CHAPITRE II

qu'un cône est représenté en perspective par deux courbes semblables et semblablement placées , l'une trace et l'autre limite , et par le système des deux tangentes communes à ces courbes tangentes , qui forment à elles deux le contour apparent de la surface, donnent son som*> met par leur commune intersection , et séparent la partie de la surface qui est vue de celle qui est cachée.

Quand les tangentes contour apparent ont leur point de rencontre ^itre les deux courbes trace et limite, le sommet est en perspective réelle , il est en perspective imaginaire quand ces mêmes tangentes se coupent extérieurement. Quand les deux courbes se touchent exté-' rieurement , l'œil est sur la surface qui a son sommet en perspective réelle.

Un cône est suffisamment déterminé quand on a son sommet, sa trace et un point de sa limite , ou sa limite ^ son sommet et un point de sa trace ; puisque nous avons fait remarquer que ces deux courbes sont semblables et semblablement placées, et que la droite qui joint leur centre passe par le sommet : il est également déterminé quand <hi a sa trace et sa limite; car la perspective du sommet, étant le point d*où l'on peut mener deux tangentes communes à ces deux courbes , on sait qu'il n'y a que deux points qui jouissent de cette propriété.

En se donnant la projection d'un point A , sur la surfisice d'un cône PMN,PTVI'N' (fig. 19), ce point correspondra généralement à deux génératrices, intersection de la sur&ce par un plan passant par le sommet et la ligne projetante du point donné. On obtiendra la perspective de ces génératrices, qui ont même plan projetant, en joignant le point donné au sommet O, et prolongeant la ligne ainsi obtenue jusqu'à la rencontre de la trace et de la limite de la surface ; elle coupera ces deux courbes en quatre points , dont deux traces et deux limites, qui déterminent les génératrices cherchées (i).

(1) Ces qpatre points différeniment combinés donnent encore deux autres droites, qui ne passent pas* par le sommet, et qui, par conséquent, n'appartiennent point au cône; elles dépendent d'une surfiace cono'ide qui aurait pour base sur le tableau la base même ^u cône qui aurait même limite , et dont les génératrices s'appuieiaient sur la droite qui joint le sommet du cône à Fcetl. La perspective du contour apparent de ce conolde se confond avec celle du contour apparent du cône.

3o GÉOMÉTRIE PERSPECTIVE.

Ua fian tangent au cône suivant une génératrice pas^e toujourii par le soniBMt ; sa trace est tangimte à la trace du c&oe, €4 sa limite l'est également à la limite de cette sur&ce, à chacun des points où ces courbes sont rencontrées par la génératrice de contaeC Le plan RY ,BS est tangent au cône suivant la génératrice R3«

Si y par un point extérieur, on demandait de mener un plan tangent au cône , on chercherait la droite qui joint ce point au aonMiet; par la trace de cette droite , on mènerait- deux tangentes à la courbe traœ an cône, et ces tangentes seraient les traces des deux plans cherchés. Peut trouver leurs limites, il n'y aurait qu'à miener à la oourbe limite du cône deux tangaites parallèles à diacune de ces traces; ces limites doivent venir passer par la limite de la droite qui joint le point donné au sommet du ome, cette droite étant, par oonstroctiiQn f l'intersection commune des deux plans tangens cherchés.

Qnand un cône est coupé par un plan «, sk pi^it arriver trois cas» : ou la ligne limite du plan coupe la courbe limite du cone^ ou elle lui est tang^ite , ou elle lui est extérieure Dans le premier caSt ^ cône adeux génératrices parallèles au plan coupant ; elle^ ont leurs liantes aux points d'intersection de la limite du plan et de celle du cône : l'intersec^ tion cherchée est alors une hyperbole. Dans le second , il n'y a qu'une seule génératrice qui soit parallèle au plajBt coupant, celle qui a sa limite au point de tangence : l'intersection est -une parabole. Dam le troisième ,. enfin , le plan renccmtre toutes les génératrices » et la courbe est ime. dlipse* Quand, daos les deux premières suppositions, le plan passe en outre par le sommet , l'hyperbole se réduit k deux droites , et la parabole à une seule y suivant laquelle le jrfan est tangent au cône , et,cow0ie noeiis l'avons déjà vu, dan^ ce cas > la trace du plan est aussi tangente à la trace de la surface*

La figure 19 donne Fépure de. Fintersectipn du cône PMN,P'M^' avec le plan yi,TL, dont la limite est sécante de celle du cône. Nous avons fait passer une suite de plans par la ligne qui joint le centre de la base au centre de la limite , ligne qui passe par le sommet Ces plans ont donné chacun deux génératrices dans la surface , et une ligne sur le plan coupant. La rencontre de ces trois lignes a fourni , pour chaque plan , deux points de. la courbe : l'épure ne donne qu'un seul de ces plans coupans, savoir, celui qui passe par la. génératrice &,B $ nous