CHAPITRE IL

points de chacune de8^ deux courbes trace et limite de la surface , et cinq tangentes au contour apparent.

Soient donc (fig. aa) A , B la i" droite, C, D la a-, E, F la 3-;. par la a** et la 3*% fidsons passer deux plans parallèles à la i**; les traces de ces deux plans sont HC et EK. Par la i**, Êdsons passer un plan quelconque IM,BS;^ il coupera chacun de ces deux plans suivant des parallèles à !*•. Ces parallèles couperont a** et 3*' aux points P et Q. La droite qui passe par ces deux points est dans le même plan IM^ que i™, et rencontre a** et 3"^ par construction ; elle appartient donc au système de génération de la succession des droites qui s'appuient sur les trois directrices données. Puisqu'elle est dans le plan IM, BS, sa trace est en R , et sa limite en S. Toutes les autresr génératrices de la surface peuvent se construire par le même procédé, et Ton voit comment chacune d'elles concourt à former les trois courbes projectives de l'hyperboloide. Dans ce cas, le contour apparent est une ellipse, et la sur&ce est vue intérieurement ^ elle l'était extérieurement dans la figure précédente.

ai*" PROBLEME.

Troui^er (ûg. aa) le centre de la surface déterminée par les trois

directrices A,B, C,D, E^F.

Solution. Un plan tangent au cône asymptote coupe la sur&ce suivant deux génératrices parallèles: nous n'aurons donc, pour résoudre le problème proposé, qu'à chercher les trois génératrices parallèles aux trois directrices. Chacutf des plans déterminés par un de ces couples de génératrices pai:allèles passe par le centre cherché , puisqu'il passe par le sommet du cône asymptote.

Dans le problème précédent , nous avons &it passer par a^ et 3^ un plan parallèle à i**. L'intersection T, B de ces deux plans est une des droites cherchées; en effet, elle est parallèle à i" par construction , et elle rencontre a"* et 3"*, comme située dans un même plan que diacune d'elles. Faisant donc passer un plan par T, B et par i'*, ce plan , dont TA est la trace , contiendra le centre de la surface. Opérant de même pour chacune des deux autres directrices, rintersection 4^8 trois plans ainsi obtenus sera le centre demandé.

Si Ton donne la projection d'un p<Hnt sur un hyperboloîde , et qu^on demande de déterminer ce point, ce. problème , cconme tous ceux du même* genre dont nous nous sommes déjà occupés, revient & chercher l'intersection de la sur&ce arec unç droite passant par Tceil ; et il suffit , pour le résoudre, de trouver les génératrices qui contiennent le point donné , c'est-à-dire de mener par ce point deux tapgentes au contour apparenL En effet chacune de ces tangentes peut être considérée comme la trace d'un plan passant par l'œil et tangent à la sur£ftce. Ces plans ooa* tiendront chacun deux génératrices , dont les traces et les limites se^ ront données par les intersections de la ligne projective de dbacun des plans , avec la trace et la limite de la surface ; on déterminera ainsi quatre génératrices, deux de chaque' système de génération: les côu*^ pies de ^stème différent contiendront les deux points cherchés.

Pour mener un plan tangent à la l'hyperboloîde , par une de ses gêné*, ratrices, on fera passer par cette droite un plan quelconque, et l'on aura le point de tangence en construisant , comme nous levons déjà fait au sio"* problème pour le plan IM,BS], la seconde génératrice sui^ vaut laquelle ce plan coupe la surface. Le point de contact du .plan avec la surface est donné par l'intersection des deux génératrices.

Si l'on demandait le plan tangent à un point donné , il serait déterminé par les deux génératrices passant par ce point.

Enfin , le plan tangent à l'hyperboloîde, par une droite, se réduit à trouver l'intersection de k^ droite et de la sur&ce , et à faire passer un plati^jir^ là droite donnée et par chacune des deux génératrices qui contiennent le point d'intersection de la droite et de la surface. Chacun de ces plans , qui passe également par le second ^ptmt d'intersection de la drçÂte et de la surface , contient une des deux génératrices qui passent par ce second point, et il est tangent à la surfa.ce au point où les deux génératrices de système différent qu'il contient se rencontrent.

Jj'intersection d'une droite et de l'hyperboloîde^ s'obtient en faisant passer un plan par cette droite et construisant cinq points de Tintersection de ce plan et de la surface. Les points où la miroite donnée rencontre la courbe du second degré ^délterminée par ce^ cinq points, sopt évidemment ceux où la même droite pj^ce^là surface.

CHAFITBE n. 35

Du Paraboloîde.

Le paraboloîde n'est que le cas particulier de lliyperbploîde à base hyperbolique sur le tableau , dans lequel Fhyperbole limitée se réduit à deux droites , et par conséquent le cône asymptote à deux plans ayant pour trace les asymptotes de la courbe trace.

Le paraboloîde peut se présenter de trois manières en Perspective : ou ses deux droites limites forment un angle , c'est le cas que nous venons d'expliquer; ou elles sont parallèles, alors le tableau est parallèle à l'intersection commune des plan^ directeurs. Dans ce cas , sa trace est une parabole.

Enfin y une de ces parallèles peut passer à l'infini : c'est le cas- où le tableau est lui-même un des plans directeurs. {Voj. fig. a8.) Alors la limite et la trace se réduisent chacune à une Ugne droite /et la perspective du contour apparent est une parabole , puisque c'est une courbe dont ime des tangentes est passée à l'infini ; ce qui indique que le cône projetant de cette courbe a un de ses plans tangens , et par conséquent une de ses génératrices parallèle au plan du tableau.

Tous les problèmes que nou^ avons résolus pour l'hyperboloïde peuvent s'appliquer au paraboloîde , et se résolvent par les mêmes proc^ dés. En cherchant le centre de cette surface par la construction du ai^ problème, on voit que ce centre est situé à l'infini, sur la droite intersection des deux plans directeurs.

On sait qu'on engendre cette surface par le mouvement d'une droite qui s'appuie sur deux lignes directrices invariables, et se meut en restant toujours parallèle à un même plan.

Nous allons la décrire par cette propriété.

aa"* PROBLilME.

Ayant les deux directrices et le plan directeur et un paraboloîde y trouver

le contour apparent et la trace delà surface.

Solution. Soient (fig. a3) A, B et C, D les deux droites données, et EF le plan directeur;' par chacune ^es deux droites, on fera passer deux plans qui leur soient paraHèles. La limite BD de ces deux plans, combinée avec

la limite EF, donne les deux droites limites de la surface , puisqu'elles^ déterminent chacune un plan parallèle à un système de génération. Menons un plan quelconque IK, £F parallèle au plan directeur. Ce

plaii coupe les deux lignes A, B et C, D aux points M et N ; il coupe la droite C, D dans sa partie réelle , et la droite A, B^dans sa partie imaginaire. Faisons passer une ligne par ces deux points ; nous aurons une génératrice de la surface. Sa limite est 5ur £F en R, et sa trace sur IR en T. Nous trouverions, par un procédé analogue, autant de génératrices que nous pourrions le désirer, soit dans Tun, soit dans l'autre système; et il en résultera la figure a3, qui peut donner une idée suffisante de la surface dont nous nous occupons. Nous avons , dans la partie droite de la figure , tracé les deux systèmes de génération; la partie gaudie ne contient que celles des génératrices qui sont parallèles au plan EF.

La perspective du, contour apparent de cette surface est une ellipse. Pour fermer Tellipse, il' n'y aurait qu'à prolonger les génératrices au^ delà de leurs traces et de leurs limites*

Il pourrait paraître surprenant qu'une surÊice , qui ne peut être coupée par un plan suivant une courbe fermée, ait une ellipse pour perspective de son contour apparent; mais il n'est pas difficile de reconnaître que cette ellipse est la perspective d'une hyperbole^ située en même temps sur la surface et sur un plan qui aurait pour limite la ligne qui joint les points de tangence de cette ellipse avec les droites limites delà surface, et pour trace, celle qui joint les deux points de contact de cette même ellipse avecrl'byperbole trace du paraboloïde.

Cette épure, comme toutes celles que nous avons données dans ce second chapitre , est absolument indépendante de la position de l'oeil , et par conséquent c'est la perspective d'une infinité de paraboloïdes ayant même trace et même limite sur le tableau. Il su£Brait d'y placer rœil pour qu'elle n'appartînt plus qu'à une seule de ces surfaces ; elle fera donc image pour un nonabre infini de spectateurs diversement placés. Tous y verront un paraboloïde , mais tous im paraboloïde différent. S'il y avait une génératrice dont la trace et la limite se confondissent , chacun d'eux croirait que cette génératrice se dirige vers son œil. C'est par ime illusion semblable que , de quelqif^ manière qu'on regarde certains tableaux, on croit toujours être le ]>\xX v^rs lequel se dirige, soit une