v' . ' .'DigiU>;^bÿ

feur corps et leurs membres, étaient des surfaces développables ; c’étaient le plus souvent des assemblages de bandes coniques ou cylindriques, aisément fabriquées *avec des feuilles métalliques auxquelles on donnait unp simple ^ courbure. Il n’y avait qu’un petit nombre de pièces auxquelles il fallût donner deux courbures, comme le casque ; encore même se servait-on parfois de surfaces développables , telles que le pot de fer.

La construction des vaisseaux nous olFiv une très-belle application des surfaces dévelop- ’ pables disposées par bandes.

Quand un navire est ce qu’on appelle membre , il présente une espèce de carcasse MNOPQ, fig. 6, composée de pièces de charpente accouplées. Ces couples i.i, 2 . 3 , 3.3,.., qui s’élèvent dans des plans verticaux , laissent ent|[cux des espaces vides [xyz, fig. 8, représente l’élévation ou le vertical d’un couple du milieu). Pour achever de fermer la carène ainsi figurée, on prend des planches bien dressées suivant une épaisseur donnée, et taillées suivant un contour convenah|p. On les pose à plat sur la face extérieure des couples; puis, on les plie librement, pour en former des surfaces développables, appelé èorr/<7g«s; pai-ce qu’elles couvrent, bordent la surface du navire, en s’ajustant avec précision , côte à côte et bout à bout, avec celles qui leur sont contiguës. La géométrie fournit un moyen rigoureux pour tailler ces pièces.

Supposons qu’on ait déjà posé les bordages depuis le bas jusqu’en A.BCD, et qu’on veuille po.ser le bord.ige immédiatement supérieur,, compris entre les lignes AUC l).

aa8

ahcd. Par ileun points x , y, convenalilement placé> entre ABCD, abçd, on tend fortement un cordeau qui s'applique contre les couples. Admettons que le bordage à travailler soit effectivement exécuté et posé , et que ce cordeau soit tout à coup collé sur la surface du bordage appliqué sfU' les membres. Déi>eloppons , c’est-à-dire, redressons ce bordage. Le cordeau marquait sur la surface de la carène, la ligne la plus courte entre les points x, y, ce cordeau ne cessera pas de marquer la ligne la plus courte qu’on puisse tracer entre ses extrémités, sur la surface développable, développée , c’est-à-dire , sur le plan. Mais la ligne la plus courte qu’on puisse tracer sur le plan, est la ligne droite. Donc le cordeau xy se trouvera en ligue droite, fig. &bis, s’il garde sur le bordage la position qui , sur la carène du navire, le rendait la ligne la plus courte entre x el y.

Lorsqu’on a tendu ce cordeau sur la carène, on a marqué sur sa longueur, des points i. 2. 3 ...; et, par ces points , perpendiculairement à la direction du cordeau , on a fait passer des Brochettes , ou comme on dit, des buquettes de bois , dirigées perpendiculairement à la direction du cordeau. Ces brochettes viennent aboutir d’uii bout au contour ABCDE.., , de l’autre au contour abede,., , entre lesquels le nouveau bordage doit s’appliquer exactement. •

Maintenant , on redresse le cordeau xy. On le tend sur la planche GIIKL, fig. 6 bis, de manière que ^s petites brochettes 1 1 /, II 2 fl, III 3 III, IV 4 If^... , soient perpendiculaires au cordeau. On trace les polygones I. II. III. IV...; i. II. J II. IV..., dont on fait deux courbes continues. Elles représentent exactement la limite inférieure et supérieure du contour longitudinal du bordage.

Il ne suffit pas d’avoir ces contours ; il faut connaître en chaque point I, II, III, IV..., I, II, II l^ IV... ,Ïm\-

^Bigil^ed byf

gle que le bordagc à poser doit faire avec la carène , pour que sa face de joint s’applique exactement sur le joint du hordage contigu. C’est ce qu’on fait , en dirigeant une ])ranche de la fausse équerre suivant la direction de chaque brochette, et l’autre suivant la face de joint du bordage déjà posé , perpendiculairement à l’aréte de ce l>ordage qui touclie à la carène. On n’a plus ensuite qu*à rapporter ces angles respectivement en I, II, III, IV... , 7, II, III, IV ... , quand on découpe la planche GIIKL, avec la hache ou bien avec l’instrument à polir qu’on appelle herminette.

Pour éviter toute espèce de confusion, à mesure que le charpentier relève, au moyen de sa fausse-équerre, l’angle que le joint du nouveau bordagefait, en I, II, III, IV..., avec le bordage contigu déjà placé, il pose un côté ts de la fausse-équerre, contre le bord d’une planchette NP , fig. 6 ter; puis, le long de l’autre côté sr, il trace une ligne droite. Toutes ces lignes étant dans l'ordre même où sont placées les brochettes 1,2.3, t ^1“* correspondent aux points I, II, III, IV..., rien n’csl plus facile au charpentier que de reconnaître, pour chaque point 1, II, III, IV... , quel équerrage iPdoit prendre, afin de travailler le petit côté ou cant du bordage, suivant une inclinaison convenable par rapport aux grandes faces.

11 est essentiel de remarquer que la méthode ainsi décrite , ne supposant h la surface de la carène aucune figure particulière, peut s’appliquer non-seulement ù la construction des vaisseaux , mais à toute autre espèce de constructions civiles ou militaires. Gest un des exemples les plus heureux, des avantages que présente l’application aux arts, des propriétés' que la géométrie découvre dans les surfaces.

Modèles patrons développables. Dans un

a3o GÉOMÉTRIE.

grand nombre d’arts , lorsqu’on ' veut exécuter des surfaces terminées par de certaines lignes, on décompose ces surfaces en parties qu’on puisse, à peu Je chose près, regarder comme développables. On prend leur figure au moyen de modèles ou patrons de papier et de carton , qui produisent de véritables surfaces développables, par leur flexion naturelle, sans déchirure et sans duplicature. Tels sont les patrons que les tailleurs et les modistes emploient pour déterminer la forme et la coupe des tissus qui servent aux vêtements des hommes et des femmes.

Application à la coupe des étoffes pour les vêtements. Une application très-utile de la géométrie a pour objet de combiner la coupe des difiï’érentes pièces d’un vêtement , de manière à perdre le moins possible , en petits morceaux , de la pièce dans jaquelle il faut tailler. Quoiqu’on n’emploie ni la règle ( i ) ni le compas pour résoudre ce problème^ il ne faut point croire pour cela que l’intelligence du tailleur et de ta modiste ne fasse pas une opération mathématique et même fort compliquée , qui demande , ii la foi^,

(i) An lieu d’une règle , le tailleur emploie une rtM&uT'e flexible , qui est une sitrfact développablt divisée en* parties égales- Cctte surface développable , plicc d'abord sur le contour du corps et des membres » en fait connaître les dimensions qui, rapportées sur une étoffe plane, en dèveloppnnt la mesure, donnent des point» par IcsajucIs le tailleur conduit les lignes de ^ son tracé. ^

DIXIÈME LEÇON. ^ a3l

de la justesse dans le coup d’œil , de la combinaison dans l’esprit, et beaucoup d’expérience dans la comparaison des formes humaines et des formes qui conviennent aux surfaces développables propres à faire des vêtements.

Indépendamment de la question d’économie, les questions de convenance , de grâce et d’élégance, dans la parure des hommes et des femmes, ont des principes qui se rattachent, en beaucoup de points, à des règles de géométrie et de mécbanique.

Il faudrait reproduire , au sujet des vêtements, les considérations que nous avons présentées au sujet des draperies et des tentures , pour les surfaces développables susceptibles de s’allonger et de se raccourcir en certaines parties; ce qui constitue leur souplesse ^et leur élasticité. De telles étoffes ayant la propriété de niieujc s’adapter aux formes humaines, réelles ou supposées, sont les plus propres à prendre exactement un aspect commandé par la mode. Ce sont les étoffes qui, pour me servir des termes de l’art, habillent le mieux.

Si les étoffes joignent à la qualité d’être élastiques, celle d’avoir une grande souplesse et une grande légèreté, elles peuvent prendre des’ inflexions, des plis plus nombreux, plus variés et mieux assujettis aux règles du goût.

Au lieu de garder une rigidité , une imnio-

23a GÉOMÉTRIE.

bilité géométriques , les étoffes très-souples et' très-fines peuvent, une fois drapées , céder mollement à l’impulsion la plus légère , et prendre un aspect ondoyant qui rappelle, en quelque chose, l’agitation et la grâce de la vie. Tels paraissent avoir été les tissus qui servaient de modèle aux artistes de l’antiquité, pour ces draperies élégantes dont ils ont revêtu quelques statues. Tels sont aujourd’hui les tissus de mousseline et de cachemire.

Pour qu’un vêtement soit parfait , il faut que les surfaces dont il se compose laissent à notre corps et à nos membres, la liberté, la facilité des mouvements ; ce qui exige une certaine ampleur, une certaine légèreté, une certaine coupe, adaptées aux diverses parties. Mais les hommes ayant attaché la gravité, fimportance, la dignité, à la lenteur des mouvements, il faut que les personnes qui , par leurs fonctions , doivent montrer ce décorum , aient des costumes qui semblent ne convenir qu’k de tels mouvements. La chape processionnelle du pontife , la loge du sénateur, le manteau des rois , seront taillés sur d’amples dimensions, avec des étoffes assez peu' ffexibles pour former des surfaces développables à larges plis que l’agitation de lair ne puisse

faire voltiger. ^ •

La tunique militaire, le costume léger du danseur de ^héâtre , les vêtements de bal , seront

DIXIÉME LEÇON. a33

taillés, au contraire, eu réduisant autant que possible chaque dimension; puis, eu faisant choix , pour les costumes de pur agi-ément , des étoffes les plus souples , les plus légères et les plus onduleuses ; afin de révéler , avec le plus de grâce et de fidélité , les formes humaines et leurs mouvements variés.

Sous ces rapports, le choix des tissus, le dessin des costumes, doivent donc se régler d’après des considérations qui se rattachent k la théorie des beaux-arts , et qui tiennent à l’organisation de la société. Sous les points de vue de la commodité, de l’aisance, de la salubrité, ils se rattachent aux intérêts les plus positifs de l’état social. Enfin , sous le point de vue de l’industrie, c’est la méchanique et la géométrie qui doivent donner la mesure des formes et des ' qualités de ces produits, et les moyens de fabrication, de coupe et d’ajustement qui conviennent le mieux pour produire, par lu flexion et* l'assemblage de surfaces primitivement planes, cette variété de formes heureuses que présentent les vêtements et les draperies, chez un peuple où les beaux-arts font généralement sentir leur agréable influence.

Nous reviendrons sur les surfaces développables, pour montrer de nouvelles applications non moins essentielles que les précédentes , lorsfjue nous aurons expliqué les principes des T. 1. — Géom. 3o

Of

a34 GÉOMÉTRIE.

intersections et des tangences. Maintenant il faut passer aux surfaces gauches. '

St'R FACES GAOCHES. On appelle ainsi les surfaces engendrées par des lignes droites consécutives qu’on ne peut pas regarder comme formant une suite de très-petites facettes planes.^

Pour donner une idée de ces facettes gauches ^ imaginons une échelle , fig. g et i o , dont les deux côtés ne soient pas dans le même plan. Posons à terre cette échelle, de manière que ses deux côtés aient une direction horizontale , 'mais ne se trouvent pas dans un même plan vertical. L.-» fig. g représente la projection verticale , et la fig, lo représente la projection horizontale. Les côtés AB, CD,, fig. 9, se croisent en un point 4 IV. Si nous menons une verticale par ce point, elle passera, fig. lo, par le pointé sur CD et par le point IV sur AB. Maintenant , divisons, ô partir de 4 et de IV , les deux montants AB , CD, en parties égales, par les points i , a , 3 , 4 , 5, 6,7...., I, II, III, IV, V, VI, VII..,; et menons les droites i I, 2 II, 3 III,

BOUS formerons une échelle gauem.

Les ailes de moulins à vent sont des échelles de ce genre, composées de longs côtés divergents et de bâtons perpendiculaires à l’un de ces côtés. Jj;s échelles de perroquet sont aussi des échelles gauches ; mais il leur manque un côté.

Les' surfaces gauches peuvent toujours êtfe

DIXIÈME LEÇON. a35

regardées comme se composant de facettes gauches très-étroites, analogues à l’échelle que nous venons de décrire. Les côtés qui terminent ces facettes gauches , portent le nom d'arétes.

Application à la construction des vaisseaux.

Pour border la carène des navires , on forme des surfaces développables qu’on taille dans des planches, ou madriers plans; comme nous l’avons expliqué , fig. 6. Pour certaines parties très-courbes du navire, vers la pouppe et vers la proue, on ne pourrait tirer, des planches les plus larges, que desbordages fort courts, si l’on voulait qu’ils c-onservassent exactement le tracé qui convient à des surfaces développables. Dans le tracé du bordage représenté fig. 12, on voit qu’il faudrait perdre beaucoup de bois pour tirer d’un rectangle , le tracé curviligne i , 2, . 3 , 4 > 5 > 6, 7, VII, VI, V, IV, III, II, I. Supposons, maintenant, qu’on donne une courbure légère et régulière au cordeau ahcdefg, 11 g. 1 1 ; aloi’s on obtient un tracé qu’on peut poser complètement sur un bordage beaucoup moins large qu’en employant le tracé de la figure 12.

Mais, lorsqu'on voudra plier un bordage taillé comme dans la fig. 1 1 , il ne remplira plus exactement la place î» laquelle il est destiné sur la carène du navire. 11 faudra, par des moyens méchaniqucs, le forcer à prendre cette position. Presque toujours une pareille opération chan-

a3(’) GÉOMÉTIUE.

géra la surfsicc développable en surface gauche.

Dans les parties du navire , où la courbure de la carène est trop considérable , on ne peut plus employer de bordages pliés , sans risquer de les rompre par la flexion même. On opère ainsi :

Travail des pièces do tour. Soit proposé d’exécuter une pièce qui porte ce nom, à cause de sa prande courbure, et qui s’applique sous le contour ABC, fig. i3, contre la membrure du navire. On tiendra fixe une règle représentant une ligne droite ED , par laquelle on conçoit un plan qui marquera, sur la membrure, trois points m, n, O, de ABC (i). Par ces points, on mènera les droites mi , ni, o3..., perpendiculaires à ED; on en mesurerca la longueur. Cela fait, on prendra la fausse-équerre, dont on posera d’abord une branche suivant m i , l’autre le long de la surface de la carène : les deux branches de la fausseéquerre restant dans un plan perpendiculaire à ED/m/jo. On fera la même opération pour les autres points «, o... , de la courbe mno..., La suite des positions de la seconde branche de la fausse-équerre va former une surface gauche, qui sera la face intérieure de la pièce de bois à travailler. On travaillera la face extérieure , en faisant une seconde surface gauche, partout à la même distance de la première , afin que la pièce de bois ait partout la même épaisseur. Quant à la face étroite qui doit poser conti-e ABC, on aura de nouveau recours à la fausse-équerre; on verra l’augle que la seconde branche , posée successivement earn, n, o, contre la surface de la carène , forme

(i) On suppose ici que dans la courte étendue d’une pièce de tour, le contour ABC n'a qu'une simple courbure. Si entre /n , n. o, il y avait des points trop distants de la courbe plane ijtno , on relèverait ces distances en des points détermines , ce qui ferait une operation de plus.

DIXIÈME DF.ÇOK. 33'^

avec la face de joint du bordage AÜC , déjà posé. Cela fait , on n’aura plus qu’à rapporten ces équerrages à la position qui leur convient.

Lorsqu’on veut construire un navire, on travaille d’abord, comme nous l’avons dit, des pi^ce8 de charpente qu’ou accouple et qu’on pose .suivant des plans verticaux parallèles, fig. li. Ensuite, on attache temporairement ces couples avec de fortes règles ou carrelets, appelés lisses. Les lisses sont dirigées le long des deux côtés ou bords de la carène. Les courbes qu’elles suivent sont planes et tracées à l’avance , dans la salle des patrons ou gabarits. Pour les parties du navire qui sont peu courbées dans le sens longitudinal , on se contente de travailler de longs prismes quadrangulaires ou carrelets ayant l’équarrissage convenable. On les plie de manière îi ce qu’ils aboutissent aux points indiqués sur le contour des différents couples. Si la petite portion de carène occupée par la face de la lisse qui s’applique sur cette carène, est exactement développable. en bande rectiligne, la lisse est pliée sans difRculté, dans toute sa largeur et dans toute .«a longueur, contre cette carène. Si la petite portion de carène recouverte par la face delà lisse qui doit être eu contact avec elle , est une surface gauche, alors le contact parfait n’a plus lieu; il faut de gran<ls efforts pour obliger la lisse à .s’appliquer exactement contre la membrure, en sui-

a38 GÉOMÉTRIE.

vant le contour donné par le tracé de l’ingénieur.

Dans les parties très-courbes de la carène , on ne peut plus employer ce moyen. On est obligé d’avoir recours k la méthode suivante :

AUC, ûg. i4, faisant partie du plan de la lisse, l’on marque ce plan avec deux cordeaux ; l’un qu’on cloue sur la carène , le long de ABC ; l’autre DE , qu’on tient à quelque distance , en dehors de la earène. On mesure avec la fausse-équerre, l’angle que forment ce plan et la surface de la carène , en chaque point A , B , C , sur les différents couples.

Ensuite , ayant posé le patron ou gabarit de la courbe ABC, sur la pièce de bois, fig. i5, dans laquelle on veut tailler la lisse, on trace ABC , et l’on taille la pièce en formant , vLs-à-vis des points A, B, C,... , des coches où la fausse-équerre se loge, en donnant juste les angles relevés sur le navire. On enlève ensuite le bois entre les coches ; de manière à former une surface développable, ou gauche. On marque dans l’intérieur de cette surface, les points a, b, e , partout également distants de ABC; puis, les points a', b', c, distants de abc de la largeur de la lisse. On obtient ainsi la i". face abcc'l/a', qui s’appliquera contre les couples. On taille la face supérieure et la face inférieure, d’équerre avec abcdb'a' ; on donne à ces deux faces une largeur partout constante; enfin, on taille la quatrième face , d’équerre avec la a*, et la 3“. Le travail de cette pièce , et les procédés de brochetage , deviendront très-clairs et très-faciles , en les expliquant sur un modhle, dans les villes maritimes. On pourra les omettre dans les villes de l’intérieur , si l’explication n’en parait pas assez facile.

L! architecture civile également usage des

surfaces gauches, pour les voussoirs de certaines voûtes, et de quelques escaliers.

DrXIÈHE LEÇON. 3^9

On sait que les marches des escaliers doivent être planes et horizontales, dans la partie sur laquelle pose le pictl de la personne qui monte ou qui descend. Elles ont le contour représenté, fig. i6, par ABCFE, DEFGH...: où l’on voit les joints BC, EF, GH..., à l’aide desquels chaque marche porte sur celle qui est immédiatement inférieure, et supporte celle qui est immédiatement supérieure. Dans l’escalier à marches parallèles, les joints BC, EF, GH..., sont tous parallèles entr’eux ; ils sont plans et ont la figure de parallélogrammes.

Mais, lorsque l’escalier suit une direction curviligne, lorsqu’il est ce qu’on appelle tournant , le problème de l’assemblage des marches devient beaucoup plus compliqué. On voit d’abord, lig. 17, que les marches n’ont plus la même largeur eu chacun de leurs points ; elles sont pins étroites vers l’intérieur ou le noyau O de l’escalier, et plus larges à mesure qu’on avance vers l’extérieur. Par conséquent, la pente de l’escalier mesurée par la ligne inférieure GFC , ' lig. 16, est d’autant plus douce qu’on s’éloigne davantage de l’axe de l’escalier. Donc le joint EF , des marches , lequel est partout perpendiculaire à GFC, se rapproche de la verticale, quand on avance vers l’extérieur de l’escalier j et SC rapproche de 1 horizontale, quand on avance vers le noyau de l’escalier.

s4o GÉOMÉTAIE.

, JLa suite dea perpendiculaires £F, à l’aréte reutranle E, présente donc une échelle gauche comparable à celle des ûgures 9 et 10. Donc le joint EF de deux marches consécutives , est une surface gauche. Quand on aura taillé toutes les faces planes , d’une marche, suivant les règles de la plus simple géométrie , il ne restera plus à tracer que la face de joint EF.

PcNDi' cela , l’on divisera la longueur de chaque marche en parties égales j puis, par les points de division marqués sur l’arête rentrante OE , fig. 17, on mènera des droites 1.1 , 1.1, 3.3... , perpendiculaires à cette arête, et venant aboutir à l’arête rentrante immédiatement supérieure OB. . -».î

La iig. 18 représente , en grand , l’élévation de la marche OEB , vue perpendiculairement à OE. Là, Ei, Ea, E3..., représentent i.i, 2.2, 3.3... , de la fig. 17.

Si , dans la fig. 18 , on mène El, EU, EIII... , perpendiculaires à £( , Ea , E3... , ces lignes représenteront la direction de la face de joint des deux marches qui se touchent en OE, pour les points correspondants 1, a, 3.... 11 suffira doue, avec la fausse-équerre , de relever les angles ÂEI, AEII, AEIII... , pour avoir l’inclinaison de la face du joint EF, fig. iG , des marches contiguës, en chacun des points 1, 2, 3... '

Toute cette construction deviendra très-claire, si les professeurs l’expliquent sur tm modèle en l)ois ou en plâtre.

Les escaliers considérés comme surface continué, duraoinsquantà leur surface inférieure, appartiennent aux surfaces spirales qui sont d’un grand intérêt pour les arts. (Voyez I2*. leçon.)

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Surfaces de révolution.

Après les surfaces planes , les surfaces de révolution sont les plus simples à construire et' les plus fréquemment employées dans les arts ; leurs propriétés sont d’un usage perpétuel en méchanique, et les phénomènes de la nature les reproduisent sans cesse à nos yeux.

Si l’on conçoit une courbe quelconque AllG , fig- > » qu’on fasse tourner autour d’un axe AG , la surface quelle engendre est une surface de révolution ; le mouvement qu’on imprime à la courbe, est celui qu’on appelle mouvement circulaire ou de rotation ; enün , quand cette rotation est complète , c’est-à-dire, de 36o degrés, on l’appelle ufæ révolution.

Dans ce mouvement, chaque point B, B', B",... décrit un cercle. Tous ces cercles ont leurs plans B6, B'ô', B"6", .... pai'u Hèles eutr’eux et perpendiculaires à l’axe AG , sur lequel sont situés tous leurs centres O, O', 0'^... Nous avons démontré ces diverses propriétés : leçon sixième. •

T. I. — Géom.. ' ' , 3i

yr

» Is i.

.Oigiti^idby

Il n’est pa* ncVcssaire que la courbe A BU' WG soit plane, pour qu’elle pi-oduise une surface de révolution, en tournant autour de AC. Si, de chaque point de la courbe, on mène une j>crj>endiculaire BO, B'O', B"0"... ,.sur l’axe AC, ces pciqiendicnlaires ne varieroi»t ni de orrandeur, ni tie distance, en les ramenant totil<*s sur un même plan. Alors, leurs extrémités B, B', B"... , formei-ont une courbe plane qui , tournant autour de l’axe, enfcndrera la même surface de révolution que la courbe l^-oposce.

La courbe plane qui produit la surAtee de ‘ révoluliou , eu tournant autour de l’axe AC., *;st ce qu’on appelle le méridien du ccUe sur-’ V lace. I^s cercles lib, B'6', dont les plans

perpendiculaires à l’axe sont parallèles enlr’eu.v, ont clé nommés, pour celle raison ,^les cercles I , ou simplement /es parallèles.

Autant on peut l'ormer de ligures diUércutes avec «les ligues droites , des cercles et d’aulrcs • courbes , ou des combinaisons de ces ligues , autant on peut Ibrmer de genres diÜéreuls de suiiaces de révolulion. Ces genres mêmes présentent des variétés très-distinctes, suivant la position de l’axe , par rapport à la ligue génératrice. Kous allons examiner successivement les surfaces de révolution les plus simples et les plus importantes pour l’industrie.

Snifaces de révolution engendrées par le mouvement d'une ligne dt'oife. <

Si eelte ligue est perpendiculaire h l’axe > eft