CHAPITRE ït

m ptr^ tfgiitfti les pecQiMeUves dca géMâratâcM d« ràne , entre leurs Utceft «i leura limîtaBy cUviseï» ^Jfinienl les gtfnémtrices de la surface de la même niKBÎèl^; il awrei doik. facile d'avoîv, par pont»,, la projection E de la C9urbe< de s^clioD da ce fdaa et de la sarfate ^ tt même de meaer de» langentea à chaoïtii des p^ts de cette courbe, car le plan sécant étant parallèle au tableau, sovinte»^ saf tipn avec le plaai^ tangienl. pl^ssaot par la généralrice auw laqudla le poîni se tromra^i est parallèle à la trace du plan tangent lui^mêine. 2^', par le sommet du cène A, A> on mène une tangente £ à la courbe E, le plan tancent à la suslaca développable passant par cette droite bf sera aussi tan||ent au eâne;. sa tracs sera donc également tangente aux deux courbes A et B ; ma^^e plan de la courbe B étant gfiralUde au tableau y la ligne ^ sera parallèle à la trace de tout plan qui la contiendra. Dons , en Hienant h l'une dea deux courbea A et B una tangeaiite par^ raUèle à la.li{pQtt b^ celte ta«génfe sera eomjuune aux deux courbes. Il est à remarques que hk surHuoe développablie B» A peut être îuvcârtÀa (noua ayona. déjà ob* seinré que caUe pcoprié^éi est couMnune à toutes lea sxMr&cea engendrées par des ligne*- dnoites). I^a courbe E est utm des courbe» fora;iaut.l'interseciîott. conumme dea deu3i suriaoea inTerlie&{ et comme o» aurait pu foire le mèmft laîscamement pat rappoet k la auKiiftC9 invertie A^B et à la courbe B, conaîdéféa à son tous comhms trace et limita d'un çâne , il aVusuit que les quaâre Imig^itea menées à kl courbe Ëpar ka centrea de B et de A, feirmeat un paraUflogmmmft demi leacôtéa> pais dm» à diemi , sont païaUèles à deux, dea tnpgenftrs communes de A et de B.

Noaa remarquerons qu'il exiatu idemiL aur&ces développables ayant la courbe B pour traceji.etla cowbe A poux Limite » et qur9»selon4ue k courbe Ë prorient de INma ou d« l'autre da cm surkcea» on obtient par son moyen ks tangentes com/^ ranwea qui se coupent intérkuf enMWt ou ext^rkurement aux deux proposées. . Quand ks couxbes' A.et B souiI semUabk^el senabkMement pkcées» k susfiMe développable qu'elles déterminent devient un cônai eik courbe £ étant l'iuteraei^ tÎQU'd'iiu C4^ par un. plan parallèle au taUeaUv eal une courbe de mâm« nature que A et B , semblable et sembkUeuMit ptscée*

ae;:

Lorsqu'une ligne droite se meut êans ira angk droit y, de manière à ce que deux points fixes sur cette ligne parcourent dutcnn, dans son mottrement, un àe» cAt^ de Tangle , la combe décrite par un autre point quelconque de la dtoi«e mobile est une ellipse , et le point milieu entre les deux points directleurs décrit tm cerde.

La projection polaire fournit une démonstration géométrique de ces propriétés. Supposons y en effet (fig. 29) > qu'une des directrices (un des côtés de Fangle droit) AB soit sur le tableau , et que k seconde DG soit k limite d'un pkn perpendiculaire à AB. Ces seules données nous indiquent que k génératrice mobile, que nous pourrons alors considérer comme k perspective d'une succession de droites ayant leur trace sur AB et leur limite sur CD, appartient à un conolde ayant CD pour

6o GÉOMÉTRIE PBBJSPEGTIYE.

plan directeur et AB pour trace. Si nous pouvons indiquer sur cette surfBMse une courbe (fonnuey elle sera entièrement déterminée, ses génératrices étant assujetties à passer par cette courbe , à toucher la droite AB , et & être parallèles au plan CD. ' Supposons que nous ayons tracé en un point quelconque du tableau un cercle ayant pour rayon la grandeur constante de la droite mobile ; ce cercle pourra être considéré comme la limite d'un cône dont le sommet serait sur le tableau au centre même du cercle ; les perspectives de ses génératrices seront , par construction , égales en longueur à celles des génératrices du conolde ; et en prenant à volonté une de ces dernières, on pouna toujours trouver une génératrice du cône dont la perspective lui sera parallèle. En considérant à part un de ces couples , on reconnaît que les droites qu'ils représentent sont dans un même plan , puisque la ligne qui joint leurs traces serait parallèle à celle qui joint leurs limites, et, de plus , que ces droites se rencontrent sur un plan parallèle au tableau passant par Tceil , comme ayant leurs perspectives parallèles. Les deux surfaces auront donc, sur ce plan , une courbe commune. Or , le plan parallèle au tableau conft le cône suivant un cercle; donc le conolde dont nous nous occupons a pour directrice une droite sur le tableau, et un cercle situé sur un plan parallèle au tableau passant par l'œil. En se rappelant qu'un plan quelconque parallèle au tableau doit diviser les perspectives des génératrices de cette surface en parties proportionnelles , on reconnaît que tout point de la droite moUle décrit une ellipse ; car cette surface est coupée , suivant des ellipses , par des plans parallèles au tableau. Il reste encore à prouver que lé plan déterminé par les points milieux des génératrices ^

donne un cercle. Or, ce plan est situé, par rapport au tableau, à une distance égale à celle qui existe entre le tableau et le cercle directeur. Le conolde dont la directrice est perpendiculaire au plan directeur, étant composé de deux nappes égales, ces deux plans également distans de la directrice, doupent la sur&ce sui- Tant deux courbes égales ; donc , etc.

Si l'on invertit la sur£aice, les deux conoldes invertis se coupent suivant le cercle qui est le lieu des centres de leurs génératrices communes.

Si, dans la figure 29, l'angle des droites AB et CD n'était pas droit, la directrice du conolde ne serait pas perpendiculaire au plan directeur , et la surface ne serait plus composée de deux nappes égales ; elle contiendrait bien encore un cercle situé ;4ans un plan parallèle au tableau passant par l'œil ^ mais son intersection par un autre plan parallèle et situé derrière le tableau k une même distance de la direo» ,trice, serait une ellipse. . 1.