CHAPITRE n

flèche y soit le regard du personnage qui y est peint, illiision qui a lieu quelque part que l'on toit' placé.

Si nous cherchons l'intersection d'un paraboloîde et d'un plan , par les mêmes considérations que nous avons employées pour llaypertK)* loide, nous reconnaîtrons qu'il n'existe, sur cette sur&ce, que deux sortes de courbes planes , savoir : une parabole, quand la limite du plan sécant passe par le point intersection des limites de la surface, et une hyperbole dans tous les autres cas. Un plan quelconque passant par une génératrice d'un système, contient nécessairement unegénératri^ de l'autre , excepté lorsque ce plan est parallèle à un des plans directeurs. Dans ce cas , la seconde génératrice de section passe à l'infini.

Toutes les surfaces réglées peuvent être inverties : il suffît pour cela d'invertir leurs génératrices.

Deux surfaces inverties ont entre elles les relations suivantes : leurs contours apparens ont même perspective; la trace de l'une se confond avec la limite de l'autre; une des branches de l'intersection commune des deux surCstces est donnée par la succession des pcnnts qui divisent en deux parties égales la portion réelle des perspectives de toutes les génératrices. Deux surfaces inverties se coupent donc toujours suivant une courbe plane» Le plan de cette courbe est parallèle au tableau , et situé du c6té opposé à l'œil à une distance égale à celle de l'œil au point de vue.

Des Surfaces non réglées du second degré.

Soit sur te tableau (fig. a4) la courbe AMN, contour apparent d'une surface non réglée du second degré ; le centre O de cette courbe est la perspective du centre de la surface dont elle est le contour apparent , - puisque la ligne qui joint le point O à l'œil est nécessairemêitt un diamètre. De la position de ce centre dépend la nature de la surface. Supposons , en effet , que ce centre projeté en O se trouve sur la partie réelle d'une ligne A, B : la surface sera un ellipsoïde; car toutes les sections diamétrales faites par cette ligne seront fermées. Si la limite de la- ligne est en O, la sur&ce sera un paraboknde elliptique, puisque les mêmes sections auront leur centre à l'infini ; enfin , si la limifte dE& la ligne est en B^, les courbes diamétrales, coupées par la ligne limite du plan qui les contient j. seront des hyperboles, et la sur£Eiee sera mi

38 GÉOMÉTRIE FBBSPECnVE.

hy^erboloide à éevtc ikappes ayMit fiour lîBÙte uAe oourbe s^blable à son contour apparent, semblablemetit placée, et qu'o» peutconsi* dérer oomme l'intersection de la surfsice par un plan parallèle au ta-* blmu passant parla limite B' de la droite qui contàeal le centre , c'est* à*dîre situé à l'infini.

Puisqu'il suffît, pour qu'une quelconque des surfaces dont nous nous occupons soit détenmnée , de oonnattre la position de son centre M sa courbe contour apparent ^ proposons-^nous de trouver une des eourbes diamétrales d'une quelconque de œs sur&ces..

a3"* PROBJLÈME.

Une surface non réglée étant donnée par son contait apparent "PMS (fig, a 5) et par la position de son centre sur une droite A, B , trouver lu courbe diamétrale qui serait donnée par un cylindre tangent ajroM sa limite c/i R.

Solution^ En menant du point R deux tangentes RA et RC au cout tour apparent , nous aurons les deux génératrices e:^€rémes du cylindre èherdié. Les points A et G où elles viennent dbacune rencontrer 1^ courbe PMN située sur le tableau , sont évidemment les traces de ces génératrices , et appartiennent à la courbe diamétrale cherchée : done la droite AC qui réunit ces points est la trace du plan de cette courbe* Si , par cette trace et par }e centre O situé sur la droite A , B , nous Ceûsons passer un plan , ce plan , dont la limite sera BS parallèle à AC , est entièrement connu ; il ne reste plus qu'à tracer la courbe qu'il dé* termine sur la surface. Nous avons ilenx des tangentes de cette courbe « savoir, les génératrices extrêmes du cylindre auquel elle appartient; deux de ses points , ceux où la trace AC de son plan rencontre le con» totsr apparent; la perspective de son centre O, qui se confond avec celui de la surface , puisque cette courbe est diamétrale ; enfin , la litnite BS du plan qui la contient. En observant que le centre d'une couH^eet la limite de son plan sont.pobdres l'un de l'autre, on pourra tracer par points la courbe cherduéer En effet, «i menant par O , pok de BS , une parallèle à cettfe ligne, et joignant le pc^at a, où cette pa* rallèie' rencontre la tangente RA, au point T, où la polaire rencontre l^tre tangente RC, on a une nouvelle tanjgente Ta à la courbe cber?