I - plus vite que par les doigts de la fileuse. Voilà

l’immense avantage des moyens d’opération fournis par la géométrie, pour former avec des filaments végétaux, contournés en spirale , àes fils cylindriques ayant exactement le même diamètre.

On fera ces explications aux élèves , en leur montrant des rouets , et s’il se peut des métiers à filer.

La soie, telle que le ver la produit , est pliée ' en spirale sur une surface de révolution qu’on

appelle cocon. La première opération consiste à développer le fil de ce cocon , et à l’enrouler sur une bobine; ensuite on lui donne un premier degré de torsion en le faisant passer sur une deuxième bobine. Les fils , ainsi préparés , sont tordus dans un premier sens, de manière que tous les points qui, sur leur surface cylindrique, étaient en ligne droite avant la torsion , forment maintenant une spirale. On unit ces fils 2 à 2 , 3 à 3 et même 4 ^ 4 > donnant une deuxième

torsion , à rebours de la première. Cette seconde torsion défait en partie la première , et plie les fils en spirale les uns à côté des autres ; dans cet état , la soie prend le nom dlorgansin.

L’opération que je viens de vous décrire est

Digitizcd by Gi uiglc

DOUZIÈME LEÇON. SQ/i

semblable à celle qu’il faut employer pour fabriquer des cordages avec du chanvre.

Par l’effet des df ux torsions , les parties de chaque fil tendent à se redresser dans un sens ; les Gis mêmes pliés en spirale, tendent à se redresser en sens contraire. L’équilibre qui s’établit entre les deux torsions , empêche les divers Gis de se dérouler indéG nimeut, dès qu’on ne les comprime plus par quelqueeffort étranger. Je ne puis à cetégard, vous offrir maintenant de plus amples détails qui appartiennent h la science des forces et sortent des bornes de la simple géométrie.

Avec le chanvre, on fabrique d’abord des fils tordus isolément, tordus seuls dans un sens, et tordus plusieurs ensemble dans le sens opposé, pour former des cordages simples appelés torons. On tord ensemble , on commet, 2 , 3, 4 torons, dans un sens opposé au deuxième, c’est-à-dire , dans le sens même de la torsion des premiers Gis, pour former des cordages qu’on appelle aussières. On tord dans le second sens ces aussières prises 3 à 3 ou 4 à 4 > pour former des grelins. On tord ces grelins 3 à 3 ou 4 à 4 , pour former des archigrelins .

Les câbles des vaisseaux sont tordus ou commis en grelins, les haubans et les manœuvres courantes des navires sont commis en aussières.

Depuisquelques années , les Anglais ont imaginé des moyens ingénieux pour opérer les diverses torsions des Gis et des cordages avec des niachi-

nés. La régularité géométrique de tous les mouvements employés dans ces machines a produit les plus heureux résultats; 4e sorte qu’avec un tiers et même moins de matière , suivant la grosseur et la nature des cordages , une exécution plus parfaite permet d’obtenir aujourd’hui la même force. C’est un des plus beaux exemples qu’on puisse citer de l’avantage qu’on trouve à substituer des moyens scientifiques , aux à-peuprès des opérations purement manuelles.

Nous engageons les propriétaires d’ateliers de corderie, à faire une étude sérieuse de ces moyens nouveaux, qui ont le double avantage d’économiser beaucoup les frais de matière et de main-d’œuvre, et de procurer des produits ^ plus parfaits à tous égards. Voyez II". volume, Maciunes.

Il nous reste à parler d’un genre de surfaces gauches fréquemment employé dans l’architecture civile et navale , ainsi que dans la structure des machines : il s’agit des surfaces spirales engendrées par le mouvement d’une ligue droite , ou d’un arc de cercle.

Surfaces spirales des escaliers. Parmi les diverses surfaces gauches que nous avons examinées,

( dixième leçon) , celles que présentent les escaliers tournants, sont des su faces spirales.

La surface spirale de l’escalier en tour ronde , est formée par le mouvement d’une ligne droite horizontale , appuyée d’un bout sur l’axe même

de la tour qui sert de cage h l’escalier, et.de l’autre bout sur une spirale tracée suivant le contour intérieur de la tour.

wSi l’on donne la même hauteur à toutes les marches de l’escalier, il est évident qu’elles auront aussi la même largeur, à des distances égales du centre. Par conséquent si ABC, fig. 1 4 , est le cercle qui représente la base du cylindre formant la cage de l’escalier, tout autre cercle , tracé , du même centre que le premier , sera divisé en parties égales , par la projection horizontale des marches.

Surface spirale de la vis d’ Archimède. La surface spirale de l’escalier en tour ronde n’est autre chose que la vis d’Archimède , ainsi nommée parce que ce grand géomètre en fut l’inventeur. Nous expliquerons avec soin l’application qu’on a faite de cette vis pour élever les eaux , quand nous décrirons les machines hydrauliques ( IIP. vol. ).

Ayant eu l’occasion de faire construire des vis d’Archimède , en bois , voici de quels moyens je me suis servi.

J’ai d’abord divisé le contour AlBCD , fig. 19 , en autant de parties égales que je voulais employer de morceaux de bois pour former un tour complet de la spirale.

J’ai fait équarrir des prismes dont la base ODC , fût le secteur qui représente une des divisions égales ainsi formées sur la face cylindrique ayant DC pour projection horixontale ; j’ai mené une ligne droite , inclinée suivant la direction de l’hélice que la surface spirale trace sur le cylindre AJ 3 CD.

2^4 vGÉOMËTRIE.

■ J’ai divisé en parties égales Dd, dd' Ce, ce'....,

les rayons OD , OC ; puis , avec une scie tenue toujours à égale distance des deux points C, D, j’ai fait scier le morceau de bois équarri , de manière : i°. que, sur la base supérieure de ce morceau de bois, le trait de scie aboutit en D, quand, sur la base inférieure, le même trait aboutissait en C ; •x‘. que , sur la base supérieure ; un trait aboutit en d, en d'.... quand, sur la base inférieure, le même trait aboutissait en c, en c'.... Chacun des traits de scie'est le côté d’un polygone représentant le contour d’une courbe spirale placée sur la.surface spirale à produire.

Avec un rabot très-mince et à fer circulaire , tenu toujours dans une situation- horizontale , et ne s’arrêtant qu’au trait de scie , en CD , et à la verticale , en 0 , on a successivement enlevé tout le bois superflu , pour arriver à la surface spirale supérieure de la vis d’Archimède.

Cela fait , au moyen d’une équerre , on a partout mis les faces de joint en OD et OC , d’équen e avec cette face supérieure. Eniin , menant sur les faces de joint et sur le contour CD, des lignes droites égales, en contre-bas de celles qui limitent la face supérieure de la vis , on a pu travailler la face inférieure , par les moyens qui viennent d’être décrits pour la face supérieure.

Remarquons , ici , qu’une règle ployée sans effort sur le contour cylindrique ABCD , de manière à passer par les deux points C , D , indique par spn contour un ai'c parfait de spirale ou d’hélice ; ce qui peut procurer une grande exactitude au moyen d’approximation que nous venons d’indiquer, en donnant beaucoup de traits de scie horixontaux qui s’arrêtent à l’axe O d’une part , de l’autre à l’hélice tracée par le moyen de la règle pliante.

11 n’est pas ibdifférent de remarquer que les joints, travaillés d’équerre avec la surface spirale, sont euxmêmes des éléments de surface spirale du même genre ;

DOUZIÈME LEÇON. SgS

les dernières surfaces traçant , sur les cylindres à base circulaire, des hélices qui partout coupent à angle droit les hélices tracées par les pi-cmières surfaces.

Si l’on veut que le dessus des pièces dont se compose la rampe spirale, ait la figure d’un escalier, il faut laisser à la face supérieure OCD sa figure plane horizontale, et à la face droite extérieure OD sa figure plane verticale : en se contentant de travailler , par les moyens que nous avons indiqués, les surfaces de joint et la surface inférieure de l’escalier : X". leçon.

Souvent, au lieu de construire un escalier tournant dont les marches vont jusqu’au noyau plein O, comme dans la fig. i4> on arrête les marches au cercle a'6'c', fig. i5, qui représente horizontalement un rebord en Lois ou eu pierre, très-peu saillant au-dessus et au-dessous de chaque marche. Tels sont les escaliers en vis à jour.

On admire plusieurs escaliers de ce genre travaillés avec beaucoup de précision , dans les plus beaux cafés de Paris. Ces escaliers, que rien ne semble soutenir, surprennent agréablement la vue , par leur hardiesse et leur légèreté.

11 y a des escaliers à jour , fig. i G , dont la cage n’est pas circulaire.

Quelle que soit la base ABCD;^, fig. i6, du cylindre qui représente cette cage , on trace toujours sur le contour de la cage, u ne hélice ou spirale qui s’avance dans le sens du contour ABCD*, proportionnellement à la quantité dont elle s’élève verticalement. Ensuite , de chaque point de’cette courbe, on mène une horizontale A<i, Bè.Cc,...

agG GÉOMÉTRIE,

perpendiculaire au cylindre ayant ABCD* pour base. On fait.Âa , égale B6, égale Ce... , et l’on trace abcd qui est aussi une spirale : c’est le contour intérieur de la, vis à jour que forme l’escalier. L’exécution de chaque partie de surface spirale ou d’escalier ne présente pas plus de diffiçultés que pour les Gg. i4 et i5.

Lorsqu’on veut donner à l’escalier beaucoup de solidité, souvent, au lieu d’engendrer la surface inférieure par le moyen d’une droite horizontale appuyée à la fois sur l’axe de la cage et sur une spirale tracée le long de la cage, on la termine par un arc de cercle , fig. 17, ayant cette horizontale pour diamètre , et placée dans un plan vertical. On forme %e la sorte une surface spirale présentant partout une section constante.

On a besoin, dans quelques arts, de tailler des surfaces spirales en échelons sur un cône. Les horlogers combinent avec le cylindre ou barillet qui contient le ressort des montres , un cône ainsi taillé en escalier spiral , fig. 18 . Une chaîne très-fine, artistement exécutée, s’en- roule d’un bout sur le cylindre , en forme d’hélice , et de l’autre bout sur l’escalier conique. Le rapport variable du diamètre du cylindre et du diamètre du cône 7' à differentes hauteurs, compense la diminution dô forcé du .'ressort , à mesure qu’il se détend ; en conséquence, il transmet son action avec une énergie constante. C’est ce qu’on entendra mieux quand nous aurons expliqué les principes des Mactunes. II". volume.*

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Intersection des surfaces.

, Quand deux surfaces se coupent , la suite des joints qui leur sont communs , est ce qu’on appelle leur intersection ; c’est une ligne , droite ou courbe, suivant la forme et la position des deux surfaces»

Les corps que términent des portions de surfaces distinctes par leur figure et leur direction, •>.- r».*.

présentent, aux limites de ces surfaces, des lignes saillantes ou rentrantes , qui sont les intersections de ces surfaces. Ainsi , flans le prisme et ■ dans la pyramide , les arêtes rectilignes qui séparent les différentes faces, sont les intersections des surfaces que représentent ces faces.

Lorsqu’un corps en traverse un autre, ou s'y trouve implanté, la surface du premier est en partie cachée dans le deuxième , la partie cachée est séparée de la partie découverte , par une ligne, laquelle n’est autre chose que ï intersection de la surface du premier corps avec la surface du deuxième.

C Ainsi , dans la figure i , les deux prismes T. I. — G 4 om. 38 »

2f)8 dEOMKTRIB.

ARCD«/vaJ? , MJüPQm'npc/ , dont le deuxième ‘ traverse le premier , ont pour intersection le contour miipq qui sépare, dans le deuxième, la partie visible et la partie cachée.

Pourdéterminer la projection horizontale et la projection verticale des intersections de surfaces, • la géométrie descriptive fournit des méthodes faciles, et dont il vous. sera très-utile de faire une étude suivie, eu dessinant vous-mêmes 1 intersection d’un grand nombre de surfaces. Nous nous contenterons d’indiquer , à cet égard , la , marche générale de la science.

^intersection des plans sera notre première étude.

Pour représenter l’intersection de deux plans de projection, l’un vertical et l’autre horizontal , ou divise le papier en deux parties , par une horizontale A13, lig. 2 . La partie du papier qui est au-dessus de cette ligne , représente le plan vertical de projection ; la partie Inférieure représente le plan horizontal de projection. Ce dernier est, d’ordinaire , le plan même du terrain. Alors ïintersection AB , des deux plans, est • ce qu’on appelle vulgairement la ligne de terre. ^ Afin que la représwatation fût parfaite, il faudrait plier d’équerre , le papier ; AB marquant la direction du pli , la partie inlérieure du papier restant horizontale, et la partie supérieure devenant verticale. G est du .moins ce qu’il fau#

. • li.

faire par la pensée; c’est je que fait naturellement notre imagination, quand on reprèsènte , sur les deux plans, des objets dont la position nous est connue. Ainsi , voyons-nous au-dessous de la ligne de terre le plan d’un édifice , et au-dessus l’élévatioti de cet édifice, avec ses portes, ses fenêtres, etc , etc. ? Quand même le papier sur lequel on a dessiné le plan et l’élévation serait posé sur une table horizontale, nous ■ redresserions par la pensée l’élévation de l’édifice, et nous la verrions verticale. Quancl même , au contraire, on dresserait le dessin verticalement , comme pour le clouer contre un mur , le plan ne semblerait pas moins horizontal, s’il représentait des objets tels qu’un parterre , un jardin, etc. Il faut que les élèves voient aussi dans sa vraie situation , la projection horizontale ou verticale, des volumes , des surfaces et des simples lignes représentées au-dessus ou au-dessous de la ligne de terre.

Pour, indiquer la position d’un point qui se trouve hors des deux plans de projection , on mène, de ce point, deux lignes droites, l’une perpendiculaire au plan vertical , l’autre au plan horizontal : on marque la position du pied de ces perpendiculaires sur les deux plans de projection.

Afin d’abréger beaucoup , et de faciliter l’intelligence de ce moyen de représentation , P ^tant le point à projeter, situé dans l’espace j je

3 oO CBOMÉTRIE.

di'siguerili parP^ , fig. 2 , sa projection verticale , et par 1 \, sa projection horizontale. Ainsi, les simples lettres et h, mises au bas d’une ou plusieurs lettres , indiqueront la projection verticale ou la projection horizontale de points, de lignes', de surfaces, de volumes, indiqués dans l’espace par ces dernières lettres.

Par le point P , fig. a et 2 bis , situé dans l’espace , faisons passer un plan perpendiculaire h la ligne de terre AB, il sera, par cela même, perpendiculaire aux deux plans de projection ; donc il contiendra les perpendiculaires abaissées du point P, l’une sur le plan vertical, l’autre sur le plan horizontal de projection. En construisant un rectangle , fig. 2 bis , ayant pour côtés ces deux perpendiculaires PP, , PP^ , intersections du plan qui les contient avec le plan vertical et le' plan horizontal , on aura MP, = PP* , MP* = PP”. Enfin , si l’on fait tourner le plan horizontal de projection , pour le ramener sur le papier qui contient le plan vertical , dans ce mouvement,. MP, et MP* ne cesseront pas d’être perpendiculaires à l’intersection AM B des deux plans de projection. Ainsi , pour que deux points P, , P* , fig. 2 , soient respectivement la projection verticale et ta projection horizontale d’un même point P, il faut que la droite P, P^ , soit perpendiculaire à la ligne de terre AB.

La partie MP, de cette perpendiculaire, est la dis-'

TREIXIËMK LKÇU.'i. 3oi

tance du point P au plan horizontal , et La partie MPft est la distance du point P au plan vertical.

Projections de la ligne droite. Quand une suite de points forment une ligne droite PQ, toutes les perpendiculaires abaissées de ces points sur chaque plan de projection, forment un troisième plan qui coupe en ligne droite chacun des deux autres. Si donc on a les projections P, , P». ; Q, , Q/. , hgdes deux extrémités d’une droite PQ, en joignant par une ligne droite les points P. et Q,, P^ etQ*, on a deux projections de la ligne droite PQ. C’est l'intersection des plans , qui procure ces projections.

Pour représenter un plan d’après la méthode des projections, il faut un autre moyen. Voici celui qu’on emploie.

Le plan qu’on veut représenter , coupe chaque plan de projection suivant une ligne droite ; il coupe à la fois ces deux plans en un point M, fig. 4 , situé sur la ligne de terre. On appelle traces d’un plan PMQses micr^ecfiO/wPM,MQ, avec les deux plans de projection.

La position d’un plan est complètement déterminée par celle de deux lignes droites qu’il contient ; donc les deux^ traces d’un plan suffisent pour en faire connaître la position.

Supposons, maintenant, qqloii demande de trouver la projection verticale p, , fig. 4, d un point p placé sur le plan PMQ, quand ou connaît

•502 * GÊ0MÊTHIE.

la projection horizontale p* de ce point. D’abord les deux projections p, , p* , du point p , sojit nécessairement sur une perpendiculaire à la ligne de terre : menons-la. Par le point p , traçons sur le plan PMQ, une horizontale; elle sera parallèle à la trace horizontale PM ; donc sa projection p*m* sera parallèle à PM. Mais le point w*, qui est sur la ligne de terre AMB, ne peut appartenir qu’à un point rriy, placé sur le plan vertical de projection. Donc la perpendiculaire à AB, contient le point m,, dont w* est la projection horizontale. Ce point d’ailleurs est aussi sur la trace MQ ; donc il est en rriy. Menant ensuite parallèle à AMB, cette ligne représente, sur le plan vertical, la projection de ^p; donc la projection verticale du point p se trouve à la fois sur mp, et sur p*p, : donc elle est intersection de ces deux lignes droites, Var conséquent, p, est la projection verticale du point ayantp* pour projection horizontale.

Supposons que les traces MP et MQ, SR et ST, tig. 5, de deux plans, soient données, et qu’on demande Y intersection de ces deux plans: I*. lepoiut D.étantsur les deux traces verticales, appartient à cette intersection , et comme il est dans le plan vertical de projection , il se projette eu D* , sur la ligi^ de terre AB ; 2 “. le point E* étant sur les deux traces horizontales, appartient à l’intersection des deux plans; et, comme il est sur le

TREIZIÈME LEÇOW. 3o3

plan horizontal, sa projection verticale E, est sur la ligne de terre. Voilà donè deux points de la ligne droite suivant laquelle se coupent les deux plans, savoir : premier point , D, , D*, deuxième point, E, , E*. Par conséquent , la ligne droite à laquelle appartiennent ces deux points, a pour projections les deux lignes droites DJE,, D*E* : c’est \ intersection cherchée.

Projections d’unpoljgone. Un polygone quelconque ABGDE, fig. 6 , terminé par des lignes droites, a pour projections deux polygones d’un même nombre de côtés A 3 ^C„D^E^, AaBjC/.DaEj, dont les sommets correspondants sont sur les mêmes verticales A^* , B,B^, etc.

L’iutersectiou de deux plans étant toujours une ligne droite, dont les projections sont aussi des ligues droites, il s’ensuit qu’un corps terminé par des faces planes, l’est aussi par des arêtes rectilignes , qui sont \e& intersections de ces faces. On représente ce corps en dessinant sur le papier, les lignes droites qui sont les projections de chaque arête. Les sommets qui terminent chaque arête, sont placés sur la même verticale, dans les deux plans de projection.

Ainsi, dans la lig. 7 , une pyramide SABC est représentée, horizontalement et verticalement, par les projections de ses arêtes, et les sommets correspondants sont projetés en S^etS* ; A, et An; B, et B*> C, et Ci, sur des droites S,S* ,

3o4 UÉOUÉTRIE.

AA» B A et C,C*, peipeadiculaires à la Ugae de terre MN.

Par des intersections de plans et de lignes droites, la géométrie descriptive enseigne k déterminer : la longueur d’une ligne droite dont on connaît les deux projections, et la superficie d’une figure plane donnée par les deux projections de son contour; l’angle formé par deux | droites dont on connaît les projections; l’angle formé par deux plans dont on connaît les traces horizon talent verticales; la plus courte distance de deux lignes droites, données parleurs projections; l’angle qu’une droite, donnée par ses projections, fait avec un plan donné par ses traces , etc. C’est dans un cours de dessin linéaire , qu’il faut enseigner aux élèves la solution de ces problèmes.

Avec ces solutions, les artistes pourront faire une foule d’applications aux arts les plus importants : à l’architecture , k la coupe des pierres , k la charpente civile , k la construction des vais-, seaux , des machines, des métiers, etc.

Non-seulement ils dessineront des plans horizontaux et des projections verticales , d’édiûces , de navires, de machines , etc. ; mais ils pourront aisément faire, de ces objets, une coupe par un plan quelconque. Le plan de cette coupe, en rencontrant des lignes droites données par leurs projections horizontales et verticales , pro-

theiïièmë leçox. 3o5

iluira des points et des angles qu’ils sauront déterminer. Les divers plans, donnés par leurs traces , auront une ligne droite pour intersection avec le plan de la coupej les élèvts détermineront ces lignes droites , et produiront lu représentation fidèle et complète de toutes les parties d’édifice, qui ne sont pas curvilignes.

Le charpentier, par exemple , représentera rigoureusement toutes les parties de la charpente d’un plancher et d’un toit plan. Avec des sections et des coupes , il aura les formes et les dimensions de chaque pièce de bois , poutre , solive , chevron , faitière , etc. Ces diverses pièces sont terminées par des faces planes et par des arêtes rectilignes ; il tracera les projections de ces arêtes. Ces diverses pièces aboutissent l’une contre l’autre, et les lignes qui marquent le lieu des aboutissements sont XinterseCtion des faces planes des pièces de bois en contact ; il déterminera ces intersections par les simples méthodes que nous avons indiquées. Enfin, toutes les pièces de charpente ne sont pas à angle droit sur toutes leurs faces ; il mesurera les angles faits par les diverses faces d’une môme pièce, et par les faces adjacentes de diverses pièces contiguës. Il trouvera , de même , la direction , la longueur et la largeur de chaque face des diverses pièces.

Eu suivant cette méthode , sans s’en douter, T.I. — Géum. 3g

3o6 GÉOMÉTBIÈ.

un bon charpentier,' au moyen des projec- - lions et des coupes , parvient à déterminer rigoureusement toutes les parties rectilignes de la charpente fl’un édifice.

Vous voyez , par Ih, qu’un charpentier exercé, qui dessine avec intelligence et précision toutes ses pièces et leurs assemblages , possède, en réalité , des connaissances de géométrie fort étendues. Peu importe qu’il ne donne pas aux lignes , aux surfaces, aux solides, les noms adoptés par les professeurs et consacrés par les livres; il suffit que le fond des choses soit le même. La science n’en' a ni moins d’utilité ni moins de prix, pour être enseignée dans la langue vulgaire , et sans appareil didactique.

I^s observations que je présente , au sujet des connaissances du charpentier, je puis également les appliquer aux connaissances du tailleur de pierre. Le tailleur de pierre est obligé de préparer chacune des pierres principales dont se compose un édifice construit avec soin , suivant une forme telle que ces pierres , mises h côté les unes des autres, ou posées les unes sur les autres , dans un ordre déterminé par des conditions de durée et de solidité, reproduisent exactement les formes données par l’architeete , dans scs plans et ses élévations. En partant des projections horizontales et verticales, le tailleur de pierre div^ise les murs par une suite de plans coupants.

TRElZliiME-'LEÇON. Zo'J

Aloi"» , la Ibmic îles pierres de taille se trouve iléteriuiaêc : i®. parles faces extérieure et intérieure des murs; a®, par les plans coupants qu’on appelle plans de joint, parce que c’est suivant ces plans que les pierres iiumédiateinent consécutives se Joignent.

Les pierres de taille des murs verticaux ordinaires sont très-faciles à tracer, puisque ce sont des parallclipipèdes dont toutes les faces conti- ’ guës sont d’équerre, et toutes les arêtes opposées parallèles. Mais, quand les murs ont un talus, quand ils forment ensemble des angles qui ne sont pas droits , il faut tailler les pierres suivant des figures plus compliquées ; il faut déterminer les angles que font les faces inclinées avec les faces horizontales, les angles des arêtes qui suivent la direction d’un mur avec les arêtes qui suivent la direction du mur contigu , etc. Souvent le dessus des portes et des fenêtres , quoique plan , est formé de plusieurs pien-es mises à côté les unes des autres et plus larges en haut qu’en bas , pour quelles ne tombent pas par l’eftêt de leur pesanteur. 11 faut encore ici déterminer les angles des arêtes et des faces de ces pierres , et leurs dimensions, etc. On résoudra tous ces problèmes par le moyen des intersections.

On apprend aux élèves, architectes,'- entrepreneurs de bâtiments , appareilieurs , etc. , à tailler eu plâtre , sur des dimensions proportion-

r.ÉOJfÉTRIE,

nelles , des modèles de voûtes , de portes , de le>nêtres, d’escaliers, etc., en donnant à chaque pierre sa figure convenable, et en déterminant géométriquement les joints et les arêtes de chaque pierre. On ne saurait trop recommander un pareil exercice. 11 serait à désirer qu’en l’enseignant, on disposât les traits à couper, suivant l’ordre des surfaces planes , cylindriques, coniques, développables, gauches, de révolution , etc. , que nous avons adopté dans notre cours. Il faudrait aussi qu’on enseignât à tailler des modèles de charpente , de menuiserie , etc. , comme ceux delà coupe des pierres. Ce moyen rendrait l’instruction plus fructueuse et plus rapide.

Intersection des lignes droites et des plans , avec des surfaces courbes. Nous rangerons ces \ surfaces dans l’ordre même suivant lequel nous les avons examinées. Nous étudierons successivement les intersections de la ligne droite et du plan, avec les surfaces cylindriques , coniques, développables, gauches , de révolution , etc.

Projections du cylindre. Pour les obtenir ou décrit, sur un des plans de projection , par exemple sur le plan horizontal, ^ , l’inter-

section de ce cylindre avec ce plan. Remarquons, ensuite, que toutès les arêtes du cylindre étant parallèles, leurs projections sont nécessairement parallèles. Dès qu’on aura déterminé, figure 9, la direction des

TREIZIÈME LEÇOIf. Sop

deux projections d’une arête, on aura par conséquent la direction des projections de toutes les autres^ arêtes. Ordinairement on se contente de marquer, en ‘projection horizontale, ainsi qn'en projection Verticale , les arêtes extrêmes

et Ea; BAV

Intersection du cylindre avec un plan. Nous savons comment on détermine l’intersection d’une droite avec un plan , lorsqu’on connaît les traces du plan et les projections de la droite. Si l’on effectue cette opération pour les diverses arêtes du cylindre , chaque arête va donner un point d’intersection , qu’on projettera horizontalement et verticalement. L’ensemble de ces points forme une courbe horizontale et une courbe verticale; ce sont les deux projections de Pintersection cherchée. •'

Dans les opérations des arts , il est très^ordinaire de tracer les intersections sur les surfaces mêmes, en les présentant l’une contre l’autre.- Supposons , parëxemple, fig. lo , que le cylindre soit un tuyau de poêle ,' ayant déjà reçu sa forme cylindrique , et que le plan soit une feuille de tôle qui doit être traversée par le tuyau. On posera le tuyau dans la direction même qu’il doit avoir ; mais en le retirant assez pour qu’il ne heurte pas le plan qu’il doit traverser. Cela fait ,• tenons une règle toujours posée contre le cylindre , suivant la direction même des arêtes de cette. Surfaeç.

3l(i; GBOMIÎTRIE.

Avançons OU retirons la règle jusqu’k ceque, d’un bout, elle touche la feuille de tôle. Enliu, pour chaque position de cette règle, marquons son aboutissement sur la feuille; l’ensemble des points ainsi déterminés sera la courbe d’intersection des deux surfaces.

Supposons qu’on marque sur la règle une longueur constante et convenable , k partir du bout qui touche toujours la feuille de tôle, et qu’k toucher ce point , l’on en marque un nouveau sur le cylindre ou tuyau ; la suite des nouveaux points ainsf marqués , va former une courbe; c’est t intersection du cylindre avec un plan. Transportons parallèlement ou la feuille de tôle ou le cylindre. En -vertu de l’égalité des parallèles comprises entre parallèles, les deux courbes qu’on vient de tracer , l’une sur le plan , l’autre siu’ le cylindre, s’appliqueront exactement l’une contrQ l’autre et se confondront. Ces, deux courbes tracées, on taillera suivant leur contour, soit le cylindre, soit la feuille plane , ou les deux surfaces k la fois : d’après les besoins pour lesquels ces surfaces sont destinées.

Cette méthode a cela d’avantageux qu’elle est exacte, quelle que soit la figure du cylindre, et quand même la feuille de tôle, au lieu d’être plane , aurait une figure courbe quelconque.

Application à la construction des vaisseaux.

LesTliarpentiers emploient celte méthode pour

TREIZIÈME IeÇOK. 3l 1

tracer, sur place, la courbe d’intersection de la surface de la proue et de la surface des ponts, avec celle des mâts , et pour percer les étambrais.

A pplication des intersections de cylindres aux ombres portées. Lorsqu’une surface terminée à vives arêtes , intercepte les rayons de la lumière du soleil , si l’on mène, par chaque point du contour de cette surface,, une parallèle aux rayons solaires , toutes ces parallèles forment un cylindre qui sépare, au delà de la surface, la partie dans l’ombre et la partie éclairée. Si , derrière le cylindre, se trouve un corps tout entier compris dans cette ombre , le soleil est totalement caché, éclipsé par la surface qui porte ombre. Si le corps n’est qu’en partie dans l’ombre, et qu’on détermine Yinterscction de la surface de ce corps avec le cylindre , la courbe ainsi déterm\née, séparera, sur lecorps, la partie dans l’ombre et la partie éclairée. Ainsi , l’on obtient une ligne de séparation d’ombre et de lumière , sur le corps opaque, au moyen de la courbe d’/n^ersection de la surface de ce corps avec le cylindre qui marque, dans l’espace , la limite des rayons solaires interceptés par la surface opaque.

Prenons une règle , et tenons-la toujours parallèle aux rayons solaires. Appuyons cette règle, d’un côté contre la surface qui porte ombre , de l’autre sur le corps en partie éclairé. Chaque position delà règle va marquer un point

3i3 géométiue.

sur oe ooros, et l’ensemblè dés points ainsi •lïiarqués sera la ligne de séparation d’ombre et de lumière.

Il est nécessaire que les dessinateurs , les peintres et les graveurs se forment une idée exacte des cylindres qui projettent les ombres des corps. Il leur serait très-utile de déterminer rigoureusement, avec les méthodes des projections et des intersections de surfaces , la figure des ombres portées par beaucoup de corps, ayant une position et des formes variées , sur d’autres cor^s également variés dans leurs formes et leur position. Ils acquerraient de la soi'te une expérience certaine des effets de là lumière solaire, relatifs à la figure des ombres ; et cette connaissance les empêcherait de tomber souvent en des fautes grossières qu’un peu de géométrie , appliquée h leur art , leur ferait éviter.

= ^L’exactitude des ombres portées ,est surtout nécessaire dans les dessins d’architecture , où tous les objets représentés , les murs , les colonnes , les voûtes , etc. , ont des. formés géométriques rigoureuses. Il est donc nécessaire que l’architecte qui veut ombrer ses^lans , et juger ainsi des effets d’ombre^ et' de lumière que ses constructions doivent produire, s’habitue 'à déterminer , toutes les ombres portées, avec la plus scrupulejise'.eïactitude. ^

Dan^Ies plans d’architecture et dans le dessin

■ Diijiü--

TREIZIÈME LEÇON. 3l3

des machines , on suppose que les rayons solaires sont inclinés à 45°, en descendant de gauche k droite. Quand on dessine les objets au trait, sans lavis, on marque en traits plus gros les contours qui tiennent à des faces placées dans l’ombre , et en traits plus fins les contours qui ne séparent que des faces éclairées. Cette simple indication suQit pour donner l’intelligence des reliefs et des creux qu’on pourrait sans cela confondre à la vue des simples dessins au trait.

Ainsi, fig. 1 1 , par la seule inspection des côtés ombrés et ties côtés éclairés, je distingue sur-le-champ, dans ABCD, un cadre en relief , et dans abcd, un cadre eu creux. 11 importe que les élèves qui dessineront des édifices et des machines, s’habituent à marquer avec intelligence les traits fins et les traits forts ; puisqu’on les confondant , on ferait prendre pour relief ce qui est • creux , et ce qui est creux pour ce qui est relief.

Application à la perspective. Lorsqu’on doit mettre en perspective un dessin d’architecture ombré , il faut déterminer le point de concours de tous les rayons parallèles , d’après la méthode générale des points de concours , exposée dans la neuvième leçon. Dès qu’on aura la perspective d’un point quelconque (i), .si l’on joint, sur

(i) D'ordinaire , on suppose vertical le plan PMQ , fifç. 8, du tableau. D'aprés’cela , X*S'‘, étant les deux projections

T. I. — GéoM. 4®

3l4 GÉOMÉTRIE.

le tableau , ce point avec le point de concours des rayons solaires, on aura la perspective du rayon qui passe par le point donné , ou , si le point est opaque , la perspective de l’ombre portée par ce point. Une courbe quelconque , mise en perspective, aura pour ombres portées , une suite de lii'nes' droites , qui toutes aboutiront au point de concours : comme les arêtes d’un cône.

Intersections du cône et du plan. Ces intersections, appelées spécialement sections coniques, quand il s’agit d’un cône circulaire , oblique ou droit, sont de la plus haute importance pour la science et pour les arts. Leur seule étude constitue , comme celle des triangles , une branche séparée et considérable de la géométrie ; c’est , pour ainsi dire, un intermédiaire pour passer de la géométrie élémentaire à la haute géométrie.

Je ne puis ici que vous indiquer, en bien peu (le mots , les lornies essentielles des sections coniques et leurs principales applications.

. On détermine les projectioi^ horizontales et verticales de l’intersection du cône avec un plan, comme on a fait pour le cylindre : en détermi-

d'une liyne droite, et x*, l'intersection de XkSh avec la trace horizontale du plan , il suffit de mener la verticale x*x,. ; a x, sera la hauteur du point sur une verticale élev<:e à partir de x sur le tableau. Cette méthode suffit pour déterminer l'intersection de tout rayon mené du .point de vue, et par conséquent la perspective de tous les points d'une ligure donnée.

TREIZIÈME LEÇON. 3t5

nant la projection horizontale et verticale de l’intersection de ce plan avec chaque ai-ête du cône. La courbe qui , sur chaque plan de projection , passe par les points déterminés ainsi , est la projection cherchée.

Prenons le cône le plus simple et le plus régulier : le cône droit circulaire, fîg. 12. Toutes les sections de ce cône , par des plans parallèles à la base, sont des cercles comme la base: nous avons expliqué les propriétés du cercle et de sa circonférence. (IIP. leçon.)

I. L’ellipse. Si l'on coupe le cône par un plan PQ, fi". 1 2 , oblique à Taxe , et que ce plan rencontre toutes les arêtes , la section conique ainsi produite est une ellipse ; courbe fermée de toutes parts. Voici les principales propriétés de l’ellipse.

Elle a un centre O, iig. i 3 , et deux axes AB, CD, qui s’y croisent à angle droit. Toute ligne SOT menée par le centre O , et terminée au contour de l’ellipse , est divisée par le centre, en deux parties égales; c’est un diamètre qui divise l’ellipse en deux parties , dont l’une peut exactement couvrir l’autre , en renversant bout pour bout ce diamètre. .

Chacun des deux axes divise l’ellipse en deux parties symétriques. Ainsi , toute perpendiculaire MPIN à l’un des axes AB , est divisée par cet axe, en deux parties égales PM, PN. Par conséquent, si nous faisons tourner la demi-ellipse ACB , suc

3l6 GÉOHËTHIE.

AB comme charnière, tous les points du contour ACB vdnt s’appliquer immédiatement sur les points. du contour ADB.

• Si le centime de l’ellipse est aussi celui d’un cercle ayant l’axe AB pour diamètre , en prolongeant OD et PN, jusqu’en û? et re, sur le cercle, on aura toujours la proportion.... OD ; Od : : PN : P«, pour toutes les droites PN« parallèles 5 l’axe GOD. Ainsi , l’ellipse peut être considérée , dans un sens , comme un cercle aplati proportionnellement dans toutes ses parties.

Au contraire, si l’on trace le cercle G6D, tig. i3 bis, sur le petit axe CD comme diamètre , on aura la ‘proportion suivante , pour toute ligne droite perpendiculaire à l’axe CD , terminée en^au cercle, et en G à l’ellipse.... 06 : OB : : Fg" ; FG.

Ainsi , l’ellipse peut être considérée , dans un sens, comme un cercle allongé proportionnellement dans toutes ses parties.

ün cercle étant tracé sur un plan incliné , représenté par la droite AB, fig. 14 , on demande sa projection sur un plan horizontal.

Soit ab la projection du diamètre AB le plus incliné de tous j O étant la projection du centre 0 , si l’on mène cod perpendiculaire à aè , et qu’on fasse oc = OC = le rayon du cercle , la courbe acbd sera la projection de ce cercle ; ce sera une ellipse. En effet , menons la perpendiculaire quelconque MN, au diamètre AB du cercle tracé sur le plan AB : l’horizontale MN sera daus le plan du cercle, et par conséquent égale à sa projec-

tion mn. Ainsi , les perpendiculaires mn seront simplement plus rapprochées du grand axe cod, qde les perpendieulaires IMN ne le sont du rayon CO , dans le rapport de OM à om. Doue la projection du cercle n’est autre chose que ce cercle aplati proportionnellement dans toutes ses parties : c’est une ellipse. Ainsi....

- Toutes les fois quon projette un cercle sur un plan qui ne lui est pas parallèle , la projection est une ellipse , et le grand axe de cette ellipse égale le diamètre du cercle.

Je ne puis m’étendre sur une foule de propriétés de l’ellipse ; mais il on est une sur laquelle je dois appeler votre attention, à cause de ses applications aussi nombreuses qu’importantes.

Si l’on marque deux points lixes F et lig. i5, par deux piquets ou jalons, auxquels on attache un cordeau plus long que la distance E et /,puis, qu’avec un traçoir , on tienne tendu ce cordeau , en s’avançant tantôt du côté de F et tantôt du côté de y, on va décrire une ligne courbe : cette courbe est l’ellipse. On l’appelle ellipse du jardinier, parce que le jardinier trace ainsi les ellipses des parterres.

Une propriété très-remarquable de l’ellipse, c’est qu’en chacun de ses points G, les deux portions rectilignes du cordeau FC et/C, fout en G le même angle avec la courbe ou sa tangente fGT ( I ).

(Ij Pour le démontrer, sur FC prolongée prenons et

traçons^. Menons la droite TC< perpendiculaire »fg. Les oWi-

3l8 GÉOMÉTRIE.

yipplicationàr optique. U ex'pèTAeïicea faitconnaîlre qu’un rayon de lumière FC, qui vient frapper une courbe ou surface ACB, prend une autre direction C/, ou, cornme on dit, se réfléchit suivant Cf, de manière que les deux rayons FC et Ç/^font le même angle avec la courbe ou la surface. Donc, si l’ellipse réfléchit la lumière, comme le fait un miroir plan, tout rayon lumineux FC, émané du point F, doit, en se réfléchissant, prendre la direction C/^qui passe pwf.

Ou appelle/q^^er^ lesdeux points F et f. Ainsi, tous les rayons de lumière émanés d'un foyer, et réfléchis par le contour de l’ellipse , passent par ü autre foyer.

Application à l’acoustique. Le son, comme la lumière, se propage en ligi\e droite; il se réfléchit de même en ligne droite, sous un angle de réflexion égal à l’angle d’incidence. Par conséquent, si le contour de l’ellipse est construit de manière à réfléchir le son, tous les sons émanés du foyer F, se réfléchiront en passant par l’autre foyer f, qui sera un écho de F.

qnes Cy et Cg- étant égales, raMleyCT=gCT=FC<. De plus pour un point quelconque ( de CT(, la somme des distances r tyft=.t ligne brisée , est plus grande que la ligne droite FCg^FC-hAJ. Donc le point i est hors de l'ellipse. Ainsi la droite TCt ne peut toucher l'ellipse qu'en C ; c'est une tangente. Donc la tangente à l'ellipse en C , l'ait le même angle avec les deux rayons vecteurs. Le même genre de démonstration s'applique a la propriété des tangentes de la parabole , pag. Sau , ligne 5, et de l'hyperbole , pag. 3a4 . ligne 6.

THKIZIKME LEÇON. $19

On a construit en ellipse, fig. i5, des salles où l’expérience a justifié la théorie. Si l’on parle à voix basse au foyer F, de manière qu’on ne soit pas entendu h peu de distance, en O, par exemple , l’effet de l’écho rend néanmoins les paroles prononcées à voix basse en F, très-distinctement intelligibles à l’autre foyer

Citerai-je une application déplorable de cette propriété qu’ont les écbosPDes hommes cruels ont construit des prisons, où les malheureux détenus, enchaînés vers un foyer F, ne pouvaient proférer la moindre parole, sans qu’on les entendît à l’autre foyer /'d’une voûte elliptique, séparéde F par une cloison qui ne permettait pas au prisonnier d’apercevoir le geôlier chargé de l’espionner.

Les planètes parcourent autour du soleil des courbes qui sont des ellipses ayant le centre du soleil pour un de leurs foyers. Il a fallu trente siècles d’études en astronomie ainsi qu’en géométrie, pour découvrir cette vérité d’expérience qui a préparé les plus grands et les plus beaux progrès de l’astronomie moderne.

Si l’on fait tourner fellipse autour du grand axe APyB, qui passe par les deux foyers, on va former une surface de révolution, jouissant de cette propriété : tout rayon lumineux ou sonore FC, émané du foyer F, se réfléchit en suivant une ligne droite qui passe par le second foyery!

De même qu’avec le cercle allongé ou aplati

3aO GÉOMÉTBIE.

propoi’tionnellement flans tous ses points, on construit toutes les ellipses, de môme avec l’ellipsoïde fie révolution décrit, en faisant tourner une ellipse sur un de ses axes, on peut exécuter toutes les surfaces ellipsoïdes allongées ou aplaties. Il nous suffit d’indiquer ce moyen sans entrer dans de plus grands détails.

Il existe une manière de tracer l’ellipse par un mouvement continu , que les artistes emploient quelquefois. A013 , COD , lig. i6, étant les deux axes , si l’on tire une droite MNP=OA , sur laquelle on prenne PN=OC , le point M restant toujours sur le petit axe , prolongé s’il le faut , et le point JN sur le grand axe , en faisant avancer ou reculer cette ligne « flroite , dans toutes les positions possibles , son extrémité P tracera l’ellipse ABCD.

On a construit des instruments d’après ce principe , pour tracer l’ellipse par un mouvement continu : ce sont de véritables compas elliptiques.

J’ai fait voir dans un mémoire {Journal de F Ecole P olj technique , t . 1 3 ) , comment ce genre de description par un mouvement continu , peut s’appliquer au tracé d’une surface ellipsoïde quelconque, ou moyen d’une ligne droite dont trois points déterminés restent toujours sur trois plans fixes ; tandis qu’un quatrième, qu’on fait avancer ou reculer dans tous les sens , décrit une surface ellipsoïde. Cette méthode peut trouver son ap-

' . * TKElzrÉME . LEÇON. 3 s I

plication dang les tracés et les travaux qu’e.vige la çonstructiou des voûtes elliptiques.

.11. ' La parabole, fig. 17 , est tracée sur le cône, ABOia, par un plan QB parallèle k l’une des arêtes du cône. C’est une courbe mnp'ïerinée d’un côté, ouverte de l’autre, et s'étendant . k l’infini, en écartant de plus en plus ses deux branches nm,vp. La parabole, MNP, fig. 18 , * n’» qi/un sonrmiet N et un axe NL , par rapport auquel ses deux branches NM , NP,>iont sj^méiriques ;<êlte possède un foyer Ÿ.

Prolongeons l’a-xe d’une quantité NG=2jF dis- * tUnce duTojer au Sbrnmet de la parabole, et menons jfar le ^)oint G, la droite XY perpendiculaire Jf l^xe. Si nous prolongeons le ra jon réfléchi IK jusqu’en H, sur XY, le pointl de la parabole est* ^alervMHt éloigné du loyer et de 3^'Y;*ainsi % = HI. Qu’une équerre EHl glisse le' long , de X\ ; qu’iiu cordeau attaché à l’angle ilroit H Soit tjOujours tendu eu ligne droite 1^ long dé * , qu’un second cordeau fixe au foyer d’un , bout soit réuni eiii I au premier,' dé manière que FI = lU, Pt qu’on laisse filer également ^ ces deux cordeaux , à mesuce que l’équerre s’é- ■f loigne de l’axe, le point I décrit parabole.

• ’ En supposant qu'une ellipse. s’allonge de pliJs • ^en pluç, ses deux foyers s’éloignent l’ùn de l'aù- * * Ire. Si l’on se tient à l’un <les foyers , la portion d’ellipse qui s’étend autour de ce foyer res- T. 1 — GioM. 4<

3u2 gbomkthik. ' . »*

semble de plus en plus à la parabole, et l’on ^ finit par la confondre avec celte dernière courbe.

Les comètes décrivent des courbes qui semblent être des pal-aboles, et dont le soleil occupe . le foyer r, ce sont des ellipses fort al- . longées. /

Dans rallongement de l’ellipse, les rayons vecteurs*" menés du foyer qui s’éloigne , vers l’autre foyer , approchent de plus en plus'Vl’êSre parallèles, êt le deviennent quand on suppose que les deux foyers sont infiniment kM. l’un de «y l’autre. Alors fellipse est «frigput^sej^ent une* parabole , et les rayons ,«énntâïfes dit foyer où 1 (A se trouve, sont réfléchis par cette^ «our’b^ de *" .

manière h ne renéonOipp qu’à 1 infini, otf CiSl 'supposé l’autre foyer* Donc , dans la parabole, ^ les rayons partis -du foyer sont réfléchi^ar 1^ courbe , parallèlement à l’axe.

^ On fait usage de la parabole , pour recevc*

* la lumièçe émanée d’un foyer, et la ré^chir . en . faisceau de rayons parallèles à -J'axe, 4hi lieu de s éparpiller vers tous^ les points de

l’espace. ♦ f .

* Application aux phares. Sur les bords de la ^ mer, à l’entrée des ports, à l’embouchure d« fleuves, au - dessus" des abords dangereu», oi» dans leur voisinage, on élève des feux ou lu-^^ mières qu’il importo-de faire apercevoir le plus • * * loin possible. Tels sont les feux des phares. On

TREIZIÈME LEÇON. ’ 3a.^

les place au foyer de surfaces de cuivre argenté, auxquelles on donne la figure d’une parabole qui tourne sur son axe, fig. i8. C’est le paraboloïde de révolution. D’apÆs cette définition , tous les rayons réfléchis par la surface qu'on appelle réjlècteur paraboloïde, forment un faisceau de rayons parallèles ayant pour base le cercle parallèle ABCD , qui forme aussi la base de la surface ABCüN du réflecteur.

Tantôi le paraboloïde est mis dans une po- «sition fixe; dans ce casron,ne peut voir le phare, la uu^t* à Une glande disÇmce , qu’au niorrïent où l’on traverse l’àxexlu paraboloïde. Tantôt le paraboloïde tourne autour d’un axe vertical; aloi> il promène graduellement sur tous les points de f horizon, la lumière qu’il réfléchit, et les navigateurs apprennent , par lés absences et les retours réguliers de la lumière, que ce n’est pas un feu placé au hasard. La durée des intervalles de lumière et d’obscurité , présente dcÿ différences qui fout distinguer les phares d^rfe même côte.

111. H ïPERBOLE. C’est la 'section mnp , m'n'p' , le cône, par un plah qui coupe les deux nappes AOB, nOb. Elle présente deux' parties séparées ,^dont chacune a deux branches comme la parabole; mais avec cette différence (pie les branches de l’hyperbole se redressent . l>«au(foup pies rapidement. De sorte<Wjue', dans

3a4 ' ' GÉOJÏÉTRIË.

l’hyperbole la plus fermée,, ayatit môme axe et même sommet q»ie là' parabole, les deux branches de l’hyperbole finisseht*loujours par sortir ' d’entre les branches de la parabole.

L’hyperbole ABC, abc, fig. 20, a deux axes; elle a deux foyers F, y, comme l’ellipse; mais, au lieu que la somme des rayons vecteurs ^s6it co«stante, c’est IpAir différence, qui l’est. Les deux rayons FM, /AI, font aussi le même angle avec la^ « courlie ; mais la courbe, au lieu d’embrasser les deux rayons vecteurs, comeie fait l’ellipse, passé* • .entre les deux , etç. Enfin , il existe ddux lignes droites XOo:, ZOs, qui font le même angle avec le grand axe FO/, et qui, sans pouvoir jamais rencontrer les deux branches de l'hyperbole , s’en approchent d’autant plusqu’on s’éloigne davantage du. centre O ''par lequel elles passent. On les appelle les asjmpotes de la courbe.

Intersection du cône avec des surfaces courbes. Polir la déterminer, il suffit de faire passer, par le sommet du cône, une suite de plans^ IIsécouperont le cône suivant des' arêtes rectilignes; ils couperont les surfaces 'courbes suivant d’antres lignes dofit les intersections avec cés arêtes seront les points mêmes de la cUurbe cherchée.

Applications à l’optique. Ainsi que noils l’avons expliqué, neuvième leçon, les ol>jets nous apparaissent, an moyen de rayons lumineux, envoyés, de chacun de' leurs points, au centre.

( ^ TREIZIÈME LEÇON. . SaS

de notre œil. Chaque ligne qui projette ces rayons lumineux, devient la base d’un cône; et, si l’on trace \ intersection de ce cône avec la surface • prise pour tableau , l’on obtient la perspective de la ligne éclairée. ♦ ,

Le plus ordinairement? les tableaux sont ^es surfaces planes, ainsi que nous l’avons supposé dans la neuvième leçon'. Mais ils sont parfois des cylindres ou des hémisphères. '

Panoramas. On a conçu VicLée* dé forniier'^es tabl«îiu?^ Çylindriques, en plaçant le point dç vue sur l’aiie même du cylindre. Par ce moyen , l’on a pu représenter, sur le contour du cylindre, tous Ifes ol^ets de la nature, qui se déploient circulairèment jusqu’à f horizon , autour d’un pointdonné. Tels sont les panoramas ,Aont ' le nom signifie, vue universelle j paree qu’ils font voir, en effet, tous les objets qu’on peut décou-' vrir d’un seul point. Ainsi, le tracé des pano- -ramas n’est autre chose f\ue- Vintersection de la surface cylindrique formant le tableau ,'^avec une ou plusieurs surfaces coniques ayant leur sommet au "point de vue, et pour base toutes les lignes de la nature, que l’artTste se propo.se de 4 représenter. - ■ • •

• Afin de simplifier les travaux d’exécution de ce genre de -perspective, ou divise l’horizon en H un assez* grafnd nombre de parties : en vingt, • par exemple^ On déssine, sur des fouilles planc.'^

ti

. ii)itized by Gi-ogle

ordinaires , la vue perspective des objets comdans^c^ vingtième de l’horizon ; puis, on pj^( qôte à côte, sur une toile représentant le développement de la surface du cylindre formant tableau, les vingt bandes verticales et pa- ?ajlèles ; enfin , on tend la toile contre le mur cyjindrique de la rotonde qui doit contenir le panorama, > ^

^ ^ vérité de ce ggure de peinture , quand il estjtiep exéeuté, |rappe le spectateur , au point de prddnire quelquefois toutes les illusions de la* nature i^me. Aucun autre moyen de repré-* r sfH!ttl>tiwJa#fait mieux connaître l’a^^pect général '■d’un «TO, autour d’un point donné; avantage que ne saurait avoir un plan en relief, ni la pers- **pective plane d’une partie de l’horizon.

Mirpirs nyigiques. Auprès des panoramas, l’analogie des conceptions géométriques nous fera place^un jeu de physique assez remaVquable.

rt” a pour objet de tracer sur un plan, des figures* telles que, réfléchies par des miroirs cylindriques ou '#oniques, elles viennent se peindredansl’œil du ^spectateur , de manière à représenter des l; objets réguliers et ‘des formes naturelles. Pour * tracer ces objets sur le plan , il faut concevoir : 1“. toutes les arêtes des cônes qui mettent chaque objet en perspective sur le miroir; 2 °. des ^ rayons réfléchis, en considérant ces arêtes comme dc’a rayons incidents. Chaque ravon réfléchi , par

son intersection avec le plan , donne un point ; et l’ensemble des point»-', ainsi déterminés, est la ligure même qu’on voulait ilessiner. Le plaisir que procure un tel spectacle, naît de la surprise qu’on éprouve en voyant les formes les plus irrégulières, les plus bizarres et souvent les plus hideuses, transfornuies par la Réflexion de la lumière, et devenant tout à coup des formes régulières, élégantes, êt qui satisfont à nos idées de convenance et de beauté.

Perspectives peintes sur des coupoles. Dans les grands édifices, tels que les temples et les palais , 1er voûtes et les coupoles sont souvent ornées de perspectives dont le tracé ^e forine par )l intersection des surfaces coniques avec les surfaces de ces voûtes et de ces coupoles. Il ésfalors très- important que l’artiste fasse une étude approfondie de ces perspectives; afin que des tracés qui , vus de près, peuvent différer beau->-coup des formes et des positions de la nature, considérés du point de vue, apparaissent sous les formes et dans- les positions qui leur sont propres. ' •

Ombres coniques. Lorsqu’un point lumineux, un flambf'au, une bougie , un faisceau de lumière qui pasÈe par une petite ouverture^ éclairent des objets opaques, ils projettent l’ombre de ces objets de manière que , dans l’espace, c’est une sui^ face conique qui sépare l’ombre d’avec la lumière.

*■ . GÉOMéTBÏE.

Si l’on veut tracer l’ombre qu’un corps éclairé par un seul point porte sur un autrt; , il faut déterminer \ intersection de cette surface conique, donnée par le corps qui porte ombre , avec le corps sur lequel l’ombre est portée.

A ce sujet, comme à celui des ombres portées par des rayons parallèles , nous ferons sentir aux jeunes peintres tout l’avantage qu’ils trouveront à déterminera l’avance, par des méthodes géométriques , beaucoup d’ombres portées de ce genre, pour s3iabituer aux formes qui eu' résultent et pour bien juger des effets de lumière quant à la figure des onabres; ce qui ajoutera beaucoup à la vérité de leurs productions.

Eu suivant une méthode analogue à celle que Tîous venons d’indiquer, on trouvera: i®. les intersections des surfaces développables ou gaucher , avec d’autres surfaces qui déterminent les points où ces dernières sont rencontrées par chacune des droites qui sont les arêtes des premières'!; 2 ®. les intersections des surfaces de révolution avec les autres surfaces, en cherchant les points où c*es dernières sont coupées par les cercles parallèles tracés sur les premières , etc. Dans toutes ces- opérations , le grand talent de L’artiste sera de bien choiiir ses plans de projection ; afin d’avoir pour les projections des lignes ■ génératrices de chaque surface , des courbes simples et faeiles à tracer., “ ~ ^ '

; JL

.^Sa^BIÈÊtÊÊ»

tangentes et des plans tangents auj courbes et aux surfaces.

■* ’►* li-'

V Souvent, pour faciliter nos conceptions et nos tlémonstrations, nous remplaçons une courbe ABCÜEFGH, lig, I, par un polygone rectiligne dont les côtés très-petits AB, BG,GD,DE,...

se rapprochent beaucoup de rélcment de courbe compris entre ces diflerents points.

Si, par deux points A, B, supposés marqués sui’ la courbe aussi près l’un de l’autre qu’il nous soit possible de le faire, nous menons la ligne droite XABY, elle se confondra, pour ainsi dire, avec la courbe , dans le court espace qui sépare les deux points A et B; elle marquera la direction de cette petite partie de la courbe ABGDEFGIl. Alors nous dirons que la droite XABY est tangente à la courbe , dans le très-petit élément AB^

Remarquons bien que cette manière de trou- -ver les tangentes d’une courbe n est <ju approximatu^e. Essayons, par un exemple simple, de T. I. — GéoM. 4*’

33o GÉOMÉTRIR. . .

nous former une idée rigoureuse des véritables tangentes.

Dans. le cercle ABC, fig. a, menons le rayon OA ; puis, par l’extrémité A, la perpendiculaire XAY, à ce rayon. Nous avons démontré ( III*. le- . ron ) que tout point de XAY, autre que A , se trouve en dehors du cercle. La droite XAY, qui . touche le cercle en un seul point , est celle que nous avons nommée la tangente du cercle. ' .

On^ne peut , par le point A , faire passer, ni à i

droite, ni h gauche, une ligne droite, entre la tangente et le cercle XAY. En effet, menons par le point A, la ligne quelconque AZ; puis ON-, perpendiculaire k AZ. Cette perpendiculaire ON sera nécessairement plus petite que l’oblique OA.

Donc AZ entrera dans le cercle, et par conséquent ne passsera point, à partir de A, entre le

cercle et la tangente XAY. ■ ^

C’est parce qu’une très -petite portion du cercle, à partir de la tangente, suit la direction même de cette tangente, qu’on peut regarder .un point extrêmement près de A, pris sur le cercle, comme placé sur la tangente; ce qui suf- ’ ' ,

fit pour indiquer sa direction , et d’une manière .

d’autant moins inexacte, que le second point approche plus du premier.

Le rayon OA, perpendiculaire h la tangente • • XAY, est aussi perpendiculaire à l’élément decourbe qui ', è partir de A , suit la direction même

.éigitizad.by Cütwi

ÇUATOUZIÈMB LKÇOn. 33i

de la tangente. On appelle normale cette perpendiculaire à la tangente. Ainsi le rayon du cercle est normal à la circonférence.

Les arts font un perpétuel usage des propriété» dont jouissent les tangentes et les normales, pour donner une forme déterminée aux contours des lignes et des suri’aces.

Voyons d’abord comment on trace des polygones réguliers, avec les tangentes du cercle.

Soit un polygone régulier quelconque , ahcdef.... , fig. 3. O étant le centre de ce poly> gone, on a Oa=Ob=Oc=Od..., de même que ab=bc=cd. . . . Donc les triangles aOb, 60c, cOd,.... sont égaux. Donc les perpendiculaire» OA, OB, OC,...., abaissés de 0 sur ab, bc, cd,...,, sont égales entr’elles. Donc un cercle décrit, du point O comme centre, avec le rayon OA=OB

=OC=OD= a pour tangentes tous les côf

tés du polygone régulier abcde....

On dit que le polygone abcde.... est pirconscrit au cercle ABGD.... Ainsi, tout polygotiê régulier peut être circonscrit à un cercle. •

D est facile de voir : i®. que la circonférence du cercle est plus grande que le contour de tout polygone inscrit, ABGD, et plus petite que le contour de tout polygone circonscrit abcd \ a®, que la surface du cercle est plus grande que celle de tout polygone inscrit , et plus petite que celle de tout polygone circonserit. . «.

33a GÉOMÉTRIE. , • ■

En multipliant beaucoup les côtés des poly<goiies inscrits et des polygones circonscrits au cercle ayant Tunilé pour rayon, les géomètres ont calculé deux contours, différant l’un de l’autre moins qu’une longueur mesurable donnée avec nos instruments, et tels cependant qu’un des contours fût plus grand, l’autre plus petit que la circonférence du cercle.

On a de même trouvé des polygones réguliers; f l’un dont la surface fût plus grande , l’autre plus petite que celle du cercle , et diiférant entr elles moins que toute grandeur donnée d’avance.

C’est ainsi qu’on exprime, par des nombres d’une grande approximation, la circonférence et la surface d’un cercle ayant l’unité pour rayon.

On peut employer la même méthode pour déterminer le contour et la surface d’un espace terminé par toute autre espèce de courbes.

Cette méthode remarquable est appelée par les géomètres méthode des limites. Elle donne la démonstration rigoureuse d’un grand nombrti d’évaluations et de principes matliématiques, que nous avons présentés comme des à peu près qui ne diffèrent pas setisiblement de la vérité.

Veut-on tailler une surface telle qu’une feuille de tôle, de carton , etc. , suivant le contour d’un cercle ABGD , fig. 3 ? On commence par tracer avec des tangentes un polygone circonscrit au

bigitiz«clby.^o

QUATORZIÈME XEÇOy.' 333

cercle; puis, au moyen d’un rabot, d’une lime, d’un ciseau , ou de tout autre insti'ument rectiligne, on abat les angles a, h, c, d.... Il en résulte un polygone ayant deux fois autant de côtés , et difiérant beaucoup moins avec la circonférence ■du cercle. En continuant d’abattre ainsi les angles, on forme un polygone dont les côtés sont si nombreux et si petits, que les sommets et les angles deviennent imperceptibles ; alors le cercle semble parfaitement exécuté.

' Dans la construction des portes, des fenêtres et des voûtes en plein cintre ou en tiers point » les pieds droits AM , CN , fig. ^ et 5, sont verticaux et perpendiculaires au rayon horizontal AO=iOC, flg. 4, et AG, fig. 5. Par conséquent, ces pieds droits sont tangents au cintre, eu A et en C.

Dans la voûte surbaissée ABCD, fig. 6, formée en anse de panier, il y a trois arcs de cercle AB , BC , CD , dont les centres m , O , n , sont ainsi disposés :

i“. O, m et le point B de raccordement des arcs AB et BC , sont en ligne droite ; a®. O , n et le point C de raccordement des arcs BC et CD , sont en ligne droite. Donc , si XBY est perpendiculaire à 0/nB , et si ZCT est perpendiculaire à OnC , ces deux ligues seront à la fois tangentes , la première aux arcs AB et BC , en B ; la deuxième aux arcs BC et CD, en C. Comme les arcs de cercle ainsi tracés ont la même tangente , ils ne présentent aucun angle, aucun coude, auniq jarret, au point de leur raccordement. ' '

Toutes les ibis qu’on veut remplacer une courbe continue, par des arcs de cercle qui s’en appro- ' client le plus possible et qui reproduisent sa coutinuité, il faut que les arcs de cercle se raccordent de manière qu’ils aient la même tangente , à leur point de raccordement. C’est ce qu’on verra mieux dans la leçon suivante.

Plans tangents des surfaces. Parallèlement à un plan donné, faisons, dans la surface AGB,..^; fig. 7 , une suite de sections planes AB, CD, EF ;.... elles diminueront de plus en plus, à mesure que l’on s’approchera des limites de la surface, et l’on linira par arriver à un point G qui, seul, sera sur un plan MN parallèle à toutes les sections.

Traçons sur la surface, diverses courbes AGB^ aGb,.... passant par le point G; menons, en ce point, des tangentes à ces courbes. Gomme aucune droite ne peut passer entre les tangentes et les courbes, il faudra que ces tangentes soient placées sur le plan MN.

Ainsi , le plan tangent , en G , h la surface AGB, contient toutes les droites tangentes, en G, aux diverses courbes tracées, parce point, sur cette même surface. 11 faut excepter pourtant les points singuliers, tels que le sommet du cône, etc. Mais ces points sont toujours des exceptions sur les surfaces.

Prenons la sphère pour exemple du cas général. Les sections parallèles AB, CD, EF, fig."8.

• gUATORZlÈMÜ LEÇOiX. 335

sont des cercles dont les centres o,o',o", sont placés sur une ligne droite oo'o"... G, perpendiculaire au plan de tous les cercles et passant par le centre même de la sphère. Si , par l’extrémité G de cette droite , on mène un plan MN parallèle à celui des sections , et par conséquent perpendiculaire è oG, il sera tangent k la sphère.

En effet , tout autre point de ce plan sera plus loin que G , du centre de la sphère; par conséquent , il sera nécessairement hors de la sphère : donc ce plan ue touchera qu’en G la sphère. Tout plan mené par gvG , coupera la sphère suivant un cercle dont ffoG sera diamètre, et dont la tangente en G sera perpendiculaire à g'oG. Or, toutes les perpendiculaires en G, à une droite ^oG, sont dans le plan perpendiculaire à cette droite et passant par G ; donc , enfin , le plan tangent MN contient toutes les tangentes des cercles méridiens ayant ^G pour diamètre. On démontrerait , avec non moins de facilité , que tout petit cercle tracé sur la sphère , par le point G , a sa tangente en G , placée sur le plan MN

. Pour les surfaces comme pour les lignes , on appelle normale la ligne goG , üg. 8 , perpendiculaire en G au piau tangent.

Appliquons ces premières notions aux diverses familles de surfaces , que nous avons examinées dans les leçons précédentes.

Plan tangent au cylindre. Soit le cylindre iVBOtèc, fig. g, terminé par deux bases situées dans des plans parallèles, et ayant toutes leurs lignes correspondantes parallèles. Si est une

arête , les taugentes MBN et mbn des deux courbes, en Bel b, seront parallèles; il eu sera de même de toute auti’e tangente mbn a la courbea'b'c' parallèle aux bases, b' étaut sur l'arête Qb. La suite des tangentes parallèles MBN, m'b'n,... mbn, qui passent par l’arête Bb'b, laquelle est une ligne droite, forme un plan. Ce plan est tangent aucjlindre, dans toute l’étendue de l’arête.

Formation des plans par des cj lindres tangents. Le boulanger qui fait rouler sa billetle parallcmeut J» elle-même , forme avec la pâte un plan qui tour à tour est tangent, suivant chaque arête , à la surface cylindrique de la billctte.

Le jardinier arrive au même résultat pour des allées et des tapis de gazon , sur lesquels il roule un cylindre. Au fur et k mesure que le terrain s’aplanit , il devient tangent au cylindre, dans toute l’étendue des diverses arêtes de cette surface.

Le carrossier suspend les voitures , avec une soupente en cuir, de chaque côté, üg. n - Cette soupente suit le contour inférieur et cylindrique de la caisse de la voiture, et se prolonge de manière que sa face supérieure présente un plan tangent à la caisse de la voiture. Lorsque la caisse se balance de l’avant k 1 arrière, elle avance, ou recule sur ce plan tangent qui , étaut le même des deux côtés, évite le balancement transversal; c’est le plus désagréable et le plus brusque dans les voitures non suspendues. ^

■ DigitiZi

Construction d’un cylindre par des plans tangents. Nous allons rappeler ici la méthode que nous avons donnée dans la leçon qui traite des cylindres , pour tailler un corps solide , de manière que sa surface soit cylindrique. On tracera la base sur les deux bouts de la pièce de bois, de pierre, etc. , qu’on veut tailler en cylindre; puis, deux polygones circonscrits à ces bases , et de plus ayant leurs côtés correspondants égaux et parallèles. Ensuite , avec la scie , le rabot , ou tout autre instrument propre k tailler des surfaces planes, on fera passer ries plans par les côtés parallèles de ces polygones. On obtiendra de la sorte un prisme polygonal , circonscrit au cylindre ; parce que ses diverses faces seront partout tangentes à la surface du cylindre. Si , maintenant, avec la scie, le rabot, etc., l’on abat les arêtes du prisme , pour former de nouveaux plans tang nts au cylindre : plus on multipliera ces plans, » t plus les pri.smes qu’on formera différeront peu du cylindre.

Plans tangents nu cône. Qu’on mène une arête SABC, sur le cône, fig. 12 ; toutes les tangentes en A, B, G,.... aux sections parallèles Aa, B 6 , Ce,.... .sont parallèles entr’elles. L’ensemble de ces tangentes forme le plan PQMN tangent au cône , dans toute l’étendue de l’arête SABC.

Application. Cette propriété du cône permet , en traçant un polygone circonscrit k la base , T. I. — Géom. 4^

de faire uue pyramide dont les faces soient tan- i gentes au cône, dans toute leur longueur. En abattant successivement avec la scie, le rabot, etc., les arêtes de cette pyramide, par de nouveaux plans tangeius, on multiplie déplus en plus le nombre des arêtes. Alors -on exécute une surface qui représente le cône, avec le degré de précision dont on a besoin. Voyez X”. leçon.

Plans tangents aux surfaces développables.

La propriété qu'a le même plan tangent , de toucher le cylindre et le cône dans toute l’étendue d’une arête , appartient également aux autres es- . pèces de surfaces développables. On peut considérer ces surfaces comme formées de3 petites facettes coniques extrêmement étroites ayant, comme celles du cône , un même plan tangent pour toute Ja longueur de chaque arête.

On peut faire passer une surface développable par deux courl>es données, en circonscrivant à ces courbes, des ' polygones tels qu’un même plan 'passe à la fois par un ’ côté de chaque polygone; ce plan sera tangent à la surface développable. En abattant les’ arêtes formées par la rencontre de ces plans, on multipliera les côtés des polygones circonscrits aux deux courbes, et les facettes planes , tangentes à la surface développable qu’on veut ' produire. '

Cy lindres tangents l'un à l'autre, suivant une arête. En posant à côté l’un de l’autre deux cylindres droits cimulaires ABCD,BCFE, fig. lO, de manière à ce que leurs axes soient parallèles, et

- QUATORZIÈME lEÇOK. 33g

distants d’une quantité égale h la somme des rayons des bases, les deux cylindres se toucheront dans toute l’étendue de cette arête 13G. Ainsi, dans toute l’étendue de cette arête , les deux surfaces auront un même plan tangent. Imaginons, à présent, qu’on ait, devant et derrière les deux cylindres, une table horizontale dont le dessus soit dans la direction même de ce plan. Si l’on pose une feuille métallique sur une des deux tables et qu’on l’oblige à passer entre les deux cylindres, éloignés également l’un de l’autre, on aplatira la feuille métallique de telle manière que les deux faces parallèles, deviendront de$ plans tangents , celle de dessus au cylindre supérieur, celle de dessous au cylindre inférieur. Ainsi, le laminage des feuilles métalliques, au moyen des cylindres, est fondé sur la propriété des plans tangents aux surfaces cylindriques.

Cônes et cylindres tangents suivant une arête. Quand un cylindre ABCD et un cône ADE, tig. i3 , ont une même arête AD , et en D même tangente MQ, le plan mené par MQ et par l’a-r rête AD est , à la fois, tangent au cône et au cylindre , dans toute l’étendue de AD. . Donc le cylindre même et le cône sont tangents l’nn à l’autre, dans toute l’étendue de AD.

IjCs forgerons , les ferblantiers , les chaudronniers, font usage de c«;lte j)ropriété pour courber, suivant une forme cylindrique , des feuilles de

tôle, (le fer-blanc, etc. Ils placent la feuille de ,• manière que la direction des arêtes du cylindre soit aussi celle d’une arête de la pointe conique d’une bigorne d’enclume , représentée par ADE. Ensuite, avec un marteau dont le bout est creusé en cylindre, ils courbent également la feuille dans toute la longueur de la droite suivant laquelle le cône touche la feuille à courber. Ils sont sûrs, ainsi, déformer une surface cylindrique. Ils formeraient de même une surface conique , ou généralement une surface développable, en augmentant ou diminuant graduellement la tourbure de la feuille métallique, suivant que le marteau frappe sur l’arête de contact AD, plus ^ près ou plus loin du sommet A.

Cylindres tangents et enveloppes dautres surfaces. Si l’on suppose qu’une ligne droite constamment parallèle à sa direction primitive, s’avance en restant toujours tangente à une sur- • face donnée, elle va former ub cylindre, lequel sera tangent à la surface proposée, dans toute la suite que présentent les points de contact entre les arêtes du cylindre et cette surl'ace.

Cylindres enveloppant la sphère. Supposons, par exemple, qu’on ail une sphère abcd, fig. 14, et qu’une ligne droite toujours tangente à la sphère, se meuve parallèlement à un axe menéü ' par le centre de la sphère; on formera de la sorte un- cylindre droit circulaire qui touchera la

QU ATORZI.KM E LEÇON, 34 r

sphère dans toute l’étendue d’un grand cercle amen. On pourra faire avancer ou reculer la sphère dans ce cylindre, sans quelle cesse de le toucher suivant un cercle parallèle à «mm, ét perpendiculaire à l’axe du cylindre.

Applications. Les arts fout un fréquent usage 'de la propriété que nous venons d’expliquer. Toutes les fois que l’on doit diriger une sphère suivant un axe rectiligne XOY, on l’oblige à se mouvoir dans un cylindre qui l’enveloppe et la touche de toutes parts.

Tel est le principe sur lequel est établie la forme des armes à feu : fusils, pistolets, canons, obusiers et mortiers. Leur surface intérieure a la forme d’un cylindre droit circulaire, et les balles, boulets, bombes, obus, auxquels on veut donner une direction précise, sont des sphères qu’on oblige à suivre la direction même de l’axe de ces cylindres.

Calibres des sphères. Pour s’assurer : i “. que les boulets ne sont pas d’un trop grand diamètre, ce qui ne leur permettrait pas d’entrer dans la bouche à feu qui leur est destinée; 2 ®. qu’ils ne sont pas trop petits , ce qui ôterait toute la justesse du tir, on a dés limettes , (ig. i5, qui ne sont autre chose que des cylindres droits circulaires dont les arêtes sont fort courtes. ïæ canonnier tient d’une main la poignée Alîaô,- de 1 autre, il présente le boulet en divers sens,

pour voir s’il peut passer dans la lunette , et s’il passe sans laisser trop de vide entr’elle et lui. C’est ce qu’on appelle calibrer les boulets.

Applications aux ombres. La nature nous otl're, à chaque instant, des exemples de surfacés cylindriques formées de lignes droites parallèles entr’elles , et tangentes à la même surface. Lorsqu’un corps terminé par une surface courbe est éclairé par le soleil, si ce corps est opaque, il fait ombre derrière lui ; les rayons qui séparent cette ombre et la partie éclairée par le soleil, sont nécessairement les rayons qui touchent le corps sans être interceptés par lui. Ces rayons parallèles sont donc des tanp^entes à la surface du corps. Donc , ü ensemble des points qui limitent , dans l'espace , l’ombre portée par un corps , forme un cylindre dont toutes les arêtes sont tangentes à ce corps. L’ensemble des points de contact de la surface du corps avec le cylindre qui limite l’ombre portée par ce corps, forme une courbe ; c’est la ligne de séparation d’ombre et de lumière, sur la surface du corps éclairé.

Lorsqu’on veut, sur un plan , déterminer avec exactitude les ombres portées par un corps , il làut construire les cyliiulres ainsi formés par des tangentes à la surface de ce corps , parallèles à la direction supposée des rayons solaires. Puis déterminer l'intersection de cette surface cylindrique avec la surface des corps, sur lesquels.

• pigitized

QUATORZIÈHË LEÇON. 34^

l’ombre est portée. C’est une étude importante pour l’architecte et le dessinateur.

Si l’on l’ait avancer ou reculer parallèlement k lui-même, le corps éclairé, dans la direction donnée par les rayons solaires, chacun de ses • points va décrire une ligne droite parallèle à ces rayons ; donc , tous les points du corps qui sont sur le cylindre limite de l’ombre portée sur le corps , vont suivre la route de ces rayons qui ne cesseront pas d’être tangents à la surface du corps; le même cylindre restera toujours la limite de l’ombre portée par le corps. Ce cylindre qui entoure constamment le corps , dans toutes les positions de celui-ci , est ce qu’on appelle par rapport à ce corps, une surface enveloppe.

Ainsi, le cylindre droit est la surface enveloppe de la sphère , qui se meut en ligne droite et qui conservé toujours le même rayon. L’ùme du canon , du mortier, etc. , est la surface enveloppe de l’espace parcouru par le boulet.

On peut percer dans un corps, une surface cylindrique , enveloppe d’une sphère do rayon constant, le centre de cette sphère se mouvant eu ligne droite. C’est ce qui a lieu, lorsqu’on tire une balle dans un corps mou et non fragile.

Réciproquement , on peut fabriquer une sphère, eu faisant tourner un cylindre autour d’une ligne droite perpendiculaire à son axe et passant par cet axe. Dans chaque position

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il?'?: T.

du cylindre , il touchera la sphère suivant un cei'cle méridien , et l’ensemble de ces méridiens formera la sphère même. En supposant ces méridiens tracés ti*ès-près les uns des autres, on pourra substituer aux cylindres tangents, des côtes cylindriques comprises entre deux méridiens consécutifs. Alors on retombera sur la méthode d’approximation que nous avons donnée , XJ*, leçon.

Enfin, les mêmes moyens pourront servir :

1 *. pour consti’uire des surfaces de figure quelconque , avec d’autres surfaces quelles touchent de toutes parts , et qu’on fera mouvoir suivant une direction parallèle aux arêtes du cxlindre ; a", pour construire une suriace quelconque, au moyen d’un système de cylindres qui la tqpchent par chacune de leurs arêtes.

yippUcation nia menuiserie. Lorsque le menuisier doit pousser des moulures suivant un contour curviligne, il prend un rabot dont le l'er représente le profil ou section transversale de ces moulures, et dont le bois e.st taillé suivant une surface cylindrique ayant ce profil pour base. Ensuite, il fait agir son rabot, en le tenant toujours tangent au contour que doit suivre la moulure. Dans ce mouvement, la surface cylindrique du rabot devient successivement tangente à la moulure fabriquée , dans toute l'étendue du profil donné par le 1er du

-Vr.- -'V

gUATORZliME LEÇON. 34^

rabot , et la luoulure est la surl’acc enveloppe dii cylindre que présente le bois même du rabot.

Les surfaces coniques vont nous olTrir des considérations et des résultats 'analogues.

Supposons que d’un point donné S , lig. i6, l’on mène , à la sphère O , toutes les tangentes - possibles SA, SB, SC...., on va former un cône droit circulaire, taqgent à cette sphère, dans toute l’étendue d’un cercle ABCD , servant de base au cône. En effet, si l’on faisait tourner le grand cercle ABE, autour de l’axe SO, mené par S et par le centre O de la sphère : i°. le cercle engendrerait la sphère : 2 °. SA, SB, tangentes à ce gi’and cercle, engendreraient le cône.

Supposons que le centre O se meuve sur l’axe SO, en augmentant ou diminuant le rayon de la sphère , proportionnellement à sa distance au point S. En vertu de la propriété des figures semblables, la sphère ne cessera pas d’avoir pour tangentes toutes les arêtes SA, SB, SC.... , du cône SABCD. Donc ce cône est l’enveloppe de l’espace parcouru par la sphère dont le centre se meut en ligne droite, et dont le rayon augmente ou diminue proportionnellement à la distance du centre à un point fixe de cette droite.

En substituant à la sphère une autre surface courbe quelconque, nous pourrions également, de chaque point pris hors de cette surface , faire partir toutes les lignes droites, arêtes d’un cône T. I. — Géom. 44

DiyiîizMj by CjOOgk

\ 3^(5 CiÉüMKTKiK. '‘'’

qui la touchât eu chacune de scs' arêtes. Si le point pris pour sommet du cône est un point lumineuJt, le cône ainsi fprmé marquera, der-' rière le corps, la limite de l’ombre portée par ce corps. Si l’on veut tracer rigoureusement la limite de l’ombre portée par ce même corps , sur une surface quelconque, il faudra déterminer X intersection de cette surface avec le cône limite de l’ombre portée par le corps éclairé.

Explication des éclipses. C’est en appliquant cette méthode à l’astronomie , qu’on a déterminé la forme et la grandeur des éclipses. Imaginons que la lune doive passer presqu’en ligne droite entre la terre et le soleil. En regardant comme deux sphères, la lune et le soleil , nous pouvons concevoir un cône droit circulaire, qui sera l’enveloppe de ces deux astres , et qui marquera dans le ciel la limite de l’ombre portée par la lune. Tant que la terre restera tout entière hors de ce cône d’ombre , le soleil ne sera point éclipsé; mais, quand une partie de la terre entrera dans ce cône, cette partie sera privée de la lumière du soleil ; pour elle , le soled sera éclipsé par la lune; il y aura , comme on dit, éclipse de soleil. Si, pour chaque instant que doit durer l’éclipse , on détermine la position respective des trois astres et l’intersection de la . surface de la terre avec le cône enveloppe du soleil et de la lune , cette intersection marquera

sur la terre un certain espace. Pour les seuls lieux situés dans cet espace , il y aura éclipse totale au moment dont il s’a^t. Enfin, ai Ton ' trace toutes les intersections données dans les divers moments de la durée d’une même écHpse, les points qai seront en .dehors de ces diverses intersections ne seront pas totalement éclipsés, et les autres le seront plus oii'moins long- temps. La géométrie déterminé , ainsi , toutes les circonstances d’une éclipsé" de soleil. Elle détermine avéc une égale facilité lés circonstances 'd’ute éclipse de lune. j f - >

Si l’on conçoit un cône droit circulaire, 'qui enveloppe à la fois la surface • de la terre et la surface du soleil, quand la lune entre dans le cône de l’ombre portée par la terre, il y a éclipse de lune. Si la lune entre totalement dans le cône, il y a éclipse totale de la lune; t éclipse est paHieUe quand la lune n’y pénètre qu’en partie. Dans ce dernier cas, on connaîtra, pour un instant donné , la figure et la grandeur de l’éclipse , en déterminant les intersections des cônes enveloppes du soleil et de la terre, avec la surface de la lune.

Lorsque nous regardons un corps quelconque et que nous menons à ce corps , comme nous venons de faire par rapport au soleil , des rayons visuels qui lui soient tangents, ils déterminent, sur ce corps, la limite des points visibles pour

nous : c’est CO; qu’on appelle le contour appa

rent du corps que nous considérons.

( Dans la peinture, nous dessinons, sur la sur-» face du tableau , les contours apparents d’uii corps; c’est l’intersection de cette surface avec celle d’un cône dont toutes les arêtes sont tangentes à ce corps , et dont le sommet est au ' centre de notre œil. La connaissance des cônes enveloppes des corps est donc indispensable pour mettre d’une manière rigoureuse , en perspective, les corps qui ne sont pas terminés uniquement par des lignes droites.

Quand une spbère lumineuse oah , fig. 1 9 , éclaire une sphère opaque OAB , on peut conce-i voir d’abord un cône SnABô qui enveloppe la fois les deux sphères , et qui marque , iur la sphère OAB, la séparation absolue de l’ombre et de la lumière. On peut concevoir, ensuite, un' second cône mnTiVlN , situé entre le? deux sphères. L’espace IMN compris dans ce cône sur la sphère éclairée, voit en entier la sphère lumineuse. Mais, de chaque point de l’espace AMNB , on ne voit qu’une portion de la sphère éclairée ; il y a donc ombre partielle : c’est ce qu’on appelle la pénombre. Lor.squ’on veut ombrer les corps avec une précision rigoureuse, il faut marquer avec soin les ombres et les pér nombres. On y parvient par des méthodes anar logues à celles que je viens d indiquer.

QUATOnZlKME LEÇOüt. .>49

Si les deux surfaces aoh , AOB , n’avaient aucune analogie, un même cône ne pourrait pas les envelopper à la fois tangentiellement toutes deux. Ce serait alors une sujf 'ace développable, qu’on pourrait construire , en supposant qu’un plan restât tangent à la fois aux deux surfaces, et présentât successivement* toutes les positions compatibles avec cette condition. Dans chaque position , joignons par une ligne droite , les deux points où le plan est tangent avec deux surfaces. L’ensemble* de ces lignes droites va Ibrmer une surface développable qui séparera l’ombre et la lumière des ombres et des péncmibres, selon qp’elle sera én dehors du < corps lumineux et du corps éclairé* ou: qu’elle passera entre les deux corps. Je regrette que les limites de ce Cours et les considérations élémentaires auxquelles je dois le borner, ne me permettent que d’indiquer ces belles propriétés des surfaces développables. .< . ■ i

Lorsqu’on fortifie une place, il faut qu’au dehors de la place, à portée de canon, il ne soit pas possible d’envoyer directement des projectiles sur le terre-plain des ouvrages où doivent' 'Se tenir les défenseurs. On conçoit' ane surface développable , à la fois tangente à la crête des fvttificatiôns , et aux sommités du. terrain qui entoure Ja place, à portée de canon. 11 faut que cette surface développable ne coupe nulle part le

35o GÉOMÉTRIE,

terrain où les défenseurs se placeront, ni même une surface élevée au-dessus du terrain, à la hauteur de la taille ordinaire de 1 homme. Quand cette condition est remplie, l’intérieur de la place est ce qu’on appelle défilé. Les méthodes géométriques, employées pour arriver k ce résultat, sont appelées méthodes de défilement.

Les arts font un fréquent usage des cônc.s enveloppes, pour donner aux corps des formes déterminées. Le sabotier emploie une lame rectiligne et tranchante , tenue d’un bout par un point fixe, et de l’autre bout ayant une poignée qu’il saisit de la main droite. Avec la main gauche, il* présente dans une portion fixe , le morceau de bois qu’il veut travailler, et qu’il taille avec l’instrument. Cette taille produit à chaque fois une surface conique tangente au sabot , dans toute l’étendue d’une certaine courbe. L’ensemble des courbes taillées ainsi, finit par produire la surface même du sabot : c’est la surface enveloppe de tous les cônes tracés par l’outil.

Lorsque le tourneur veut façonner un corps, suivant la figure d’une surface de révolution , il prend d’abord un outil fort étroit, pour faire des entailles qui vont pre.squc jusqu’au contour de cette surface. Ensuite, il prend un ciseau plan et large, qu’il tient dans une direction tangente au contour que doit avoir la surface. Dans chacune de ses po.sitions, le ciseau plan taille un

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(QUATORZIÈME LEÇON. 35i'

cône. L’ensemble des cônes formés, en faisant dévier à chaque fois fort-peu la position et la direction de l’instrument, présente une suite de ceintures coniques partout tangentes à la surface de révolution , laquelle est partout enveloppée et finalement produite par ces cônes.

Les cercles des tonneaux et des mats d’assemblage sont des cônes tangents aux surfaces de révolution derf mâts et des tonneaux.

Parmi les divers modes de tracé des surfaces , il en est qui assurent plus ou moins de continuité, dans tel ou tel sens; ce qui les rend plus ou moins avantageux, suivant les besoins que les produits de l’industrie ont à satisfaire.

Examinons, raaiûtenaut , les surfaces enveloppes qu’on peut former par la flexion de certaines lignes auxquelles on attache les surfaces enveloppées.

Supposons qu’un fil inextensible représente 1 axe dun cylindre ou d’un cône circulaires, ou de toute autre surface de révolution. Supposons qu’on attache à ce fil le centre de chaque sphère enveloppée tangentiellement par le cylindre ou • par le cône ou par toute autre surface de révolution. Plions ensuite le fil , suivant une courbe quelconque. La surface enveloppe de toutes les sphères sera , non plus un cylindre, un cône, ou toute autre surface de révolution , mais une surface toujours composée d’une suite de cercles.

'35a GÉOMÉTBII':.

chacun desquels sera commuu à l’uae des sphères et à la surface enveloppe. . ■ •

Quand on plie l’axe du cylindre, la surface enveloppe est formée d’une suite de cercles tous ét^aux au grand cercle des sphères égales qui, primitivement, étaient enveloppées par le cylindre. Tous ces cercles ont leur plan perpendiculaire à la courbe formée par l’axe plié 5 et leur centre est sur cet axe.

Le serpentin de l’alambic est une surface enveloppe de ce genre , formée : i®. en pliant l’axe du cylindre suivant le contour d’une spirale cylindrique; 2°. en prenant l’enveloppe de toutes les sphères égales, ayant leur centre sur cet axe. • Dans l’escalier tournant, à voûte circulaire, cette voûte est pareillement l’enveloppe de sphères égales ayant leur centre sur le contour d’une spirale dont le pas est égal h celui de l’escalier.

Chaque tour d’un cordage à trois torons simples est pareillement l’enveloppe de l’espace que pourrait parcourir une sphère dont le centre suivrait la spirale tracée au milieu du toron.

11 y a des chenilles et d’autres reptiles qui . sont formés de courts anneaux cylindriques dont les articulations peuvent s’a’llonger ou se contracter selon leur volonté. Quand ces atiimaux se plient et se replient, leur peau présente une surface qui varie de forme, mais qui ne cesse

. ■ QUATORZIÈME LEÇOU. t 353

!: pas de présenter la figure des surfaces dont nous indiquons maintenant la construction. <■

Quand on plie , suivant un cercle , l’axe du • cylindre droit circulaire, on le transforme de nouveau en surface de révolution ; c’est la surface annulaire, que nous avons ex^yninée dans la XI*. leçon , et dont nous avons donné les projections et la génération.

Les surfaces enveloppes d’une sphère con- staute de rayon, ont la propriété qu’en chacune de leurs parties, si ou les coupe par un plan ' perpendiculaire à la courbe lieu des centres des sphères: i®. le plan est partout perpendiculaire à l’enveloppe; a®, la section est d’une grandeur constante, puisque c’est le grand cercle de sphères égales (i).

Lorsqu’on a besoin de faire passer un volume d’eau par un canal à sections circulaires, il faut que ce canal ait partout la même section , si l’on veut que l’eau se meuve partout avec la même , 'Vitesse, et quelle n’éprouve d’engorgement nulle . part. Il faut donc, alors, que la surface du canâl soit l’enveloppe d’une sphère de rayon constant.

(0 On prat, sans erreur appréciable par nos sens, supposer que la courbe sur laquelle se trouvent les centres des splieres , .. est un polygone dont les cdtés sont extrêmement petits. Alors l'enveloppe se compose d'une suite de zones ou bandes cylindriques qui touchent suivant des cercles, les spliêces enveloppées. L'ensemble des cercles de contact forme la surface enveloppée; , quel que soit le nombre des côtes du polygone , et lors même que ce polygone devient une conrire continue. ^

T. I Géom.

•354 ' céométr;«. ,•

Jil faut, de même, que toute autre espèce de canaux destinés à la circulation des eaux, ait pour section une courbe ou un polygone dont la superficie soit constante. Ou s'impose aussi , pour plus de régularité et de facilité dans l’exécution , de conserver la même figure à la section ; excepté • dans les eudroits où des difficultés extraordi- . uaires nè de permettent pas. ^

Eu traitant des centres de gravité , dans le tome second (Machines), nous donnerons un* moyeu facile de déterminer le volume des corps" et des espaces terminés par Xe^surfaces-caïuiux, que nous venons de définir. iMous offrirons à cet égard une méthode aussi simple qu’aisée , trèsrigoureuse , et qui présente une foule d’applications dans les arts.

Le forgeron, le plombier, le verrier, le faïen-.. cier, le chaudronnier, exécutent beaucoup de , produits d’industrie ayant la forme des surfacescanaux. Ils exécutent d’abord des prismes ou des cyliiulres, pleins ou creux , auxquels ils donnent une certaine flexion. Tout leur art consiste à ne pas faire perdre aux corps qu’ils plient ainsi, la*"' forme constante que doivent conserver les sections transversales.

Les boucles, les anneaux, les colliers de fer, de cuivre, etc. , les tirebouchons , les ressorts en'

, les tu; aux contournés en ligne courbe., bons , les verres de baromètre , les veines

• QïtATORZIÈMÉ IBÇOS. . 355 .

' du corpp humain , sont autant d’exetnples des surfaces que nous considérons.

Nous avons dit, en parlant de l’intersfection des snrfacês, qu’on peut représenter les surfacés Il double courbure , par dès espèces d’anneaux où tambours cybndriquè.S oti coniques , commë lé trnilc des culonheS; l’inconvénient dé ce mode pour les surfm'es-caiiaüx, c’ést qu’il n’y a pas cbntînuilé dans le sens longitudinal, et que les sécfibns dans le sens trlausversal ne sont pas constantes.

■ Tl y à des villes où les ferblaUtier.s et les chaudronniers travaillent les feuilles métalliques avec un art particulier ; ils savent leur donner une double courbure , et leur conserver une section régulière et constante dans toutes les parties. A cet égard , on rloit citer particulièrement les artisans de la ville de Lyon ; ils l’emportent de beaucoup sur ceux mêmes de Paris.

L’ingénieur des ponts et chaussées donne, pour • le tracé des parties courljes de ses canaux , des . ractliodes géométriques spéciales, lesquelles oui. pour objet d’assurer lu forme constante de la section, et la position de son pluu partout perpendiculaire il la surface du canal.

Au lieu de supposer qu’uue .surface de grandeur constante parcourt un certain espace dont on cherche l’envcduppe, supposons que la sur-