CHAPITRE m

parallèle au tableau sera* la droite NIR, et la. trace TS deice plan, parallèle à cette droite , s'obtiendra en abaissiint'du pcmitil une perpendiculaire au tableau S, .0. Ge plan coupe la surfieice suivant deux cercles ayant le point I pour perspective de leur centre commun. IL et IN sont les perspectives de leurs rayons situés dans le plan méridien parallèle au tableau.

S inous considérons le cône tangent à la. surface. suivant un de ces cercles, le plus grand, par exemple, ce cône^ qui a son sommet sur l'axe, sera coupé par le plan méridien suivant deux génératrices nécessairement ^tangentes >diaeune à un. des. cercles. méridiens ;.donc la tangente KM sera, une ^nératricede ce cône, et. déterminera son sommet au point M où die vient .rencontrer Taxe. Ge cône ayant tous ses plans tangens communs avec la.sur&ce,.il s'^isuit que les deux plans qui déterminent son contour apparent appartiennent aussi au. contour apparent de la aur&ce ; donc les traces de ces deux plans. seront tangentes à. la perspective du confour. apparent de la surface , au point où ces. traces touchent la perspective d^ carcle de contact avec le cône. Donc, si nous cberchcms sur ce cercle les points qui appartiennent au contour app^ent.du càne^ nous obtiendrons deux points du contour ^piMTf^nt de la surlace, et les génératrices du cône qui passent par ces méme^. points s^ont .tangentes à cette dernière courbe.

Le. cerde. de. contact des deux surfaiBes se projette suivant une ellipse que rpn pourrait traç^ par points, et à laquelle on mènerait des iai^genles par le point M; mais ce procédé est trop sujet à erreur , surfont; pour la branche intérieure du contour £|pparenL Nous avons trafié aur l'épure la construptiqn q^e l'on peut ^ployer pour mener deux; tengentes au cerde de confacf;, par le ppi^t où. la ligne projetante^ du sqminetJM vient rapqpotrer le pl^n de ce cerd^., tangentes àosk% lii.p0rsp<sctîve se confond avec la trace des plans cherchés, puisqu'elles fpnt partie de/ces^ plws;

! La tigbe OS^er^un :dea diamètres de l'ellipse projection du cercle.de contact;) et pouit .avoir <lea. extré;initéa de ce diamètre, il suffit de porter sur cette ligne , à partir du centre I , la grandfnu* du rayon IN du cercle que) cette «ellipse représente :, ce^.qui s'obtient en joignant les points Ret>S|^ AU' point K;. car les .triangles IKQ et P'IN, toiu; deux.i^ian-» ^eaie» 1 ^ .ont leur hypoKénuft»: qjui ^t un ,angle de 45^ avec le ta-

fo) GÉOMÉIRIB Ff!RSrECTiy&

Meaq, et par «oaséq^«lt: ayoB Al 4r0iM^ SK^ifii^^ awr ot» ilÎMQÀtMf, on eomtMDt iii]f «Pf leP'liQ^ 4»terdei.et]feUi{)^ aiutmt P^42'poikr,feâ(iuie eonuDune, et pouvronl etr». €Oiifli(|éBéà ocnottel» fierspectnittdeiflcR» oouiftiei sitoées suv tm cyiîndré) pwdUiète àii tahkaa ^ car Im». taa-* ^fentes ocnmiimêai sebonA pai«^

Tout plan parallèle au tableau coupera les pUi de odi. îIaw courbes: suiffanf • des duoitefi pârattèltt à. 171 iet IN> intrasMlMii du Méridien pavàHèk>p tablnuy et'des {dana dé^dfaox jéousbea. Pvo^ }«làant' le point Sf sur le {dan ^tka eerdlë P^Q , par une ^soîte. paraU^^ aux génévfftricesi du cftinBire^tpi ^cooAeut les dfauK own i h a i i isn ]^ba parallèle au tadiloau; coolteoant cette drorlèi, coupera; le pda» dé leUîfkM •ekm m^ parattèle & Qï' et le^ plan du oerele selbo TX fBHTsdlèle à 171 ; ^& p€iM prqj6ié: doit lâtre ^aéui'4Uie^Kg&e paasaoït par M: etij^ Mfiète>aiui àràtas' du' «f^todre, ,€fesl^à*dinr à ki direetÎM KM* Si dn point !£ ^ «iJMi ^ter|0iiié f Boua naidncms deiôt tan|^eiites.aii» cfirde XZ et XT, nous n^àùrons pRis qûliî ràsnehcnr ^es tangenlie^ «f leuips pôioWl âd contact sqr le platn de l^elKpse/par.fe procédé' i»t«rse'âi*<!èl€ii<pM nous- venons ^^^tn^lùjer pour* projeter le* p<9inlf M ; têtpà s^cjMieét en aftâfesiâ^t dU poffrtT tme parallèle à ¥J| jusqifàu pokit W, oàéfl'e reAcorntf e la siéoanté coititouné, en menaciii dé ee pdiàC une parrilj^la WY' à NI, et obseirajrt que la tjgne <jui joint IT* » dprïl également être pat*alliâe à celle ipi joint If à T;- ce' p<>intt^appar!!îendw'<ru contour apparent, et la droite (jui le joint au* poinf IV sera tangetitie^ ^n ce poittt à celte ûDufber iVei^ es* dfe' inétne ifa pôinï V et de la dmici MB'. Ces deux points appartinrent au cobtflow apprentert^iiëtt^dë fe surface; .on aurait obtenu deto.pdînts du ocmtour apparent telé^ rteur ^Q menant au cei^ile de <tontftct d^c'le rayon est- f& ,^^e«:^fflj> gentee par le point 6à la tangente «nX atl cerdte méHdleiPtittiitv^eHi^ contrer Vaxe. On reotisûrqfUtérâ que la droite H^ Mi^e^ la $iéiû4iill à^d^ mune P'Q au même pOint M' où la tangente! aurceneleP^VQ 4a netteéaattte aussi; car ce pcKnt, dans jb projeefSon i>éèipi^iiei da «ea 4ri9^ appartenant aui£ plans^iibdB âkvoi oaucbéB, né T|fibpa8v 0'eii«^d4 jnéma d6& detut fatigentes !X¥ «I PT;

On peut, par un proche analogue, troufwaqrtant ^atMàpoînti et d*atitres tangentes îpi'ôn le^ désire ^ tant pour la Irtincbe iCflLtfriîouaé du contour apparent , <^e pour la* brsttidM^ inrt^eareL On; reftuaqsara

OUEITRE m. 71

que cette itâiàèrt h 'qnotM ^mta singaUws : oe «Ont «ck» poor lesquàa In tÉBgaatfli à <^ai.e xombu à dtfnblB caUtbut-e , trïsnmmt dans l'éspate i^Msitir À. raBil..Cèb points dmsetit le coatbar i^arent Intérieur en quatre parties : deux pMr )esfqeHé* 1& «Ufûite ert <nié exl!é>limreflaeBt, et deux aroires pliB petit&s poilr tetifaelles ^crâ ia vcn^t-àit ilitétfieuienieQt ù ison tov^kipp» tiaèrmare était' tratispavëHM.

&a beû de k consartwtiob préoéd«nie , on "aumit pu ràbatera sur le ptaa raérUSÊtn pUttHèle «1 tabtMiM le cepdie 4e cOÊ$atA âé k «pHèif^ et du côoe autour de son diamètre NK., ainsi que'lËpotet<c^'lâ'4ft}itft' peojatante de M pevoe ie f\an de ce otnclè-; «t, ttpi4» ttvdir lUMtë «n nÉNittemintr par<^ point, des taogèntes m oeroie, rem6ttt«; ces |r»' gentes et leura pointa de contact en perspe0tii*e.. Ce procédé de cons^ tniçtioii démontre que les deccs «ttrcles méridiens pdrs^^es «tt taâbleatt toucbent le coatour ftppareut en quatre poinfs éont lee CaAg«n4«s en per^ectire vont passer par le point de >rae.

4— ipuHB n'APtUCAHOH.

Tïxtcer Ut persptcUva tTime vis à fâet Triangakrfnr aiMtf taxe isemii parailèh au tabiean, et eoi^enut fmaae per^ctif à MM.distatMB t dit point de vu», (^kfiche •fT'\Ondf9nnepour,aagie thi.tràaagie gi*> rUrateur de la vu, celui.de ^^i pQur hav£ew dupas de .vis./ ta grandeur. III; pew rttyan du eercle ^ haae de théliAe jaUiati^, la grandeur Uj tt Pçn ^i^Hue ^ue /s vw eat.deb<mtsurunplan horifionitdA^rEP»

Soit donné ponr cercle de rabattôDent de r<en celui dont £F est le' diamètre.

Canstraction. La surface de k vis étant réglée , a ube courbe limité diftinée par les traces d'une suite de droites parallèles à ses génêiâtricès, qui passeraient par l'œiL II est évident que ces parallèles déterminent un c6ne dont !• sduimet est à l'œil, et dont Tangle aU centre est le double de celui des filets. Iji tKice du cône est donc la limite de la surface. Pom- obtenir ceti It dé rabattre i'ceil autour du plan MD* qui est le plan | ce de k vu, puisque k perspective de cet axe doit pi ït de vne et être perpendiculaire & k Kmlte £F. L'ceit 1 --E,etk ligne EMfâsant avec

my fangle de 60*, est une génératrice du cône; donc le point M ap-

7^ GÉOBtëTRIE PSBSPËCTIVE.

partient à la trace de ce coi^, et comme cette trace estévidedbméntune hyperbole M'MIM'^S, etc., ayant pour centre le point de vue , et ponr asymptotes de$ droites faisant avec la direction de Taxe des angles de 60^, on pourra la construire par points.

On cherchera ensuite la section du cylindre sur le<{uel se trouve l'hélice saillante de la tîs avec le pkn AB , £F : pour ne pas trop charger la figure , noua avons donné cette section sui^ le plan A'B', £F parallèle au précédent , et distuit d'une grandeur BB' égale 4 la hauteur du pas de vis.

L'axe rencontre sur ce pkn la ligné qui a sa trace en D'^ et sa li«^ mite au point de vue , à une distance ^ale à I ; portant cette gran-** deur de D' en ,B\ et joignant le point B' à £, nous aurons formé sur le plan un triangle CD'B^ isocèle rectangle , dans lequel D'C sera égal à D'B'; donc G sera le point où l'axe de la vis percera le plan A'B', £F. Menant par f^ point y dans ce plan , une droite IH parallèle au tableau , et portant sur cette parallèle une grandeur DB' égale au rayon du cercle de base du cylindre au moyen des deux parallèles B'£ et DE, nous aurons en G, en I , et par conséquent en H, ded points de la courbe. En portant la grandeur CH sur CL par la ligne LH qui détermine le triangle isocèle LGH , ligne dont le point limite s'obtient par les procédés du 3^ problème, nous avons un aiitre point L, et par suite le point L^ etc. Nous pourrons alora élever par I , L', G , L , H, G^, etc., des génératrices du cylindre, et trouver le point où chacune de ces génératrices perce le plan AB, £F; puisqu'il suffira pour cela, comme nous l'avons fait pour l'axe G, et les génératrices L et L', de porter sur ces lignes une grandeur égale à BB', ou à AA'. Nous trouverons ainsi que O est le point de rencontre de l'axe avec le plan AB ,. EF, et L' le point de rencontre de la génératrice qui paiie par L^

Supposons maintenant que l'hélice saillante comjaçieçce au point où la génératrice du cylindre, passant par H, perce le plan AB, £F. Pour avoir un point T de cette héUce sur la génératrice W, il âiut savoir de combien l'hélice s'est élevée dans l'intervalle de ces deux génératrices; or, les points I, L', G, L et H divisent le demi-cercle sur lequel ils se trouvent en quatre parties égales; car toutes les droites qui aboutissent ^ de ces points au centre forment , deux k

trois huitièmes du pas dé wis^ Or, M' f s^ l^fîal ? iÇÇ pjiis 4ç y^ip^ 4iV(i(W>* ,AA' m JbwtfATticp, ni|^or^9^ c^ gr^ju^i^s «^ p€)r^p^|jyie ^uip >LX'

.fut im f9W&tk9 , i«ik i>^M4wf trp» 4p *pp iw^e? iJe JL* ^j» ï, )1^ ppôi^t

T 9fq^tî^4w à rb^«. Nqm» trouyiCii^on^ .9^i^i 1^ «futr^ f^Wt^ ^ Jin fFmaièrp ^éi^C^kMÀon i^e J'bféUp^. €ela l^it, le j^i»t N, {^ exemple , s'obtient en portant df90f. fpî§ le pai de vis 1^%" à^Jm^Jf. Cé^fm^'^ <efafi«g9 4e ;gmi4eiMi* m i^^pe^tîvp pour ^oiu||^ Jlef gér oH^natricdi» JUnsi , |^i)r A» gié|iératrp<oe 'GM, U flst d<Hwé .fi^W* U 4i^Q|M ^ui fMm {iftr tG''); fijpw Ta^, ^ p»r ppM^q^e^t p^ur 1^ géji^éf^tfk^ i H Mp H m donné |^ h grandepr 0Ç« jb)!^. f» iJÎKÎfl^t GG' fiii^d^Ui[ l^arti^ ég9i^, fW » ^W PPHM^ <1h ignUHl ^9«

4e f €ftî|i»e <}9a% te» f^^rio^iM^i ^yém f^ se^ iQ:Mr4wté9 ^iwent 4e Graii3iftrîiiFf^eii44w ^ TbfMjM^e As^tl^t^r^ tc^f^?

et, par conséquent, les tangentes extrêmes npii i^pitei^); <^ p^lVtQti^ i(le .oejLte MUQf »

GhenthoM tnawteMM «me des ^gikni^tm» de }a /»}u*/a^ nffir fMPlte., ^Ue, fi«r «i^ew^let qui shpiOUt eu pq^^ 7^ ^effte gé^^i^re- .6!iee 'Mra daoAée fitr Je plan «léridîi^ ^ ipe»»e par ce |K>ii^ Ar» loe plan iqyi €mJifA le «yUcûdvie -«rà^amt VJÏ^ e$ ,qui f^^^^e f^r T^^e, ^ jptiir tiAoe AJl' /el: |Kmr Jtiioijte j^VE'; .diNAP M' #W«i ^a 4w|ite .(^ 1^ gj^ nératrice cherchée , puisque c'est le (pçwt »PV Je }imitç 4m pls^i ro^^ contre la limite de la surface. En joignant ce point à T et prolongeant jusqu'à la trace AA' du plan , Q sera la trace de cette génératrice. La im^MT 4n fU» rfMQântoe l'byipe^bole le» \m wqwd jpoint,q\U ap- INVPtîw^ ,jk la 0^ésMJW «de Je smfeee «îpfé^cmre, qiû ;f»^e jégelf^- «nep» 4p*r !^* iNpias fMWDW» ^wer «wr ^n ^pa^ .«en4>I^Ie eu-

iffit 4c géiifté^^rtrôsee qiie incwi iifp«drô<« «r;J'||ièe»et,r,»u|tre iiwrfece;

i^eUe» tqtti i¥w^ 4»ii^7^ mène pliw «péij4»w e$ <J»n» ^i^Wf v^Pfi^ .^n

regard donneront , par leur intersection , un point de l'hélice crewfte

.4e b V(îs..4U^8i,ydew le plep VS^^Jfi!'^ YmUf^fk^QU des gén^retTyces sgifi pesptent rpv Jes fWM^f^ ^ et 6, if* .qui wJ , 4'»u^ .psi ^ijç w ;bJ!', et 4'e«tw en S,, ,(pwn^vy *n ^pw«K 7 ide J'b^WfiP tc^iwfr Pi? po.wica 4ems' e^ws^tiwve ei^wi «en» MUqei; eifde Mti il ^ ,<^tei;» {4\^ <jp^

^l»»U9Fer jte.qomtowr eppaiH^f 4ee ;dWF #P?^s M^emrp ^et Aifjn^ rieure , contour ipii ,fi^, «n }MsfMl)ve« 1» fiPW)>e ^PTieJqppÇ ,^ yp9r

semble des génératrices. Ce contour apparent doit être tangent aus^ bien à rhélicé saillante qu'4 Thélice creuse.

Nous avons supposé cette vis terminée par une tête octogonale; mais nous n'en discuterons pas le tracé; nous nous contenterons d'indiquer que le diamètre du cercle inscrit à son polygone de base, est égal à la grandeur 9, lo , et que la trace de son plan inférieur parallèle au plan AB , EF, passe par le point W.

Il nous reste à faire voir comment nous avons obtenu l'intersection de la surface avec le plan inférieur de la tête ; cette courbe est l'iii-» tersection de ce plan avec la succession des génératrices de la surface ; ainsi la génératrice YX, qui provient du plan méridien BB', ES, est coupée par le plan inférieur de la tête au« point X, point où la ligne ZX , commune intersection du plan méridien et du plan inférieur , vient la rencontrer. On construira de même l'intersection de ia vis avec le plan AB , EF.

Nous ferons observer , en terminant j que les génératrices des deux surfaces rampantes , données par le plan méridien parallèle au- tableau, qui passe par le diamètre IH, font en perspective avec Taxe des angles égaux à ceux que ces mêmes droites forment dans l'espace, et que, par conséquent, on peut tracer ces génératrices, en ayant un seul de leurs points , quoiqu'on ne puisse pas avoir leurs limites ni leurs traces, qui sont à l'infini.

Après avoir fait connaître comment les principes de la projection polaire peuvent servir à mettre en perspective les corps qui ont une génération géométrique, il nous reste à indiquer sonunairement les procédés à suivre pour mettre en perspective les corps de figure irrégulière , mais dont les formes peuvem être approximativement connues.

Un premier moyen est de supposer que ces corps enveloppent un squelette composé de lignes droites de grandeur et de direction connues. Ce procédé trouve son apfpBcâtibn lorsque l'on a à peindre une académie en racouf'ci , aboutissant , par quelques-unes dé ses êxtré- "ïnités , à des points dont le spectateur peut apprécier la distance par lès données mêmes du tableau dont elle £nt partie^