CHAPITRE IL
De la représentation perspective des surfaces.
Lorsqu'un corps est mis en perspective, la réunion des points qui composent son image occupe un certain espace sur le tableau ; cet espace est limité par des lignes courbes ou droites : l'ensemble de ces lignes , quels que soient leur nombre et leur nature , est là perspective du contour apparent de ce corps ; c'est la trace d'un cône ayant son sommet à l'oeil , engendré par un plan qui tournerait autour du corps sans cesser de lui être tangent. La ligne de tangence , qui peut être continue ou brisée , et qui peut avoir plusieurs branches , reçoit le nom de contour apparent , parce qu'elle sépare la partie vue du corps de celle qui ne l'est pas. Par cette seule propriété , on voit que , dans un système dont les épures sont destinées à faire image, le contour apparent est un élément indispensable de description.
Ce que nous venons de dire d'un corps s'applique également aux surfaces ; mais un même contour apparent pouvant appartenir à une infinité de surfaces , ne peut suffire à leur description.
En traitant des surfaces du second ordre , nous allons indiquer les inoyens que Ton peut employer pour compléter la description de chacune d'elles ; moyens que l'on pourra successivement étendre à d'autres surfaces, en les modifiant suivant leurs propriétés et leur génération particulières.
Des surfaces du second ordre.
LeB surfaces du second ordre se divisent en deux classes : la pre* mière comprend celles qui peuvent être engendrées par le mouvement d'une droite , et que nous appellerons, pour ce motif, réglées ; la seconde est composée de celles qui ne jouissent pas de cette propriété, et que nous appellerons non réglées , par opposition aiuc premières.
Les surfaces réglée3 auront nécessairement une courbe trace et une courbe limite; chacune de ces courbes comprendra. Tune le lieu des
i6 GÉOMÉTRIE PERSPECTIVE.
traces , et l'autre , le lieu des limites de toutes les droites génératrices de la surface que Ton considère. La perspective du contour apparent de ces surfaces sera la courbe en veloppe , déterminée par la projection successive des génératrices. Nous verrons que ces trois courbes, la trace, la limite et le contour apparent, sont plus que sufiEisantes pour déterminer entièrement une de ces surfaces» Quand ces trois courbes seront données, pour trouver une génératrice de la surface à laquelle elles appartiennent , il suffira de mener une tangente à la courbe contour apparent , et la trace et la limite de cette génératrice seront données par la rencontre de cette tangente avec les courbes traces et limites. Puisqu'on peut , ayant les trqis courbes projectives d'une sur&ce réglée , trouver autant de génératrices qu'on désire , rien ne reste indéterminé , que les grandeurs qui dépendent de la position de l'œil. Noua remarquerons que la limite ,. pouvant être considérée comme l'intersection de la surface pajç un plan parallèle au tableau, situé à l'inûni, est nécessairement une courbe semblable à la trace , et semblablement placée.
Les sur&ces non réglées, du second ordre, ne sont pas aussi simples à représenter, ou du moins ne peuvent pas l'être par les mêmes données ; car l'ellipsoïde ne peut, en aucun cas, avoir de limite : il faudra donc, pour décrire cette classe de sur£ices, employer d'autres considérations. Ces surlaces ont toutes un centre, qui se trouve sur la ligne qui joint l'œil au centre de leur contour apparent ; point dont la perspective se confond par conséquent avec celle du centre de la surface. Il suit 4^ U que la perspective de toute droite passant par le centre de la surface > passe par le centre du contour apparent.
En se donnant, à volonté,, une ligne passant par le centre de la surface, ce centre sera connu, et par conséquent la surface sera déterminée. Ce sera une ellipsoïde quand le centre sera , par rapport à l'œil , à une distance finie dans la partie de l'espace postérieure au plan du contour apparent; un paraboloïde eHiptiqiM, lorsque- ce centre sera à l'infini ( sur la limite de la droite qui sert à le déterminer ) ; enfin', un hyperboloïde j^ deux? nappes, loi^s<pi'il sera dans la partiedeTespace antérieure an plan du contour apparent (a). '
Pour phis de simplicité, quand il s'agira des surfaces non réglées,
(a) Toutes ces suppositions se rapportent à un contour apparent elliptique.
' 11 fui — ii^ ig^Mi^
CHAPniΠIL 37
nous prendrons , pour plan du tableau, celui du contour apparent hù^ même, et pour la ligne qui doit déterminer le centre , une droite ayant sa trace sur cette courbe. En supposant que cette ligne se meut sans quitter le centre et la courbe, elle décrira un cône diamétral»
Si , au lieu d'être supposé sur le plan du tableau , le contour appoh rent était donné sur un plan connu de position ,. la per^ctive do centre de la surface serait alors , au pôle de la projection du conteur apparent» la limite de son plan prise comme polaire»
SURFACES HiGU^ DU SEGOifi> ^an&s.
Du ceindre.
Le cylindre» étant une surface réglée^ sera déterminé par sa trace 9 sa limite et son contour apparent. Sa trace sera ime courbe quelconque du second d^é ; sa limite , un point f pois^M^ toutes ses génératrices sont parallèles ; et son contour apparent ^ k trace des deux plans tangens qu'cm peut lui mener par Fosil» c^estwàdire les deux tangentes qu'on peut mener par son point Kmite à sa courbe trace^ La Umite et k trace d'un odindre suffisent donc à sa détermination.
Quand on se donne un peint en perspective , sur m> cyliadvé, tel que le point A sur le cylindre PMN^ (fig. i8 )» ce point peut s^partenir à deux génératrices , l'u^e ¥U6, et l'autre cachée,, et par conséquent il correspond à deux points sur la surfisice. On a la perspective des deux génératrices , en joignant le point donné à la limite O du cylindre. Les traces de ces deux génératrices , qui ont même limite et même plan projetant^ sont données par la rencontre' de AO avec la courbe trace du cylindre.
Pour qu'un plan soit tangent k^ un i^Undre suivant une génératrice ,. il £uit que sa limite passe par celle de larsur&co, et que sa trace 9oit tangente k la trace du cylindre , au point où là génératrice de contact vient couper cette trace. Le plan BG,LO est tangent au cylindre suivant la génératrice B, O.
La trace et la limite des deux plans tangens , passant par YœH, se confondent, et donnent pour contour apparent les génératrices uni^ ques £,0 et F.O, qui séparent la partie vue de la partie cachée da
a8 GÉOMÉTRIE PERSBECTIVE.
cylindre. Tout autre plan passant par Tœil coupant le cylindre , et passant par sa limite, donnerait deux génératrices, l'une vue, et l'autre cachée.
Si , par un point extérieur au cylindre , on veut lui mener un plan tangent , il suffira de mener par ce point une parallèle aux génératrices, et, par la trace de cette parallèle, de mener deux tangentes à la trace du cylindre : ce seront les traces des deux plans cherchés ; et , comme on connaît de plus un point de leurs limites , ces plans sont en* tièrement déterminés. Chacun des points de tangence de leurs traces détermine une des génératrices de contact.
Nous avons donné (fig. i8) l'épure de l'intersection du cylindre PMN, O et du plan CD, RS : une suite de plajis parallèles au cylindre, et ayant LO pour limite, coupent chacun cette surface suivant deux gênératrices , et rencontrent le plan sécant suivant une ligne dont l'intersection avec les deux génératrices donne deux points de la courbe. Ia tangente C8 à cette courbe est l'intersection du plan sécant avec le plan tangent au cylindre suivant la génératrice B,0, qui contient le point de tangence^ ^
A mesure que l'œil changera de place devant cette épure , elle représentera l'intersection d'un plan et d'un cylindre différens ; mais le plan de toutes les courbes d'intersection sera toujours assujetti à avoir pour trace sur le tableau la ligne CD. Cette ligne est appelée, en Géométrie plane, sécante imaginaire de la courbe et du cercle trace du cylindre.
Du cône.
Un cône étant une surface réglée du deuxième ordre , sera déter^ miné par sa trace , sa limite et son contour apparent.
Sa trace , comme celle du cylindre , est une courbe quelconque du second degré ; sa limite , étant le lieu des limites de ses génératrices , est évidemment la trace d'un cône semblable ayant son sommet à l'œil ; ces deux courbes seront, comme nous l'avons déjà observé, semblables et semblablement placées ; son contour appiarent sera l'ensemble des deux droites, tangentes à la fois à sa courbe trace et à sa courbe limite ; ca^ il est évident qu'un plan tangent au cône , et passant par l'œil , çst tangent au cône parallèle qui a l'œil pour sommet. Il suit de Ui
