME LEÇON l83

ABC, figure lo, le cercle qui sert de base à ce cylindre , et Oo l’axe : le volume du tronc de cylindre ABCf/!.., égale la surface de la base multipliée par l’axe Oo , c’est-à-dire , égale le volume du ‘cylindre droit a;fant Oo pour hauteur.

Afin de le démontrer, imaginons le cylimlre droit ABCamcn , dont la base supérieure a son centre en o. Je dis que les deux volumes afnnc , cmnf 9 ,ont égaux. En eft’et, remarquons d’abord que O étant le centre du cercle omcn^ le diamètre mon, divise ce cercle en deux parties égales.

Maintenant , autour de mn comme charnière, faisons tourner de deux angles droits le volume mnae, alors le demi-cercle mua s’appliquera sur le demi-cercle mnC-, toutes les portions d’arête, telles que ae, etc.; se confondront avec les arêtes fc ^ etc.; enfin le plan de mne se confondra avec le plan de mnf. Donc les deux volumes sont compris entre trois surfaces qui se confondent; par conséquent ils ont môme volume. Mais, le cylindre droit possède mnae. de plus, et mnef de moins, que le cylindre tronqué ABC^. Donc , les deux cylindres sont égaux en volume ; et la mesure de l’un est aussi la mesure de l’autre.

De môme qu’il y a des secteurs de cercle AOB, fig. 1 1 , il y a des secteurv de cylindre ,c[ui ont le secteur de cercle pour Jiase et qui sont terminés, il’un côté AHZui par la surface même du cylindre.

CÉOMéTRlE.

et de deux autres côtés par deux plans AaoO , hhoO, qui passent par l’axe Oo du cylindre,,.

Un segment de cylindre a pour base un segment de cercle ABC, fig.^a, et pour contour ; i”. la partie cylindrique ACBAcn ; a®, un plan ABha parallèle à l’axe, et présentant la ligure d’un parallélogramme,

Application des propriétés du cylindre à la détermination des ombres. Les rayons du soleil , lorsqu’ils arrivent jusqu à nous, sont parallèles» i'i si peu de chose près, que les instruments les plus précis auraient peine a montrer lu plus légère dilléreuce dans la direction de ileux rayons solaires tombant à une distance même assez considérable l’un de l’autre, comme aux extrémités opposées d un gtand eildice, C est pourquoi , dan^ les arts, on regarileles rayons de lumière émanés

' du soleil , comme exactement parallèles. ^

Lorsqu’une porte, ou une fenêtre, ou une voûte en arc de cercle AliCDL, fig. i3, est éclairée par les rayons solaires An, Bû, Ce, Dû?, Ee,... ces rayons étant des lignes droites parallèles entr’eÜes , qui passent par la circonférence d’un cercle, tracent un cylindre ou un prisme dont ABCDE est la base. Ce cylindre séparé toute la partie de l’espace éclairée par le soleil, en dedans de la porte , de la fenêtre ou de la voûte , et la partie placée dans 1 ombre.

■La considération des cylindres , de leur ligure

UUITIÙME LEÇON. lôÿ

ctde leur position, est par conséquent d« la plus liaute importance , lorsqu’il faut déterminer les parties éclairées et les parties placées dans l’ombre , pour l’architecture , la peinture et généralement tous les arts du dessin.

Dans les leçons suivantes , nous donnerons les moj'ens de résoudre géométriquement les principales questions relatives aux ombres.

Application des propriétés du cylindre à Lt géométrie descriptive. Une des applications les plus utiles des propriétés du cylindre , est l’emploi qu’on fait de cette surface pour représenter, sur des plans, le dessin ou la projection des lignes courbes quelconques.

Supposons qu’on ait dans l’espace une courbe ABCDE...., fig. i4, qu’on veuille représenter sur le plan de projection MNPQ. A partir de chaque point de cette courbe , on mènera une perpendiculaire jusqu’à ce plan. La suite des points a, b, c, d, e,... qui seront, sur ce plan, les pieds des perpendiculaires, va former une courl»e qui sera la représentation géométrique , ou ,• comme on dit , la projection de la courlwi ABCDE.

Ordinairejnent on pi’ojette chaque courbe sur deux plans MNPQ , PQRS, perpendiculaires l’un à l’autre; de sorte que les ligues de projection An, Mb, Ce.... perpendiculaires au premier plan , sont parallèles au deuxième plan, et que les T. I. — Géum. i4

t86 GKOMÉTRIE.

lignes de projection Aa', Bé', Ce', ... , -perpendiculaires au deuxième plan, sont parallèles au premier. Les deux projections abede, a'b'c'd'e' , comme nous le verrons en traitant de l’intersection des surfaces, suflisent à la détermination complète de la courbe ABGDE.... quelles représentent.

Nous savons qu’avec le plan, l’on peut construire ou fabriquer les cylindres ; réciproquement , avec les cylindres l’on peut construire ou fabriquer des plans.

^Application du cylindre aux travaux agricoles. Avec un cylindre qu’on fait rouler sur un chemin récemment sablé, sur un tapis de gazon , ou sur une terre fraîchement labourée , on refoule les parties saillantes , pour les mettre au même niveau que les parties enfoncées; on aplanit le terrain , pour en faire une surface plane.

JppUcation du cylindre au feuilletage de la pâte. Le boulanger emploie un cylindre de bois * qu’il appelle &7/e«e, et qu’il fait rouler en la pressant et la poussant avec ses mains, pour aplatir la pâte et la transformer en feuilles* terminées, dessus et dessous, par des surfaces planes.

Combinaison des ctlindres : les laminoirs.

Au lieu d’employer un seul cylindre pour produire des surfaces planes, on trouve beaucoup d’avantages à combiner deux cylindres dont les

axes sont parallèles. Soient AB, ah, fig. i5, les axes des deux cylindres (jui. sont tenus <le manière ü pouvoir se rapprocher ou s’écarter l’un de l’autre , autant qu’on le veut et quand on le veut. Les deux axes étant rendus bien parallèles l’un à l’autre, et les cylindres fabriqués avec toute la justesse désirable, ils sont partout è la même distance l’un de l’autre. Cela posé , si l’on fait passer entre les deux cylindres, une plaque de métal ou de toute autre substance propre à s’aplatir , cette plaque sera forcée de se réduire l’épaisseur marquée par la plus courte distance des deux cylindres.

Si , après un premier passage de la plaque entre les cylindres , on les rapproche un peu , pour la faire de nouveau passer entr’eux , on va l’aplatir encore d’une quantité égale an nouveau rapprochement des dfeux cylindres. En suivant ce système, on réduira successivement la plaque à une feuille de l’épaisseui- précise qu’on désire ; tel est l’effet des laminoirs.

Application à la papeterie. L’industrie a fait une foule d’applications de cette propriété des cylindres. Deux cylindres revêtus de drap pressent et réduisent en feuille continue la matière d’un papier auquel ils donnent telle longueur qu’on désire, et qu’on appelle, pour cette raison, papier sans fin.

Application à Cimprimerie. On place sur des

l8d • GBOMBTRIEr.

rylinclres d’un iliamètrc considérable , les caractères d’imprimerie nécessaires à l’impressioir d’une feuille. Ces grands cylindres sont en contact avec d’autres cylindres revêtus de cuir et chargés d’encre que ceux-ci déposent, en quantité convenable, sur les caractères d’imprimerie. Ensuite, une feuille plane de papier passe entre les deux cylindres porteurs de caractères dont elle reçoit l’impression. Ce moyen , qui permet d’imprimer avec une extrême rapidité , est surtout utile pour la publication des journaux, qui ne peuvent mettre qu’un petit nombre d’heures entre la composition et l’envoi des feuilles, quel que soit le nombre d’exemplaires qu’on ait à tirer.

On emploie également les cylindres pour imprimer, sur les étoffes, des dessins de toute espèce. On grave sur des cylindres en cuivre les dessins que l’on veut imprimer.

Impression lithographique. Les presses lithographiques n’emploient qu’un cylindre. La i'euille de papier qui doit recevoir l’impression est posée sur la pierre , après que le dessin est lait et empreint d’encre ; puis un cylindre passe sur le tout, en y exerçant une pression égale en 'chaque partie ; ce qui produit l’égalité et la beauté de l’impression.

Impression des gravures sur cuivre. Pour imprimer avec des nlanches eu cuivre , la planche qui est plane et la feuille de papier qui doit

Digitizod+)y

HlilTIÈME LEÇON.

i-cccvoir rempreiûte, passent à la fois entre «leux cylindres qui les pj^essent l’une contre l’autre.

Application des paires de cylindres à la fabrication du fer, et à sa réduction en barres. Suivant l’ancienne méthode , employée encore presqu’universellement sur le continent européen , pour fabriquer le fer , après avoir fait chaufl'er très-fortement une nfhsse de fonte appelée loupe, on la met sur une enclume où elle est battue par un très-lourd marteau qui chasse la matière impure, le /a/f/er que cette loupe renferme. Ce marteau réduit le fer en prismes ou barres d’une configuration plus ou moins imparfaite. Depuis quelques année», les Anglais ont employé des paires de cylindres, pour remplacer avec une grande régularité le travail grossier du marteau. Qu’on imagine deux paires de cylindres entaillés de manière à présenter des ouvertures ou jours dont le profil est une suite de losanges de plus en plus petits, comme dans la figure i G, ou de rectangles de moins en moins larges , comme dans la figure 1 7. On fait passerla loupe , suffisamment équarrie au marteau , entre les cylindres , et successivement par les ouvertures 1,2, 3 ... qui diminuent sa grosseur, et réduisent la loupe en barres quarrées ou plates. Cette méthode a le grand avantage d’étirer très-régulièrement les libres du fer : on commence à l’introduire en

France, mais clans un- nombre d’endroits malheureusement encore trop petit. r ' • >

Application des cylindres au cardage. On a fait une heureuse application des cylindres à laminer , pour carder le coton et la laine , ainsi que pour diviser le chanvre et le lin.

Deux cylindres, fig. 18, établis bien parallèlement , sont hérissés de pointes à cardes , implantées régulièrement sur la surfcce de ces cylindres; de manière que les pointes de l’un engrènent aisément entre les pointes de l’autre. Lorsqu'on fait passer du coton , de la laine, du chanvre ou du lin entre ces cylindres , qui se meuvent eu sens contraires ou dans le même sens, mais avec des vitesses différentes, il faut que les filaments de ces substances s’élongeut parallèlement et forment, au sortir des cylindres , une bande plaue qu’on' appelle une carde.

Application des cylindres aufdage du coton , du chanvre, etc. On combine un cylindre droit circulaire uni AJ 3 , avec un cylindre cannelé CD , fig. 19. Les fils sont entraînés entre deux premiers cylindres; ils sont entraînés plus vite entre deux autres cylindres parallèles aux premiers. Cela ' oblige la partie du fil située entre les deux paires de cylindres, à s’allonger proportionnellement k la différence de vitesse des deux paires de cylindres. fin allongeant ainsi les fils, ou les rend {dus fins; ce qui est un des grands avantages qu’ont les machines modernes de filage.

iniTTIÈME LEÇON. ^ f) I

La fabrication des cj’linJres cannelés est au rang des opérations les plus délicates de l’industrie; elle exige une extrême précrsiou. Le moindre défaut de parallélisme dans les cannelures , et la plus légère inégalité dans les diamètres des cylindres, suffiraient pour produire, sur des fils très-fins , des différences qui leur feraient perdre tout l’avantage de force et d’égalité compatible avec leur finesse.

Canneler des cjlindres. On fait usage pour cela d’un méchanisme propre à diviser le cercle en parties égales, suivant les moyens dont nous avons parlé dans la troisième leçon.

Après avoir déterminé le nombre des cannelures , et s’être placé sur le cercle de division qui donne ce nombre , on commence une première cannelure avec un outil tranebant qui chemine le long d’un guide exactement parallèle à l’axe du cylindre, et qui rétrograde ensuite. La première cannelure faite , on avance , d’un point , l’indicateur des divisions du cercle. Le cylindre se présente dans la position propre au travail de la seconde cannelure, qu’on fait de même avec l’outil tranebant, et ainsi de suite.

On combine souvent les cylindres d’une autre manière. On fait entrer un cylindre plein dans un cylindre creux ; tel est le jeu des pistons dans les pompes, fig. ao, et d’un bouchon dans une bouteille; tel est le jeu des deux parties d’un étui , fig. ai , d’une tabatière ronde, fig. aa, etc.

iga GÉOMÉTRIE.

Oa emploie aussi des cylindres creux qui s’emboîtent exactement les uns dans les autres.

Tel est le système des lunettes d’opéra et des lunettes marines, qui peuvent s’allonger à volonté comme en AB , fig. a3 , et se resserrer comme en ah. Il est évident que c’est de la parfaite exécution de chaque cylindre creux , soit ' intérieur , soit extérieur , que dépend le jeu facile et précis des emboîtements d’instruments *de cette espèce.

C’est par un emboîtement de cylindres que les Anglais unissent ces grandes lignes de tuyaux qu’ils emploient pour conduire les eaux de leurs villes. Le fer éprouve un allongement trèssensible quand la chaleur augmente ; il éprouve un raccourcissement analogue quand la chaleur diminue. Si des tuyaux étaient ajustés sur une grande longueur, sans que leurs bouts pussent .se mouvoir librement , ces tuyaux se briseraient. Pour obvier à cet inconvénient, on termine un bout de chaque tuyau par un cylindre ABED plus large que le corps du tuyau CF , fig. 2 /{. Dans cette partie plus large, emboîte le petit bout mn du tuyau suivant. L’emboîtement est tel que les deux tuyaux peuvent un peu glisser l’un dans l'autre , malgré la soudure qui les unit , et se prêter de la sorte soit aux allongements , soit aux raccourcissements produits par les variations de la température.

Vt

Suif aces coniques.

On décrit la surface cTun cône SABCDE, fig. i , avec une ligne droite qui passe toujours pa|ile môme point S et par une courbe ABCDE.

Les droites SA, SB, SG..., sont les arêtes , et le point S est le sommet du cône.

Dans le cas particulier où le sommet S et la courbe ABCDE se trouvent sur un môme plan, la surface du cône Revient la surface môme du plan. Ainsi, lorsqu’un cheval tourne au manège, le timon en. ligne droite, qui va de l’arbre du manège au point d’attache du cheval , décrit un cône SABCD..., fig. 3, si le sommet est hors de la courbe ABCD... parcourue par le point d’attache du .cheval. Mais , quand le timon est horizontal, ce cône devient un plan; parce que le sommet S est dans le plan du cercle abcd , que parcourt le cheval; les arrêtes Sn, Sô, Sc..., deviennent alors les rayons de ce cercle.

- Le- géomètre considère le cône , fig. i , comme une surface qui se prolonge sans fin , de deux côtés : de même que les lignes droites qui en sont les arêtes. Il considère , comme ne faisant T. I. — Gïom. j5

qu’une surface, tlcux cônes formes par les parties (le chaque arête, &n deçà et du delà du sommet qu’il appelle, pour cette viôsonyle centre du cône.

L’industrie offre quelques exemples de ces cônes complets ou doubles cônes. Le^ sablier , lig. 2 , employé sur les navires , pour mesurer le temps, se compose de deux cônes ainsi disposés. Pans une longueur de temps, prise pour unité, tout le sable paStœ du cône supérieur au cône inférieur; et l’on compte autant d’uuitésj^g^ temps , qu’on retourne de fois le sablier.

Dans les arts, les cônes sont toujours d’une étendue limitée , et l’on ne considère, eu général , qu’une seule partie ou nappe , SABGD , fig. i .

Quand le cône est terminé par une aire plane ABCDE, fig. I , on appelle cette aire la base du cône. Dans cette leçon , nous supposons que chaque cône est terminé par une base plane.

Le cône droit circulaire , ou cône régulier ^ le plus simple de tous les cônes , est celui dont la base ABGDEF..., fig. 3, est un cercle, et pour lequel le sommet S est situé sur l’axe SO du cercle. Gettc droite est aussi Vaxe du cône.

Le cône circulaire oblique, fig. 5 , a pour base un cercle. Mais ses arêtes ne sont pas toutes égales enir’elles; et la ligne droite SO, menée du sommet au centre de la base, n’est pas perpendicu-^ culaire au plan de cette base«

Dans le cône lëgulier , les arêtes SA, SB , SC ,

' NEUVliiMi: LEÇOR. 1^5

fip. 3, ûlaat des obli/jues également ék>igiiées de SO perpçmliculaire au plan du ccicle, sont égales entr’elles. Donc toutes les arêtes de ce cône sont égales euir elles, et font le inênie angle avec Taxe.

Supposons que, sur un cône produit par nos arts, nous tracions tant d’arêtes si tines, qu’elles u’olTi*cnt plus à nos regards que l’aspect d’une surrace parfaitement continue, et couverte de ligues dont les distances soient trop petites pour être perceptibles à nos yeux. Sa surface ainsi composée de petits triangles plans, entre les diverses arêtes , ne différera pour ainsi dire pas d’un cône géométrique. Lor.sque nous prendrons une de ces surfaces pour l’autre, les erreurs, s’il y en a, seront si petites , qu’ellesécbapperont»i nos sens, et seront nullcs pour l’industrie.

Par conséquent , un cône peut toujours être regardé comme une pyramide S beaucoup de facettes triangulaires, dont la largeur soitextiêinement petite, et dont la hauteur se confonde avec la longueur même des arêtes.

Alors toutes les mesures de surface et de volume,* données pour les pyramides ( septième leçon ) , s’appliquent immédiatement au cône.

Le cône droit circulaire étant une pyramide régulière : i*. la surface totale des facettes ou /a sutj’ace courbe du cône droit jcirculaive égale le contour de sa base , multipUépar la rnoitiéd’uno

ig6 GÉOMÉTRIE. /

m'été ; 2*. ht surface totale dit contour circu-‘ ■ luire et de la hase du cône droit , est égale au contour de la hase, multiplié par la moitié iT une arête ,plus la moitié du rayon de la hase.

Le. volume d'un cône quelconque égale le produit du tiers de sa hauteur par la surface de sa hase.

Si l’on coTipe le cône par un plan parallèle à sa base, on forme un tronc fie cône dont la surface et le volume se mesurent aussi d’après la surfaee et le volume du tronc de pyrami<le.

La surface du tronc de cône régulier , égale la demi-somme du contour des deux hases , multipliée par la longueur d’une arête comprise entre ces hases.

Si l’on coupe une p3'ramide par un plan parallèle à la base, fig. 7, la petite pyramide , ainsi détachée, est^semblable k la grande. Cette propriété étant vraie, quelque nombreuses que soient les faces de la grande pyramide , est pareillement vraie pour le cône , ainsi que toutes les conséquences qui en dérivent. Donc : i®. quand on coupe ’ un cône par un plan parallèle k la base , on détache un petit cône semhlahle au grand ; 2“. quand deux cônes sont semhlahles , la surface de leur partie courbe est proportionnelle au quarré des lignes correspondantes dans les deux cônes, par exemple, au quarré des arêtes ; 3 ®. les bases ont aussi leur surface proportionnelle au quarré