AB

Les marins , par une rhétliode inverse, quand ils connaissent la hauteur CD de la mâture ou de toute autre partie d’un vaisseau, en concluent la distance BC, où ils se trouvent de ce navire ; ce qui , durant la guerre, est souvent ’de la plus grande importance.

Nous venons de voir que le rayon des cercles donne une mesure de leur courbure; nous allons voir qu’il sert également à mesurer la courbure de toutes les lignes courbes.

C’est une des conceptions les plus heureuses de la géométrie, que cè moyen de donner par des lignes droites la mesure de la courbure des lignes courbes. Une conception pareille simplifie extrêmennent les opérations relatives à cette courbure.

Soit la courbe quelconque AA'A"Z, fig. 3 , dont nous voulons connaître la courbure. Nous prendfons trois à trois ses points extt’èmement rapprochés ; par trois points consécutifs A , A', A", nous décrirons un cercle ABC , lequel aura même courbure que la courbe AZ , dans le trèspetit arc AA'A". Noos pourrons faire la même chose pour tout autre point; et déterminer ainsi quels cercles ont même courbure que la courbe , en ses différents points , et quels sont les raycxie de ces cercles.

Le cercle AllC lequel, en un point A, pré- * sente la même courbure que la couqbt: quelcon- ■ que AZ est appelé le cercle osculateur de cette courbe ; le rayon AO de ce cercle est le rajon de courbure; enfin, le centre du cercle est le centre de courbure.

Le rayon étant perpendiculaire au contour du cercle en A, et le contour du cercle, en A, A' et A",

' étant le même pour le cercle et la courbe, il en résulte que le rayon de courbure est perpendiculaire ou normal à la courbe , dont il mesure • la courbure.

Supposons que, des différents points A, A', A", fig. 4 > très-voisins les uns des autres, on ait mené ■ les perpendiculaires ou normales à la courbe AZ , et qu’on ait pris : la longueur AO du rayon de courbure en A; la longueur AO' dui'ayon de courbure en A' ; la longueur AO" du rayon de courbure ‘ en A", etc. Lespoints A, A', étant sur l’arc de cercle dont O est le centre, on a OA=OA'; par la même raison, 0'0A=:0'A", O "0'A'=0"A'",....

Attachons au point A l’extrémité d’un fil inextensible ; tendons ce fil , suivant AO , et suivant le contour donné par les points O, O', O"...., qui sont les centres de courbure de AZ. Faisons, ensuite, avancer le point A, en tenant toujours le fil tendu , sans qu’il puisse glisser le long de OO'O".... ; la partie AO du fil va décrire un petit arc de cercle AA', qui sera tout entier sur

la courbe AZ, puisque son cenlrc est le centre de courbure Gide AZ , à partir du point A.

Arrivé en A^ le fil sera tendu en ligne droite depuis A' jusqu éta O'. Quand le point A avancera pour passer de A' en A", le fil tendu en ligne droite depuis O', décrira un arc de cercle A' A" dont O' sera le centre. De même , le point A , passant de A" en A'", va décrire un arc A" A'",

dont le centre est en O", etc.

Ainsi, quand on connaît une suite de points très-rapprochés O, O', O",.--- qui sont les centres de courbure d’une ligne AZ, on peut, avec un fil flexible, mais inextensible, tracer trèsfacilement la courbe AZ. Ce moyen sera d’autant plus près d’une exactitude rigoureuse , que les centres G, O', O" , seront à de moindres di-

stances. Il sera parfaitement exact si ces points se succèdent sans intervalle, et forment une courbe continue.

Lors même qu’on n’emploie que comme méthode approchée le moyen que nous venons d’indiquer, on représente la courbe AZ avec bien plus d’exactitude et de continuité , qu’en substituant à cette courbe un polygone formé par les cordes ou par les tangentes de cette courbe. Avec le tracé nouveau , tous les arcs de cercle substitués à la courbe AZ , se raccordent longitudinalement; il n’y a plus d’angles comme aux som-

GEOMETfilE.

mets des polygones, ni de côtés droits qui remplacent des parties courbes. j

Il faudra donc employer le nouveau moyen de produire la forme approcKée des courbes qu’on ne peut pas exactement exécuter, toutes les fois que la continuité de la courbure sera d’une grande importance.

Nous avons vu que le fil A00'0"...se redressait, tandis que le point A, extrémité de ce fil, décrivait la conrbo AZ. Si nous examinons la courbe OPQ...X, que parcourt le point marqué primitivement sur ce fil, nous verrons que XO'" égale la longueur totale de la portion de fil primitivement pliée suivant 00 ' 0 ".... 0 '“.

On appelle développante la courbe OPQX qui sert à développer la courbe 00 ' 0 "... 0 'ï, laquelle est développée de manière que sa longueur soit partout égale au rayon de courbure 00', PO", QO"',...XO'", de la courbe OPQX.

Les arts font un grand usage des développantes et particulièrement de la développante du , cercle f fig. 5. Le mécbauicien l’emploie pour tailler convenablement ses cames.

Supposons qu’un pilon AB', fig. 6 . 7 . 8 , soit assujetti dans une coulisse, de manière à ne pouvoir que monter et descendre suivant une ligne verticale déterminée: c’est cette montée et cette descente qu’il faut produire.

Pour cela , l’on pose un arbre cylindrique ho-

rizonta] C, qui vient toucher tangentiellement un inentonnet suiiiaiit DE, dont le dessous est en ligne droite avec le centre de l’arbre, quand le pilon est descendu à son point le plus bas, tig. 6 .

Sur le contour de l’arbre, on fi.xe un arc OPQR de la développante du couttur 00 ' 0 " 0 "' du cercle qui sert de base à l’arbre.

Quand cet arbre tourne, le point O' arrive d’abord à la position qu’occupait O; alors la tangente O'P du cercle devient verticale, lig. y. Il faut donc que le mentonnet ED, entraînant avec lui le pilon , ait monté d’une bauteur=0'P.

L’arbre tournant toujours,. O" arrive à la position primitive de O; alors le mentonuet et le pilon se trouvent élevés de OQ. Enfin , l’arbre tournant toujours, O'" arrive à la position primitive de O, fig. 8 , 0'"R devient verticale; le mentonnet ne trouvant plus rien qui le retienne, cesse •le s’opposer ii la chute du pilon, qui tombe librement *par l’elFet de son poids , et reste en repos jusqu’à ce que la came, ayant achevé son tour avec l’arbre, revienne de nouveau soulever le pilon.

Ce mouvement a le grand avantage de s’exécuter sans secousse, et, comme vous le verrez dans la méchanique, sans aucune force perdue.

Dans la XIJI*. leçon , nous avons examiné la courlie importante qu’on appelle ellipse. Cette courbe ABC, fig. 9 , étant .symétrique par rap-

port à ses axes, sa développée DEF est pareillement symétrique par rapport aux mêmes axes.

La plus grande courbure de l’ellipse est à l’extrémité de son grand axe; la plus petite est à l’extrémité de sou petit axe.

Si l’on avait à conftruire une grande ellipse , fig. 9 , avec beaucoup de continuité , on pourrait tracer la développée DEF, et décrire la courbe ABC, par le moyen d’un fil et d’un cordeau plié tantôt sur DE, tantôt sur EF.

Il importe de remarquer que, même quand on prendrait pour DEF un polygone, c’est-à-dire, une suite de lignes iormant des angles, la courbe ABC ne présenterait pourtant aucune partie rectiligne, ni aucun angle; elle aurait donc deux éléments de continuité qui manquent à DEF. La courbe dont ABC sera la développante, aurait encore plus de continuité ; puisque ses ra 3 mns de courbure augmenteraient ou diminueraient par degrés insensibles, lors même t[ue Ifes rayons de courbure de ABC , se succéderaient sans continuité, comme dans la construction de la courbe dite anse de panier. Voyez IV*. leçon, ligure 36. >

A présent , vous concevez différents genres de continuité dont il est essentiel de bien classer la gradation dans votre esprit.

I*. On peut représenter une courbe,’ fig. lo, par une suite de points isolés , mais fort rap-

ylilNZlKME LEÇOîf. 3Hy

proches les uns des autres. Telles sont, dans un dessin , les lignes ponctuées; telles sont les directions marquées par des rangées d’arbres plantés à des distances plus ou moins grandes, suivant des lignes droites ou courbes, que l’oeil imagine aisément, lorsque ces courbes ont quelque continuité. Cependant, ici, la cbntinuité n’est qu’indiquée par des points, comme elle l’est par des nombres dans les devis qui font connaître, pour chaque courbe, la position d’un Certain nombre de points. Les devis oie la carène des vaisseaux en offrent l’exemple.

2®. L’on peut représenter une courbe par ùne süite de lignes droites qui en sont les cordes,

AA', A'A", A" A'"/ fig. Il, ou les tangentes

AA'A''..... fig. 12. Par ce second mode, il y a continuité dans la succession oies points, mais non dans les directions ; puisqu’il Aaque sommet A', A", A'", du polj'^gone, on change su-

bitement de direction.

3 ®v On peut substituer ii la courbe une suite d’arcs de cercles A.V, A'A", A"A"',.... fig. 4, ayant à peu près même rayon de courbure que la ligne qu’ils représentent : alors il y a continuité dans la succession des points et dans leur direction. Si les arcs sont très-petits, il y a continuité dans la direction et dans la courbure de la courbe. C’est ainsi que les architectes, comme nous l’avons dit, tracent le profil des voûtes .surLaissées;

TI. — Géom, 4?

e’ést àin'si que les ingénieurs des ponis et chansr sées tracent les arches non circulaires de leurs ponts.

Les arts, suivantd’importance de leurs opérât lions et le degré d’exactitude qui doit en assurer le succès, ont besoin- d’employer ces divers degrés de continuité ,- dans leurs constructions et dans leurs mouvements. C’est aux chefs d’ateliers et de manufactures à juger, suivant les cas, quel nnode réunit le mieux les avantages .de facilité, de simplicité et d’exactitude suHisante. . •

’Les constructeurs de vaisseaux font usage d’uo moyen méchanique qu’il est hou de vous expliquer, lorsqu’ils veulent donner une grande-continaité de direction et de courbure aux lignes, ii l’aide desquelles ils déterminent et construisent la forme delà carène des vaisseaux. Ils marquent jles points isolés par où doit passer la coqrbot Ensuite ils plantent des clous .des deux, côtés dn CCS points et à telle distance qu'une régla nûnee puisse être pliée et posée entre ces paires de clouSk Enfin, il faut qu’avec un crayon ,.da«onrhe tracée le long de la règle pliée, passe par tous les

points A, A', A" , fig. i3. .On a besoin d’une

grande habitude, lorsqu’on fait cette- opération ^ pour que k courbure de la -ligne soit produite, d’un bout k l’autre , par des dégradations insensibles, et présente le degré de contHmité- qui eoDlribé^ è diminuer la résistance que l’eau

DigitUcxl

QL'INZIÉHE LBÇOK. Z’Jt

éprouvé à glisser le long de la carène, quand le navire est en mouvement. Les constructeurs de navire trouveront , à cet égard , un grand avantage dans l’étude des formes géométriques. Cette étude formera promptement et sûrement leur coup d’œil.

Le moyen qui convient aux plus grands tracés ne peut plus être employé pour de petits dessins ' exécutés sur des feuilles de papier. Alors on substitue, aux grandes règles de bois, de petites règles eu baleine; les unes, partout également épaisses, servent ù tracer des courbes dont la courbure ne varie que d’une faible quantité^ d’autres, amincies graduellement vers une seule extrémité, ou vers les deux extrémités, servent k'' tracer des parties de courbe où la courbure diminue de même graduellement d’un bout à l’autre. '"'On plie <«3 baleines de manière à ce que leur contour passe parles points indicjués, sur le plan,' comme appartenants à la courbe qu’on veut tracer et qu’on trace avec un crayon <{ui s’ap-c puie contre cette courbe. Des plombsP,P', P",.... fig. 1 4 , couv erts de papier ou d’étoffe , et taillés en triangle^ pour plus de facilité, remplacent sur le papier les clous des tracés eu grand , pareils aux tracés des constructeurs , dans les salles de gabarits.

Pour faire passer des courbes par des points donnés, le.s dessinateurs emploient souvent un

iv:

3'J2 6KOMÊTRIE.

instrument qu’ils appellent pistolet , à cause de sa forme ABCDE, lig. i5. Comme il offre des courbures extrêmement vôriées, on peut, dans la plupart des cas, poser cet instrument de ma- • •' nière à tracer par degrés une figure qui ne présente aucun angle, et dont les courbures se succèdent sans ressauts brusques.

Jusqu’ici, nous n’avons parlé que de la courbure des lignes tracées dans un plan : telles sont ' les lignes qu’on appelle à simple courbure.

Mais il y a des lignes qu’on ne peut pas tracer sur un plan, parce qu’elles ont deux courbures au lieu d’une; telles sont les spirales tracées sur des cylindres, des cônes, etc.

Pour les lignes à double courbure, comme • pour les lignes à simple courbure , on peut toujours prendre trois à trois les points immédiatement consécutifs dont elles se composent, et par les trois points faire passer un cercle. Ce sera le cercle osculateur de la courbe, dans l’étendue du petit élément compris entre les trois points. On appelle plan osculateur de la courbe^ le plan même du cercle osculateur. Aucun autre ne pourrait, à partir de l’élément que l’on considère, s’approcher davantage de la courbe à double , courbure. Par le moyen des plans et des cercles ^ osculateui’s, on pourra, dans les arts, avec une suite d’arcs de cercle qui se raccorderont tangentiellement , tracer par approximation et d’une

manière très -continue, toutes les espèces de courbes à double courbure.

Il y aurait è développer, sur la courbure de ces lignes, beaucoup de considérations belles et importantes. Mais elles ne sont pas assez élémentaires et d’une application assez immédiate, assez fréquente, dans les travaux ordinaires de l’industrie, pour trouver ici la place qui leur convient.

La courbure des surfaces est, au contraire, d’une considération perpétuelle et indispensable dans les travaux de l’industrie.

Courbure de la sphère. La sphère est la surface dont la courbure est la plus facile k considérer et à mesurer. Prenons sur la sphère un point quelconque A, lig. i6, et menons du centre O, le rayon AO. Ce rayon mesurera la coui'bure eu A, de toutes les sections faites dans la sphère, par un plan qui contienne le rayon AO. Il mesurera la courbure même de la sphère; courbure, comme on voit, constante dans tous les sens et pour tous les points de la surface. Ainsi, partout J le rdjron de la sphère est en même temps son rayon de courbure , et celui de toutes les sections faites par un plan dans lerfnel est situé ce rayon.

Le Cylindre droit circulaire, considéré dans le sens de sa base, a pour rayon de courbure, le rayon même de la sphère qu’il enveloppe et qu’il louche suivant le contour de sa I^se. Mais,con-

3'j4 GÉOMÉTRIE.

sidéré dans le sens de l’arête AB, fig. 17, il n'a ^ point de courbure, et si l’oii demandait quelle longueur devrait avoir le rayon du cercle osculaleur du cylindre, dans le sens de son arête, on verrait que ce rayon doit être infini.

Il en est de même du cône droit circulaire.

Dans le sens de sa base, il a pour rayon de courbure le rayon même de la sphère qu’il enveloppe; dans le sens de l’arête, la courbure du • cône est nulle.

Les autres espèces de cylindres et de cônes, et généralement les surfaces développables n’ont pës de courbure dans le sens de leurs arêtes rectilignes, tandis qu’elles en ont une plus ou moins marquée dans le sens perpendiculaire.

On remarquera que, dans le cylindre et le 'cône , les sections faites suivant un rayon AO de la base, lig. i7.et 18, ont toujours leur centre de courbure en dedans de la surface. Ainsi , dans toute l’étendue d’une même arête AA' A". ..B des surfaces coniques et cylindriques, les rayons de courbure AO', A'O', A" 0 ",.... sont dirigés dans le même sens et parallèles.

Il n’en est pas ainsi pour les surfaces gauches.

Si, par exemple, l’on regarde la surlace gauche de l’escalier, on y verra toujours dans un sens la courbure tourner en bas sa concavité, et la tourner en haut dans le sens perpendiculaire.

La gorge d’un rouet de poulie , fig. 1 q , a sa

moindre courbure dirigée dans le sens perpendiculaire à l’axe du rouet, et son centre de moindre courbure placé sur cet axe même; taudis que, dans le sens parallèle à l’axe, la gorge du rouet a son centre de plus grande courbure en^n point n, équidistant de m , p , bords de la gorge.

Voilà donc trois classes de surfaces bien distinctes, lorsqu’on les envisage par rapport à leur courbure. •

Dans la première classe, les courbures des lignes qu’on peut tracer sur chaque surface sont toutes dirigées dans le même sens; celte cla.sse comprend la sphère, les ellipsoïdes, la surface de l’œuf, du marron , du cocon de ver à soie, etc.

Dans la seconde classe, il n’y a plus qu’un sens suivant lequel les courbures sont marquées; elles sont nulles dans l’autre sens. Celle seconde classe ne comprend que les surlàces développables , les cylindres , les cônes , etc.

Enfin, dans la troisième cl^is^e, une partie des courbures est dirigéedans un sens, et l’autre dans le sens opposé. De manière qu’en menant par un point donné de la .surface, la normale à cette surface , une partie des centres de courbure des sections se trouve sur celte normale, d’un côté de la surface , et l’autre partie se trouve de l’autre côté.

La surface variée du corps humain présente ces troi.s classes de surfaces. Ainsi, nous devons

. Digifizedtïy Gcx)^lp

OÉOMKTHIE.

rapporter à la prehiière classe les formes des extrémités saillantes ; le talon , la rotule , le genou , l’épaule, le bout des doigts ont leurs deux courbures dirigées dans le même sens.

• Une partie des cuisses, des jambes et des bras n’a pas de courbure daus un sens, et se rapporte aux surfaces de la sccoiule classe.

Enfin, nous voyons des surfaces de la troi- •sième^fcasse, cest-à-tlire , ayant leurs deux cour-» bures dirigées en sens opposés, dans toutes les jointures des bras, des doigts, des aisselles, etc. , dans l attachede la tête etdu corps avec le cou,etc.

Parmi ces formes générales , l’œil exercé du sculpteur et du peintre découvre une foule de nuances dans la succession, daus la gradation .■ des courbures de chaque partie du corps. Selon qu’il rend ces nuances avec plus ou moins de fidélité, il produit des chefs-d’œuvre dont la vérité fait l'admiration des connaisseurs, ou des ébauches dont la grossièreté repotisse^les regards d’un observateur éclairé.

Les courbures des diverses parties de la surface de notre corps dépendent beaucoup de la forme des os, des nerfs et des muscles que recouvre la peau. Ainsi , le dessinateur profond doit toujours se rendre compte de la vérité «les lormes qu’il veut exprimer, en ayant soin que cette exprès- . sion révèle les formes cachées, mais sensibles des parties intérieures. î

Oigi>r:

cr.

•QUINZliOME LEÇON.

Un défaut remarquable dans les œuvres de quelques artistes, est de rendre trop saillantes , trop courbées, trop bombées, certaines parties de ' la surface de notre corps, afin d’indiquer plus distincteineut des formes anatomiques , lors même quelles doivent échapper à l’œil. Cette aliéctation nest qu’un charlatanisme, indigne du talent des grands maîtres.

La surface de notre visage jouit d’une mobilité précieuse, qui dépend beaucoup de nos alléetiens intérieures, on momentonées, ou constantes. Les affections constantes donnent, à la courbure des parties mobiles, et même h l’aspect des parties fixes, des formes durables, qu’une observation suivie fait reconnaître dans leurs moindres nuances. Tels sont les caractères des physionomies. Nos affections passagères impriment à nos traits des changementscle forme plus ou moins prononcés, plus ou moins fugaces, et leur étude e.st aussi d’une très-haute importance, dans la culture des beaux-arts ; elle offre des variétés infinies parmi lesquelles l’homme de génie sait choisir les formes précises qui conviennent le mieux au caractère gracieux ou sévère, ou profond, ou terrible de ses compositions.

Il me reste à vous parler d’une étude récemment imaginée, par rapport aux formes de la tête humaine. Outre une ordonnance générale des deux courbures principales du crâne, on re- T. 1. — Géom. /u

marque <les inflexions, des variétés de courbures

locales plus ou moins prononcées chez les divers

individus.

On a considéré ces parties plus ou moins courbées , plus ou moins bombées, qu’on appelle bosses, comme offrant des signes extérieurs de nos facultés plus ou moins puissantes , et de nos penchants plus ou moins prononcés.

Il^est aisé de jeter, sur de telles études, un vernis léger de ridicule et de dédain; mais le prudent observateur des lois de la nature , n est jamais prompt à répandre le blâme , non plus qu’il prodiguer l’éloge, lorsqu’il s’agit d’études graves sur des objets nouveaux. Quand même il serait vrai que le désir de tout expliquer aurait fait beaucoup trop multiplier les indices supposés de nos penchants et de nos facultés, il suHirait qu’un petit nombre de rapports intellectuels eussent des indications plus ou moins éloignées , dans les formes de notre crâne, pour que l’étude profonde des variétés de ses courbures devînt l’un des objets les plus dignes d’occuper les métlitations des sages.

Les diverses parties qui composent la stature des animaux, ont un volume et des formes droites ou courbées qui les rendent plus ou moins propres à certains mouvements. C’est l’oJ.jet d’une science encore nouvelle, connue •Ouïs le nom d’anatomie comparée. Cette science

fera prendre à ses études une rigueur salutaire^ et donnera beaucoup de perfection à ses résultats, en rapportant à des mesures géométriques non- seulement les dimensions principales de chaque partie de la charpente osseuse des animaux , mais la grandeur et le sens de la courbure de chaque élément de cette charpente ; surtout pour les parties en contact, c’est-îi-dire, les jointures.

En même temps que cette étude pourra servir aux progrès de l’anatomie comparée, elle fournira des résultats très-utiles aux travaux de l’industrie. Les animaux, pour satisfaire à leurs besoins, exécutent avec une perfection rare beaucoup d’opérations où nos arts et métiers s’élèvent à peine au-dessus de la médiocrité. Ils trouveront des modèles variés et très-ingénieux dans les moyens que la nature fournit aux êtres animés.

Les animaux herbivores ont les dents parfaitement disposées pour broyer des matières végétales. La forme de leurs dents se conserve malgré l’usé qu’elles éprouvent dans l’opération du broiement de la nourriture, tandis que la forme de nos meules de moulin se détruit promptement : ce qui oblige à renouveler souvent cette forme, ou, comme on dit , à repiquer les meules pour qu’elles recommencent à ' bien moudre.

L’art est donc ici fort au-dessous de la natui^.

En partant de cette idée, M. Molard , membre de l’Institut, s’est occupé de former des machines à broker, dans lesquelles il a pris pour modèles les dents molaires des chevaux , et n’a plus eu besoin de repiquer ces parties molaires, pour empêcher le broiement de devenir imparfait.

L’industrie même est donc intéressée à ce que les anatomistes, les géomètres et les méchanicjens étudient de concert les dimensions , les courbures et les fonctions des diverses parties des animaux.

Quittons maintenant ces considérations générales sur l’importance des études de la courbure des surfaces, dans l’industrie et dans l’histoire naturelle , pour revenir aux caractères géométriques propres à donner avec simplicité les élépients et les variétés de ces courbures.

Pour les surfaccîs de la ' première classe , on peut toujours tracer une ellipse projetée parallèlement à son plan, fig. ao, en ABCD , laquelle ellipse représente, à partir d’un point P, la forme «l’une tranche de la surface, faite parallèlement au plan mn tangent à la surface en P, et trèsprès de MM ; PO étant la distance du point P au plan coupant MN , si l’on fait passer par le point P une suite de cercles ayant leurs centres sur la normale ou perpendiculaire PO , et par le ♦>" tour de l’ellipse, on aura tous les cercles oscu-

Digftized by Coool

QUINZIÈME I.EÇON. 38 1

lateurs des sections faites dans la surface, par les plans mêmes de ces cercles.

Le plus petit de ces cercles passera par les sommets B', D, du petit axe de l’ellipse; le plus gran*d passera par les sommets A, C, du grand axe de l’ellipse. La fig. 20 bis représente tous les cercles rabattus sur un même plan qui passe par la normale POp , de la lîg. 20.

Donc, dans les surfaces de la première classe, lesquelles ont toutes leurs courbures dans le même sens, la direction de plus grande courbure AB, est perpendiculaire à la direction de moindre courbure CD.'

Ainsi , pour toutes les surfaces dont les deux courbures sont dans le même sens, à partir de chaque point , la direction de plus grande courbure est perpendiculaire à la direction de moindre courbure.

Le contour de l’ellipse étant symétrique par rapport à ses deux axes, les cercles osculateurs qui passeront^ar le contour et par la perpendiculaire ou normale POp, seront de même symétriques par rapport aux axes AC, BD, c’est-àdire , par rapport aux deux directions de plus grande et de moindre courbure.

Ainsi, les courbures intermédiaires des sections perpendiculaires à la surface, courbures qui vont, par une dégradation continue, depuis la moindre 'jusqu’à la plus grande, sont disposées

GEOMETRI E.

symétriquement par rapport à la direction de la plus grande et de la moindre courbure, à partir de chaque point de la surface.

Pour les surfaces de la troisième classe, un plan qui les coupe inliniment près du plan'tangent , donne une section dont la forme est celle de riiyperbole. La direction des axes de cette hyperbole donne la direction des deux axes de plus grande et de moindre courbure. Les courbures intermédiaires sont disposées symétriquement par rapport à la direction de ces axes. On représente, lig. ai , les sections faites dans une gorge de poulie, dont les deux courbures sont dirigées en sens contraires par deux plans trèsvoisins du plan MN , tangent en P à cette gorge ; ces sections ont la forme de deux hyperboles indicatrices. 11 sera bon qu’on ait cette ligure en relief.

Les surfaces de la deuxième classe peuvent être considérées comme la limite commune des deux autres classes. Ace titre, elles jouissent des propriétés communes aux autres surtaces : d’avoir leurs directions de plus grande et de moindre courbure perpendiculaires entr’elles , avec toutes les courbures intermédiaires disposées symétriquement par rapport aux courbures principales.

J’ai donné le nom ^indicatrices à ces courbes qui ont la propriété d’indiquer la nature et les rapports de la courbure des surfaces , et j’ai pre-

QUINZIÈME I,EÇON. 383

senté tous les moyens de s’en servir pour connaître les propriétés essentielles de la courbure des surfaces. Je ne puis que renvoyer aux recherches que j’ai données îi ce sujet dans mes Développements de géométrie, et aux applications que j’en ai îyiiies (^Applications de géométrie), à la stabilité des corps flottants, k la construction des vaisseaux , aux déblais et remblais dans les travaux publics, et finalement aux phénomènes il’optique produits par la réflexion de faisceaux lumineux , sur des miroirs courbes quelconques.

Supposons maintenant , qu’en partant d’un premier point d’une surface , on s’avance toujours suivant la direction de la plus grande courfi^e; on va tracer une ligue. Toutes les lignes tracées ainsi couvriront en entier la surface : elles formeront le système des lignes de plus grande courbure.

Au contraire, si , partant d’un point donné de la surface, on s’avance en suivant partout la direction des moindres courbures, on va tracer une nouvelle ligne; toutes les lignes ainsi tracées vont encore couvrir en entier la surface. Elles formeront le système des lignes de moindre courbure.

Enfin , partout , les lignes de plus grande courbure seront perpendiculaires aux lignes de moindre courbure.

Les lignes de courbure jouissent d’une pro-

r. ÉOMÉTRIE.

priété bien précieuse pour les arts ; je me borne à vous l’indiquer sans démonstration. Si, par chaque point d’une même ligne de courbure, on mène une perpendiculaire à la surface, toutes CCS perpendiculaires vont former une surface qui sera nécessairement développable {i).

Dans le cylindre, lig. aa, les lignes de moindre courbure sont les arêtes rectilignes pour lesquelles la courbure est zéro. Les lignes de plus grande courbure sont les sections laites dans des plans perpendiculaires à l’axe, et le contour de ces sections est évidemment perpendiculaire à chaque arête. Donc , dans le cylindre, les lignes de plus gracie et de moindre courbure sont à angle droit. •

Dans le cône, lig. a3, où les arêtes sont de même les lignes de moindre courbure, on trouve ainsi les lignes de plus grande courbure : on place la pointe d’un compas au sommet du cône , puis on trace avec l’autre pointe, des courbes diverses pour chaque ouverture de compas, mais toutes perpendiculaires aux arêtes; car, en développant le cône, ces courbes deviendront des cercles dont les arêtes seront les rayons.

Dans les surfaces de révolution, les méridiens

(i) On trouve la démonstration de ee principe et celle de toutes les propriétés relatives à la courbure des lignes et des surfaces, dans mes Développements de Géométrie.

yUINZ,IÈME LEÇON. 385

sont les lignes d’une courbure , et les parallèles celles de l’autre courbure, et nous savons que les méridiens sont partout perpendiculaires aux parallèles.

Le célèbre Monge a fait, des propriétés que nous venons d’énumérer, une très-belle application à la coupe des pierres.

Lorsqu’on doit exécuter des voûtes ayant la forme de surfaces courbes , on divise ces voûtes en compartiments assez petits pour que chacun puisse être tiré d’une seule pierre.

Après avoir travaillé la partie de la pierre qui doit représenter le compartiment , et lui avoir donné la figure qui convient à la surface de la voûte ( intrados), on travaille les faces appelées joints, suivant lesquelles les différentes pierres , nommées voussoirs doivent porter les unes contre les autres. Pour satisfaire le mieux possible à toutes les conditions, on demande ; i”. que les faces de joints aient la forme la plus simple çt la plus exactement exécutable; 2“. que l’assemblage ait la plus grande solidité. Cette dernière condition exige que les faces de joint soient partout perpendiculaires à la voûte; il est facile de voir., de quelle manière. Si,, pour un voussoir, la face ' de joiut faisait un angle obtus avec la voûte , le voussoir adjacent ferait avec cette voûte un angle i l’effet de la pression , le voussoir terminé par une arête obtuse, écraserait le voussoir T. I, — Géom. * 4g

terminé par une arête aiguë ou le ferait éclater, au moindre effet produit par le tassement et la pression. La condition de la simplicité, de la facilité, demandera de faire les joints ou plans, ou du moins développables. Lorsqu'on adoptera cette forme , on pourra toujours tailler eu papier, en carton, en toute autre substance llexible , une feuille plane ayant le contour précis qui convient au joint; il suUira de la ployer convenablement,

’ pour voir si elle s’ajuste partout sur le joint qu’on rendra perpendiculaire à la voûte , au moyen de l’équerre.

4 Or , les conditions qui viennent d’être énumérées exigeant qu’on trouve des surfaces'développables partout perpendiculaires à la voûte, et . perpendiculaires entr’elles, exigent aussi qu’on choisisse pour lignes de joints, sur la surface de la voûte, les lignes de courbure de cette surface.

Ainsi, quand on construit des surfaces cylindriques, fig.' 24 » 0“ choisit pour joints : dans une. première direction , des arêtes parallèles également espacées; ce sont les lignes de moindre courbure ; dans une seconde direction , des cour- •’bes perpendiculaires à ces arêtes; cc sont les lignes de plus grande courbure. Les surfaces dè ' joint formées par les normales de la surface, suivant ces arêtes et ces courbes, sont des plans qui se coupent à angle droit. Le travail do tailleur de pierre devient alors aussi simple que possibl^

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