CHAPITRE II

riable de rayon et assujettie à toucher constamment les trois proposées , la succession des points de contact, sur une quelconque de ces dernières, est un cercle perpendiculaire au 'tableau, et dont le plan passe par l'axe radical des trois sphères.

• Or, les points de contact a, 6, e des plans tangens mentionnés ci-dessus appartiennent aux courbes de contact de la sphère variable de rayon , puisque chacun detres plans tangens n'est que le cas de la sphère mobile dont le rayon est de- Tenu infini ; de plus , le point o où les trois sécantes communes des cercles A , B, G Tiennent concourir, est la trace de l'axe radical des trois sphères. Donc les lignes oa^ oby oc^ qui joignent le point o aux trois pôles de de sont les trois traces des plans perpendiculaires au tableau, qui donnent sur les sphères A , B , G les courbes de contact d'une sphère mobile de rayon qui toucherait extérieurement les trois proposéesl

Si l'on considère une des sphères mobiles , on sait aussi (même ouTrage) que ses trois points de contact déterminent un plan passant par de , et que ce plan coupe la sphère mobile suivant un cercle tangent aux trois cercles suiTant lesquels il coupe aussi les sphères A , B , G ; le tableau étant un de ces ' plans , les six points suivant lesquels les droites oa, ob y oc rencontreront les cercles A , B , G , appartiendront , trois à trois , à une des sphères mobiles ; donc enfin ils détermineront deux cercles tangens aux cercles A, B, G.

Pour avoir les autres solutions, au lieu de considérer le plan qui touche les trois sphères du même c6té, il fiauit prendie successivement un des six plans qui touchent deux des sphères par une de leurs faces , et qui touchent la troisième par la fiice opposée.

On a démontré , par l'analyse , que le tracé de la courbe de raccordement de deux alignemens de route, qui consiste à diviser en n parties égales les côtés de l'angle formé par les deux alignemens donnés , et à joindre par des droites , de l'un à l'autre alignement, la division i à la division n-«- 1 , la division 2 à la division n — 2 , etc. , déterminait une paral>ole. Nous allons en donner une démonstration par les considérations polaires.

Soient (fig. 28) GD et DE les deux côtés de l'angle ; nous pourrons considérer GD comme la perspective d'une droite G^ D, et DE comme celle d'une droite D , E ; et si nous prenons ces deux droites pour directrices d'un paraboloide dont la génératrice serait assujettie à rester constamment parallèle au tableau, qtumd la perspective de cette génératrice', donnée, dans ses diffi^irentes positions, par l'intersection d'un plan parallèle au tableau, aura parcouru la n""' partie de G, D, elle aura ^^ment parcouru la n''"' partie de D , E : propriété que nous avons reconnue aux plans parallèles au tableau. Mais le tracé de cette droite est précisément la construction d-dessns indiquée ; donc ,

58 GEOMEIWE PEKSEECTIVE.

«otites les dMMtes anisiobteim0t.MNi«kspaispootiv«Bdè» géaé r àtri»» xSfvm ittèaie p«»](K)leïde a]fMit le «aUeau pour filait dkeotevr ; Ama la oooftiie q«^«UM é^ «rivent ^ et Mpà est la peeqpeelnre 4a coataor apfMUMVt idc la oiiaftos j «at ose parabole.

Cette déittonstratàon est aaalogue à cdk dontiée pfer M. Yalléè daus aa Gëo->* iilëtr& descriptive ; «nais «Uib n'exige «ttottie cnutvHctkm anîlîaiie : il noua a sidfi d'indiquer que la fi^^ure étast une épure polaire ; et la d en w u l m tioa an est imtnediateittent résuUée.

£a général , ayant ^aatve tangeates à iMie peirabale , pour codstmiire à eette parabele autant d'autces tangentes qu'on éésûre, on considère deuii des côtés op» posés du quadrilatère formé par les quatre tangentes dimaées , comne la pc^rspective ides deux directrices d'un paraboloide layant-le tableau pour phn directeur. Par les mêmes considérations que ci-dessus , il est évident que les w>iiveiles tangentes divisent les directrices en parties de leur longueur respectivement proportionneiles ; et comme on pevt choisir pour dUrectnces de«x quekonqiies des cdtés oipposés du qaadjrilatère , et de «plus invertir chaque diiectrioe , on «n conclut qu'il eaiate quatre paraboloides qui état même parabole pour perspective de leur con* Mur Apparent , q^ue ees quatre paiaboleîdes ont chaom pour fltraoe et pour lûitfte dbttx 4es côte's du quadrilatère , et qu'ils «e «ooapent toila les quatte en on point donné par l'intersection des doux droites qui yedg&eait les Milieux des côtés op- ^sés. Cîfhaoune -de ces droites se ^imnve eu la^e temps -aur deux des paMboleiides. On reconnaîtra sana pne Iknalogie f uà md^le ea)bre oes quafire pttmbDleides et lëa «qoalâre plans invertis qui ^mt ipevr tram et limite les quatre côtés d'un même parallélogramme.

Il résulte 9 comme corollaire, des propriétés ci-dessus énoncées que si, ayant une tangente à une parabole , on divise cette tangente en parties égales , et que , par chaque point de division , on mène de nouvelles tai^gentes à la courbe , dans le réseau ainsi forme , chaque tangente nouvelle est divisée en parties égales par son intersection avec toutes les autres.

De la tangente commui}e à deux courbes du second ordre.

Soient deux courbes du second degré -A et B^ >ou <p«ut considéMr l'une ^^cKtre -elles À , oomutela ^perspective complète <l'«&'cône  , A , dont la trace et la limite •ne conltmdmient, «t ayant son ^oaAmct derrière te tablea« , sur 'la droite qui joint l^ilau ceotve de A. fie {dus, les deux courbes A et B peuvent être considérées comme'la trace ot^la limite ^fune sutfroe^vduppabktB, A, engendrée par le «mou- -leéiitent'd'-mi plan., dont .la ^limite aérait «onrflamttleiit tarugente à la oomrbe A, et la trace tai^nte à -la loourbe K Toutes les génémtneea èe cot^ suvfaee auront «ne .4^nrffaânce parallèle sur le cône, et ka- plana tangens aux deux isuiAices , eaÉvaift'oes i^éralnMa» aeroul: paiallMes comme aij4mt même ^limite.

£i^ patla>aMlm0t4l^c6ne>AyAyon8ttppoteimi>pfam païaUUe an tableau, ceplan^