ON Z I L' M I.K Ç. O N

tournant autour de cet axe , elle décrit bn pi.ajx. IVous avons expliqué, dans la sixumie leçon, Tes divers moyens que cette propriété fournit aux arts , pour exécuter des surfaces planes.

Si la ligne génératrice est parallèle ù Taxe 00 , fig. 3, elle décrit le gyundrk circulaihë flont nous avons expliqué les propriétés , et les applications à l’industrie, ilans la huitième leçon.

Si la ligne génératrice passe par un point «le l’axe 00 , (ig. 3, et se trouve oblique par rapport cet axe, elle décrit le gônk circclairk, dont nous avons expliqué les propriétés et les applications à l’iiulustrie, dans la neuvième leçon.

Lorsque la droite génératrice n’est pas parallèle à l’axe, et se trouve, relativement à cet axe, comme un coté d’échelle gauche est situé relativement à l’autre côté, cette droite décrit mie surface de révolution , fig. 4> dont les deux courbures sont dirigées en sens contraires.

Quand une droite AU ne passe pas par l’axe 00 , on peut en concevoir iniejifÆonde «è syinétriquciiient placée par rapport au plan OOo qui passe pai- cet axe. Les «leux «Iroites se coupent néces-saireinenl en un point i’, placé sur le plan de symétrie. Si l’on fait tourner «l’un niouvenieiit é"al les deux droites Alb «iè, ■ autour de Taxe,- pour s’approcher ou s’éloigner également du plan OOo, il sera toujours leur plan de symétrie , et, elles se couperont tuujours.cn un point placé sur cç.pluu. raisons tourner, autour de l’axe, et le plan desyiuélrio elles droites AU, <«è. I>cs deux droites étant disposées de manièi'e à se couper tonjoiiM «ir le plan OOo,- la suite de leurs inteiséniioiis

a44 CÉOMÊTniE.

forme une courbe , laquelle est le méridien d’une surface de l'évolution engendrée ]>ar les deux droites AB, ab. Donc ces deux di-oifcs , en tournant autour de 00, engendrent la même surface. La Pg. 4 repiésentc les deux systèmes de lignes droites qui forment la surface. Les • élèves entendront parfaitement ces deux systèmes, si les . prolésseiirs leur font exécuter un modèle avec deux cercles de carton joints par un axe, et des fils également obliques diriges en deux sens opposés.

Cisailles. M. Ferry , ancien examinateur de l’Ecole Polyteclinique, a fait une cisaille ingénieuse*, avec des tranchants rectilignes; l’un fixe,

AI3 , fig. 4, et l’autre , ab , tournant autour d’un axe 00. Ce dernier, dans son mouvement, reste toujours en contact avec le premier , et coupe les corps placés entre les (leux.

Dévidoirs. Il y en a de formés avec des ba- • guettes , AB, ah , fig. 4 > qui tournent autour de l’axe 00. Le fil , enroulé sur la gorge de la surface, ue .pcut pas tombe. . Pour retirer un écheveau dévidé sur cette gorge , on rapproche de l’axe toutes les baguettes , par le moyen d’un méchanisme simple.

De Ut xji;/(ére. Alin (l’engendrer cette surface, il suflit de faire tourner un cercle AMBN , ligure 5 , autour d’un de ses diamètres AB.

Tous les points de la circonférence du cercle méridien AMlliN , étant à la même distance du cculre O , ue ccsscioiiL pas d’êlrc à la même

ONZIliME LEÇON. 3^5

dislance de ce point, lorsqu’on fera tourner le cercle méiidien autour de l’axe AO B. Donc, tous les points de la surface de la splière, sont égalementé'oignés d’un centre 0 : c’est Ut centi'e de la sphère.

Tout point pris dans le plan du méridien AMJîN , en dehors ou en dedans de ce méridien, est ou plus près ou ph*s»loin dii centre O, que les points de la circonférence AMBN. Donc, tout point de l’espace , qui se trouvera dans le plan de quelque méridien , sera plus loin du centre de la sphère , s’il est en dehors du méridien ; et plus près , s’il est en deda ns.

Ainsi, non-seulement tous les points de la surface de la sphère sont à la môme distance du centre ; mais aucun autre point n’est à la môme distance de ce centre.

Tout plan qui passe par le centre d’une sphère, la coupe suivant une courhe dont tous les points sont distants du centre , d’une quantité égaie au ra;yon de la sphère : cette courbe est un cerole. Si l’on fait tourner ces différents cercles sur chacun rie leurs diamètres, ou produira des sphères ayant toutes môme centre et môme rayon ; ce sera donc toujours la môme sphère.

r Toutecorde mu , d’un cercle A MBN , fig. 5, est plus petite que le diamèî re MN , et d’autant plus petite qu'elle estplus loin du ceutredela sphère. Mais, quand leccrcle tourne autour d’un axe AOB

C ËOM ËTIU E.

perpendiculaire à la TOrde /737^, la dcnii-cordeo/n tiécril un plan, et son extrémité trace une circonférence qui est toute sur la splière. Donc': i”. Toute section mn , faite par un plan dans la sphère, est un cercle; 2 ”. Ces cercles sont tous plus petits que ceux dont le centre est au centre •de la sphère, et qu’on appelle, pour cette raison, les grands ceroles de la sphère; 3“. Les petits cercles sont d'autant plus petits que leur centre est plus loin du centre de la sphère.

Müjens de décrire la sphère.

Nous pouvons, fi". 6, lîïcr sur l’axe Ail d’un tour/ le ' corps qu'il s’agit de tailler en forme de sphère ; puis , » unecei'taiue distance de cet axe, fixer le demi-cercle a'üb, «loiit le diamètre «è=AJl, et lui est parallèle. Axec un outil tranchant qui saille deTM=: la tlistance Ae.nb à Ail, et faisant glisser ^yam/Zè/rwent cet outille long de «Tè, sa pointe M décrira le cercle méridien AMll. Donc, en faisant aller le tour, ce méridien décrira la sphère.

' On peut placer l’outil tranchant ^ de telle manière que son pied T, lig. 7, glisse le long d’un cercle «Tè, ayant , pour centre le centre u)ême du cercle méridien , et tou-, jours dirige vers le centre U des deux eendes dVb.

Il est évident que TM, tm, représentant la difi’éreiice dés rayons des deux cercles, lorsque T parcourt lecèrcle fiTb,

, il faut que M reste toujours sur le cercle méridien ; ainsi , le tranchant de l'outil reste constamment sur la surface de la sphère.

On exécute aussi des sphères par le moulage:

* c est de celte manière qu’on fabrique les boulets

It • '

de canon, qui sont tles sphères pleines. Pourr.ibriqiier les bombes et les obus, qui sont clc.s sphères creuses, il l’aut faire un moule ayant la forme des parties hachées, lig. 8 , et présentant deux sphères, 1 une pleine, A, et l’autre creuse^ 15B13. C’est entre ces deux sphères que l’on coule ensuite la bombe ou l’obus. On voit qu’ici , l’exactitude de l’opération dépend de plusieurs circoHstances ; i". Les deu.x parties A et BIJB doi-.vent avoir une figure parlaitement sphérique ; 3 ,". leurs centres doivent être placés au même point. Ensuite ou polit sphériquement avec le tour la surface du jirojectile.

Dans le cercle AmUrn' j fig. 9 , menons la corde mm', et le rayon OoA , perpendiculaire à cette corde. En faisant tourner la figure AmO , autour de l’axe AOB ; i". l’arc de cercle Am engendre la calotte sphérique-, a“. le segment de cercle, mAm! , engendre \e segment sphérique ; ' 3“. le secteur de cercle, ümAm', engendre le secteur sphérique.

Il faut résoutire des problèmes qui, dans les arts, sont du plus fréquent usage.

Quelle est la surface de la calotte sphérique mAm! , fig. 9 , et de la sphère complète ? Quel est le volume d’un segment de sphère , d’nn secteur de sphère, et de la sphère complète?

Pour déterminer la surface de la calotte ni A/n', lig. 9,

supposous qu’ou substitue, à l’arc mAm' du cercle lué-

i iJfgaiAïl'btoGooMt'i

lillicn de la splièi^c, un polygone d’un très-grand nombre de cdtcs WM, np,.... Faisons tourner ce po'ygone autour de l’avc Aüll de la calotte ; c'nujr.e portion do l'gue droite ‘ mn, np,,. va former un tionc de cône, dont AOlJ sera , l’ave. La surface totale de ces troncs de cône différera d’autant moins de la surface meme de la calotte sphérique mX.ii', r,ii’;l y aura p'us de côtés dans le polygone vinpi\p'n'hi'. üi-, la surface d’un tronc de cône droit nim'n'n , égale la .somme de la co-conférence des deux bases, ini’ltipl’éc par la moitié de l'aréte mu. Ainsi....

Surf, «lu tronc de cône w/«Vn = (circonf.nim'-t- cire. ««'; J mn.

Surf, du tronc de cône nn'y/» = (circonf. «»'-*- circ.^^'t i np.

et ainsi de suite.

J- Si nous menons nli parallèle à l’axe, le triangle rectangle luiih est semblable au triangle i ectang'c üi^, formé par Ot < ]ierpendiculaire à la corde mn , par rj pcurcndiculaire à l’axe AO et dès lors à n/i, et par Oypoi pendiculairc à mit.

Les deux triangles sont donc semblables, et l’on a , nh ; mn ig • *0 : : circonf. ayant ig pou’- rayon ou i! pour dianièt.ie, est à circonf. ayant iO pour rayon ou AH pour diamètre , en supposant (.ne le noro’ore des côtés du l>olygonc soit si grand qu’il n’y ait plus de différence assignable entre üt et 0//i = OA , rayon de la sphère.

Donc mn X circonf. iV= nh X cii-conf. AB ,

Mais.... ü'=i (/m«»' + «m'); donc

mn Xi (circonf. mi/m' + circonf. nn')=zn/i X ciix»nf. AB.

Le premier terme de cette égalité est la surface du ti-onc de cône mm’fi'n; le second terme est la cii-conféi-cuce du cercle méridien, multipliée par nh , hauteur du tronc de couc.

Donc, qo-nd le polygone mnp... est formé d’un trèsgrandnombre decôtésextrêmeinent petits, la surface qu’il engendre égale la circonférence méridienne de la sphère,

-.Ut tu

ONZIÈMB LBÇON.

multipliée par la somme des hauteurs nh, phi..., des troncs de cône engendrés par la rotation des côtés du polygone. Donc ;

I. La surface d’une calotte sphérique mAirl est égale à la circonférence du grand cercle de la sphère, multi^ pliée par la flèche Ao de la calotte;

II. La surface de la sphère est égale à la circonférence de son grand cercle, multipliée par le diamètre fie ce grand cercle.

Maisla surface d’un grand cercle AmB/n', égale la circonférence multipliée par la moitié du rayon ou le quart du diamètre. Donc , la surface de la sphère est égale à quatre fois celle de son grand cercle ou cercle méridien.

Si l’on sait que , pour couvrir partout également un cercle AmBm'A, fig. 9 , il faut tel poids ou telle superlicie de peinture ou de feuilles de plomb , de cuivre , de fer , etc. , ou en conclura qu’avez quatre fois ce poids de peinture, ou cette superfleie de feuilles métalli({ues , on couvrira la sphère entière, ayant ce cercle poui méridien ; et qu’avec deux fois ce poids ou cette superlicie, on couvrira la voûte en hémisphère, ayaul le même cercle pour base.

Mesure du volume de la sphère et des portions de sphère. En considérant la surface de la sphère comme composée d’un très-grand nombre dé très-petites facettes, on pourra regarder chacune d’elles comme un plan qui soit la base d’une py- .ramide ayaut sou sommet au centre delà sphère.

T. T. — Gkom. 3a