CHAPITRE II

de révolution; on sait qu^elles sont engendrées par une courbe plane, qui tourne autour d'une droite fixe prise dans son plan. La droite et la courbe étant données , on peut rabattre le plan d'un méridien quelconque sur le tableau, y tracer la méridienne, et ramener ensuite cette courbe dans la position première , par les procédés indiqués au 1 5** problème; la succession dés courbes méridiennes en perspective sera touchée par le contour apparent de la surface ; ces méridiennes auront toutes pour sécante commune, réelle ou imaginaire, l'axe de la surface (i), c'est-à-dire que les tangentes à ces courbes, ayant leurs points de contact sur le même cercle perpendiculaire à Taxe , se rencontreront en un même point de cet axe , ce qui fournit un moyen de mener une tangente à un point donné d'une courbe méridienne dans une quelconque de ses positions, et par conséquent, de construire le plan tangent à ce point de la surface , puisque ce plan tangent doit contenir la tangente à la courbe méridienne et être perpendiculaire au plan de cette courbe.

Si, parmi tous les plans méridiens, il y en a un qui soit parallèle au tableau, la projection de la courbe méridienne donnée. par ce plan est seodslable à la courbe d'où elle provient, et semblablement placée. DAns ce cas , l'axe de la surface est aussi parallèle au tableau. La projection du contour apparent peut alors s'obtenir par des procédés asses simples et qui fournissent la tangente à chaque point du contour apparent. Ces procédés seront donnés avec tout le développement nécessaire dans l'épure d'application représentant la sur&ce annulaire : nous renvoyons donc à l'explication de cette épure.

Intersection des surfaces du second degré entre elles,

La méthode générale 'pour trouver l'intersection de deux sur£aices est de les couper par une suite de plans: l'intersection de chaque couple de courbes produites par ces plans donne la série des points communs aux deux surfaces.

Quand une des deux surfaces est réglée, il convient de prendre pour plans sécans des plans tangens à la sur£aice réglée, puisque la solution •^ • ■

(i) Noos n'employons ici ce mot de sécante commune que par analogie avee les propriétés des courbes du second degré.

5o GÉOMÉJÎUE.PBBSPBCriVE.

préc^entfi. se - rédnit al^ns; g^oérdfimoDt à. rintersectioià. de. deux droi^tes et d'une cqurfe^,. Quaiid îles deux surfaces scmt. réglées^ û ;e^ po3^1e de choisuv uue suitip de plans qui coupent les deux surâuses suivant. des droites. Nous en^vous. donné un exemple. dans la fig. aB^ qui est l'épure de l'intersçetion du. cylindre PNM, & et du paraboloîde CD, BD. Ce paraboloîde est uucas particulier : le plan du tableau est uii de ses plans directeurs;, sa trace est une ligne droite, et une de ses limites, celle qui correspond au. tableau, est passée à Tinfim^ Nous ne donnerons qu'une explication succincte de cette épure, parce qu'elle est la . traduction de la même épure orthogonale : le plan sécant lA, SB passant par deux génératrices du. cylindre, et contenant la génératrice A^ B de la surface, donne, en R. et en P, deux points de la courbe cherchée. Nous n'offrons ici cette épure que pour faire voir avec quelle facilité la projection, polaire se prête au genre de considération que coipporte l'intersection des surfaces réglées* La tangente à la courbe au point P serait l'intersection des plans tangens en P aux dçux sur&ces, c'est-à-dire du plap. tangent au cylindre suivant la génératrice HS^ et du plan , tangent en P. au paraboloîde; la trace de ce dernier passerait par le point A parallèlement à la perspective de ht se* çonde génératrice qui pa^e par P et qui. est parallèle au tableau.

Lespar^^ vue3 et les ^parties cachées da.la coiu4k>e d'intersection SQAt déterminées par. les mêmes principes, qu'en projection oribogo* nale. Pour qu'un point soit vu, il. faut, qu'il .résulte de l'intersection .de deux génératrices vues. Tout; point qui ne satisfait pas cette condition est caché , ou par une des surfaces , ou par toutes les deux ensemble. Dans, le cas général où le point P serait donné par l'intersection de deux courbes, on appliquerait aux parties vues et aux parties cachées de ces courbes les règles q^ie nous venons , d'employer pour les génératrices, et l'on reconnaî^^rait de mçme quelles sont les .parties vuea e^ les parties cachées de la commune mtersectiçu des deux.sur£sices.

Nous ne nous appesantirons pas davantage sur ce^ considérations^; ceux qui auront bien conçu la mét||iode,ppurront en faire l'application aux divers exemples d'intersectipu de surfaces donnés en Géométrie ' descriptive.