CHAPITRE m

îig"* PBOBLÈME.

Trùuper les H^gnes prtyeetiues etun pian qui ferait ai^eù le îahleau un tmgle Ac {fig. 3o) , et qui rencontrisrait Vctxe perspectif à une distance ^ du point de vue.

Solution. Soit le cercle dont le rayon est OO' donné pour cercle de xabattement de l'oeil ; 6i d'im point quelconque (/ de ce cercle , où nous supposerons Toeil rabaitu, nous menons une droite O'R i£ui»aint avec le rayon un angle RO'O supplémenl; de Tangle donné » le poii^t R, où cette droite viendra rencontrer la charnière de rahattement , appartiendra à la base d*un cône droit ayant son sommet à l'œil, et dont toutes les génératrices feront avec le tableau l'angle abc donné; les tangentes à ce t»rcle seront donc les limites de tous les plans qui &nt ie même angle avec le tableau. €hoi$isso«i une quelconque OIE de ces tangentes pour limite ^u plan cherché, et menoas dans ce plan une droite DO assujettie à rencontrer l'axe perspectif au pcônt où cet axe doit être coupé par le plan : cette droite n'est encore connue que par sa limite et sa direction ; il s'agit d avoir sa trace.

. Supposons une droite quelconque H, O perpendiculaire an tableau , -et portons sur .cette droite ila distance HL égale à gk, par le pro<oédé ilu a*"* problème; le poittt P sera, sur %ette droite , à une même distanœ du tableau rque le point où^l'axe perspectif est rencontré |iar le plan cherché. Nous pouvons donc considérer ces deux points comme situés sur un plan paraUèle au tableau , >et nous savons qu'un paredj

plan coi^e.les perspectives de «deux diroites en parties prefK>i\tioBneUes; 4ionc Ie:point O doit dmseria dvoite dont nous cherchons la traoe, comme le point P diviBe la droite H, O. Cette relation nous ibiirmra le point C, trace de la ligne C , D; faisant passer par ce point une parallèle à DE, le plan MN, DE sera le plan cherché. Il est évident que chaque taengente au cewîle ayant OR pour rayon eut donné mi plan différent , et que tous ces plans appartiennent à im eone droit ayant son sommet an point où l'axe perspectif est renoovtré par eux. H en est ée ves plans <:omBfte des lignes de l'fayperboloide indiqué cidessus ; ie choix entre eux est indifférent , parce que les épures de per^ectives n'ont pas jde sens^ et peuvent tourner ,autour de l'axe

perspectif* Quel que soit en effet celui de ces plans que Ton choisisse pour projeter un corps dont il Serait le plan principal , il en résultera une figure égale et symétriquement placée autour du point de vue.

Si l'on connaissait d'avance, sur le tableau, la direction de la pesanteur, c'est-à-dire la limite des plans horizontaux, cette incertitude cesserait par la relation que l'on pourrait se donner entre le plan principal et la verticale.

La solution de ce problème nous dispensera, dans les épures d'application suivantes, de construire le plan principal par de semblables données; nous serons toujours censés l'avoir fait d'avance, et nous en omettrons le tracé , qui compliquerait la figure sans utilité.

On choisit souvent le plan ou la ligne principaux perpendiculaires au tableau, alors l'hyperboloïde , lieu dé toutes les droites, ainsi que le cône , enveloppe de tous les plans principaux assujettis aux mêmes conditions^ se réduisent à un cylindre perpendiculaire au tableau dont l'axe se confond avec l'axe perspectif, et dont il su£Git d'avoir le rayon du cercle de base pour pouvoir lui mener un plan tangent, ou construire une de ses génératrices.

Ayant déterminé un plan en projection polaire par ses relations de position avec le tableau , l'œil et Taxe perspectif ^ on pourra tracer sur ce plan une figure quelconque : on n'aura , pour cela , qu'à rabattre le plan sur le tableau , tracer en rabattement la figure donnée , et la remettre ensuite en perspective par points , en employant la construction inverse du i S"** problème , qui consiste à abaisser des ordonnées perpendiculaires sur la charnière , et à mettre ensuite ces perpendiculaires en perspective avec les points de la figure d'où elles proviennent. Telle est la méthode générale pour mettre en perspective une figure plane quelconque sur un plan connu de position.

PREMIÈRE ÉPURE d'aPPLICATIOV.

Construire la perspective eTun cube ayant pour côté la grandeur cd (fig. 3i), placé sur la face vue dunplan AC, RI , et tel qu^une de ses arêtes les plus rapprochées de Vœil sur ce plan coïncide avec la ligne A, R à une distance ab du point où cette ligne perce le tableau.

Construction. Soit le cercle dont le centre est en O, et le rayon OL pris pour cercle de rabattement de l'œil, en portant sur la ligne A, R,

CiBAPITRB m, 65

par tes procédés du 3"* proUème, les deux paudeurs a& et c^, la première de A en £, la seconde de £ en F ; £F sera une des arêtes du cube cherché. Nous pourrons également trouver les trois limites des six plans qui fcament ses faces : Tune est BI, limite du plan sur lequel le cube est placé ; Tautre doit être PI , normale du point B , puisque chaque arête aboutit à deux &ces qui lui sont perpendiculaires. La troisième , enfin , est PB normale , du point dHntersection I des deux autres limites ; les trois points I ^ P , B seront les limites des trois Ëdsceaux d'arêtes du cube. Joignant donc les points £ et F aux points P et I ; PF, P£, IF et I£ seront quatre nouvelles arêtes du cube , sur chacune desquelles nous aurpns à porter la grandeur £F déjà trouvée. Nous y parviendrons en cherchant dans le plan qui contient A, B et P£, la limite des diagonales de la face du cube que ce plan détermine. Il suffit, pour cela, de rabattre le plan PB sur le tableau; Fœil vient s'appliquer en N; les droites NP et NB sont, en rabattement, les parallèles aux deux arêtes A, B et PE, et le point M, où la ligne qui divise en deux Fan^e droit qu'elles forment vient rencontrer la charnière , est la limite des diagonales cherchées. Joignant cette limite au point F, la diagonale MF prolongée déterminera sur P£ une grandeur £S égale à £F; dès lors, en joignant le point S aux limites B et I, on a deux nouvelles arêtes du cube, et une de ses faces complète £FSR. Le point R étant donné par la rencontre de BS et de PF , on peut joindre également ce point à la limite I ; cela fait, au moyen de la diagonale N^S, fournie par une construction analogue à celle qui a donné MS, on déterminera, sur RI, une nouvelle arête du cube RT, qui permet d'achever sa construction , puisque, par les arêtes TB et SI, une nouvelle hce RTVS étant déterminée, il n'y a plus qu'à joindre les angles T et Y à la limite P : la douaième arête résulte dé l'intersection de yp avec £t , comme aussi de celle de TP avec FI.

Pour achever l'épure, on n'a qu'à remarquer que les quatre arêtes situées dans le plan AC , BI ont leurs traces sur celle de ce plan , et que ces traces déterminent un point de la trace de quatre autres plans auxquels elles appartiennent, plans dont les traces sont parallèles deux à deux à l'une des fimites PB et PI ; et, enfin, que les quatre traces des plans ainsi obtenus contiennent, à leur tour, les traces des quatre arêtes de la face TVSR.

66 GÉOMÉtRlB «BBifECnVE.

Noti-seutemént «i tr^pv^, das ©•«» épmp , le eêbt cheMlié , «Mis^ aptes avoir eottstrtdt les lârftcéB d«B êiit fAMs-ifui le ctoB(^0sent , o» peot reconûaîtfe commctot «faaettii ^6 -ces (ykûs M&éMfl: à lé formôr. On y voit les trois prismes quadrftttgiilâirts ^éwdtèÉtt dtt pw^oûgem^fit des six faces ; fls s'ëtettdeht depife lôttw traôGs siW le tableau josqtf à teurs limites, d'eh-à-dire à l'infirf; on y reconttrfît ïes angles \!éèâr^ opposés aux sommets des limt angles solides an ^Jefce^ et fes angles diètfres opposés aux douze arêtes. Aussi, rien de plus complet que Fittiage qu'elle présente ; dlle peut servir à cotîfirrtier ce que tious «vions an* nohcé de Télégance et de la clarté de la nouvelle méthode descriptive : autant ce dessin est simple à exécuter etfiacile à concevoir, atittacnt la même épure en projection orlhogonaie serait pénible à construire et difficile à ansdyser. ^w

Ttoùuet (fig. 53 , planche 7***) , fe cbntbûr apporertt dune sphère tfiïn rayon égal â i^ et qtu toucherait le plan AB, EF «nim point o.

CoMtntction. Soit daaBé pour -cercle de rabattement de Vmi oeêm dont le diamètre est ËF •

Su élevant pai^ le poiat <» une perpe»idi<»iUine oc au plan AB^ W^ elfe, doit contenir le œntre cherché,; et ,poar trouver ce. oemtre^ il

n'y a qu'à porter sur cette .per|>endiei^ire ^ à «partir du point t» , utte grandeur égale au i^yoo 4e la sphèire. On j parvient ^tk laôsant .pasaer par cette droite wi plan «^9 GM pn^peiidiciilaire mM tableau. Oans. ce plan , les deux droites ao «t éc perp^ndipilaires «au tableau , et donl^ l'une contient le |^mt o , inilerpe^ti^Qit «njhre ^^fes «jtne ^aiwleur jak égide au rayon 4ouné; dpnc^ la 4roitt :iv ^ffwfit |)ar )e centre! 4e la sphère. Si l'on ral^at le ,plii|i ,ppq)eta«ft de ceftte droite ^w te M^^ bleàu, le centre c de la apb^e .se irab^ft. euve/f a^u$ poiArt'tms ^opic tracer le grand cercle rabi^tu» eitlui; BM^«r pai: .l'wl en cabattemc^p^t les deux tangen^ g^ i^ hf» 9^ donn^rpuit sur la cbumière, i^n g et ;eh A, émK points du coiMt^tfjr apparent* Ces fe^kOa aérant les ex* trétaû^és du i^^rand* a&a de l'tellipse ^ suivant laquelle se. projette le cercle contour apfMiFeot de la sphère i (donc^ -si l'on joint sîon Bulieu n à l'œil, on aura la ligne projetante du centre de la COtde qui se

fg^î^ltt^i 9mm^ for >petit aate. Cette Éonàti afqMràeot âti iceiielB con«» tourapparcut, 4^onft k safaattfOKiKt noôs dôme én^le«<liamèttre; on: peot donc; eni «cmaÉrattaiit .ee «MoIe cbteHÎr ctette* corde «t^- en. ^véia^ taUe grâadftu; et: i|ia& s'iEigit plii» .que dkmppovter oette granideor eià peespedÎFQ. KouSi y pamrkwlrom ati moj^ea àe» figsef prajectivesi du plao da cxmtouv apporent^ Le point Jk stpp^ffitieat à fa figue ef% qpi se tn>u9ic dons œ pbxrr 00 point est $ui« la àïsnààve de Fafaatteaoent ;. dow> e^éit im pomt dp la trace du pli» cherohé. Nov» Mirons , de plusi, que- oe: plaai esi penpendintdiEqre' à^ la ligne' qui' joiftf l'ooil au centre de. Is sp^ièet^ dooe hi limite' de: ee {i^Ian est nom^le^ point e^oùim projette ce centre v sa titaee 4^ egt parallète à oetre noi^maie, ityant ajjaurî obtenu la tpace du pfeif d» comeifir apparent, an neyen^ dear deur parallèles Jtc et im, nous porterons en nftr h grandeur Jbl d^i denw petit .a&e. Cela £adt , on pourra «racep l'eHipse daaepcfaée.

Si Ton voulait construire cette ellipse pat* points ^ il fattdmv fttîM passer par* l^cnl: et par le ccintiie de !& aptÉère un« ^te de' plàua , rabodw ces> plan^ ^ur le tableau , et opérer' ^ur* euût eommer noMS* 1^ «ena fiiie pour k plan ftrdjtMM de^ te.

Trouver lapérspeçtiye d^une surface annulaire ^agendrée par le rtiôm^ ment et un cerclé dont le rayon seràitÀgal a I (planche 6**)^ qui tour^ nerait autour (fun axe parallèle au tableau , et qui aurait son centre à une distance II de cet axe; taxe lui-même situé à une distance IIl du tableau et ayajtt pour, plus court$t distance avec taxe perspectif la grandeur Vf. Enfiny te centre de la surface situé sur son axe à une distance V dû point ou cet axe serait rencontré par un plan mené par T œil perpendiculairement à sa direction.

Soit doané pour cerdë âe rabatteoQreiit deirdeff delui dtfnf'lë ràyoA e&tOSH. '

ConstmetCon: D'après ce que nxfmuftttss,' expbsé àtx ùOttistitàdtttatlitt 4u chapitre, nous pouvons choisir à volonté sur le têXHÈëaxilit StifHltiMi ^l%Ee!d<e>laM(rfikeè. Hiéiiotii parte poi^ âë'Vtië O' tiMe pàraNèle'OCK èhoenfC^^irecttoo : cesent l'«l' liiditè éii pBM pel^ettd!ct^dk«'WM>l«AU

qui contient l'axe. Élevons par le point de vue une perpendiculaii^e OR à OO' : ce sera la trace d'un plan passant par Tœil perpendicu* laire à Taxe. Si , sur cette perpendiculaire , à partir du point O j nous portons de O en A la grandeur IV^le point A appartiendra à la trace du plan perpendiculaire au tableau qui contient l'axe^ ce plan AB., OO' sera donc déterminé. Si , par un point b de la trace de ce plan , nous menons une perpendiculaire 6, o au tableau , et qu'à partir de ce point nous portions de b en a, par les procédés connus, une grandeur bc -égale à III, le point a appartiendra à l'axe de la surÊice/dont nous pourrons , par conséquent , tracer la perspective Da. Enfin , si sur la trace du plan AB, OO', à partir du point A , nous portons de A en G la grandeur Y, et que par G nous menions un plan perpendiculaire au tableau, et à Taxe; le point D où ce,plaa vient rencontrer l'axe sera le centre cherché de k sur&ce , puisque la distance du plan qui passe par D et du plan AO qui lui est parallèle et qui passe par l'œil ^ est mesurée par la grandeur AC. '^^

. Ayant le centre de la sur£sice, nous pourrons construire la projection des deux cercles méridiens parallèles au tableau. En e£Fet^ si, par le centre de la sur&ce , nous menons parallèlanent au tableau une perpendiculaire à l'axe, cette ligne DF, passe par le centre des cercles méridiens cherchés; et il n'y aura pour trouver ces centres qu'à porter à droite et à gauche du point D la grandeur IL La ligne DF est dans le plan CD^ OA; donc, en portant II de G en 6, et menant par G une ligne au point de concours O de GD, cette ligne déterminera en £ le centre d'un des cercles. En portant sur le prolongement de DE , la grandeur I , nous obtiendrons , par une construction semblable, la perspective EF du rayon du cercle cherché; et comme ce cercle se projette parallèlement à lui-même, nous n'avons qu'à décrire du point E un cercle avec EF pour rayon : un cercle égal et semblablement placé de l'autre côté de l'axe, complétera la perspective des deux cercles méridiens parallèles au tableau*

Ces données arrêtées, conformément aux conditions auxquelles la ;ffir&çe devait satisfaire , nous allons en déduire la perspective de son lÇQBto^r, apparent ,

\ )( 6it9 fW un. point quelconque I . de l'axe^ nous menons un plan. qui i^i^r^^tf.pqrp^dÂculaire, l'intersectian dc< ce plan avec le méridien