CHAPITRE II

On voit que la courbe obtenue est tout entière sur .la paiiie vue de la surface, puisc[u'elle est tout exitière en avant de la trace du plaa qui la contient.

Par une droite donnée mener un plan tangent à une surface non

réglée du second ordre.

Solution. Si Ton mène à la ^r&ce un cylindre tangent parallèle à la droite donnée, e.t que, par le point où cette droite perce le tableau , on mène un cône également tangent à cette surface , les points d'intersection des courbes de tangence du cylindre et du cône donneront les points où le plan cherché doit toucher la surface. Or, la courbe de contact du cylindre est une courbe diamétrale, et la courbe de contact du cône se projette suivant la droite qui joint les points de tangence de ses génératrices extrêmes avec le contour apparent de la sur&ce : le problème est donc réduit à trouver l'intersection d'une droite avec une courbe du second degré.

Appliquons ces considérations à la fig. 127, dans laquelle DSCTR est le contour apparent d'une sur&ce non réglée, ayant son centre O à l'infini; et supposons que l'on demande de mençr par la droite A, B un plan tangent à cette surface que nous savons être un paraboloïde elliptique. Par chacun des pointa A et E, nous mènerons deux tangentes au contour apparent : la ligne DC qui joint les points de tangence des génératrices du cylindre parallèle à A^B, sera la trace de la courbe diamétrale déterminée par ce cylindre; et la ligne TS qui joint les points de contact des tangentes provenant de la trace de A^ B sera la projection de la courbe de contact du cône ayant son sommet en A sur lé tableau. Les points de tangence cherchés seront, comme nous l'avons annoncé, ceux où la droite TS rencontrera la courbe diamétrale qui a sa trace en DC. Puisque la surface a son centre à l'infini , la limite du plan diamétral dont la trace est DC doit passer par la perspective du centre; par conséquent, cette limite sera la ligne £]^ parallèle à DC, et passant par le centre du contour apparent. De plus, la ligne EF sera tangente à la courbe diamétrale au centre même , puisque lé centre d'une courbe et la limite de son plan sont réciproquement polaires.

Nous avons donc trois tangentes à la courbe diamétrale cherchée^

savoir : BD, BG et EF. Nous pourons, sans tracer cette courbe^ trouver les points où elle est rencontrée par TS. En effet, la courbe cherchée et le contour apparent ont DG pour sécante réelle . commune ; nous pouvons donc considérer ces deux courbes comme se trouvant sur un même cône, dont B serait la perspective du sommet et DSCT la trace ; et il suffira d'avpir l'intersection de la droite ST, située dans le plan de la courbe non- tracée, avec ce côiie, pour avoir les points où cette droite coupe cette courbe. Si^ par la' droite ST et le sommet B, nous £Bdsons passer im plan, ce plan et le plan tangeiaiau cône ayant RH pour trace auront la ligne BH pour commune intersection. En effet, ce plan tangent contiendra la tangente EF parallèle à $a trace ; le point Y, où cette tangente rencontre T^ , est donc un point de cette commune intersection qui doit en outre passer par le sommet B du cône ; le point H appartient donc à la trace du plan qui passe par TS et le sommet; le point P^ où TS coupe la sécante commune, est un autre point de c^te trace : donc la ligné HP est la trace du plan cherché. Cette trace coupe la base du cône en deux points a et ^; menant {)ar ces deux points les génératrices du cône aB et ^B, les points I et L, où ces génératrices rencontrent TS , sont les points où cette droite coupe le cône, et par conséquent où la même droite rencontre la courbe que nous nous sonunes dispensés de tracer. L'un de ces deux points , L , est sur la partie vue de la surface , puisqu'il est situé en avant de la trace de soà plan; Tautre I est sur la partie cachée.

Ayant en projection sur la sur£sLCe les deux points de tangence, nous n'avons, par A, qu'à mener les deux polaires de ces points, ce seront les traces des plans tangens cherchés; et, par B, qu'à mener deux parallèles à ces polaires , ce seront les limites .de ces mêmes plans.

Pour comprendre la partie de cette solution qui a trait à l'intersection de la droite et de la courbe, il fscat oublier ce que la figure repré» sentait auparavant, pour «e plus y voir qu'un cône, et une ^courbé plane située sur ce cône , dont on a une tangente EF, et la trace CD de son plan, et supposer que la droite TS est située dans le plan de cette courbe. Il faut quelque temps pour se familiariser avec cette manière de passer d'une surface à une autre, dont les lignes projectives put certaines parties communes; si l'on, éprouve quelques difficultés

I CHAPITRE If. 47

k concevoir cette ^épionstration 9 ou p^t «e eoxiteiiter de tracer lâ courbe diamétrale par points, et Ton obtiendra par un procédé un peu plus long les points d'intef^ection dierchés.

aS*" PBQBLàMB*

Trouver F intersection (Tunp surface non réglée d» sewnd ordre avec

une droite. «

Solution. En faisant passer un plan par la droite donnée et le centre de la surface , ce plan sera diamétral ; sa trace coupera la courbe con-» tour apparent , ou sera extérieure à cette courbe. Dans le premier cas , nous avons déjà vu (a4"** problème) comment on obtenait la courbe diamétrale ; dans le second cas , il £iudrkit déterminer la section diamétrale, comme nous l'avons fait.au ixG^'' problème pour im plan quelconque ; les points de rencontre de la courbe diamétrale et de la droite seront évidemment ceux ou elle coupera la surface. *

Nous terminerons les problèmes qui concernent les surCskces non réglées du second degré ^ en £Edsaht remarquer que les soluticms que nous venons de donner sont communes à la ^hère, à rellipsoïde, au paraboloîde elliptique et 4 l'hyperbokMkle à deux nappes ; sauf les modifications qui résulteraient dans le tracé des figures de la position du centre en perspective rédle, à l'infini, ou. en perspective imaginaire. Quoique, pour la commodité du dessin, nous ayons adopté des cercles pour contour apparept» il est évident que, puisque la forme des surfaces dépend de la position de l'œil "par rapport à ces cercles , les épures présentent toute la généralité que Ton peut désirer. Ces jsurf aces ne seraivCnt de révolution que dans le cas où , en plaçant l'œil , le point de vue se confondrait avec la perspective de leurs centres.

On pourrait demander à quelle élévation il &udntit que l'œil se trouvât au-dessus du point O (fig« a 5) pour que la surface qui y est projetée fut une spHère. Dans la sphère , toute ligne qui passe par le centre doit être perpendiculaire au plan tangent^ au point oà la

48 GÊOaiÉmiE PEBSPECnvE.

ligne rencontre la surÊice ; l'œil devnd^ donc être placé dé manière à ce que la ligne A^ P fut perpendiculaire au plan AR, c^est-à-dire que le point B fut uprocial de la ligne AIL En construisant sur AB une demi-circonférence, Tordonnée élevée au point O, dans cette circonférence donnera la distance à laquelle il &udrait placer l'œU audessus du tableau , pour que la sur&ce dont le contour apparent est PMN représentât une sphère : l'œil placé , on aurait le rayon de cette sphère en cherchant la grandeur de- AO sur la droite A^ B.

Après avoir montré comment se déterminent, en perspective, les sur^ faces du a"" degré, et comment se. résolvent les différens problèmes qui s'y rattachent, il nous reste à indiquer, sommairement le moyen de projeter les différens genres de surface que l'on a coutume de considérer dans les arts. Toutes ceUes qui sont engendrées par une lign^ droite , tant les développables , que les' non développables , auront une courbe trace^ une courbe limite , et un contour apparent dont la projection, comme dans les surfaces réglées du i^ degré, sera renvelo|>pe de la perspective de toutes les génératrices; et quand on aura écrit en perspective les données qui servent à diriger le mouvement de la génératrice, on pourra construire- cette génératrice à volonté dans une quelconque de ses positions. On trouvera dans les chapitres suivans deux exemples de ces sortes de surfiaM^es; d'abord, le conoïde à base circulaire, qui nous ;5ervira à la solution d'un problème connu de Géométrie plane ; enfin la- surface rampante cle la vis triangulaire dans l'épure de cette ma-

chine.

Le& surfaces enveloppes auront évidemment pour contour apparent une cpurbe tangente à la succession des contours apparens de l'enveloppée dans«es diverses posiàons. Leur caractéristique étant la courbe , intersection de deux enveloppées successives^ans leur mouvement différentiel, quand l'enveloppée et sa marche seront connues, il sera toujours possible de tracer cette caractéristique , et par conséquent d'opérer sur Ja surface elle-même. • .

% Nous ne. pouvons nous dispenser d'indiquer ici la manière de représenter en perspective une autre espèce de surfaces plus généjs^mf nt employées : ce sont celles connues sous le nom de surface^