CHAPITRE II

d'une «uréace du second degré , nous pourrons tracer la tangente d'une courbe plane située sur cette surface ; car cette tangente est Tintersection du plan sécant et du plan tangent. .

Il s'ëitôuit que (fig. a 5) , pour mener une tangente au point V de ht courbe DVEZ, il suffit d'avoir la trace du plan tangent à ce point, c'està-dire la polaire du point V. Cette trace coupera la trace DE du plan sécant en un point qui appartiendra à la tangente cherchée : ce sera celui où les tangentes en V, à chacune des courbes projetées selon DVEZ , viendront percer le tableau. Ces deux tangentes , qui ont même trace et même plan projetant, ne différeront que par leurs limites.

a6"* PROBLÈME.

Trouver VirUersection dun plan quelconque avec une surface non

réglée du second degré.

Solution. Ce problème peut présenter deux cas : ou la trace du plan sécant rencontre le contour apparent de la surface, ou elle est extérieure à cette courbe. Dans le premier cas , les deux points d'intersection , de la trace du plan et du contour ^apparent , donnant deux points de la courbe cherchée, et les deux tangentes au contour apparent étant communes en ces points à l'une et à l'autre courbe , pour que le problème soit résolu , il suffit de trouver encore un seul point de la commune intersection du plan et de la surface. On l'ob-. tient en menant un plan diamétral tel, que la courbe 'qu'il détermine sur la surface rencontre la droite commune intersection de son plan avec le plan sécant ; ces points appartenant à la surface et à ce dernier plan , il ne restera plus qu'à tracer la courbe cherchée par les procédés connus.

Dana le cas où la trace du plan sécant ne rencontre pas la courbe contour apparent, il est possible que ce plan ne coupe pas la surface ; niais comme le dernier point où il pe^t la rencontrer est évidemment le point de tangence d'un plan ayant même trace, c'est-à-dire, comme nous venons de le voir, le point qui a pour perspective le pôle de la trace du plaiijsécant par rapport au contour apparent, il s'ensuit que si nous faisons passer par ce point im plan diamétral jtlie la surface, et que la courbe diamétrale ne soit pas rencontrée

par la. droite intersectioa commune de son plan et du plan sécant, ce dernier ne coupe pas la sur&ce ; dans le cas contraire , les deux points d'intersection appartiennent à la courbe cherchée, et cette courbe ayant la trace de son plan pour sécante imaginaire commune avec le contour apparent , il sufi&ra de ces deux points pour qu'elle soit entièrement connue.

En général y pour résoudre ce problème , on peut se contenter de mener un plan diamétral dont la courbe passe près du pôle de la trace du plan sécant. II faudrait, en effet, que le plan sécant fut presque tangent pour qu'il ne rencontrât pas cette courbe diamétrale.

Soient donc (fig. 126) la sur&ce dont le contour apparent £5t ÂMN«, et dont le centre est en O sur la ligne A,R ; et soit le plan ET, PQ dont on demande l'intersection avec cette surface. Si ce plan était tangent , e^est*à*dire le dernier des plans sécans qui ont même trace ET, il rencontrerait la surface au point B, pôle de cette ligne; si nous menons un plan diamétral AN', BM, ce plan coupera la sur- Ésice suivant une courbe ADC , et le plan ET, PQ suivant une droite N'C , qui elle-même rencontrera la ôourbe .diamétrale aux points D et G. Ces deux points sont donc communs au plan sécant et à la surface : ce sont donc deux points de la courbe cherchée. Nous pourrions, par un procédé analogue, trouver autant d'autres points de cette courbe qu'on désirerait ; mais nous allons faire voir que ces deux points suffisent à sa description. En effet, la courbe cherchée a pour sécante commune imaginaire avec le contour apparent la trace de son plan ET, et le pôle de cette sécante est pour les deux courbes en I. Donc, si par I nous menons une droite ID, cette droite viendra couper le contour apparent en un point Y, tel , que les tangentes aux points D et Y viendront se rencontrer sur la sécante imaginaire. Menant donc au contour apparent la tangente TY, la ligne TD devra être tangente au point D à la courbe cherchée. Opérant de même pour le point C, nous trouverons une seconde tangente EG à cette courbe ; nous pourront .dès lors la tracer. Nous avons déjà fait voir, au a 3"* problème , comment , lorsque l'on a deux points d'une ôourbe du second degré , deux tangentes à ces points , le pôle et sa polaire, on pouvait mener d'autres tangentes à la courbe, et la cons-r truire par conséquent.