S0 GÉOMÉTRIE

L’enscmblede ces pyramides sera le volume même de la sphère. Or, le volume de chaque pyramide est égal à la surface de sa base , multipliée parle tiers de sa hauteur, qui est ici le tiers du rayon. Donc, le volume complet de la sphère , est égal à la somme de toutes les petites facettes qu’on a substituées à sa surface , multipliée par le tiers de son rayon. Ainsi... la sphère a pour mesure de son volume, sa surface multipliée par le tiers de son rayon, ou , quatre fois la surface de son grand cercle , multipliée par le tiers de rajon.

On verra de même que le volume d’un secteur de sphère OmAm'O , figure g , est égal au produit de la surface de la calotte mkm', par le tiers du rayon de la sphère.

Si, de ce produit, on retranche le volume du cône mOm! , on a le volume du segment sphérique mkm! cire. AmBm' X AoX Ao — ; ci rconf. m/n' X OoXmo.

La ibéthode qui nous sert à calculer la surface de la sphère nous fournit , pour cette surface, un moyen de construction dont les arts font souvent usage. S’agU-il de couvrir une voûte sphérique, avec des feuilles planes de métal, ou toute autre matière ? On divise la voûte , par une suite de plans parallèles , en zones ou bandes circulaii-cs , mmn'n', nn'p'p , etc. , fig. 9, qu’on suppose coniques, et par conséquent dé-

ONZIÈME LBÇON. 35l

Veloppabjes. Voici cbrameot ou trace le tronc de cône rfimV» , supposé développé.

Prolongeons mn, m'rl, fig. g, J«squ’en leur point de rencontre s , sommet du cône dont fait partie le tronc mm’n'^. Si nous développons le oàne^ tous les points de cha«|ue base nn\ étant 'également éloignés du sommet s , fig. g , se développeront suivant deux ai'cs de cercle MM', NN , fig. 9 bis, ayant même centre S.

On aura , fig. 9 et g bis , cire, mm' = arc MKM', et cire, nn' = arc NLN'. Demandons-nous la valeur de l’angle MSM'. Varc MKHF égale la circonférence dont le rayon est ma. Mais cette circonférence est à cafie dont SM est le rayon : : mo : SM. Donc la circonf. ayant mo pour rayon = MKM'= la circonf. ayant SM pour rayon

X Ainsi , l’arc MKM' représente ^ X 36 o" de la

circonf. ayant SM pour rayon. Il suffira d’effectuer une multiplication et une division, pour avoir le nombre des degrés de l’angle MSM', et par conséquent cet angle. Quand on l’aura déterminé , avec SM = sm et SN = sn comme rayons, on tracera les deux arcs MKM' et NLN', fig- 9 bis; alors on aura la zone MKM'K'LN, qui, pliée naturellement, en joignant les deux bouts, MN , M'^'> produira le tronc de cône mm'n'n, fig. 9. * ’’

Les ferblantiers et les cartonniers exécutent souvent , avec des feuilles de métal ou de carton , taillées en bandes circulaires, puis soudées ou collées , des surfaces qui diâérent d’autant moins de la sphère , que les bandes sont plus étroites et plus multipliées. La méthode précédente leur sera très-utile; elle servira souvent aux architectes , aux cl^arpentiers , etc.

Après avoir expliqué le moyen d’exécuter la

surface sphérique , avec des cônes , il faut donner le moyen de l’exécuter avec des cylindres.

Supposons que l’on fasse passer par l’axe AOB d’une sphère, figure lo, un très-grand nombre de plans méridiens; de manière à diviser l’espace autourde cet axe, enangles plans très-petits. Concevons , de plus , une suite de plans perpendiculaires à l’axe de la sphère, et par conséquent parallèles entr’eux : i“. ils couperont la sphère suivant une suite de cercles parallèles; a”, ils couperont les cercles méridiens , en une suite de points également espacés sur ces cercles. Ces points seront les sommets de polygones , réguliers, semblables, jCt dont les côtés correspondants seront parallèles. Tous les côtés parallèles à une direction donnée , formeront un cylindre «lont les arêtes passeront à la fois par deux cercles méridiens consécutifs. On obtiendra, de la sorte, une suite débandés cylindiâques, semblables pour leur contour aux côtes d’un melon ; et plus ces côtes seront multipliées , plus la surface qu’elles forment approchera de la sphère.

Application. On assemble ainsi par côtes cylindriques, pour former des sphères ou des portions de sphère, la soie gommée, la peau, le carton , la soie’pure , la^gaze , le papier , etc. , qui servent îi confectionner les aérostats , les petits ballons 'pleins d’air , les balles employées au jeu de paume, les globes terrestres ou célestes destinés è l’étude dç la géographie et de

Digiliz^ by

J ' onzfKME LEÇON, * ao3

l’astronomie , 'les ombrelles ou parapluies , les garde-vues en hémisphère, pour les quinquets. Dans les ombrelles, les parapluies et les gardevues , la direction des méridiens est marquée par des baleines ou desiils de fer.

Voici la figure qu’il faut donner aux côtes cy- • lindriques , pour que leur ensemble forme une surface dont les joints ou coutures soient les méridiens d’une même sphère. . ; ' ' ' #

Les largeurs mm' = MM', NN', , fig.’ lo, d’une côte, sont proportionnelles aux rayons OM, ON, des cercles parallèles : à cause des triangles semblables ' OMM' ONN'. Donc, OM,ON, étant les rayons des cei’-. cles parallèles 'qui /:orrespondent k mm' etnn', on aura' * OM : ON : î MM' : NN' : : mm' : tin'. On connaîtra donc aisément les largeurs qui correspondent aux diffé- rents points de chaque côte; et, par conséquent, la figure même de ces côtés. ■* . ■ •

j4pplications à la géographie et à l'astronomie. Ces deux sciences ont fait'* des propriétés , de la sphère, un usage très-important. *

La figure de la terre est sensiblement celle d’une surface de révolution , . qui ne difiere' que fort peu de la sphère. •'

' 11 B fallu des siècles pour que les peuples supposassent que la terre fût ronde . en., t^t sens, quelle fût ce qu’on appelle . m» globe ^ et qu’elle "eût la figuré d’une sphère. 11 a fallu les progrès simultanés de‘ la géométrie et de:lai3h®".

fc*

chauique, pour apprendre aux astronomes que la terre est aplatie dans une direction , et boni bée dans la direction perpendiculaire.

Quand les géographes ont admis que la surface de la terre était sphérique, voici comment ils ont divisé cette surlace.

Ils ont donné le nom d’axe , à la ligne droite autour de laquelle le ciel leur paraissait faire une révolution complète en vingt-quatre heures. Ils ont appelé pd/ei de la terre , les points où cet axe tiavei'se la surface de la terre. Ils ont appelé plans méridiens , tous ceux qui passent par les pôles , et cercles méridiens , les lignes que ces plans tracent sur la surface de* la terre. Ils ont appelé parallèles , tous les cercles tracés sur la surface de la terre par des plans parallèles entr’eux , et perpendiculaires à l’axe.

En regardant la terre comme une surface de lévolution, deux parallèles sont partout à la même distance l’un de l’autre, et' les méridiens mesurent la distance qui sépare les parallèles sur cette surface.

Le parallèle dont le plan passe par le centre de la terre, est le plus grand de tous. C’est l’équateur^ ainsi nommé , parce qu’il divise le globe en deux parties égales, qu’on appelle hémisphères , demi-sphères. ^

L hémisphère boréal est celui qui contient le p6ie boréal’, par conséquent, la France est située

Digltized by Gi

eHZlÙMB LB'ÇON. àSS*

dans [hémisphère boréal. L’autre hémisphère s’appelle du nom du pôle qu’il contient.

Si l’on conçoit 36o pians méridiens également espacés, iis comprendront des angles de i“. Ils diviseront à la ibis chaque parallèle et l’équateur en 36o parties égaies, c’est-à-dire en 36o degrés: ce sont les degrés de longitude. Si maintenant ondivise l’espace compris entre deux des 36o méridiens , en 6o parties égales , par de nouveaux plans méridiens, ces plans diviseront en 6o parties égales, et parconséquent en minutes , les degrés de longitude , etc.

Si les parallèles sont également espacés et au nombre de i8o, ils diviseront les méridiens en 36o parties égales; ce sont les degrés de lati tilde. Des parallèles intermédiaires subdivisent ces degrés , en minutes , secondes , tierces

Division de la surface de la terre en carreaux sphériques , pour la description des objets. De même qu’on divise en carreaux la surface du plan, par des lignes parallèles et perpendiculaires, pour y marquer la position des figures tracées sur ce plan ; de même on divise la surface du globe en carreaux sphériques , par des cercles parallèles et perpendiculaires , pour indiquer avec exactitude , sur cette surface , la position de tous les points, de toutes les lignes remarquables : comme l’emplacement des villes , le cours des fleuves , la direction des chaînes de

'aSC &ÉOMBTRIK.

montagnes, le contour des côtes de la mer, etc.

La position de chaque point est complètement indiquée, lorsqu’on marque sur quel parallèle et sur quel n^éridien il se trouve , dans chaque hémisphère. On compte les parallèles paro®, i®,

’a®, 3®, go® de latitude, depuis l’équateur

jusqu'au pôle boréal d’une part, jusqu’au pôle austral de l’autre. On compte les méridiens par O®, I», 2®, 3“,.... i8o®de/on^tÏMcfe,à partir duméridien qui passe par l’observatoire de Paris (i), en distinguant les degrés à l’orient et les degrés à l’occident. A i8o° de longitude, on se retrouve sur le cercle méridien de Paris.

Ainsi , lorsqu’on sait sur quel hémisphère un point du globe est situé, il suflit de connaître le nombre de degrés qui marque : i®. sa latitude; a®.- sa longitude, pour avoir sa position • précise, laquelle ne peut être confondue avec .aucune autre.

Un travail très-utile à la géographie , à l’as- ‘ tronomie, à la navigation, est celui par lequel on a mesuré, pour les villes considérables, et pour les points notables du globe, le nombre de degrés et de fractions de degrés; soit en longitude / soit en latitude, quimarquent leur position. C’est,

(I) Les Anglais , dans leurs cartes hydrographiques et géographiques, partent d'un cercle méridien qui passe par leur obser- ' A'atoire de Greenwich , auprès de Londres. ' ■ .

ONZliïMG. LRÇON. 35^

comme vous voyez , un moyen d’exprimer avec deux nombres , sur la sphère , la position d’un point : moyen parfaitement analogue à celui qu’on emploie pour indiquer par deux nombres la position d’un point sur un plan.

Oh sest servide cette analogie pour représenter la surface sphérique de la terre, sur une carte plane à. carreaux formés par des lignes droites.

Des droites parallèles également espacées I.I , U.ll, lll.lll,.... ( üg. 3, pl. V), représentent les méridiens rectifiés dans leur longueur naturelle. Alors, des droites parallèles i.i, a.3 , 3-3, .... représentent les cercles parallèles, non-seulement rectifiés, mais ,• puisque 1 . 1 = 3 . 3

= 3.3, etc. , quoique les parallèles se rapetissent è mesure qu’ils s’éloignent de l’équateur.

Admettons à présent, que les divisions i.a, 3.3, 3.4,... s’allongent proportionnellement-tfui parallèles correspondants i.i, 3 . 3 , 3.3, etc. Si l’on suppose les carreaux très-petits, on pourra regarder chacun de ceux qu’on a tracés sur la sphère , comme un carreau plan ; sa longueur et sa largeur seront proportionnelles à la longueur et à la largeur du carreau , allongé proportionnellement dans les deux sens, sur la carte plane..

Ainsi, dans la carte qu’on appelle réduite, les figures de^ toute espèce , tracées sur la sphère , seront rapportées sur de semblables portions planes ; chacune des petites parties qui les compo- T. I. — Gr.oM. *' 33.

GÉOMBTKIE.

sent sont par conséquent semblables, leurs lignes font les mêmes angles entr’elles , ainsi qu’avec les parallèles et les méridiens , etc. Telles sont les cartes appelées spécialement marines.

Application à la direction des routes , dans la navigation. Si l’on imagine qu’on navigue toujours en suivant une route qui fasse le même angle avec le méridien, cette route sera représentée , sur la carte réduite., par une ligne droite menée du point de départ au point d’arrivée.

Cette même ligue fera donc connaître \ angle de route que doit prendre le navigateur , pour aiv river d’un point a un autre, en naviguant sur une mer sphérique , ou <lu moins sur une mer dont la surface soit une surface de révolution.

' En supposant que la figure de la terre est sphérique , les géographes ont seulement voulu dire que la terre, malgré les inégalités de toute espèce que nous présente sa surface, s’écarte peu de la figure d’une sphère , comparativement è sa grandeur. En eflet, la hauteur (des plus hautas montagnes n’est pas égale au millième du diamètre de la sphère la plus approchée de la figure et de la grandeur' de la terre.

Ijes simples aspérités de l’écorce d’une orange sont pins saillantes , par rapport au volume de cette orange, que les plus hautes montagnes par rapport nu volume de la terre.

Pour mesurer ces inégalités avec une extrême

ONZIÈME LEÇON. aSg

précision, l’on suppose qu’à partir d’un point déterminé, par exemple, au bord' de la mer ou dun lac, on trace la surface d’une sphère ayant même centre que la terre, et sur laquelle on marque des méridiens et dés parallèles corres* pondants à ceux de la terre.

Pour déterminer la position d’un point quelconque du globe, on indique la hauteur de ce point au-dessus de la surface de cette' sphère ; ensuiteou cote le nombre de degrés de longitude et de latitude, qui font connaître Je parallèle et. le méridien qui passent par la perpendiculaire menée dû point observé à la surface de la sphère.

Quand nous expliquerons l’équilibre des fluides, nous ferons voir comment, au moyen de l’instrument qu’on appelle baromètre, on peut mesurer les. hauteurs des divers points du globe, et les rapporter à la surlace d’une sphère, prise pour terme do comparaison. £)e telles mesures ne sont pas un pur objet de curiosité. Elles servent à fingénieur qui veut tracer des canaux et des routes, pour connaître les hauteurs des descentes et des montées’ qu’il faut franchir quand on veut aller d’un point à un autre. Elles .servent à diviser le globe en régions , dont les hauteurs déterminent le climat, et beaucoup de propriétés physiques.

Indépendamment des inégalités sans nombre qui forment les ondulations plus ou moins éten-

a6o géométrie. • •

dues , plus ou moins marquées de la superficie du globe , la terre offre une déformation générale qui l’éloigne de la figure de la sphère. La terre est aplatie vers ses deux pôles, et par conséquent renflée Vers l’équateur. Donc , en se tenant toujours à la surface du globe, quand on est au pôle on se trouve plus près du centre de la terre, qu’on ne l’est danslesrégionsmoyennes, et à plus forte raison, qu’on ne l’est à l’équateur. ■

L’aplatissement de la terre* est d’une con- . naissance essentielle pour l’industrie. Il rend les degrés de latitude plus longs vers le pôle , et plus courts vers l’équateur (i). Il influe sur la force de la pesanteur, h laquelle sont soumis. tous les corps : cettç force est plus grande au pôle qu’à l’equateurj; aussi , le même pendule , transporté do pôle vers l’équateur , bat de plus en plus lentement. Toutes choses égales d’ailleurs, la colonne d’air qui pèse sur le pôle est plus pesante que celle qui pèse sur l’équateur; il en résulte des différences dans le jeu des machines hydrauliques et des machines à vapeur, etc.

Quand nous parlerons des machines et des forces motrices , vol. 2 et 3 , nous ferons eon-

( 1 ) On peut se former une idée de cet effet, en examinant la figure 36 de 'la planclie IV. On voit une courbe ajtlalie BIDEFG. Ou peut regarder KG comme l’équateur et E comme le pèle. L’arc DF. ayant un rayon DP plus grand que BO et que GQ, les degrés de l'arc DFF sont plus fp-ands que ceux de BD et de FO.

' . ONZIÈME LEÇON. a6l

naître suivant quelle loi varie la pesanteur des corps, le poids de l’atmosphère, et la vitesse du pendule , dans les différents points de la terre ; nous montrerons quelles conséquences il en résulte pour un grand nombre d’arts.

Sphère céleste. On fait usage de la sphère divisée en carreaux pardesparallèles et des méridiens, pour marquer dans le ciel,, comme sur la terre, la position des astres. On suppose: i". que le ciel est une sphèr#ayant même centre et même axe que la terre ; 2 ®. que tous les a.stres sont situés sur la surface de cette sphère. ' •

Une grande partie des astres, ce^sont les étoiles,, restant toujours à. la même distance les uns des autres, sur la sphère céleste ,4teur position relative ne varie pas.

S’il y avait une étoile qui fût précisément placée dans la direction de l’axe , c’est-à-dire au pôle, elleseule resterait immobile , quand toutes les autres se mouvraient. Celle qu’on appelle étoile polaire est très-près de notre pôle , et pour cette raison décrit un très-petit cercle.

Tous les astres varient de position par rapport à nous. Les astronomes mesurent le nombre de degrés, en latitude et en longitude , qui marquent cette position à certaines heures du jour, et pour chaque jour. Quand ils ont marqué dans le ciel une suite de points isolés indiquant suffisamment la route suivie par l’astre , ils font

o6a ..UÉOMÉTHlfe.

passer par ces points une courbë continue : c’est la route même que l’astre a suivie dans son mouvement apparent sur la surface de la sphère céleste.

En étudiant ces courbes tracées dans le ciel par le mouvepieut;des astres, les astronomes ont reconnu qu’ elles sont planes et susceptibles d’être tracées sur uq cône droit circulaire ou surface conique de révolution : ce sont les sections coniques. Les planètes suivent &emellipses dans leurs cours; les comètes semblent suivre des paraboles , et le soleil occupe un fojer de ces lignes courbes ( Voyez XJII*. Leçon. )

Ces applications de la géométrie au cours des astres outrant d’importance, que , sans elles, on n’aurait pas découvert la grande loi de. l’attraction , qui explique les forces et les mouvements de tout notre système planétaire , et qui donne , à la science astronomique des modernes une supériorité immense sur celle des anciens.

Âi^si , depuis le simple chaudronnier, qui fait un entonnoir suivant la forme d’un cône droit circulaire, et qui le coupe en biais, s’il veut l’adapter à quelque vase, dans une position oblique, jusqu’au géomètre qui calcule la marche des corps célestes , et la forme des cônes visuels ayant pour bases les courbes parcourues par le ceutre^des astres ' c’est la même géométrie , ce sont les mêmes surfaces, les mêmes sections.

ONZIÈ'ME IBÇON. a63

les mêmes courbes, qui servent aux usages les plus simples des métiers , comme aux applications les plus sublimes de la science.

Par ces rapprochements , j’ai surtout pour but de rendre faciles des notions qu’on s’effraie d’étudier ; mais qu’on peut entendre aisément, lorsqu’on aperçoit leur analogie avec les conceptions qui nous semblent les plus vulgaires, parce qu’elles s’appliquent à d’humbles travaux , exécutés chaque jour avec nos mains ou sous nos yeux. J’ose dire que voilà la vraie philosophie de la géométrie , appliquée , soit aux sciences , soit aux arts et métiers. ,

Lorsqu’on observe avec attention le spectacle du ciel , durant une belle nuit , on s’aperçoit que les astres , dont la voûte céleste est parsemée , ne restent pas immobiles par rapport à nous. On les voit successivement se lever, comme le soleil , du côté de l’orient ; monter vers le midi et descendre vers foccident, pour disparaître jusqu’au lendemain.

Dans ce mouvement, chaque étoile décrit un cercle , et tous ces cercles ont le même axe ; c’est l’axé même de la terre. Ainsi , le spectacle des deux se présente à nous , comme si la voûte céleste était animée d’un mouvement de rotation autour de l’axe de la terre.

Durant une longue suite de siècles, des nations entières ont pensé que tous les astres

a64 6É0MÉTH1E.

Lournaient de la sorte autour de notre globe qui , dans les croyances vulgaires, restait immobile au centre du monde.

La géométrie va nous montrer le secret , l’illusion de ce spectacle.

Nous sommes si loin "(les étoiles, que les rayons visuels , menés au même astre , des différents points de la terre , semblent tous parallèles. Donc le spectacle du ciel est le même , soit qu’on se place à la surface ou au centre de la terre : plaçons-nous au centre. Si le ciel fait régulièrement une révolution complète, en vingtquatre heures, autour de l’axe du monde, la terre ne tourne pas. Si le soleil est immobile , il faut, au contraire, que la terre tourne autour de l’axe du monde. Dans ce mouvement, les seuls points du ciel qui sembleront fixes, seront les pôles du monde. La distance de chaque astre à ces pôles étant invariable, chaque étoile, quoique paraissant monter ou descendre par rapport à l’horizon des divers points de la terre, sera toujours sur un rayon visuel faisant le même angle avec celui qu’on dirige vers le pôle, et qui représente l’axe du monde. Donc chaque étoile va nous sembler encore se mouvoir sur le même cône de rayons visuels j et toutes les étoiles, en s’avançant sur leurs cônes respectifs , ne cesseront pas de nous paraître rester à leurs distances respectives. Par conséquent le spectacle

• 0«ZIBMK'aEÇO\. »65

du ciel sera coniplèlemeat le même qu’en supposant la terre fixe et le ciel mobile.

Ainsi, c’est par une propriété bien simple de la révolution des plans et des points autour d’un axe fixe, qu’on reconnaît l’identité des aspects

• du ciel : soit qse , la terre restant fixe , la voûte céleste tourne autour de l’axe de la terre ; soit qu’au contraire , la voûte céleste restant immobile , la terre tourne sur elle-même. Lorsque vous connaîtrez les lois du mouvement circulaire, vous verrez ce qui décide l’opinion des géo-

* mètres en faveur de ce dernier système.

La sphère n’est pas la seule surface de révolution qu’on puisse engendrer , en faisant tourner un cercle autour d’une droite. Si l’on suppose que l’axe de la surface ne passe pas par le centre du cercle, on va former une surface du genre de celles qu’on appelle annulaires-, parce que les anneaux, tels que ceux dont l’industrie fait usage , sont un cas particulier de ce genre de surfaces. U est évident que tous les plans méridiens couperont l’anneau suivant des cercles égaux, fig. 12; tous les plans des parai- . lèies couperont aussi la surface suivant des cercles, mais qui n’auront pas tous le même rayon.

Les bagues que les femmes et les hommes portent au doigt , sont le plus souvent des surfaces annulaires, qu’on appelle anneaux.

On emploie , dans les arts , des anneaux ou bou- ' T. I. — GioM. , ' ■ 34

aSê C ROM É» RIB.

des ABC, tig. i3 , qui sont passés dans l’œiJ EDH d’nn piton EDHF , scellé ilans un pavé ou dans une muraille, pour offrir un cercle fixe, sur lequel on peut attacher des cordages.

On emploie aussi l’anneau ou une portion de l’anneau , dans les décorations à&iX architecture. •

Les quarts de rond AA , QQ , figure 1 4 »

dans les chapitaux et les bases des colonnes , sont des quarts d’uue surface annulaire, engendrée par la révolution d’un cercle autour de i’ axe de la colonne; le boudin BB est uae moitié de la surface annulaire , formée par la l'évolution d’un cercle , autour de l’axe d’une colonne , ou d’un cintre.

L’architecte emploie également la surface , annulaire pour construire des voûtes. Ainsi , dans le bel édifice de la balle au blé de Paris y - on voit d’abord une grande voûte en demi-sphère ABC , fig. i5, autour de laquelle est une surface annulaire, ayant pour méridien les deux demicercles ADE , CFG.

Les vases ronds de forme antique, tels qu’on ' les voit représentés, üg. i6, se composent de parties cylindrique» AB , CD , Eh , GH , et de parties annulaires mti, pq^

Lorsqu’un menuisier pousse, des moulures .

autour d’une porte en plein cintre , les partie*» circulaires de sou fer de rabot décrivent des 'sujfaces annulaires. . ,

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w - r« ‘ ij

La cloche ABGDE, (ig. ly , qui sert aux sonr ueries des nianulactures , des églises et des simples habitations , est une siiriace de révolution qui se compose également de ^parties coniques et de parties annulaires.

Les marins emploient un anucau demi-circulaire, qu’ils appellent co^.ye. Un premier cordage eu ceint l’anneau, en se logeant dans sa concavité . extérieure. Les deux bouts sont liés de manière que l’anneau ne puisse sortir. Un second cordage, passé dans l’anneau , s’y meut librement.

, Les astronomes ont été long-temps sans pouvoir expliquer les apparences de Saturne, et de son anneau qui se présentait tour à tour sous les divers aspects I, U, 111, de la ligure 1 1 . Quand ils eurent acquis des connaissances géométriques plus étendues, ils reconnurent aisément que l’a/t-- «cûM, variable dans ses aspects, I, II, lll,qui tantôt paraît entourer et tantôt traverser le globe de Saturne, est ,.en eflét, constant de forme et de grandeur. La méthode simple et facile des projections a suffi pout tout expliquer.

Une surface annulaire dont les arts font le plus grand usage, est la roue. Les roues employées dans les caisses de poulies, sont des cylindres fort-plats pour leur largeur, et creusés sur leur contour suivant une surface annulaire^ ayant un arc de cercle pour génératrice.

Les jantes des roues de voiture m, m,' m,...

lig. i8, l’ormeiit egalement une surface 'annulaire de révolution. Ces roues ont au centre, une partie pleine, c’est le moyeu ABGD. Des rtiis ou rayons , également espacés , unissent cette première surface de révolution, avec l’anneau que forment les jantes. Les jantes composées de parties égales , sont recouvertes par des platesbandes en fer qui croisent les abouts des jantes sur lesquelles elles sont clouées.

Il y a des roues pour lesquelles tous les rais sont dans un même plan rRRr,* alors les platesbandes en fer sont partout perpendiculaires à ce plan et forment un cylindre.

Il y a d’autres roues , pour lesquelles les rais , sont dirigés comme autant d’arêtes d’un cône droit circulaire ; les plates-bandes, partout perpendiculaires à la direction de ces rais, forment elles-mêmes une surface conique. Telles sont les roues coniques.

Quand nous examinerons les propriétés méchaniques des roues , nous comparerons les avantages et les inconvéniens respectifs de ces deux espèces de surfaces de révolution, pour le transport des fardeaux sur des routes.

L’une des surfaces de révolution les plus remarquables par la simplicité de leur structure , est celle des tonneaux. Les tonneaux sont composés de planches minces , appelées douves , et jointes par leurs côtés étroits; de sorte qu’en les

ONZIEME LEÇON. ' afiq

pliant de force , et les tenant ainsi pliées, avec des cercles parallèles AB, aè, cd, CD, fig. 19, on produit la surface de révolution qui a les cercles mêmes pour parallèles, et les joints des douves pour méridiens.

Pour lêrmer ces surfaces de révolution, on compose un plan circulaire avec d’autres plant ches minces appelées fonds. Ce plan circulaire est taillé sur ces bords , en biseau conique , afin d’entrer dans une rainure circulaire appelée jable, qu’on creuse sur la face intérieure des douves.

Pour travailler les douves après les avoir réduites à l’épaisseur convenable, le tonnelier les rétrécit par les deux bouts, en passant leur face mince sur un grand rabot fixe, appelé colombe. Il opère ce rétrécissement sans autre guide que la vue; ce qui produit souvent des irrégularités choquantes, dans la configuration des tonneaux.

On s est occupé d’employer des moyens géométriques pour donner aux douves une forme parfaitement régulière. Supposons qu’on plie " chaque douve entre trois ou un plus grand nombre de points fixes A , B , C, fig. 20 ; etqué, Oo représentant l’axe du tonneau dont ABC est la douve, on aitunrabot dontle fer soit placé dans un plan méridien, c’est-à-dire, passe par l’axe Oo. Supposons que ce fer puisse , tantôt tourner autour de cet axe , tantôt aller cl venir dans son plan méridien. I^e rabot étant approché conve-

nablement de la douve ABC, on U'availlera la petite face : i®. en dessus, suivant la forme qui convient au méridien ou profil du tonneau ; 2®. en renversant cette douve, le dessus dessous.

Les douves ainsi préparées , seront propres à former une surface de révolution très-exacte.

On avait établi, d’après ce principe, une grande fabriq'ue de tonneaux , à Glasgow , en Écosse : elle n’existe plus. La France en possède une qui parait bien réussir.

Quand toutes les douves sont assemblées, on en scie les deux bouts, suivant un plan perpendiculaire à l’axe ; puis on creuse la rainure appelée jable , avec un rabot semblable au trusquin du menuisier, ayant un côté plat qui pose sur la circonférence présentée par le bout des douves; tandis que le fer étroit et saillant du rabot «St sur une tige verticale , à une distance suilisante en dessous du côté plat, pour creuser le jable. On taille les fonds mis côte à côte, suivant un cercle dont le rayon égale celui du jable. Cela fait , on desserre les douves vers un bout , assez pour qu’on puisse introduire les fonds dans le jable. . Ensuite , on resserre le tonneau , en remplaçant les cercles provisoires employés pour le construire , par des cercles définitifs , en bois ou en fer.

Les tonneaux sont , de tous les systèmes de pièces d’assemblage en bois, le plus avantageux

' -ONZlËMK LEÇOK.'^ 3'^!

pour contenir des liquides , sans eu rien laisser perdre, lorsque la nature du bois est saine, et que les tonneaux sont fabriqués avec exactitude.

Dans l’arrangement des objets qui composent le chargement d’un navire , il entre un grand nombre de barriques occupant plusieurs rangs, AB, CD , EF, lig. 2 1 , appelés premier, deuxième , troisième plans d’arrimage. Il est essentiel de connaître à l’avance la hauteur de ces plans , pour voir quel espace les tonneaux de vin, d’eau, d’esprits, etc., occuperout dans la cale du navire; et, par conséquent, quel espace restera pour les autres objets dont se compose la cargaison (i).

Quoique la combinaison de la fig. 2 1 fasse gagner 27 centièmes du ra^ou des barriques, on perd encore un grand espace. Cette perle est évitée par l’emploi des caisses en fer, de forme cu-

(l) Olifcrvon» que les barriques m,n,p, supposées égales, se touchent toutes trois ; donc les trois centres de ces barriques sont éloignés les uns des autres , d'une quantité égale au grand diamètre de chaque barrique. Soit , dans le triangle mnp, la droite nh , menée du sommet n , perpendicnlairement à mp; en faisant ntk= hp = i , ou a mn = 2 ; puis, en vertu de la propriété du quarré de l'hypothénuse , on a — mh'^ =4 — j = 3 .

Cela fait voir que nh égale à peu près 1,73. Mais les centres nt, P, sont à une distance de terre égale au rayon des barriques I. Donc la hauteur du centre n, au dessus de terre, est de 3,73. Si la barrique n était posée directement sur la barrique p , la hanteur du centre de n , au-dessus du sol , serait trois fois le rayon ; donc l'emboitcment de chaque rangée de tonneaux fait gagner à peu près 37 centièmes du rayon.

■J.'ji ' ^OKOMÉTBIE.

bique, pour contenir l’eau des navires; eau qui,

d’ailleurs, se conserve mieux dans ces caisses.

Dans les arsenaux de terre et de mer, on

forme avec les boulets, les obus, les bombes

et les grenades du même diamètre ou calibre,

des piles régulières , par plans horizontaux ,

bg. 23. La base des piles est ordinairement un

rectangle , et leur ligure esr celle d’un prisme

triangulaire à pans coupés symétriques (i).

(i) Pour determiner le nombre de boulets que contient une pile en prisme tronqué symétrique , semblable à celle de la fig. 22 , on comptera d'abord lie nombre de boulets d'une des faces triangulaires ABC , qui, pour r rangées de boulets sera ■ I 2, H- 3 -t- .... r, .y-

On rauUipVcralé tiers de ce nombre. total par U somme des boulets compris dans les trois rangées extrêmes Ao B6 -t- Ce, qui représentent les arêtes du prisme tronqué symétrique ABCaée.

Soit n lé nombre de boulets de Aa j chacune des rangées Bé,C»> comptera r — i boulets de plus que Aa. Ainsi Aa ■+■ Co?n 3n -t- 2 T — 2 . , ’

y Donc enfin le nombre total des boulets de la pile est | ( i Vu • + 3....-4- r) X (3n -*- 2 T— 2 ). Produit bien facile à calculer, Quand il n'y a qu'un boulet dans la rangée Aa, le prisme , devient une pyramide quadrangulaire , dont le nombre de boulets est

^ OU I ( I -+- 2 -4- 3...Ï-4- r) ( 2r'V t ) . ‘

Quand la pile 'est iriangtsluire , Aa =:i,Bé=i, Ce= r { donc Aa Bé -t- Cc=:r -4- 2 .

On a donc pour nombre de boulet^ d'une pile triangulaire^, ayant r rangées de boulets ,'

Surfaces spirales.

Avant d’expliquer les propriétés des surfaces spirales et leurs applications aux arts, il faut examiner les courl>es qui dirigent la construction de pareilles surfaces.

Ayant tracé le rectangle OHAa, fig. i , divisous-le par bandes d’égale largeur , au moyen des lignes droites parallèles A6 , 13c , Ce? ,etc. Menons toutes les obliques Art, Bè , Ce, Drf, ,

qui seront évidemment parallèles eutr’elles, puis-, qu’elles interceptent d’égales portions d’autres parallèles , A13= rti , BC = bc, CD = et/, etc.

Maintenant , supposons qu’on plie le rectangle suivant la forme d’un c \ lindre quelconque, ayant OH pour une de ses ai-étes. Fermons tout-àfait le cylindre, de manière que ak vienne s’appliquer exactement contre OH. Alors, le point a tombera sur O , b sur A , c sur B , d sur C , etc. Les arêtes étant toutes parallèles à OH etk ak, seront représentées , sur le rectangle OHAvt , par des droites PQ, RS, TU, etc. , parallèles aux côtés OH, ak. Mais, sur le rectangle, toutes ces droites parallèles coupent sous un même angle les T. T. — Gbom. Z5

obliques Âæ,B6,Gc,..., puisque ces obliques sont des parallèles. Enfin, lorsqu'on plie le rectangle sur le cylindre , fig. 3 , chacun des angles formés par les obliques , Aa , , Ce. . . . , fig. i , et par les

arêtes PQ, RS, TU ...., ne change pas. Donc, la propriétédesobliques Aa, B6, etc. , sera, qu’en se > rejoignant sur le cylindre , aux points A et 6, B et c , G et (/ , etc. , de la fig. i , elles formeront une courbe qui fera partout le même angle avec les arêtes du cylindre. Cette courbe unique est ce qu’on appelle une hélice ou spirale cylindrique.

Lorsqu’on plie le rectangle de manière à former un cylindre dont la base est un cercle , ou obtient l’hélice le plus fréquemment employée dans les arts. . i * '

; Supposons, maintenant, que deux points s’avancent en même temps , à partir de H; l’un suivant le côtéHÀ' du rectangle , fig.i i ; l’autre suivant l’oblique HA. Supposons que les deux points passent en même temps: i°. sur PQ; a“. sur hS; 3®. sur TU... D’après la propriété des lignes proportionnelles , on aura :

HQ ; Q 7 : : HS : S^ : : HU :U«, etc.

Donc le point qui suit la direction oblique HA, s’éloignedela base HA, de quantités Q^ Sj ,Ua..., proportionnelles à la distance de l’arête OH, aux arêtes PQ , RS, TU....

Donc, si l’on fait tourner autour du cylindre une de ses arêtes , UO, tandis q^’un point s’avance

le long de cette arête , de manière que les espaces parcourus par le point et par l’arête , soient proportionnels, le point dont il s’agit va décrire une hélice ou spirale , telle cju’elle est représentée dans la ligure 3. Ainsi....

La spirale est produite par un point qui , tournant autour d'un axe., avance dans le sens parallèle à cet axe , proportionnellement à la quantité dont il tourne autour du même axe.

Par conséquent, le tourneur peut décrire une spirale sur un cylindre , avec un outil tranchant qui s’avance parallèlement à l’axe , proportionnellement à la quantité dont ce cylindre tourne autour de l’axe.

Par conséquent, aussi , à chaque tour du cylindre, l’outil du tourneur, pour décrire la spirale, doit s’avancer d’une mêmè longueur; cette longueur , partout la même, est le pas deThélice ou de la spirale. Donc,/rt distance des différents tours d hélice ou de spirale, mesurée sur chaque arête, est constante^ c’est le pas de la spirale.

Supposons qu’on tire , fig. 3 , par impression ou autrement , une épreuve de la fig. i , c’est-àdire , qu’on exécute une seconde figure symétrique première, et qu’on la plie sur un cylindre, 4. égal à celui delà fig. 3 ; on forme une spirale dirigée en sens contraire de la spirale , fig. 3.

La spirale de la figure 3 est dite tournée à droite ’,ce\\e de la fig. ^eiX.d\x.e tournée à gauche,

2'j6 géométrie.

Quand le.s cylindres, fig. 3 et 4> sont égaux, et que le pas de vis est le même, la spirale tournée 6 droite , est symétrique par rapport à la spirale tournée à gauche.

Figure spirale de la vis. Au lieu de faire tourner un seul point autour d’un axe, nous pouvons faire tourner une figure plane quelconque , un triangle, üg. 5 , unquarré, fig. 6, etc. Alors nous engendrerons des surfaces qui pourront être en creux ou en relief, sur des cylindres qui peuvent également être en relief ou en creux. On appelle filets les creux ou les reliefs en spirale, formés autour du cylindre par le triangle ou le quarré, en relief ou en creux, qui s’avance le long de l’hélice, en conservant toujours sa ligure génératrice dans une même position par rapport au contour de cette hélice, et par rap port à la direction de l’axe ilu cylindre.

On appelle vis le cylindre ABCO, fig. 5 et 6, qui porte le filet sur sa surface convexe ; on appelle écrou le cylindre creux ayant un filet en spirale taillé dans sa surface concave.

Supposons , maintenant, qu’on ait deux cylindres d’un même diamètre , sur le contour desquels on ait tracé la même spirale dont on fasse ensuite la directrice d’un filet, l’un en reliefet l’autre en creux ; ce qui produit une vis et un écrou de même filet et de même pas. Je dis •qu’on peut introduire la vis dans l’écrou, en

la faisant, à la fois, avancer et tourner, sans qu elle laisse nulle part de vide , entr elle et l’écrou , et sans qu’elle soit nulle part obligée de diminuer sa grosseur.

Supposons, en effet, que l’on commence à engager le bout du filet en relief de la vis , dans le bout du blet en creux de l’écrou ; les deux cylindres de la vis ,et de l’écrou étant ajustés de manière que leurs axes soient en ligne droite. Cela posé, l’un des cylindres restant fixe, faisons tourner l’autre , de manière que chaque point de son filet avance parallèlement à l’axe, proportionnellement à la quantité dont il tourne , et dans le rapport même indiqué par la courbure de l’hélice qui sert de directrice aux filets : le profil de la surface des filets en relief va décrire la surface même du filet en creux. Donc le filet en relief se logera tout entier, sans vide et sans compression , dans le filet en creux. Tel est le jeu de la vis dans son écrou. On a construit géométriquement , et avec le plus gi’and soin , les vis triangulaires et quarrées; afin que les élèves puissent imiter en grand les projections des figures ,5 et 6. Ce sera l’un des meilleurs exercices géométriques qu’on ait à leur proposer.

De même qu’il y a deux espèces de spirales , * les unes tournées à droite et les autres tournées è gauche; de même il y a deux espèces de vis et d’écrous, les uns tournés à droite et les autres à gauche. Il est évident qu’une vis tournée adroite ne saurait emboîter dans un écrou tourné à gauche, et qu’une vis tournée à gauche ne saurait emboîter dans un écrou tourné à droite.

Les vis sont. d’un usage jjerpétuel dans les

378 GÉOHÉTBIE.

arts. Elles servent tantôt à changer en mouvement circulaire, un mouvement qui se fait suivant une ligne droite; et tantôt à produire le changement inverse. Voyez a', vol. Machines.

Remarquons, fig. i , que le pas OA=AB...., d’une vis, peut être fort petit par rapport à la longueur HA’ du contour du cylindre ; de plus , le triangle HAA offre une échelle composée de partiesQç, Sf, Ua... , qui sont entr’elles : : 1:2: 3 :... C’est une échelle semblable à celle qu’on a formée, V”. leçon, lig. 5 . Si le contour de la base présente des divisions égalcsHQ, QS, SU... , une erreur assez sensible sur ces longueurs peut donc être beaucoup moins considérable sur les hauteurs, Qçr, S^, Uw.... '

Application. L’industrie s’est emparée de cette propriété géométrique pour diviser avec beaucoup^ d’exactitude les lignes droites en parties égales , par le moyen de la vis.

Proposons-nous de diviser la règle AB, fig. 7, en parties égales, avec une grande exactitude. Supposons que le pas de la vis MN,dont Taxe est parallèle à AB, soit le 10*. de la circonférence du cylindre sur lequel est taUlée cette vis, et que cette base ait pour rsyou le to*. de celui d’un plateau ciréulaire PQ, dopt la circonférence est divisée en parties égales. Supposons enfin que l’erreur des divisions dé PQ , puisse aller jusqu’à un millimètre ; ce qui serait inexcusable dans les

DOUZIEME I.EÇON. 2-jg

opérations un pou précises. La cireonféieuce de PQ est cent fois plus grande que le pas de la vis, et chaque tour de PQ ne fait avancer ou reculer que d’«n pas , le stylet XY entraîné par cette vis. Donc l’erreur sur l’espace que parcourt le stylet ne peut être que le centième de l’erreur des divisions du cercle PQ. Quand , sur PQ, l’erreur ne dépasse pas un millimètre, elle ne peut donc dépasser un centième de millimètre sur AJ}, cest-à-dire, une longueur très-inférieure à celle que nous pouvons apprécier avec l’attention la plus délicate de notre vue.

Faisons tourner le cercle PQ, de manière qu’un indicateur fixe, Z , corresponde successivement aux divisions as.sez rapprochées, i, a, 3..., de ce cercle; nous diviserons la droite AB en parties très- petites , dont les inégalités seront inappréciables à nos sens.

Les machines à tailler les vis sont proportionnées d’aptès les rapports qu’il faut établir entre les divisions longitudinales AB, et les divisions d’un cercle PQ. Il faut expliquer ces machines, ep les ofli anl à la vue des élèves.

Les vis dillercut beaucoup suivant la figure des filets; tantôt la section de ce filet, perpeudiculaireraent à la spinde directrice, est un triangle équilatéral, et tantôt un quarré; ce qui produit les vis à filet triangulaire , fig. 5 , et les vis a filet quarré, ûg. 6.

aSü GÉOMÉTRIE.

On emploie les vis pour approcher bu pour éloigner des règles et des cylindres parallèles , sans changer leur parallélisme. Concevons ; en effet, deux vis égales, une h chaque bout dune paire de cylindres établis de manière qu’en tournant ces vis, elles forcent les axes des cylindres à s’approcher ou à s’éloigner l’un de l’autre. Lorsque l’on tournera les deux vis d’une même quantité, l’on approchera 'OU l’on éloignera également les cylindres; mais l’espace parcouru par un indicateur fixé à chaque vis peut aisément être loo, 200, 3 oo fois plus grand que lé pas de vis. Alors un espace parcouru parl indicateur n’en produira qu’un 100, 200, 3 oo fois moindre , pour écarter ou rapprocher les cylindres. On saura donc régler leur distance avec une extrême précision ; ce qui , dans beaucoup d’opérations, est d'une grande importance pour l’industrie.

On peut faire beaucoup d’autres applications du même genre, pour mesurer ou parcourir des longueurs avec une exactitude qui dépasse considérablement la limite où nous pourrions atteindre par le simple usage de nos sens. La fabrication des instruments d’optique et d’astronomie , en oflPre de nombreux exemples , dans l’emploi qu’on y fait des vis de rappel.

S’agit-il de mettre bien de niveau un instrument porté par trois ou par quatre pieds ? On

DOOZIÈMF, LEÇON. 281

fixe, souechncun de ces pieds , une m de rappel , r(ue l’on tourne ou détourne peu Ji peu , selon qu’il faut abaisser ou relever l’instrument, du côté d’un de ces pieds. On approche ainsi de la vraie position , par degrés insensibles ; ce qui permet de s’arrêter précisément au point nécessaire, il y a des vis de rappel , dans les instruments à réflexion , pour placer les miroirs à leur vraie position ; il y en a pour rapprocher ou disjoindre certaines parties d’autres instruments, etc.

La nature nous présente une foule de spi^ales dans les végétaux; les plantes rampantes s’élèvent autour d’un cylindre vertical, tel qu’irtï tronc d’arbre ou d’arbuste ou un simple écbalas, en décrivant une spirale. D’autres fois, la plante pousse de longs rameaux qu’elle suspend à des points d’attache , par des filaments qui se plient en spirale. Plusieurs vaisseaux intérieurs des plantes et des arbres , sont pareillement èontournés en spirale. Plusieurs végétaux ont Icure branches, ou leurs feuilles, ou leurs fruits , implantés, suivant une direction spirale, sur la tige qui les supporte.

Applications . LeS arts ont imité ces formes spirales de la végétation , soit pour attacher des corps , soit pour les pénétrer.

Lorsque les chirurgiens doivent entourer de bandelettes , des membres dont la figure approche de celle des cylindres , tels que les doigts , les jambes, les bras ; ils les enveloppent en don- T. I. — Gf.om. 36

28a 6ÉOMÉTR1JC. ^

uaut ù ces bandelettes une direction spirale , pour couvrir graduellement un espace beaucoup plus large que la bandelette, qui peut eusuite être aisément tenue par la plus simple attache.

Nous parlerons en détail des vrilles, des tarières, des tire-bouchons, des tire-bourres, etc., quand nous expliquerons les propriétés niécbaniques de la vis et du coin. a*, vol. , Machines.

Colonnes torses- On voit des troncs d’arbre autour desquels une branche de lierre étant pliée en spirale , a produit une compression telle , que le tronc ne peut plus grossir qu’entre les tours de cette spirale ,. et prend, la forme d’une vis à lilet arrondi. Voilà le modèle des colonnes torses, fig. 8; colonnes qui, n’ayant ni la simplicité, ni la force des colonnes ordinaires, ne peuvent plaire qu’à des imaginations bizarres.

' , Un ornement plus gracieux etqilus digue des

- beaux-arts , est celui des guirlapdes de fleurs qu’on ^ plie en spirale autour de colonnes régulières , ou bten autour des robes légères des jeunes Allés parées pour les fêtes et la danse. Reven ms aux applications utiles. •

Serpentin d’alambic. C’est un instrument ,

' fig. 9 , qui ressemble , par sa'forme , au tire-bouchon, ftiais qui est creux au lieu -d’être plein. Il est, engendré par le mouvement d’un cercle dont le centre parcourt une hélice' à laquelle son plan reste toujours perpendiculaire. Lors-

DOUZISHB LEÇOM. a63

qu’un fluide vaporisé par la distillation passe dans le serpentin , qui se trouve plongé dans . ^ |

un tonneau plein d'eau froide , la vapeur se condense ; elle arrive au bas du serpentin , réduite, ^

en liquide sensiblement refroidi. C’est ainsi que l’on condense les eaux-de-vie et d’autres^esprits produits par la distillation. »

Le nattier et le tresseur de chapeaux de paille fabriquent des cylindres , fig. lo, avec des tresses étroites et plates lesquelles ayant partout même épaisseur , représentent les bandes kabÜ , BècG, etc. , fig. I . Pliéessuivant le contour d’un cybndre et cousues côte à côte , ces bandes en reproduisent exactement la surface. On peut, en employant un procédé analogue, fabriquer de même un plan , un cône , une sphère, en étendant un peu l’un des bords de la tresse , ou bien en resserrant un peu le bord opposé.

Plus la ^tresse est étroite et moins il est nécessaire d’étendre ou de resserrer un des côtés , plus la surface que l’on parvient à fabriquer approche de la forme rigoureuse qu’on a conçue. ,

La perfection des beaux chapeaux de paille de Florence consiste dans la parfaite égalité d’ampleur et de force des tresses , dans leur peu de < ,

largeur, dans la finesse des pailles et dans l’aspect régulier du tissu . 1 •>

Les machinistes font beaucoup d’usage de ressorts en spirale, dont nous expliqueix)ns les

a84 • GÉOMÉTRIE. •

eâèts, en traitant de l’élasticité. Tels sont, plusieurs ressorts des voitures.

11 y a des personnes dont les cheveux bou- .clent naturellement en spirale; il y en a qui font ainsi boucler leurs cheveux , en les contournant sur un cylindre chaud, de petit diamètre, ou simplement en les pliant en spirale dans une enveloppe de papier appelée papillotte , et les pressant entre des pinces de fer , assez chaudes. I La chaleur dissipe l’humidité qui imprégnait les cheveux et tendait à les relâcher, à les faire tomber en ligne droite; la compression leur donne une courbure en spirale , qu’ils conservent ensuite plus ou moins long-temps , suivant la nature des cheveux et l'état de l'atmosphère.

L-’art du coëüeur et du peintre qui veulent composer un bel ensemble de chevelure, est de grouper les spirales ainsi foi’mées par masses ou lioucles de cheveux , qui se combinent de manière à présenter un tout en harmonie avec le genre de parure et la physionomie de la personne qu’ils parent ainsi. On peut citer comme ' des modèles plusieurs coëflures grecques et romaines ; où ces combinaisons de formes spirales sont conçues de la manière la plus heureuse.

- 11 faut, maintenant, nous occuper d’un genre de spirales beaucoup plus important que la plupart des exemples cités jusqu’ici : 'nous voulons -parler *• r»

DOUzmME LEÇON. ^85

On forme , pour les tissus et les cordages , des fils plus ou moins minces, avec du chanvre, du lin, du phormium tenax, avec l’écorce de quelques arbres, etc.; on prend aussi la bourre végétale appelée coton , la laine , le poil des animaux , etc.

Avant de former des fils, il faut, par le peignage ou le cardage , rendre parallèles les filaments de la matière première , et les diviser en parties très- minces, aussi égales qu’il est possible , dans leur grosseur et leur longueur.

Filage du chanvre et du lin. Po*ur ce filage , on s’est servi d’abord du fuseau. A mesure que le fil est tordu , on l’enroule sur le fuseau , puis on fait un'faux nœud, facile à détacher vers la pointe du fuseau. La fileuse fait tourner vivement, entre les doigts de sa maii> droite, la pointe du fuseau ; ce qui communique une torsion suffisante k la partie du fil qui n’est pas enroulée sur le fuseau; partie que la fileuse allonge, en tirant, avec la main gauche, les filaments parallèles de la quenouille. Ces filaments prennent une forme spirale.

Le filage au fuseau est le plus lent de tous. On a d’abord remplacé le fuseau par un rouet trèssimple, fig. IJ , qu’une main ou le pied- de la fileuse met eu mouvement. Au fur et k mesure qu’il est tordu , le fil s’enroule sur la bobine, qui n’est qu’un fuseau méchanique. La torsion est donnée par le rouet même. Ainsi la fileuse n^a

a86 cÉOHÉTniE.

plu» qu’à tirer de la quenouille, les divers lila> ments , pour les ranger dans une position propre à former un fil qui partout ait la même grosseur.

On enroule le lil sur la bobine du rouet de la lileuse, au moyen d’ailettes, fig. 12, armées de crochets. Ces ailettes sont fixées sur un essieu mn, qui passe au travers de la bobine ou cylindre en bois rs , sur lequel le fil doit s’enrouler. On fait aller le cylindre de manière à ce qu’il achève un tour plus vite que les ailettes; par là, le fil qui doit s’enrouler sur le cylindre est tiré par ce cylindn* et s’enroule graduellement.

Supposons, pour fixer les idées, que le cylindre fasse cinq révolutions complètes quand les ailettes en font quatre. 11 faut, par conséquent, que .le fil se soit enroulé d’un tour complet, quand le cylindre^a fait cinq tours, et les ailettes quatre. Ces divers mouvements de rotation sont donnés par la grande roue du rouet OAB, lig. 1 1 ; mn,pq , étant deux autres petites roues dont les diamètres soient entr’eux : : 4 : 5 . Au moyen de cordes tendues A//wB, Ap^B, sur la gorge des petites roues et de la grande, les deux cordes parcourent le même esp.ice sur la gorge <le AB. Quand cette gorge tourne, il làut flonc que le rouet mn fasse cinq tours, lôrsquepy en fera quatre. C’est le rapport même que nous avions besoin d’établir.

L’avantage du rouet sur le fuseau est très-

DOUKIKMI^ LEÇON. ' 287

grand; il a fallu des siècles avautqiie les* peuples iiuagiuassent cette machine, qui devait être bien surpassée par les inventions modernes.

Filage de la laine et d^ coton. Les cardes foi^ ment d’abord de larges nappes ayant partout la mémd largeur et la même minceur; ensuite on les étire, afin d’en former d’étroits rubans. Un léger «legré de torsion les convertit en boudins. On prend ces boudins , on les tord , on les étire peu à peu, à côté les uns de» autres, soit à lamaift, soitavec une machine. On les fait touriiersur euxmêmes , i» mesure qu’on avance , pour les tordre ^ également , c’est-à-dire , en leur donnant une toi> siouqui doitêlre partout la même, ainsi que le volume des filaments tordus; afin que le fil soit partout également gjos. Chaque filament, dans cette torsion constante, formfettwe spirale ayant jiour axe, l’axe même du cylindre que figure le fil.

Le rouet qui sert à filer le coton, se compose d’une grande roueOAÜ, fig. i3, d’une broche munie d’une petite roue GÜ, et d’une corde sans fin ABCU. La broche reçoit le fil , comme le ferait le fuseau de la fileuse; ce fil se prolongeant en boudin dans la partie non tordue. L’ouvrière saisit ce boudin , à la distance convenable de la broche. De l’autre main , elle fait tourner la grande roue AOB, taudis que la première main, tenant toujours le boudin, l’allonge en séloiguaut de la broche •- le mouvement de rotation se

a88 " cÉoMÉTRiç.

cominAûquapt deia bobine au boudin, le tord pour en faire un fil dont les éléments sont courbés en spirale. La torsion de ces spirales dépend : delà vitesse avec laquelle tourne AOb; de la lenteur avec laquelle on allonge le ruban de la carde. Quand une portion du boudin est'trans" forrnée en fil qui a la grosseur et la torsion coo- , venables, l’ouvrière détourne un. peu le. rouet, .pour' défaire la .spirale que ce fil formait sur le , lR)ut de la broche; puis , plaçant ce fil dans une direction perpendiculaire à l’axe de la bobine, plie tourne le rouet en sens contraire du premier mouvement. Alors le fil, au lieu de se tordre, s’enroule sur la bobine; il y fornje uué suite de spirales. On voit qu’ici l’on exécute, par méchanique , les mêmes opérations qu’avec le simple fuseau de la fileuse. ..

On a conçu l’idée de remplacer, par un moyen méchanique, les doigts de la fileuse, et c’est là la partie la plus originale^ la plus remarquable des nouvelles machines, propres à filer.. On fait passer les nappes légères sorties des cardes, en- ^ tre des paires de cylipdres ou laminoirs . parallèles, combinées de manière que la jt”» paire tourne nroins vite que et pelle-ci moins

' vite que la ü‘. j^l faut dope quq. les. nappes s’alloni^nt entre peaitroi^. paires de cylindres, et, par conséquent, . se .rétrétissent. En passant dans un second ajstèrae < composé , comme le premier.

de trois paires de cylindres , on donne aux' rubans de coton ou de laine , un nouveau degré de torsion ; puis on les enroule sur des bobines.

. Cela fait , on place un certain nombre de bobines sur des axes verticaux et rangés en ordre sur un métier. Ce métier remplit toutes les fonctions de la fileuse; il étire le. fil , le tord et l’enroule sur le fuseau. L’étirage se produit encore ici par trois paires de cylindres ayant des vitesses difierentes ; de là , chaque fil se rend sur une bobine armée d’une ailette , comme le rouet ordinaire. Tel est le métier appelé continu , parce que le filage s’y fait sans discontinuer les mêmes genres de mouvement. > • i

Dans le métier appelé MuU Jenny , cité 2*.

leçon, page 3 i , l’étirage s’opère' non-seulement par la différence de vitesse des laminoirs, mais en faisant alternativement s’approcher et s’éloigner, des cylindres laminoirs, toutes les bobines sur lesquelles le fil doit s’enrouler. Quand les bobines s’éloignent, les fils sont étirés; quand elles s’approchent , les fils s’enroulènt sur les bobines. La torsion des fils s’opère quand les bobines sont transportées au terme de leur course. : >.<

•vXJn métier à filer en gros, porte 108 bobine^; un métier à filer en fin , porte 216 bobines con- < duites par un fileur et surveillées par deux rattacheurs.

T. I. — GfoM.

Ainsi , trois personnes sufHsent pour un nomi bre de fils qui exigerait ni 6 fileuses au fuseau ou

j au rouet, et chaque fil est produit beaucoup