T. I. — GÉO.U

, cercle par un autre : soit en vertu du simple frot* tement des circonférences, soit en les hérissant de dents d’égale grosseur et placées à même distance. Il faut seulement observer qu’alors, si l’un des cercles tourne de gauche à droite, l’autre tourne de droite à gauche : ils se meuvent en sens contraires. On a représenté par des flèches cette opposition de mouvements, dans la ' figure 7. \

- Si l’on avait trois cercles en contact, A, B, G, fig. 7, de manière que lejpremier fit tourner le second, et le second le > troisième ; le deuxième tournant en sens contraire du premier , et le troi- " sième en sens contraire du second, le troisième

et le premier tourneraient par conséquent dans le même sens. Donc il faut trois cercles en contact pourfaipe passer, dans le même sens , un mouvement circulaire d'un centre à un autre.

Des courroies enveloppes des cercles. Quand on veut transmettre un mouvement circulaire, à • ’ une distance assez considérable, au lieu d’em-

ployer de trop grands cercles ou de les trop multiplier, on en prend deux qu’on entoure d’une lanière. Ce qu’on peut opérer : i“. san.sc roiser • ' les lanières, comme dans la figure 8; q“. en les ‘ ^ croisant, comme dans la figure g. Ces lanières , sont tendues de manière que les parties mn, pq,

qui ne sont pas en contact avec les deux cercles, soient en ligne droite. On peut faire tourner cha-

•Jf

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cun de ces deux cercles', sans que la lonprueur ni la direction des parties circulaires p\.m et q^n chana;ent, non plus que la longueur et la direction des parties «Imites mn , pqi Donc si, dans le premier moment, l’adhérence «le la courroie sur les circonférences est assez grande pour qu’en faisant tourner un cercle, l.l courroie suive le même mouvement et le transmette h l’autre cercle , ce mouvement se transmettra sans difficulté et toujours de la même manière, à mesure qu’on fera tourner le premier cercle.

Si , par l’usage , ou par feffet des variations de chaleur et d’humidité de l’atmosphère , la courroie venait à s’allonger, il faudrait employer un troisième cercle D, figure lo, qui, brisant une partie rectiligne pq , la mettrait dans une position pr, rq , où elle serait encore tendue malgré son allongement. 11 suffirait pour cela que la différence de longueur entre la droite pq et la partie coudée prq fût égale à l’allongement de la courroie. On fait un fréquent usage de ce moyen dans la construction des machines.

Une différence qu’il faut bien remarquer entre les deux genres de courroies croisées ou non croisées , en passant d’un cercle à l’autre , c’est qu’avec «les courroies croisées, figure 9, les deux celles tournent en sens contraires ; tandis qu’avec des courroies non croisées, fig. 8 et lo, ils tournent dans le même sens.

6o ' GÉOMÉTRIE.

Dans la suite de ces leçons, on verra beaucoup d'autres applications du mouvement des lignes droites et des cercles, combinés pour satisfaire aux besoins des arts.

Du mouvement d’un cercle dans un autre.

Si dans une surface plane on découpe un cercle , on aura, pour la partie découpée, une circonférence eri relief, et sur le reste du plan, une circonférence en creux. Faisons tourner autour de son centre le cercle découpé ; tous les points de sa circonférence restant toujours à la même distance du centre , seront toujours en contact avec quelque point de la circonférence en creux taillée dans le plan. Donc la circonférence en relief, lorsqu’elle tournera , ne cessera pas de toucher , en tous ses points , la circonférence en creux.

Le cercle est la seule figure qui jouisse de • cette propriété. En effet, pour toute autre figure qu’on ferait tourner autour d’un point, il y aurait des parties du contour de la figure plus ou moins éloignées de ce point, et ces parties tantôt sortiraient du contour taillé eu creux sur le plan, et tantôt, n’atteignant pas jusqu’à ce contour, laisseraient un vide entre elles et lui.

I^outes les fois qu’il est nécessaire de fermer exactement un espace sur un plan, .tandis que certaine partie de ce plan doit tourner sur ellemême, il faut par conséquent donner à cette

TROISIÈME LEÇON^ ^ 6l

partie la figure d’un cercle. Telle est la raison pour laquelle on donne une figure circulaire aux bouchons des robinets , des bouteilles , des flacons , etc. ‘

Application aux boites à vapeur. Dans la construction des machines à vapeur , on fait un usage ingénieux de cette propriété qu’a le cercle , de tourner sur lui-même , sans qu’aucun point de son contour cesse de toucher une circonférence creuse qui l’emboîte. Nous expliquef;qns cet usage en décrivant les boîtes circulaires à vapeur.

Division du cercle et son application à la mesure des angles. Avant d’expliquer cette division , faisons connaître un principe essentiel.

Si deux arcs d’un cercle AMB , DNE , fig. 1 1 , sont égaux entr’eux , les cordes AB, DE , qui appartiennent à ces arcs , sont égales entre elles (i). ^ .

Réciproquement, les cordes AB, DE, fig. 1 1 , étant égales , si l’on pose la deuxième corde sur la première, les deux arcs AJVIB,DNE se con-fondront dans toute leur étendue ^ et seront égaux. Donc, si l’on parvient à tracer dàfis' un

(i) Pour le démontrer, posons Tare DWE sar AMB, et lé point^ D sur le point A. Alors les deux arcs, gardant le même centre , s'appliqueront exactement l'un sur l'autre : donc le point E tombera sur Je point B. Donc la ligne droite ou corde DE se confondra avec la corde AB.

6a GÉOMÉtRIE.

cercle , fig. i a , une suite de cordes ,AB , BG , CD, DE.... toutes égales entr’eHes , les arcs correspondants seront pareillement égaux entr’eux ; par conséquent on aura divisé la circonférence du cercle en autant de parties égales qû’on aura tracé de cordes.

Moyens les plus simples pour diviser le cercle ;

i“. En deux parties égalds : il sufiit de mener par le centre un diamètre AB, fig. i 3.

a*. En trois parties égales : il faut le diviser en six , fig. i5 , et prendre les divisions de deux en deux. r

3“ . En quatre parties égales : il suffît de me- • ner un second diamètre DE, fig. i3 , perpendiculaire au premier AB (i).

4“. cinq parties égales, fig. li. On commencera par diviser la circonférence en dix parties égaies , qu’on prendra ensuite de deux en , deux (a).

(i) Cette operation peut se faire immédiatement * en prenant une ouverture de compas plus grande que le rayon, et décrivant , avec cette ouverture comme rayon, du point A comme centre, les deux arcs mFn , pdq ; du point B comme centre , les arcs ^ rFr , «Gu la ligne droite FDCEG est la perpendiculaire cherchée.

Pour diviser le cercle en dix parties égales, on partagera le rayon en deux parties AM , MC , telles que la grande MC contienne autant de fois la petite AM. que le rayon même contient de fois la grande. La grande partie MC sera la corde qui, portée rfix fois de suite sur la circonférence, en fera complètement le tour. La démonstration de cette.méthode et celle de la division du cercle en six parties égales , reposent sur les propriétés des triangles.

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5“. En parties égales, fig. ib : il faut prendre pour corde le rayon même du cercle.

La perpendiculaire menée par le milieu de cliaque'corde divisant en deux parties .égales l’arc quelle supporte , donne le moyen de partager la circonférence du cercle en huit parties égales, fig, 1 3 , si l’on part de la division en quatre parties égales; de la partager en douze , fig, i5, si l’on part de la division en six parties égales , etc.

Le quinzième de la circonférence, égale le sixième moins le dixième.

Ces opérations bien simples Aant de nature à se présenter sans cesse dans le tracé des machines et des produits d’industrie, il est essentiel que les artistes se les rendent familières.

Après avoir indiqué les méthodes rigoureuses que la géométrie fournit, offrons une méthode approchée qui pourra servir en beaucoup de cas. Le rayon d’un cercle étant égal à loooo , voici quelle est , en négligeant les fractions d’unité ,

la longueur de la corde qui supporte une de la circonférence égale

portion

A la demi-cii'coafér.

Au huitième. . .

Au tiers

Ali neuvième. . .

Au quart

Au dixième. . .

Au cinquième. . . .

Au onzième. . .

Au sixième

Au septième

lOOOO

Au douzième. . .

Ce petit tableau rendra très-facile à trouver l’ouverture de compas nécessaire pour divis<;r le