CHAPITRE n

àiée , et Fon sait GOONnent tracer une courbe éa ^euxieEUe degré quasd on a trois teuigentes à cette courbe, et. deux de leur» points^de contact.

Pour démontrer que Ta est tangente à la courbe cherchée , on n'a qu'à maarquer que les deux lignes C, T et a, Tsont parattèles dan» Pespace , connue ayant même limite, et que ces droites coupent la trans* verssde Oa, parall^e au tableau, en deux points égalenvrait dislans du centre O. Or, Tune de ces droites est tangente à la couiiie ; donc l'autre; doit l'être aussi ; car deux tangentes à une courbe du second degxé ,t quand elles sont parallèles , sont égal^n^it distantes de son centre. GO étant le demi-diamètre qu'elles soutendent , cette ligne prolongée viendra rencontrer aT au point de tangence. Ce point appartient ast cône diamétral qui a pour base sur kr tableau le contour apparent; oe cône coupe la sur£aice suivant deux courbes parallèles , et par C€msé'*' quent semblables : on n'a donc qu'à mener par le point de ,tacigeiiee de Ta une courbe concentrique et semblable au oontour apparent ,^ M sera la per^eôtive de la scHxmde intei^ction du <î6ne diamétval avec la surfiace^

En choisissant pour plan du tableau celui du contour apparent , ki surface s'est trouvée divisée en deux parties, l'une vue tout entlàpe en avant du tableau , et Tautre cachée derrière le tableau. Tout plan qui

rencontre cette surface dans- set partie vue, la coupera donc en avantde sa trace. Dans la coin*be diamétrale que nous venons de- construire ,. toute la partie CHH'A située en avant de 1^ trace de son plan est vuè-et toute l'autre partie est cachée. Il en serait de même de tout autre plan^ dont la trace couperait le contour apparent. Si la tracé du plan sécant était extérieu3re au contour apparent, ce plan couperfdt la surj^ce suî*; vant une courbe ou tout entière vue, ou tout entiète cachée.

Un point étant donné en perspectiife sur une surface non réglée du se-cond degré, déterminée par son contour apparent et son centre,, trouver une section diamétrale de la surface passant par le point donnée

Solution. Soît (fig. a5) PSOf le contour apparent, donné, soit A,B la ligne ipiijOOBtftsnt le centre ,> et scÂt V la perapecttre du pcânl dàn0é;.ik

4o GÉOMÉTRIE PEfiSPECTIVE.

est évident que deux points ont leur perspective oNnmune en Y. L'un de ces pcnnt» est situé sur la partie vue ^ et l'autre sur la partie cachée de la surface.

• Cherchons d'abord une courbe quelconque située sur la sur&ce, et qui contienne le point Y : soit la courbe donnée par l'intersection d'un plan dont la trace est DE. En donnant à ce plan la condition de passer pîar le point donné ^ sa courbe d'intersection avec la sur&ce est entièrement déterminée. fiUe doit, en effet , avoir mêmes tangentes que le contour apparent aux deux points E et D ou la trace de son plan rencontre cette courbe y et elle doit passer par le point donné. On sait que ces cinq conditions suffisent pour tracer une courbe du second degré. Gomme nous avons choisi pour trace du plan de la courbe cherchée une ligne passant par le centre du contour apparent, cette ligne, qui joint les points de contact de deux tangentes parallèles , est un diainètre de la courbe eherchée, et, dans ce cas particulier, son grand axe , puisqu'elle aboutit à deux tangentes qui lui sont perpendiculaires. Ayant le grand axe et un point Y d'une courbe , une construction très simple donne quatre autres points y et, par suite , ]^ courbe tout e|itière.

. Une courbe ainsi tracée sur la sur&ce n'est encore assujettie jcpi'à «voir lŒpour trace de son plan ; elle peut occuper deux positions distinctes autour de cette ligne. En effet, ^ partie vue peut être l'arc DYE^ et alors le reste de k courbe appartient à la partie cachée de la sur&ce ; ou bien, c'est l'arc DZE qui est sur la partie vue, et l'arc DYE qui se trouve sur la partie cachée. On voit que chacune de ces courbes passe par un des deux points de la surface qui ont même perspective en Y. Les perspectives de ces deux courbes se confondent; elles sont toutes deux sur un cône ayant son sommet à l'œil , et qui est tangent au cône projetant du contour apparent suivant les deux génératrices qui ont leurs perspectives en D et en E. L'intersection du premier de ces cônes avec la surface , qui doit être du quatrième degré, se réduit aux deux courbes planes que nous venons de considérer. Puisque nous avons la trace commune des plans, de ces courbes, il ne reste plus qu'à trouver leurs limites respectives nécessairement parallèles à DE. Pour œla, choisissons un-plan diamétral dont la courbe rencontre en quatre points la courbe DYEZ. Soit le plan diamétral dont la trace est ^ AÇ,