CHAPITRE IL 5i

P'KGPtiJÈitS LE GÉOMÉTRIE, DÉDUITES DU II™ CHAPITRE.

1^ liânime» tJne courbe quelconque du second degré et deux de ses tangentes peuvent être conside'rées comme la perspective d'un cône ou d'un cylindre , le point de rencontre des deux tangentes étant le sommet de l'un ou la limite de Tautre. La corde qui joint les points de contact des tangentes est la trace du plan qui paisse par les deux génératrices, contour apparent des deux surfaces.

a"** Lemme, La même figure peut être regardée comme la perspective d'une infinité de surfaces non réglées du second ordre, ayant toutes cette courbe pour contour apparent ; les deux tangentes sont alors la trace de deux plans tangei^s à la surface, et passant par l'œil ; l'intei-section commune de ces plans se projette au point de rencontre des deux tangentes.

3^ Lemme. Deux courbes du second degré , semblables et semblablement placées , peuvent être considérées comme la trace et la limite d'un cône ayant son sommet aux points de la ligne qui joint leurs centres où les tangentes communes aux deux courbes viennent se rencontrer.

4"^ Lemme. Deux courbes quelconques, A et B, du second degré, et le système de deux de leurs tangentes conmiunes qui les embrassent dans le même angle ou dans son opposé au sommet, peuvent être considérées comme situées sur le même G^ne , dont l'une quelconque A est la trace , et don^ le point de rencontre des tangentéB est la perspective du sonmiet. En effet , il n'y a qu'à remarquer que le cône projetant de B a deux plans tangens communs avec le cône qui a A pour base : ce sont les deux plans du contour «pporent de ce dernier ; donc ces deux cônes se coupent suivant une courbe du quatrième degré, qui se réduit à deux courbes planes ayant pour projection commune la courbe B. Si l'on cherche le lieu des traèes des tangentes à chacune des deux courbes projetées en B^ c'est^-dire si l'on cherche les points où chaque tangente à ces courbes vient rencontrer la trace du plan tangent au cône A qui la contient y la série de ces traces donne en général deux lignes droite^, 'qui sont deux des sécantes réelles ou imaginaires commuaes àhx deux courbes A et B; et ces sécantes sont sur le plan de A la trace d^ deux plans^ des courbes B, car, puisque ces courbes sont planes , leurs tangentes «<mt contenues Sans leurs plans respectifs , et la suite des traces des tangentes est la trace même du plan qui les contient. •

S^^ Lçmme. Des considérations analogues prouveraient que» si Ton imagine deux côiies quelconques ayant pour trace chacun les courbes A et B , mais tek, qhe la droite qui joint leurs sommets vint percer le tablean en un des ppmls de rencontré a des tangentes communes à ces deux courbes, eos cônes se couperaient suivant deux courbes planes ayant pour trace les deux sécantes communes, réeHe8~Gii inrâ^aîfês , 'Se A e't B'provenant du point a.

5a GÉOMÉTRIE PERSPECTIVE.

Nous avons fait voir dans les notes qui terminent le I*' chapitre comment les propriétés des pôles et polaires sur un plan se déduisaient avec simplicité d'une épure de perspective ; ces propriétés ayant leurs analogues dans l'espace y par rapport aux surfaces du second ordre , les considérations suivantes , que nous déduirons de la figure 24 9 vont servir à les faire connaître.

Les surfaces du second ordre sont divisées en deux classes : les unes sont réglées^ et les autres non réglées ; cette différence en entraîne une remarquable dans leurs projections polaires. Soit en* effet (fig. 24) la courbe AMN contour apparent d'une surface du second degré ; il est facile de voir qu'elle peut être en même temps ie contour apparent d'une surface réglée et d'une surfaice non réglée , qui se toucheraient suivant leur contour apparent. Ces surfaices n'auraient aucun autre point commun que cette courbe , et leurs perspectives s'excluraient. Pour que cette courbe fut le contour apparent d'une surface réglée , il suffirait dln* diquer que le centre de la surface à laquelle elle appartient se trouve entre l'œil et le tableau, c'est-à-dire que la ligne ayant sa trace sur le contour apparent, et passant par le centre de la surface , eut sa perspective réelle tout entière hors de cette courbe ; alors le centre serait sur cette droite en avant de sa trace. Si , dans cette supposition , l'on cherchait une des courbes diamétrales de la surface , on trouverait une courbe extérieure au contour apparent, et touchant ce contour aux points d'intersection de la trace de son plan.

Le plan de la courbe A-MN *se divise en deux parties distinctes : l'une par laquelle on peut mener des tangentes à cette courbe , et l'autre par laquelle on ne peut lui en mener. La première est le lieu de la perspective de la surface réglée, et la seconde celui de la surface non réglée; il n'y a donc aucun point du plan qui ne soit la perspective d'un point appartenant à une de ces deux surfaces , et il suffit de savoir qu'il appartient à l'une pour en conclure que la droite qui joint ce point à l'œil ne peut rencontrer l'autre.

Sans rien déterminer sur la nature de ces surfaces , nous pouvons déjà reconnaître plusieurs de leurs propriétés , qui seront communes , par conséquent , à toutes les surfaces du second ordre , puisque , suivant que le centre sera à une distance finie, à une distance infinie, au-delà de la limite ou en avant de la trace, cette figure pourra toutes les représenter (i). Menons à la courbe dojonée deux couples dé tangentes , joignons par une droite HG les deux points d'où proviendront deux à deux ces quatre tangentes , et traçons les cordes qui joignent les points de contact de chaque couple. Nous avons déjà vu dans le cours de l'ouvrage que HG est la trace du plan tangent dont le point de contact se projette en P, pôle de HG , et que le point P correspond à deux points sur la surface non réglée AMN , l'un vu et l'autre caché.

(i) Excepta k paraboloide byperboliqiQe, qui ne peoc étr« coopë par le tableau fainnt une courbe fermée.