NEUVIÈME LEÇON. I

des lignes correspondantes; 4 “* les volumes Ac& ^ cônes semblables sont proportionnels aux cubes * . des lignes correspondantes , fig. 7 .

Formons un tronc de cône ABC... abc ... , fig. 7 , eu détachant un petit cône d’un grand, par un plan coupant. Il est clair qu’ alors, on obtient le volume du tronc de cône, en calculant à part le volume du petit cône , pour le retrancher du volume du grand. Chacun de ces volumes étant Ægal au produit de la base par le y tiers de la hauteur, l’opération n’olire aucune difliculté. ‘

Lorsqu’un cône n’est pas droit et circulaire, ou seulement lorsque le cône n’est pas droit , on ne peut plus mesurer sa surface par les règles ‘ que nous venons de donner.

Pour mesurer la surface du cône, il faut la décomposer en un nombre de triangles sullisant pour le degré d’exactitude auquel on veut atteindre. Ensuite , on rabat sur un plan tous ces triangles, les uns à côté des autres. C’est ainsi , ' qu’on a rabattu , en S'A'B',S'B'C', S'C'D'... dans les fig. 4 et b, tous les triangles SAB, SBC, SCD, ' des figures 3 et 5. 11 est évident que la surface courbe du cône égale la surface plane S’A'B’C^..

On mesurera cette dernière surface par les méthodes que nous avons exposées dans la 6 ". leçon. ~

* Après avoir donné, pour le cône , les mesures essentielles de surface et de volume , voyons quel emploi les arts font des cônes.’ ^ .

19^ CBOMÉTRIE.

L’architecte et le charpentier couvrent les tours circulaires, avec des cônes droits circulaires , fig. 8 , ayant pour axe l’axe même de la tour. *

L’artilleur la brique ses bouches à feu , en leur donnant, fig. 9, la forme d’une suite de troncs de cônes dont la 'grande base est du côté de la culasse. chapelier donne aux feutres qu’il destine à la coëffure des hommes et des femmes , la figure d’un cône ou d’un tronc de cône , avec un bord plat ou courbé. C’est dans la variation des dimensions de ce cône ou tronc de cône , et de ce bord, que consiste l’infinie diversité des coëffures , qui marque le caprice et la fécondité bizarre de nos modes. ( Voyez fig. 10, 1 1 , 13. )

de ses tuyaux cylindriques, par un tronc de cône ABST, fig. i 3 . Les tuyaux dont les sons imitent ceux de la trompette, et dont l’ensemble porte le nom de jeu de trompette , ABST , fig. 1 4 , sont entièrement formés avec un tronc de cône.

L’architecte , pour des motifs de solidité , renfle parfois ses colonnes , depuis la base jusqu’au tiers de leur hauteur ; il en diminue toujours le diamètre , depuis ce point jusqu’à la partie qui supporte le chapiteau. Lorsqu’il s’agit d’exécuter des colonnes trop hautes pour qu’on puisse les tirer d’un seul bloc, on les divise par une suite de plans parallèles, et l’on regard»; comme des ' troncs de cône les diverses parties dans lesquelles on a décomposé la colonne , fig. 1 5 on taille donc

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NEUVIÈME LEÇON. Ic)g

chacune de ces parties, qu’on a^^eWe tambours, comme de simples troncs de cônes.

^ Le charpentier de vaisseaux donne à ses mâts une forme semblable à celle des colonnes, en diminuant graduellement leurs diamètres, depuis le pied jusqu’au sommet.

Le cône s’exécute de plusieurs manières , analogues à celles qu’on emploie pour le cylindre.

D’abord on peut former un polygone régulier ABCDE , lig. 3 et 5 , d’un grand uombie de côtœ , et travailler chacune des facettes planes SAB, SBC, SCD,.., snivant les moyens expliqués dans la leçon relativi aux plans.

Si, au lieu d’uncâne complet , on n’a qu’un tronc de cône droit circulaire ABCD... ahed..., fig. i6, il faudra d’abord exécuter les deux faces planes ABCD... , ahed..., parfaitement paralèlles. On marquera, sur ces plans, deux points O , O , qui soient sur une droite pciq>endiculaire .aux deux plans. On mènera, parles deux points O, o, les droites parallelesOA , oa , qui aient pour longueur celle

des rayonsdesdeuxcercles ABCDE, aierfe, qu’on tracera.

Cela fait , divisons les deux circonférences en un même nombre de parties égales ; et , par les points de division A, B, C, D,.i. o,b,c,d.,-;, menons des perpendiculaire^ au rayon , pour fonner deux polygones réguliers qui entourent deux oei'cles. On üavaillera les laces planes en üapèzes ayant pour bases inférieure et supérieure les côtés des deux jiolygones, I . Il . 2 . 1 , II . III . 3 , 2 , ni . IV. 4 • 3... On formera de la sorte un tronc de pyramide enveloppant le cône. En abattant les arêtes I. t ,, II . a , III . 3 , 1 V . 4 . avec un rabot ou tout autre

instrument propre à les aplanir, jusqu’à ce que les nouvelles facettes planes qu’pu va former touchent les deux

oerciee , on obtiendra un tronc de pjn’amide ayant deui fois autant de facettes que le premier, et s’approchant beaucoup plus de la figure du côné. En continuant ainsi d’abattre les arêtes , on l’approchera toujours davantage de la waie figure du cône, pour arriver 'au degré d’exactitude qui doit - correspondre aux besoins de l’industrie. n;o i. > ■ A

La méthode que nous venons d’indiquer, n’est , comme on voit, qu’une mélhodê dt approximation. Il faut d’aOtres procédés pour exécuter un cône avec une parfaite continuité.

On peut gxécuter des surfaces coniques avéé un tour, en faisant glisser l’outiV tranchant P , fig. 17, sur un guide rectiligne fix*e, et parallèle à l’aréteAS. Dans chaque position de l’our, ' til , il décrira un cercle ayant pour axe la ligne droite qui passe par les deux pointes du tour ; l’ensemble des cercles décrits de cette manière , formera la surface du cône SABG , fig. 17. C’est ainsi qu’on produit la toupie, SAC, figure 18.

On peut exécuter un cône droit circulaire , en faisant tourner , autour, d’un axe SO , fig. 3 , la droite génératrice qui fait toujours un même angle avec cet axe. ( Voyez onzième leçon. ) *■' ”Paria définition même, on produit un cône quelconque, avec unédfoite mobile , assujettie à passer toujours par un point pris pour sommet.

Application au physionotrace. On se sert de cet instrument pour copier avec exactitude un profil ABCD..., fig. 19. Une tige rectiligne , qui

NEUVIEME LEÇOJJ. aof

peut tourner autour du point fixe vS , s’appuie d’un Lout sur le proül AI3CD....; l’autre Lout , muni d’un crayon pointu , s’appuie contre un papier tendu, dont le plan est parallèle à celui du profil. La courbe abed...., décrite par cc cruj on , est semblable au profil A13GD...

Pour le démontrer, menons OSo, fignre ip-, perpendiculaire, àuxdeuxplans parallèles du profil etdu portrait ; O, P, étant les points où cette perpendiculaire rencontre ces deux ^ans. Considérons la tige rectiligne qui sert à tracer le portrait,, dans l’une quelconque de ses positions , AS<i , par exemple. Menons OA , oa ,• je dis que lés deux triangles rectangles ASO, «So , sont semblables. En eflet, l’angle ASO est égal à l’angle aSo , puisque ce sont deux angles opposés au sommet ; de plus AO, ao, sont pai allèlcs; donc les triangles ASO, aSo, sont semblables, et SO : So : : SA : S/I : ; OA . 0 (t.

■j On démontrera de même que

SO : So : : SA ; Sa , : SB : SZ» . : SC : Se : : SD : Sd...

SO ; So : :0A : OÆ : : OB : oi . : OC : 00 ; i OD: orf...

Or, les lignes OA et oa, OB et ob, OC et oc. .. , sont parallèles deuxà deux. Par conséquent, les fig. ABCDEF... abedef... , sont des figures semblables , dont les lignescor-

rcspond^ntessontparallèlcsetproportioniiellesaux distances du point fixe S, aux plans du pi ofil et du porti ait. Dpuc enfin, le profil ABCD et son portrait abcd, sont semblables*.

La nature trace elle-même des surfaces coniques, à la manière du physionotrace , au moyen des rayons émanés de chaque point lumineux. Ces rayons pénètrent dans notre œil., par la prunelle T. I. — Géom.

et se croisent eu un point S , figure 22 , pour arriver sur une surface PQ appelée la rétine. Tel est le tableau sur lequel la nature a produit les contours et conservé les couleurs des objets mêmes. Cette impression , produite sur la rétine, se transmet au nerf optique, qui lui-même la transmet au cerveau , siège de notre intelligence.

Ainsi, l’admirable phénomène de la vision s’efl'ectue , chez l’homme et chez la plupart des animaux , au moyen de surfaces cunujues tracées dans l’espace et dans notre œil , par les rayons de lumière que répandent , en tout sens , les corps lumineux par eux- mêmes ou par reflet.

Tous les points lumineux qui peuplent le ciel , durant une belle nuit , tous les objets dont se compose un immense paysage, regardés durant un jour serein , se peignent dans notre œil avec leurs proportions et leurs formes , leurs couleurs et leurs nuances , au moyen de cônes dont lious venons d’indiquer la position.

Chambre usbcure. L’art imite la nature, en construisant une chambre comparable à l'intérieur de notre œil , pour n’y laisser entrer la lumière que par un verre ou lentille semblable à, la prunelle S de notre œil, fig. .22 ^ La lumière transporte sur les parois de cette chambre, comme sur la rétine abcd, les objets , leurs couleurs, leurs formes et leurs mouvements. Si l’on reçoit sur un papier cotte lumière, ou peut dessiner les

NEUVIÈME LEÇON. ao3

conlours qu’elle trace, et reproduire ses teintes, ses ombres et ses clartés.

Lesrayons émanés d’un point unique S , fig. ao, qui rencontrent une surface opaque abcdef, ne pouvant aller au delà , les rayons qui affleurent le contour de cette surface se prolongent en séparant , de la partie de fespace éclairée par bî point lumineux , une autre partie privée de lumière par le corps opaque. Cette partie , privée de lumière, est ce qu’on appelle F ombre du corps opaque. Ainsi , quand une surface ou corps opaque, est placée devant un point lumineux, l’ombre de cette surface ou de ce corps est limitée par une surface conique ayant le point lumineux pour sommet.

Silhouettes. On s’est servi de cette propriété des rayons lumineux , pour tracer , sur un plan , des portraits semblables à des profds donnés. On place le profil qu’il s’agit d’imiter , abcde ... , figure 20, dans un plan parallèle à celui sur lequel on veut tracer le portrait. Une lumière telle qu’une bougie , posée à distance convenable , devient le sommet d’un cône ayant pour base le profil 1 » copier. Le cône se prolonge jusqu’au plan du portrait , de manière à tracer, sur ce plan, une base nouvelle ABCD... , semblable à la première, et marquée par le contour qui sert de limite à l’ombre que porte le profil ; cette base lest la silhouette de ce profil.

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2o4 - GÉOMÉTRIE. ‘ '

Nous avons donné les mêmes lettres à la lig. 19 du pliysionotrace, et h la fig. 20 de l’ombre portée; parce que la démonstration présentée pour la fig. 19, s’applique exactement à la fig. 20, et conduit à la même conséquence.

Ombres chinoises. On a mis à profit , pour amuser les enfants , la propriété qu’ont les surfaces coniques, de reproduire, sur un plan donné; le proGl exact d’une figure et d’un groupe quelconque de figures. Une lumière unique éclaire des pantins de carton, ou des personnages véritables, et porte l’ombre des scènes qu’ils repré.sentent , sur un rideau qui , sans permettre qu’on voie’ à travers, laisse passer assez de lumière dans les parties 'éclairées , pour rendre parfaitement distinctes , à l’œil du spec- > tateur, les parties placées dans l’ombre. Cés parties sont les bases de surfaces coniques ayant pour sommet le quinquet ou tout autre point lumineux placé derrière le rideau , et dont toutes les arêtes passent par le profil des personnages dont on veut reproduire la position et la forme. . ■

Si le mômeobjet AB, fig. 2 1 , dont l’ombre MN est portée sur le rideau RR, s’éloigne du point lumineux S, et s’avance en ab , l’ombre portée par ab n’est plus que mn , et se trouvé diminuée. Ainsi, la position du point lumineux restant la même, il suffit* de rapprocher du

NECVIÊME leçon. 2o5

rideau l'ohjet représenté , pour cliniimjer 1 étendue de l'oiiibre ; taudis qu’eu éloignant 1 objet du rideau , ou agrandit de plus eu plus cette ombre. Au contraire , eu laissant fixe J’objet , suivant qu’on approche ou qu’on éloigne du rideau le point lumineux, l’ombre portée grandit ou diminue.

Cette variété dans la grandeur d’ombres conservant la même forme , et la diversité des scènes résultant du mouvement de ces ombres, produisent tout l’intérêt de ce genre de spectacles. Les propriétés des surfaces coniques permettent de réduire à des tracés géométriques exacts, les elïets désirés, et les proportions qui conviennent à ce jeu d’optique.... Parlons, à présent, d’une application beaucoup plus importante que celle des ombres chinoises. >

Principe de la perspective. , d'uu point

fixe S, lig. 22 , l’œil dirige tons les rayons visuels possibles, sur la courbe ABCD, ces rayons formeut un cône SACCD. Si l’on détermine la section abcd, faite dans ce cône par un plan MW , cette fi^re abcd sera , sur le plan MW , la représentation , ou comme on dit, la perspective de la figure ABCD. Elle fera , quant à ses formes , le même elfet sur l’œil; c’est-à-dire, elle produira sur la rétine , la même image que ABCD ; puisque les drdîtes Sa et SA , SôetSB,ScctSG,etc. , se confondent.

GÙOMÉTKIK.

Ainsi, la perspective a pour résultat d’opérer une représentation des objets telle que, vue d’un point S , elle pi’oduise sur notre rétine la même image que les objets. Notre conception recevant des images pareilles , quand elles sont fournies par l’objet ou par cette représentation , nous avons souvent peine les distinguer ; ou , plutôt, nous jçuissons d’une ressemblance obtenue par les soins de l’art. Telle est la source du plaisir intellectuel que le spectateur éprouve à la vue de toute perspective bien faite.

Si l’œil du spectateur ne se plaçait pas au point de vue S , le cône Sahcd changerait de ligure; il ne produirait pas, sur la rétine de notre œil, une image parfaitement semblable à celle que produit l’objet même. Tel est l’eflet désagréable qu’on éprouve plus ou moins , lorsqu’on place son œil dans une position différente du point de vue. Point ainsi nommé , parce que c’est celui duquel il faut voir la perspective , pour jouir pleinement de son véritable effet.

La perspective des courbes produit des cônes , et celle des polygones produit des pyramides , par l’ensemble des rayons visuels des fignes ou tiroites menées de l’œil aux contours de ces courbes ou de ces polygones.

Si l’on regarde un polygone régulier auquel le plan du tableau soit parallèle , et<Jue le rayon visuel mené par le centre du polygone soit

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NEUYIÈME LEÇON. 30"

perpendiculaire à ce plan , la perspective sera semblable à ce polygone , et l’image peinte sur la rétine de l’œil sera encore le même polygone régulier. Mais, si l’on trace la perspective du polygone , et qu’on déplace le point du vue, l’image qui se peint sur la rétine n’est plus régulière. Le polygone paraît allongé dans un sens, et rétréci dans le sens perpendiculaire.

Ainsi, quand la Ogure à représenter ne se trouve pas sur un plan parallèle au plan du tableau , la perspective diffère , en général , de forme avec l’objet représenté. Ces différences peuvent offrir des vatiétés infinies. Cependant , il est des règles générales très-importantes pour abréger les opérations de la perspective; opérations nécessaires h beaucoup d’artistes, îi l’architecte, au paysagiste, au décorateur, au sculpteur de bas-reliefs , etc.

D’abord , si deux lignes droites AB , CD , figure a3, sont parallèles au plan du tableau MN ,je dis que leurs perspectives , cd, sur ce tableau , seront deux droites encore parallèles.

En eflet, si nous menons les rayons visuels SaA, SèB, SeC , St/D, les lignes AH, ab , de même que CD, cd , seront parallèles : or AB et CD sont parallèles entr’elles. Donc les deux lignes pei'spectives ab , cd , seront aussi parallèles. Par conséquent, jamkis^s lignes perspectives ne pouri-ont se rencontrer. ^

A présent, .supposons que les lignes AB , CD,

GKOMÉTRIE.

El'’ , fig. 24 > parallèles entrclles , ne le soient pas au plan du tableau MN.

Par le point de ^ uc S, je mène jusqu’au tableau MN une ligne droite SO parallèle aux di oites AB, CD, EF , que je veux mettre ei> perspective. Ensuite , je mène les lajons visuels SA, SB, qui traversent le tableau en a, b. Ces deux rayons sont ilans un plan qui passe par S , par AB et J dès-lors , par SO parallèle à AB. Donc les trois ])oints «, è , O , qui sont tous trois sur ce plan et sur le tableau, sont en ligne droite. Donc ab , prolonge, passe par O. On démon trei-a la même chose pour cd, ej, etc. Donc :

Las lignes ah, cd, ef... , perspectives des parallèles AB, CD, KF... , passent toujours , en les prolongeant s’il le faut , par un même point 0 , quand AC, CD , EF , ne sont pas parallèles au plan du tableau.

Ce point 0 , fort remarquable , est ce qu’on appelle le point de concours de la per.speclive des parallèles AB, CD, EF....

Lorsqu’on met en perspective des objets .sur lesquels se trouvent beaucoup de lignes parallèles , il est très-avantageux de déterminer le point de concours des lignes de chaque direction. On a de la sorte un point de la perspective de chacune d’elles ; il suffit donc de connaître un second point poür avpir leur' tracé complet.

J pplicationàr architecture. C’est surtout lorsqu’on met eot{M|8plctive un dessin d'architecture, qu’on peut^rer un parti très-avantageux points (le concours. Le plus grandiiiom-

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