CHAPITRE IL

TotttcAne tangent à la snrfoce, et ayant son. sommet. sur. la: ligne, qui joint le point H à Tceil j a. pour perspective de son contour apparent les deux tangentes provenant de ce point , et par conséquent (i** lemme) , la corde LI pour trace du plan de son ccmtour iipparent. Cette droite est donc conunune à tous ces cônes; les droites H et LI sont donc polaires l'une de l'autre. Tout cône tangent à la surfiaice, assujetti à avoir son sommet sur le plan projetant de CH , a le point P (i) compris dans le plan de sa courbe de contact ; ce pdint. et ce plan sont donc réciproquement polaires.

Enfin y puisque tout cône ayant son sommet sur le tableau , détermine sur la surface une courbe de contact dont le plan passe par Vceil , le plan du contour a[H parent et Foeil sont réciproquement polaires. '

Passons maintenant aux propriétés de la surface réglée : Chacune des tan* gentes BL et m peut être considérée comme la trace d'un plan passant par l'œil y et tangent à la surface réglée dont ÂMN est le contour apparent ; chacun de ces plans contient deux génératrices de système di£férent, dont les per^ectiyes se confondent; ces quatres génératrices se rencontrent en quatre points : les points mêmes de tangence L et I , plus deux points représentés en perspective par le point H. Ces derniers sont^ par conséquent , les points de contact de la surface avec un plan tangent qui aurait pour trace la ligne LI , polaire du point H , propriété analogue à celle des surfaces non réglées.

Si le point H est assujetti à se mouvoir sur la courbe plane de la surface dont HCest la projection, la trace de tous les plans tangens passera par le point P; donc y la suite des plans tangens, suivant une courbe dont le plan passe par l'œil, détermine un cône dont le sommet est sur le tableau. Ce sommet est le pôle du plan de la courbe ; et puisque le plan de' cette courbe passe par l'œil, l'œil est le pôle du plan du tableau. Sans doute ces propriétés ne sont pas nouvelles, mais elles se déduisent si simplement que nous n'avons pas cru devoir omettre cette ma^ nière d'en présenter la démonstration.

On voit que le pôle d'une droite, par rapport à une courbe du second degré , quand on considère cette courbe comme le contour apparent d'une surface du second ordre, reçoit en projection polaire plusieurs significations, outre celle que nous avons déjà donnée. (P'oir les notes à la suite du premier chapitre.)

Le pôle est, dans ce cas, la perspective du point de contact d'un plan tangent à la surface du second degré , qui aurait la courbe donnée pour contour apparent, la trace de ce plan étant la polaire.

Ou bien c'est la perspective du centre d'une surfeice du second degré, ayant la courbe donnée pour contour apparent , en supposant cette courbe, non sur le tableau , mais sur un plan dont la polaire serait la limite.

(i) Le point P repréiencant généralenient im« ligme, est la perspective eommone de. trois points snr cette ligne',' savoir: les déox points oà die re&oc«itre la surface, et le point oh elle rencontre U tableas; e^eside ce 4letBier qu'il s'agit Ici.

Eafi») è^Bt le sommet d'an cône tengent à la sêAce du leemMl àegÊé ittiraiil luie eoavbe phone fl^nt la pofawre serait kt penpectÎTe.

Si, dans la fi^e- a5^ cofireupondtàte au* 94"^ problbne, et- Teptésaa^mt «b peint V' sur une smfiice'iion lëglée , et 'imeco«u*he DYES mtisée sarlasw&ce'ét <M>nteiiant< ce point, noùseufisions piis ok point 'hors du contour «ppàrent,'^iow anîiôils paireiUement trotiré une ellipse ayaait DE pour gnind^xè^t contenant 'le point donné; mais cette «èHipse , tout entière hors du cofeitour apparent , nkAt pu appartenir à la surface non réglée dont il s'agit dans ce problème. Les' conit-' déradons ci-dessus nous indiquent qu'elle appartiendrait à la surfMse réglée qui lui serait conjugëe y c'est-à-dire ayant son centre ^ur fa même Bgne proîeConte et même contour apparent. ' i

Là prôjeotÎDn polaire présente ici «ne analogie Yemarquable-aveciFAigèbretiumseuletnent elle indique que la t[uestion a été mal posée, mais encore elle fut tfdflinittre los inoâifiQatkms' qu'il faut bite^ subir à l'énonce pour foc le problème ait'«me'sc^tibn réelle.

^Prpbième de 'la tangente comnmne à deux cercle^.

Ce problème , par les considérations du 3"*' lemme , peut se ramener au suivant : La trace et la limite d'un cône étant données, trouver la perspective du sommet. Il suffira, pour le résoudre, de construire deux génératrices du cAne. En menant aux deux cercles quatre tangentes parallèles , chaque couple de tangentes peut être considéré comme la trace et la limite d'un plan tangent au cdne cherché ( pourvu que les deux tangentes n'appartiennent pas au même cercle } ; les points de contact des couples que nous;, considérons sont donc, l'un la trace y et l'autre la limite d'une même génératrice. On peut donc tracâr la perspective de cette génératrice. L'intersection commune de deux génératrices ainsi obtenues est la perspective du sommet du cône, et, par conséquent^ le point d'où l'on peut mener les deux tangentes communes aux deux cercles. Nous n'avons pas besoin de faire remarquer que ce problème a deux solutions , l'une fournie par les génératrices qui se rencontrent dans la partie réelle de leurs perspectives , l'autre par celles qui se rencontrent dans la partie imaginaire. Nous rappellerons ici qu'il n'y a de lignes qui puissent se rencontrer dans l'espace que celles dont les traces et les limites déterminent deux parallèles.

Ce que nous venons de dire pour le cercle , est évideinment applicable à deux courbes du second degré, ^semblables et sembla]blement placées ^ et même à deux courbes quelconques , qui seraient semblables et semblablement placées , c'est-àdire pouvant être considérées comifaè la trace et la limite d'un noiême c6ne.

Toutes les. questions d'intersection et de tai)gfence d'une droite' et d'une courbe ^ du second degré , se ramènent à des questiatié'te)dO|ppea c»fï»>mii»>drofrta et

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vn ceidey aciriiioyen>dai4^'lemaiet; il n'y -a, en effet, q4'àni«ner à^l^.oei|rb€ donnée, par un-point ^leleonque, de1lx^ tangentes.» et inserke un cercle^«ntM cer.deux.tangente»; ce x^ercïe se trouve alors être la perspective de deux* courbes plaDes>ii.et;6 situées sur le cône ^déterminé par la courbe^A et par les deux tan«gentfss (i^' lemme). Une des sécantes communes de la courbe A et dut cerde est la tvftcedn plan d'une de ces courbes a eX b (4**' -lemme); D -après ces données, en. faisant passer par la droite propcAde et le sommet du cône un plan, il coupera le pkm.don^ la décante est la trace suivant une droite qui aura en projection avec le cerde les relations analogues à celles que la droite primitive et la courbe A avaient «utre filles; cas», si Ton, supposait r<feil transporté au sommet du cône, la courbe A serait à . soué tour la projection- polaire des courbes a et b* On peut consulter sur les diffârens cas par^euliers que présente ce problème , l'excellent ouvrage de M. Poncelet , sur les propriétés prajectii^es des figures j ou reconnaîtra qu'une grande partie des figures dont. il se sert jrentrent dans. la solution générale que nous venoçift. d'indiquer y et sont par conséquent des épures de pi^jeotion polaire.

L'élégante solution à laquelle M. Gergonne est •parvenu par l'analyse , pour obtenir le cercle tangent à trois cerclés donnés, ^st encore uiye épjire polaire. Nous rappellerons d'abord cette solution, à laquelle nous ^mmes aussi parvenus par les considérations géométriques que nous aillons développer.»

Soient trois cercles A, B, C* on sait que les points de rencontre deii tangentes communes à ces trois cercles se trouvent répartis sur quatre droites : à chacune de ,ces droite, prise comme' polaire , correspond un pôle dans chaque cercle j leur ensemble détermine donc douze pôles. On sait de plus que les trob cercles pn^, deux à deux , ime sécante commune , et que ces trois sécantes se rencontrent en. un même point. Si ^ de ce point , on mène des droites aux douze pôles , on obtiendra par l'intersectionide ces droites et des trois circonférences A , B, G, les vingt-quatre 'points de contact dbs huit cercles tangens aux trois cercles proposés^

Démonstration» Nous pouvons considérer le premier cercle A comme la base d'un cône dont le sommet serait à l'œil, et l'ensemble des cercles B , A d'une part , et G, A de l'autre, comme la ]^erspective de deux autres cônes ayant même li* mite A (3** lemme) , et par conséquent tous deux parallèles au premier. Gher* cbons la trace du cône pJBirallèle qui les toucherait tous les trois ; cette trace est un cercle tangent aux trois proposés. Il est évident que le sommet de ce cône sera un point commun en même • temps à la surface des trois autres -, il ne s'agit donc que ^btenir ce point. D'après le 4***^ lemme, le cône A et le cône B,A ont pour trace de la courbe plane suivant laquelle ib se coupent , la sécante commune entre A et B ; il en est de même du cône A et du cône G, A.. Enfin, d'après le 5^ lemme, il en est de même des cônes G, A et B,A ; mais on sait que ïes sécante? commîmes de trois cercles passent toutes par un même point ; donc les trois plans dont elles sont la trace se coupent suivant une même droite E ayant pour trace

ce point, et pour luhite le pôle du cercle A., par rapport à la ligne qni joint les sommets des deux cônes G, A et B, A ; car ce pôle est le point d'intersection des limites des trois plans dont les sécantes communes sont les ti^aces. Ghacon de ces plans, en effet, a sa limite déterminée par celles des quatre génératrices parallèles , situées dans les plans tangens communs aux deux côjiies d'où il provient , c'estr-à-dire la corde qui joint les points de contact des tangentes concununefl sur le cercle A. Si , par le sommet du cône A (par Toeil) , et par la^gne E , qui contient évidemment les deux points aet b communs en même temps aux trois cônes, on fait passer un plan , ce plan contiendra les- deux génératrices de contact avec le cône cherché sur le cône A. Mais la trace de ce plan est la ligne E ellemême ; donc les deux points où cette ligne rencontre le cerde A appartiennent chacun à la base d'un des cônes tangens aux trob cônes primitifs ; donc ce sont les points de tangence que Ton se proposait de déterminer.

Goiimie , dans cette démonstration, nous eussions ausû bien pu choisir le cercle B que le cercle A , pour représenter le cône auquel les deux autres sont parallèle , et surtout^ comme nous n'avons rien particularisé pour les sommets des cônes B,A et G, A , qui peuvent occuper chacun deux positions et donner par conséquent lieu à quatre polaires et à douze pôles , on voit que le problème a huit solutions qui correspltodeiît.à vingt-<[uatre points de tangence.

En opérant séparément pouc chaque polaire et les trois pôles qu'elle détermine , on remarque que celle des quatre qui est extérieure aux trois cercles primiti& correspond aux: deux cercles tangens , l'un extérieurement et l'autre inté^ rieurement , et que celle des trois autres qui passe entre le cercle G et les cerclés A et B correspond aux deux cercles tangens y L'un , intérieurement à A et B , et ex- * térieurement à G ; et l'autre tangent intérieurement à G, et extérieurement à A et B ; il est facile de conclure le reste. Ghaque polaire est sécante réelle ou imaginaire des deux cercles qu'elle produit, conmie trace du plan qui passe par les sommets des trois cônes primitifs. Ge plan contient la courbe sui^nt laquelle les • deux cônes tangens cherchés se coupent entre eux , courbe qui , elle-même, a cette polaire pour sécante commtme avec chacun des cercles de base des deux cônes tangens auxquels elle appartient.

On pourrait donner une autre démonstration de la construction indiquée dans l 'article précédent. Soient, en effet ^ les trois cercles A, B, G, considérés sur le tableau comme le contour apparent de trob sphères. Il faut , pour cela , supposer Tœil à l'infini; mab les propriétés des pôles et polaires indiquées ci-fdessus n'en ont pas moins lieu. La ligne de passant par les points de rencontre des tangentes communes extérieures à ces trois cercles, est la trace de deux plans tangens communs aux trois sphères. Les ûx points de contact de ces deux plans représentés en projection par les trob pôles a, 6, c, de de, seront deux à deux sur la même perpendiculaire au tableau. On sait (Gorrespondance de l'École Polytechnique , 1^ volume, page 17) que si l'on suppose une quatrième sphère va^