CHAPITRE IL 4i

"et doont nous décrirons la courbe par le procédé du à3** problème ; menant les deux sécantes HI et B!V communes à la courbe diamétrale et à la courbe DYEZ , qui viennent passer par le point K. intersection des traces des plans de ces courbes , chacune de ces sécantes sera la perspective de Tiùtersection du plan*diamétral avec un des deux plans de la courbe DVEZ. Ces intersections auront leurs limites sur la limite TS du plan diamétral ; et y comme elles appartiennent chacune à un des plans sécans , en faisant passer, par chaeune de ces limites, une parallèle à la trace commune DE de ces plans , ces parallèles seront les limites de ces deux plans. Les deux points projetés en Y, se trouvant ainsi sur deux plans connus , on pourra construire la ligne qui joint chacun de ces points au centre , également connu , de la surface ; et tout plan passant par une de ces lignes sera évidemment un plah diamétral satisfaisant aux conditions du problème.

aS"" PROBLÈME.

Un point étant donné en perspective sur une surface non réglée du second degré , trouç^er le plan tangent à ce point de la surface.

• ' . Nous savons que la même perspective correspond à deux points sur la surface : deux plans satisferont donc aux conditions de ce problème. Solution. Quand on mène deux tangentes au contour apparent d'une surface du second degré ( fig, a4 ) , ces deux tangentes CD et CE peuvent' être considérées comme les traces de deux plans passant par l'oeil , tangens à la surface^ et ayant par conséquent leurs points de tangence sur le contour apparent aux points D et E, où leurs traces touchent la courbe. Leur cbmmûne intersection , qui passe également par l'œil, a sa perspective en C, point de rencontre des deux traces. Si Ton suppose une suite de cônes tangens à la surface, ayant leurs sommets sur cette commune intersection, la surface enveloppe de tous ces cônes sera l'ensemble des deux plans CD et CE, et les plans des courbes de tangence de ces cônes auront pour trace commune la corde qui joint les deux points E et D , points communs à la surface enveloppe et au contour apparent; de plus, il y aura toujours une de ces courtes dont le plan passera par l'oeil , et dont cette corde est par conséquent la projection : c'est celle qui provient du cône ayant son

sommet sur le plan du contour apparent, et, dans n<rtra supposition , sur le tableau.

Si donc, par la perspective du point P donné fig. ^4, sur la surCetcer dont le contour apparent est ÀMS , nous menons deux cordes queU conques £D et LI au contour apparent , dles pourront être coosidé* rées comme la perspective des courbes de contact de deux cônes tan* genà à la surfaice ayant leur sommet sur le tableau, et ce sonmiet sera déterminé par la rencontre des deux tangentes menées à l'extrémité de chaque corde. Ces deux courbes passant chacune par le point donné y le plan tangent commun aux deux côiies sera évidonment celui que nous cherchons; mais ce plan passe par les sommets de ces deux cènes;: donc, si Ton joint les points de rencontre C et H des deux couples de tangentes, on aura sur le tableau une ligne appartenant au plan tangent cherché , et par conséquent sa trace.

Remarquons ici que la trace ainsi trouvée «est .commune aux deux plans tangens cherchés, l'un appartenant au point vu, et l'autre au point caché, dont les perspectives se confondent en P; et que, puisque, pour obtenir cette trace, nous n'avons pas eu besoin de préciser le centre de la surface, et par conséquent d'indiquer sa forme, nous pouvons conclure que toutes les. surfsices non réglées du second ordre,» qui ont pour contour apparent la même courbe AMN, ont aussi pour trace de leur plan tangent, au point où elles sont rencontrées par la ligne qui joint l'œil a^ point P , la même ligne HC , polaire de Qe point.

Pour avoir les limites des deux plan$ tan^gens , il &ut particulariser la surface, c'est-à-dire déterminer son centre. Le centre déterminé ,^ on cherchera ( 24°** problème ) deux plans qui tavitiennent chacun un des deux points de taugence. Ces plans trouvés, leur commune intersection avec le plan tangent auquel ils correspondent est connue de direction , puisqu'elle doit passer par le point de contact et par l'intersection des traces des deux plans; la limite de cette oommune intersection devant se trouver sur la limite du plan sécant, est donc aussi connue : mais cette Umite doit aussi se trouver sur la limite dierchée du plan tangent dont on connaît la direction; on pourra donc construire cette limite.

Puisque nous pouvons mener un plan tai^genf en un point donné