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KEüVliiME LEÇON. 2O9

bre des lignes que doit tiacer un architecte, sont parallèles, soit au -plan vertical qui suit la direction des faces de l’édifice h représenter, soit aux plans verticaux perpendiculaires à ces faces; enfin, de ces lignes, les unes sont verticales, les auti’es horizontales.

Presque toujours , le plan du tableau sur lequel se fait la perspective, est vertical ^ fig. a5. Alors toutes les ligues qui , dans l’édifice même , sont verticales, le sont encore eu perspective. Quant aux ligues horizontales , celles qui sont parallèles au plan de la façade ont leur point de concours O qu’il faut déterminer. Ou détermine de même le point de concours o des horizontales qui sont perpendiculaires au plan de la façade; ensuite , on n’a plus à déterminer qu’un seul point par horizontale et par verticale. La méthode des projections fournit pour cela des moyens extrêmement faciles : moyens que nous indiquerons en traitant de l’intersection des surfaces.

. Lorsqu’on sait que des lignes sont parallèles, et qu’on les voit en perspective, on doit examiner immédiatement si ces ligues, prolongées, passeraient par un poiut unique et convenablement placé , qui est leur poiut de concours sur le tableau.

Quand on met un édifice eii perspective sur un tableau vertical, figure aS, ce qui, comme

T. I, — Gêom.

. j jr

Oigrtized by-taxwle .

nous l’avons déjà dit, est le cas le plos ordinaire dans lé dessin etdalisla peinture, les points de concours de tous les groupes possibles d’horizontales parallèles, sont placés sur le plan horizontal qui passe par le point de vue. En effet , c’est le seul plan qu’on puisse mener par ce pointj parallèlement à des lignes horizontales. Ainsi , d’une part, le, point de concours pour la perspective des horizontales parallèles à la façade, et de l’autre part, le point de concours pour la perspective des horizontales perpendiculaires à cette façade, sont placés à la hauteur du point de vue. Par conséquent , à crftte hauteur , les horizontales des deux directions se trouvent mises en perspective suivant une droite horizontale Oo, placée à la hauteur du point de vue.

Ç)n remarquera facilement , figure. a5 , que les dessus et les dessous des fenê très qui , dans l’édifice, sont en ligne droite, se trouvent de même en ligne droite sur le tableau de leur perspective. C’est , en effet , la propriété des di- . verses parties d’une ligne droite, isolées ou non; car il sullit de joindre, ne fût-ce que par un trait idéal , les portions de cette droite , pour former une ligne continue , dont la perspective est une ligne droite unique , laquelle , par conséquent , comprend la représentation de toutes ces portions de la ligne droite qu’on a voulu mettre en perspective.

NEUVIEME LEÇON. ail

Application à Li peinture. Dans les ubleaux où le peintre place des personnages ,*il a soin de ne pas les placer tous dans un môme plan ni <lans la même attitude. Sans cela , les personnages paraîtraient avec des hauteurs égales , ou diminuées suivant une loi régulière ^ de manière que , s’ils étaient debout et de même stature^ tion-seulement tous les pieds seraient posés sur une même ligne droite; mais tous les genoux , toutes les mains, tous les coudes, toutes les têtes seraient respectivement sur une même ligne «Iroite; enlin toutes ces ligues droites concourraient eu un mên^ point, ce qui serait d’une insupportable monotonie.

Alin d’éviter cette régularité mortelle pour la ' peinture , 1 artiste a soin de placer ses personnages à des distances diflérentes du spectateur;dl conçoit plusieurs plans parallèles au plan du tableau. Au premier plan, qui est le plus voisin du spectateur, les objets se peignent sur le tableau , dans la plus grande tlimension relative. Ils sont moins grands au second plan, moins encore au troisième , etc.

C est au premier plan, ou tms-près de ce plan, que les artistes placent ordinairement leurs principaux pei-sonnages , dont les dimensions attirent le plus l’attention du spectateur.

Suivant le plan où se trouvent les figures , vous vo)oz que leur perspective doit avoir une cer-

taine dimension. Si le peintre ne la détermine pas exactement, sa peinture devient fausse, et les personnages ne sont plus aux distanqj-s qu’il a voulu marquer ; s’il a bien posé leurs têtes et bien dirigé la prunelle de leurs yeux, des figures qui devraient se regarder ne se regardent pas, etc.

Il y a bien d’autres fautes que les peintres peuvent faire , et font en effet , contre la perspective : surtout quand ils représentent des corps , des bras, des jambes dont la direction n’est point parallèle au plan du tableau, et qui souvent se trouvent par-lh beaucoup réduites de longueur.

Ces raccourcis sont , poucmJes artistes , la partie difficile du dessin. Le plus souvent , ils ne parviennent à les figurer qu’en faisant mettre des modèles dans la position même qu’ils veulent représenter ; iis se placent, par rapport à ces modèles, dans la position où sera le spectateur, par rapport à la scène qu’ils veulent peindre. .

Le petit nombre de principes que je viens d’exposer suffira, dans une foule de cas, pour vous mettre en état de connaître la vérité ou la fausseté des perspectives d’objets qui vous' seront connus. Il arrive souvent que les architectes et les peintres entendent mal les lois de la perspective, et par conséquent les appliquent d’une manière fautive. *Lorsque les connaissances géométriques 'seront généralement répandues dans la masse des Français, beaucoup de fautes graves

•V «EUVIÈME LEÇOiX. 3l!5

qui ne choquent aujourd’hui que le petit nombre des connaisseurs, choqueront le public^||p^me, et les artistes ne pourront plus se les permettre impunément ; ils seront forcés de faire une étude plus approfondie des applications de la géométrie à la perspective. Alors, leurs ouvrages acquerront cette exactitude de proportions, indispensable aux œuvres parfaites , dans les beauxai’Ls, comme dans les arts qui n’ont pour objet que la précision des formes.

Application de la perspective nu dessin des machines et des produits d indus trie. Lorsqu’on veut représenter des produits d’industrie ou des machines , on emploie^ souvent la perspective. Cette méthode a , sur celle des projections ordinaires, l’avantage de rendre visibles beaucx)up de parties qui , par la méthode des projections , se cachent les unes les autres. Par exemple, il est ordinaire, en employant les projections par des lignes parallèles, de prendre le plan vertical de projection ou parallèle ou perpendiculaire à la façade d’un édifice. Dans le premier cas , les petits côtés de l’édifice ne sont pas visibles; dans le second cas, c’est la façade même qui cesse d’être visible. La perspective a l’avantage , comme on le voit dans la figure a5 , de montrer à la fois deux faces d’un édifice.

La méthode des projections sert à mettre rigoureusement une figure en perspective. Cette figure, ainsi que le point de vue , étant donnés

GEOMETRir..

eu projections horizonUile et verticale , ainsi que les trac(^(lu tableau, on a la perspective d’un point qiîffconque , en menant une ligne droite de ce point au point de vue, et ehercbant l’intersection de cette ligne avec le plan du tableau.

( Voyez treizième leçon. Il faudra que le professeur applique cette méthode à quelques exemples simples , comme à la perspective d’un quarré ou d’un cube , avec les ligures nécessaires. )

Pour dessiner à vue, ou, comme on dit, cro- (jucr un édifice, un produit d’industrie, une machine, la perspective a l’avantage de permettre de dessiner les objets tels que l’œil les aperçoit , sans faire aucune altération , par la peuséè , à l’apparence des choses. 11 est bon que les élèves s’habituent h ces divers genres de dessin , pour lesquels ils trouveront des méthodeii laciles en divers ouvrages spéciaux.

yïppUcation ai(,x décorations théâtrales. Le décorateur de théâtre, pour augmenter l’illusion et pour faciliter les jeux de la scène, emploie d’abord un vaste tableau qui forme la toile de fond, sur laquelle il peint à l’ordinaire, en perspective , les édifices et les paysages. Ensuite il place des deux côtés, suivant deux lignes qui s’écartent l’une de l’auU’e en avançant vers le spectateur, une suite de tableaux étroits et élevés, parallèles entr’eux et à la toile de fond ; ce sont les coulisses. Sur ces coulisses il représente soit des arbres, soit des colonnes isolées , .soit

NEUVIÈME LEÇON. 3l5

(les parties continues. Mais ce mode est imparfait; en effet, les lignes ^ui , sur les coulisses , reprc-senterit des fractions d’une même ligne droite, regardées du point de vue, semblent toutes ne former qu’une mêrne ligne, mais ne sont plus dans la môme direction, lorsqu’on^les regarde de tout autre point de la salle. Cependant, malgré ce défaut, une perspective bien esquissée^Hbien coloriée, offre encore assez de ressenîblance avec la réalité des choses pour procurer , à des spectateurs placés dans beaucoup de parties de la salle , une illusion très-agréable.

Projections coniques appliquées à la géographie. Aliu de représenter les objets les plus remarquables sur le globe terrestre et sur le globe céleste, on emploie, parfois un système de projections coniques, analogue ii la perspective (i).

Quoique la mécbanique ne ÿsse pas un aussi grand usage des cônes combinés deux à deux, trois à trois , etc. , que des cylindres combinés de la sorte, elle s’en sert pourtant avec avantage , en plusieurs circonstances.

Elle emploie des cônes réguliers unis, bg. 26, pour transmettre par frottement des mouve-

(i)Un pôle de la terre devient le sommet d'nncônc ayant pour hase chacune des lignes courbes à tracer sur l'hémisphère le plus éloigné. L'intersection de ce cône avec le plan de l'équateur est la projection polaire de cette courbe

3i6 l GÉOMÉTRIE.'

rnents de rotation d’un axe à un autre, les deux 'axes n’étant pas parailMes.

. Elle emploie des cônes réguliers dentés, fig. 37, dans la même intention. ; ^ .

L’architecte, pour exécuter "les grandes colonnes, les décompose eu troncs de cônes ou tambours , qui sont cannelés quand les colonnes mêmes doivent l’être. L’art de canneler les colonnes exige beaucoup de précision dans le l|||||pil. Si quelque chose est propre h faire bien^ger de la rare habileté qu’avaient acquise les ouvriers emplo3'és aux constructions d’Athènes , dans les siècles qui font la gloire de, cette ville industrieuse, c’est la perfection avec laquelle sont taillées , suivant (ies surfaces coniques , les cannelures des tambours des plus grandes colonnes, et le raccordement parfait de ces divers troncs de cône, pour former des cannelures exactement continues, depuis le chapiteau jusqu’à la base de la colonne. "

, L’exactitude dans la cannelure ou denture des Iroiies coHiques n’est pas seulement un objet de luxe et d’amour-propre , comme peut l’être la cannelure des colonnes. De cette exactitude dépendent la facilité et l’économie dans la transmission dès mouvements, comme nous le verrons en expüquant le jeu des engrenage8..(Voÿpz pre- ■ mière partie de la Méchanique , second ^rolume , de ce Cours. ) ’ ^

Surfaces développables , surfaces gauches , etc.

Nous appelons surface développable, toute . surface qui peut être déroulée, déployée, développée sur un plan , sans que , dans cette opération, aucune partie de la surface ait eu besoin de s’allonger ni de se raccourcir , de s’ouvrir ni de se doubler.

Déjà , nous avons examiné deux espèces importantesde surfaces développables : les cylindres et les cônes. Nous avons vu , en effet , que ces surfaces peuvent se déployer sur un plan , sans rupture ni duplicature. Nous a vous vu, réciproquement , qu’on peut toujours ployer une portion de plan , sans duplicature ni rupture , de manière à former un cylindre ou un cône dont la figure et les dimensions soient déterminées.

Enfin , nous avons vu qu’on peut toujours considérer le cylindre comme un prisme compose d’un très-grand nombre de facettes planes, ayant la figure d’un parallélogramme ; et considérer le cône comme une pyramide compo- T. I — Géom. a8

2i8 géométrie.

sér; d’un très-gcand nombre de facettes ayant la figure d’un triangle très-étroit.

On peut de même considérer toute surface développable, fig. I comme étant composée de facettes planes akb, èBc, cCd... , terminées par des lignes droites, An, BZ>, Ce.. ., qu’oil appelle «ré/e j.

Veut-on développer' cette surface, pour la réduire à la forme d’une surface plane? On commencera par faire tourner la facette aKb , autour de Tarête Kb , jusqu’à ce qu’elle se place dans le même plan que la a*, facette , 6Bc; puis on fera tourner ces deux facettes autour de l’arête Bc , jusqu’à ce qu’elles se placent ensemble dans le plan de la 3'. facette, cQd. On continuera de la sorte jusqu’à la dernière facette, et l’on aura complètement développé la surface.'

La dUTérence du cône à la surface développable la plus (générale , c’est que, dans le cône , toutes les facettes angulaires ont leur sommet au même point; tandis que, dans une surface développable quelconque, les sommets A, B, C ,... des facettes a\b,bBc, cCd , etc.... , sont différents. ’ ’ ’ ‘ '‘-i *

De même que les géomètres considèrent le cône comme formé de deux nappes ( fig. i . neuvième leçon ) , de même ils considèrent les surfaces développables comme ayant deux nappes : la première, telle que nous l’avons décrite, et la seconde formée par le prolongement des arê- ' tes, eu Au', Bb', Ce'..., au-delà de la courbe ABCD.... , courbe qu’ils appellent arête de rebroussement. 11 suffit en général-, aux besoins des arts , de considérer une seule nappe des surfaces développables.

.Applications, Lorsqu’on doit conserver des

Dil.in.

DI X I KME LEÇON. 319

objets auxquels on ^ttache du prix , on les entoure avec une matière qui soit moins précieuse. C’est ordinairement avec une feuille fïexible et plane, telle que de la toile , du papier , du carton, des peaux , du fer-blanc, de la tôle etc. , qu’on leur forme une enveloppe : tels sont les étuis et les cartons, les fourreaux 'd’armes , les tentes , les couvertures d’emballage , les boîtes de toute espèce, les cornets, les enveloppes des épiciers,,des apothicaires, etc. ;; v‘.

Toutes ces enveloppes , -quels que soient leurs plis et leurs replis, si elles en forment, sont évidemment développables. Il faut seulement observer que les substances qu’on emploie, surtout quand ce sont des tissus, étant susceptibles de se comprimer et de s’étendre, peuvent difierer, en certains endroits , des formes rigoureuses de la surface développable, telle'que nous l’avons définie d’après les géomètres.

■ Application aux tentures et aux draperies.

11 en. faut dire autant des surfaces formées par les tentures elles draperies avec lesquelles on «lécore nos appartements et l’intérieur des monuments publics. Si l’on sç bornait aux formes îles surfaces développables rigoureusement géométriques, on c’aurait que des plis rectilignes , des contours roides, sans grâce et sans vai iété ; tels, à peu près, que les contours des draperies élrLLsques. «rc

GÉOMÉflUE.

Les Grecs semblent être le premier peuple dont l’imagination , gracieuse et fertile , ait bien compris quelles combinaisonsheureuses l’on peut, obtenir , en étudiant la double propriété qu’ont les étofl'es , de se plier en surfaces développables composées d’arêtes rectilignes , et de se qourber avec uniformité , pour s’éloigner de ces formes , suivant des gradations soumises aux lois du bon goût. Ces lois elles-mêmes, dans la décoration des édifices , sont susceptibles d’être ramenées à des principes généraux.

Ke venons aux surfaces rigoureusement développables ; vous allez voir combien leur usage est étendu dans les arts, et quelle utilité l’industrie trouvera dans la solution géométrique des questions qui s’y rapportent.

Demandons-nous de construire une surface développable , lig. 2 , passant par deux courbes AliCDEl'', ahcdef, qui ne sont pas dans un même plan. A cet effet, on supposera que la courbe A13CDEF est un polygone d’un très-grand nombre de côtés , AB , BC, CD , DE.... On prendra une règle bien dressée dont on posera le plat, d’un bout sur AB, et qu’on fera tourner autour de AB, jusqu’à ce que l’autre bout de la règle vienne rencontrer la courbe ahcdef, en deux points très-rapprochés , a, h. On mènera les droites Aa, Bb. Cela fait, on placera la règle de manière que la large face plane pose à la

fois sur BG et B6 : on marquera le point c où cette face plane rencontre la courbe , puis on mènera Ce. On déterminera , de la même manière, De?, Ee, F/]... Ainsi sera produite la surlàce développable ABCDEF ahedef.... , laquelle différera très-peu de celle qui passe rigoureusement par les deux courbes ABCDEF, abedef.

Voyez treizième leçon.

Sciage des pièces de tour. Dans la construction des vaisseaux , il arrive souvent qu’on doit scier une pièce de bois, suivant des surfaces dont le contour inférieur abc... et le contour supérieur ABC... , sont tracés sur deux faces de cette pièce. Si l’on veut opérer le sciage sans être obligé de gauchir, de tordre la scie , pour -lui faire perdre sa figure plane ou développable, il faut que la ligne droite, formée par les dents de la scie, soit dirigée de manière à se confondre successivement avec les arêtes Aa , Bù, Ce..., fig. 3; alors la scie divise la pièce de bois, en décrivant une surface développable.

Application des surfaces développables à la coupe des pierres. La coupe des pierres fait un fréquent usage de surfaces développables, ce sont ordinairement des cylindres et des cônes. Pour construire les voûtes ayant des formes compliquées, on détermine, comme nous f expliquerons (ians la leçon veXattisc^'X intersection des su faces, la figure de tous les contours de

GÉOM ÛT1UE.

chaque pierre qui doit entrer dans la composition de la voûte , ct^qu’on appelle pour cette raison voussoir. Afin que l’édifice ait la plus grande solidité possible, ces voussoirs doivent se f toucher, ezactément dans leurs parties cachées, qui se supportent mutuellement et qu’on appelle joints. /Il importe donc que les surfaces «le joint soient déterminées avec une précision parfaite^' afin qu’on puisse les rendre identiques pour les deux faces des voussoirs qui doivent s appliquer l’une contre d’autre. On arrive aisément à ce but, si l’on renà, développables les faces de joint. On peut alors exécuter rigoureusement , en carton , en planches minces, etc. , le patron de chaque face déveioppahle , plier le patroUvSur lu face de joint; et voir si la règle s’applique parfaitement sur cette face , suivant la direction des arêtes. > ‘ i •

Je ne puis pas vous ofirir une idée plus frappante de la nécessité de donner aux surfaces «le joint, dans les diverses parties d’un édifice , une forme rigoureusement pareille , qu’eu vous citant l’exemple cfei P«n/Aéon , à Paris. Dans cet édifice, un dôme vaste et' très-élevé devait être soutenu par quatre groupes de colonnes élégantes. Afin d’atteindre plus aisément à l’aspect d’uue exécution parfaite , on avait taillé les tambours ou troncs de cônes circulaires dont sé, compose -chaque fût de colonne, en les

■ DIXIÈME LEÇON. asS

creusant vers le milieu, pour que les bords se joignissent sans laisser voir le moindre interstice au I dehors. Le coup'd’œil de ces colonnes, au premier moment de leur érection, donnait l'idée d’un clief-d’œuvre de l’art. Mais, lorsqu’on les eut chargées du poids immense de la voûte , les bords des tambours, bords qui seuls étaient en contact, n’ayant pas assez de surface pour résister k- cette pression , s’éclatèrent, et le dôme entier s’affaissa, jusqu’à ce que le vide laissé dans l’intérieur des tambours eût été rempli. On se crut obligé de «bâtir d’énormes piliers, au centre des groupes de colonnes qui soutenaient cette voûte, et la beauté de la construction disparut. lElle eût été conservée, si l’on avait exécuté les Joints des tambours suivant des surfaces exactement superposables. La Géométrie en fournit les moyens, dans les cas les plus simples , comme clans les plus compliqués.

Traçons bien exactement les arêtes curvilignes AB, BC, CD, DA, ab, bc, cd, da, fig. 3, d’un voussoir. Nous pouvons , pour chaque face de joint , déterminer une surface développable qui passe à la fois par AB et ab , une par BC et bc, une par CD et cd, une par DA et da. £n faisant lamêmé chose pour les voussoirs adjacents, on sera sûr que les faces en contact s’appliqueront exactement les unes contre les autres. Quand on connaîtra la fîgure et la position de AB et ab , BC et bc... , rien ne sera plus facile que d’employer la méthoé^ ddlinée, fig. a, pour déterminer chaque surface développable.

GEOMETHIE.

aa4

Quand les artistes ont à couvrir une grande superficie, avec des feuilles d’une matière mince et llexible; ils plient ces feuilles, suivant des surfaces développables, en opérant ainsi :

Ils tracent sur la superficie à couvrir, fig. 4, des lignes courbes ABCDE , abcde, a'b'c'de ' , a"b"c"d”e" , qui, partout^ soient éloignées l’une de l’autre d’une distance égale à la largeur des feuilles qu’ils peuvent employer. Ensuite, ils commencent à plier les feuilles, de manière à ce qu’elles passent par les contours ABCDE et abcde , puis abcde et a'b'cd'e , etc. Ils les posent l’une è la suite de l’autre , eu les uniiisaUt par une soudure : ou les assemblent à recouvrement, en les fixant l’une sur l’autre.

Application des surfaces développables , à la couverture des dômes et des coupoles. C’est en suivant un pareil procédé, que l’on a couvert avec des feuilles de cuivre lu magnifique coupole de la halle au bled de Paris.

Application au doublage des navires. C’est encore en suivant ce procédé, que les constructeurs de vaisseaux couvrent ou, comme on dit, doublent la carène des navires, avec des feuilles de cuivre , comme eu ABCDEF, fig. 7. Les bords des feuilles sont taillés eu ligne droite, quoique souvent ces bords se recouvrent suivant une ligne qui ne corresponde pas exactement è ce contour. Mais, par le recouvrement, qui n’est pas

DIXIEME LEÇOî». aa5

ég«l J» tous les angles , ni rectiligne sur tous les cHités , l’on produit le môme eilet que si l’on . avait taillé les feuilles de cuivre suivant un contour qui convînt k leur raccordement rigoureux, en les supposant soudées côte à côte.

Ce moyen , adopté par les constructeurs de vaisseaux , est praticaLle avantageusement; parce que la surface de la carène est très-grande par rapport à l’étendue de chaque feuille qui^ sert au doublage , et que le cuivre qu’on emploie pour cette opération, peut s’étendre un peu dans sa partie intermédiaire, poursuivre, en chaque point, les deux directions de la courbure de la carène. C’est ce qui deviendra plus sensible, lorsque j’expliquerai les deux courbures des surfaces les plus générales.

Le cartonnier, qui forme une foule de surfaces diverses , avec des feuilles de papier et de carton collées les unes sur les autres et les unes à côté des autres , produit une suite de surfaces développables, très-variées dans leur figure et dans les rapports de leur position.

Lorsque le carrossier & construit la charpente d’un carrosse, c’est-à-dire, a posé les pièces de fer et de bois qui marquent les contours anxieux de la voiture , les encadrements des portières et des fenêtres, etc. , il doit fermer les espaces marqués par ces encadrements et par ces principaux contours. C’est ce qu’il fait avec des

T. 1. — Géo»i. , . *9

230 CKOMBTRIE,

Jcnilies de bois minces et flexibles , qu’il plie, en général , suivant la forme des surfaces dévelojjpables assujetties h passer par des contours don- . nés. Il a donc besoin de connailre aussi la solution du problème indiqué , fig. 3 et 3.

Le chaudronnier, le poêlier, le ferblantier , ont également besoin de connaître la solution de ce problème. Par exemple, dans la construction des poêles, et dans celle de beaucoup de chaùdières employées dans les usines, afin d’ajuster exacüîment le dessus du poêle ou le dessus de la chaudière avec le tuyau , l’on doit souvent tailler et contourner une surface développable qui passe, kla fois , par une base inférieure ABCÛ, 6g. 5, d’une certaine 6gure, et par une base supérieure abcd, ayant la forme circulaire du tuyau. Alors, il faut connaître exactement quel contour on doit donner à la feuille ou au système de feuilles métalliques planes qui , pliées convenablement , formeront une surface développable passant à la fois pjir ABCD, abcd. Nous donnerons la solution de ce problème, dans la quatorzième leçon , qui traite des tangences. ,,

Au lieu de couvrir des surfaces , par de petites feuilles développables, comme dans la 6g. 4»

on préfère souvent les couvrir par de longues bandes développables.

Lorsque les guerriers étaient cuirassés , le plus grand nombre des pièces qui rccouvraien