CHAPITRE II. 3i

avons mené la tangente à la courbe de section , par la même considération que nous avons employée dans Fépure analogue du cylindre. La tangente VA au point A est la commune intersectiot^ du plan sécant VI,TL et du plan tangent VR^BS suivant la génératrice R,B.

De Vhyperboloîde à une nappe.

L'hyperboloîde étant une snr&ce réglée du second degré, sera déter* miné par sa trace, sa limite et son contour apparent Les relations qui lient ces courbes ne permettent pas de les choisir toutes trois à volonté. Ainsi , ayant la limite et la trace , si Ton se donne encore une généra* trice , c'est-4-dire une tangente au contour i^parent qui rencontre la trace et la Hmite, la sur&ce est déterminée; car, en faisant passer par cette génératrice une succession de plans quelconques, ces plans, par leur intersection avec la trace et la limite de la sur&ce , donnent cha*» cun une génératrice nouvelle ; et , quand on aura ainsi cinq de ees gé<^ néaratrices , la surfece sera entièrement déterminée , puisque le contour apparent s'ensuivra.

Trois droites déterminant on hyperboloide , il en résulte que , con* naissant trois tangentes au contour apparent, et les trois points de chacune des courbes traces et limites que contiennent ces tangentes , on peut également tracer ces trois courbes projectives.

Sans indiquer d^autres dépendances, qui se réduisent toutes aux neuf conditions nécessaires pour particulariser une surface du second oordre, nous allons décrire Thyperbololde par lés deux mojrenë de description que nous venons d'indiquer.

La courbe trace, la courbe limite et une génératrice de Vhyperboloîde

étant données y décrire cette surface.

Soient (fig. a i ) PNM,P^'M' la trace et la limite données, et soit A,B la génératrice connue; menons, par cette droite, un plan AC,BD tel, que sa limite soit tangente à la limite de la surface. Dès lors ce plan qui touche la surface à l'infini contient deux génétratrices parallèles , et par conséquent passe par le sommet du cône asymptote auquel il est tangent. LesoBDDet de ce cône est le centre 4e rh3^rbotoide, et

3a GÉOMÉTRIE PERSPECTIVE.

1^ deux surfaces ont même limite , comme composées de génératrices parallèles. La trace du cône asymptote doit être tangente à la trace du plan AC9BD9 et être unç courbe semblable et concentrique à PMN* Ce cône ainsi décrit, tout nouveau plan tangent qu'on lui mènera déterminera , par son intersection avec la trace et la limite de Thyperboloïde , deux génératrices parallèles , chacune d*un système de gêné* ration différent; et puisque nous pourrions construire, par ce moyen, un nombre quelconque de génératrices, il s'ensuit que nous obtiendrons sans peine la trpisiènie pourbe qui doit déterminer entièrement la surface.

La discussion de l'interseqtion d'un plan et d'un hyperboloîde se ra* mène à celle de l'intersection d'un cône et d'un plan ; car, en considé-

rant la section du cône asymptote par le plan donné, il est facile d'en conclure la section de la surface , qui est toujours une courbe de même nature que celle obtenue sur le qône. Dans le cas où le plan sécant est tangent au cône asymptote, l'hyperboloïde est coupé suivant deux droites parallèles à la génératrice de contact sur le cône , et cette dernière divise en deux parties égales l'espace compris entre les deux autres.

La figure a i contient l'épure de l'intersection de la surface ainsi déterminée avec le plan FG,1H. Cette intersection est le lieu des points de rencontre des génératrices avec le plan sécant. Si l'on y traçait aussi l'intersection du même plan avec le cône asymptote, les deux courbes, devant avoir même centre , leurs perspectives auront même pôle par rapport k la limite du pl^n sécant; donc , si, par le procédé connu, on mène une tangente à un des points de la courbe intersection du plan et du cône , et qu'on joigne le point de tangence au pôle commun des deux courbes, la ligne prolongée déterminera sur l'avrtre courbe un point , dont la tangente ira rencontrer la première sur la limite du plan sécant ; et cette propriété suffira pour la construire.

Trois droites étant données , trouver la trace , la limite et le contour apparent de Vhyperboloide qu* elles déterminent.

Solution. Pour résoudre ce problème , il suffira de construire cinq génératrices , puisque l'ensemble de ces cinq génératrices fournira cinq