CHAPITRE ÏV

briHànt du grand cercle rabattu dans ce plan , d'après le rayon lumi-neux rabattu, et par rapport à Tœil également rabattu;. en remettant ce point en perspective par les procédés inverses du rabatte* ment, on aura en perspective le point brillant dierché.

TYacer Fombre d'un cube sur une de ses faces prolongées.

Soit le cube déjà construit (fig. 3 1) , et que nous rapporterons (fig. 3a) en ne conservant que ses arêtes visibles et les trois limites des plans qui le forment ; et soit le point S' limite des rayons parallèles par lesquels nous supposerons ce cube éclairé. Nous avons déjà £adt re* marquer que cette limite correspondait à deux positions du point lu* mineiix , Tune en perspective réelle et l'autre en perspective imagi* naire. Supposons , d'abord , que le point S' soit la perspective imagi* naire du point lumineux. Pour trouver, dans cette supposition, l'ombre du cube sur celle de ses £aices, qui a IB pour limite et AC pour trace, il suffira d'avoir Fbmbre des quatre arêtes perpendiculaires ^ à cette face; ce qui s'obtient en menant par chacune d'elles un plan parallèle au rayon lumineux, et cherchant l'intersection de ce plan avec celui sur lequel on veut trouver l'ombre portée.

La limite d'un plan parallèle au rayon lumineux et. passant par Tarète SE est ST; le plan BI et le plan'STP ayant, par construction, leurs limites parallèles, ont pour commune intersection une droite parallèle à ces limites ; et le point £ appartient à cette intersection. Menant donc, par E, une parallèle à PS', on aura la ligne indéfinie £G , ombre de ES; ndais un point quelconque et son ombre portée se trouvent yr le même rayon lumineux : donc , en faisant passer par S le rayon lumineux SS', ce rayon déterminera en G l'extrémité de l'ombre portée par l'arête SE. Opérant de même sur les autres arêtes, on obtiendra l'ombre totale EGD, etc. On remarquera que 6D parallèle à ys, comme ombre portée d'une droite sur un plan parallèle, doit avoir même point de concours^ I que cette ligne.

Supposons maintenant que S' soit la perspective réelle du point lumineux; il nouS' devient rfors impossible ii'avoir Fombre portée, sur lé plan AG, BI; car, dans ce cas, la 'fiice vue de ce plan est dans l'ombre : ce plan intercepterait donc tous les rayons lun^ineux dirigés

if, GÉOMÉXPIfi P'HJSPSCTIVE.

S»l,ff. Op4t»B(»»ril'w*«eSf flWWPBflBsfr'SWAiti»»*'^, B9M»

par EF, la drojw S'S, 1« pWBt O^et» dpnç JaJioitte df J'jMeoMtiw ,4« ce plan avec le plan NM , IF; donc OFH sera la direction indé0nie de l'ombre portée ^ar ËFi«t Jie fwM^ .n,.ov le,i9JfW luwi««tf fassant par E vient rencontrer FH , sera l'extrémité de l'ombre portée par EF. Qm poBt obtenir 4e même l'ombre porbâe par les ^roà^ .filtres «rètes fterpendipvljHre* à IP» *t il en flépultera l'ombre JiTQFJH^ etc, Pi» v(âf ^'upe iwrtie d£ «eHe pœbce «pt ^ avant de -la xra^ e 4u i4)W ^ M £optff)4t. JU'oinbr^ de SS- d«v<«Bt amr même ,liwte >gi^e cette #ète i on v■'f^ (ju'i joindre Je powt 9 k pette limite pwr aivAir h diropti^oB die «ette^ffUir^. lïne reni^rqpe ^effiMaUe, ^p^Ân4 «tt .aiva <S|nr le |W9- Uinga new ^k HT l'oojwe du {«wt V, fcniit «««laitre J» (ïwictioii de L'ovhr» 4f> ys„ qm cnnFlète l'wilwe pontte.

;>v)«>«r^,«flwi« «^wMt^a^ifi'N^'* cuieluimrfiirif fu^otffin^ miiÙKf 4^riiff, yJa^^çbe 0"v,CT sf^pfijiefii te pçim ifi/n^nefix ,àVMi^

O» «»t que 4w» «et» a» Iwn^ixwx «x toiivà-

£Ùtl>Qr«d«OHtj%;<)ii»» ] nbbtnir |a «autl>e,ctierr

fih^ sa«» êljre oM^fé ^ f

CoBsmiMo<k On pep*t «uppeser iwe sph^ mitillp «t v^àatle d« i»yiHi , «s«i^eKti« à ^tre MnemUt i :1a Mv£>ce ^niil^iie et A »»W Km centre ««r l'aw tle ««wiUxioB , )w de« «wiaets «e joiisberpw constamment isuiv^jt ua ,ceccle perpe n dicM ^ i r p \ çpt j^e. ^v»^ tons celle de ces yiphèfe» ^«irait tao^entesuifaotile œnclp «Ipat l; trace «ur 1^ ,plaii inér)4wi> piira>U«l# m ta)«lea« «^ t JIK. ^ cette «plwrr seiii .coupée, ip»r<» ^ wWdiett, ewant w jfMad c«t«lf tmcwl aw den» «qvbw miéradÀwniss a» point ov icsf wiMbesiWWt.teiwnr

trées par KN; donc, siMffps joignons P94e.CffS})^to iUaH Wftte*).Çr

wqs *wo«is >lt frectian dw fsf w 4'sm *^ «nwda isfoç*» «wgpn» w poiot !<. DflHC, enS«„,]e iiniMt «, oh 1» Ijgw ^.prplqvgis.nent nocoptrer ,!<'#»», mn le «eatr» ijii.ip'wd cançle,, «t |i»r sw^^igHenf celqj ide .1» aptùre «bereiée , . ■

CBAiHTRE IV. 9i

^ ft, jur cm» sphère evlîèmiÉayit «bmme^ fMÔsqM noiis afOM k pwapedive de son centre- et de soà rayon, nous cherclKM» le {^rend cercle s^tfeticMid'omlnre et de kuniâre, lespokits où ce cercle coupera Qsfaii de contact des demr snr&ces ajqpartieildrcmt à la séparation d'ombre et de kunière sur la sur&ce anmdaire.

La sépttatioB d^onibre et de lumière , sur la ^bère , est donnée par un plan passant par son centre , et perpendiculaBre au ra jon lu* mtneux; ce plan doit donc avoir- ^ pour limite, et, puisqu'il doit passer par le point a, sa trace çTcontœndra la trace c d*mie tigne c, R passant par a; ce pkoi coupera le plan TS, OR <{ui contient le c^cle de contact diss àeax siurfiuses suivant la ligne T, R; et cette Mgne«era la corde oommmie des deux cercles dont nous cfaerdions Tiniersection« On^ peut donc indiffiéremmmt cberdiçr les points où elle ren* contre Tun ou l'autre de ces oerdea, cebû de la sphère, paor exemple. Pour eela,^rabatt<ms le plan ^, gh sur k tableau; k ligne T,R vient, dans ce moavem^st^ s'appliquer en T/, parallèlement à. k Ugne qui jotndmt k point R à Péril rdbattu autour de gh^ Si, par le centre a du (^rand cerde^ nous m^Mi^ns une perpendiculaire Cyd k k diar» nière de rsdiâttem^att , cette pmpcoidîpiikire se rabat en ei; k ligne c^ R, qui passe également par le centre a , se rabêt suivant une parallèle Cl 9 au rabattement de T , R : donc le point #, où «Hé vient rencontrer êij est k centre duerehé du grand cerde nlbattu* Le rayon de ce cercle étant , en perspective, donné par k ligne La, paraUèk au tsp bleatt,«î, par aes extréorités, nous ménow ^deux parallèles LR et ctR, l'une dans k pkn IS, OR , et T^itre dans^le pian efyghj ces Ucpes intercepteront ^itre leurs traces ^ et c une distance égak à ee rayon ; donc , décrivant du peint i un cerde avec te pour rayon, les deux ^nts m ^ n où ce cerde vkndn couper k ligne T/, s^ronty esà rafaattament, les points cherrbés. On remet ces points en per^ecttve-en abaissant de diacon iFeitt des perpendiculaires mf et i^ à k charnière de rabattement , perpendicttkirès dont <m obtient k perspective en joignant leurs traces ^ et jr à k limite d des perpemfie^^atres à k disniière ; ks points P et S, où ces perpendiculaires vieiment rencontrer k ligne T, B , seront , en perq[>ective , les jdeux points eher^ <hêê.; îk appartiennent à k brandie tetérieure de k courbe de sépa* ntion dPooobre et de lumière , cafome provenant du ^us petit de«

8^ GÉOMÉTRIB FfaSPECTIVE.

àemi Mrfta^. dédei^itwé» «or fat ^ittfKepat Kut^Mttîon. du plan

Il e&t uii« «ecoQii^ ^pbèf^ t^^d^pMile à ia wAnt^ et à^m bi «entre ^t pareilleioeiit #o ^ ; ^«^ t*«yfiii| on perspMtiye «erftirla; jnéibe Aî|^ aL prolongée iusqu'mi pojpt où dttt peneoatre ^ Hoimeini ie^owck xoéiidien^ C^lt^ «phèpe, iqmot nkémi3 centre ^ aHfut nène ptoa ^ gh da 9^ar9tk>n d'omlire «t di^ kunière. Pan» 1« itJMtMviJ^it d^ wplte, ^n Quatre yiendr^ut pftreiUaeefitt en «' » «t son nyait semc otdni Aa ^efc]^ xm» .augmenté dti diamètre du cende génévadmur da la ^ urfeoé;, c'ert^-djre de deux fois la graddeur L II mffirttk doiie, pfur atoîr <)wx ni9liir«aux . pointa de la courbe, de trouiFer te vafaafleowit de la J^po^. d'inteHeetion du plan ^^ ^ a^reo le noiaiMii pkai da acor ïM^ da iefte sphère et de laMrfiice; leadeux paima ainâi cil>anKi3-iqt* pf^tira4r|ENRt à la courbe exténeure.

I^ séparation d'cnnbre et 4e luiliière étant tmeée fM» poiaata am la fi^irspeçtiva de la 9ur£ic«, at cbaaun de .m» pointa aa.lroiiwBt cur me droite oa un plan ùwwj^fOn |K>ttiTa troufar , égalcmeqt par pmntv, l'gadbna portée de. la aiir^Ssca, en déterminant la iq^lindre parallèla aux rayona ImiinauiL qui paa^ par là aépcaratiûn d^otahre et dé hunière^ et dMvchlpt l'iotarflaetioai de ce cytimAre a^iac b snrÛKïa^ si»* laquelle on venl ablanir Tondire pOTtéa*

Ban» 4)ejPtaîne3 pMitiona en point lumînsus^ .la aiiy&ae annulaire p0i^ ombre -sur eUe^méma : la figure 6ur hifu^la nous fmona id'» pé^eir ^ fourwt la preuArarinnE^édiala ; cariai L'ail éttit l^ivanâna le powt édairont/l^ ipc^tnur qiparaat sa confondrait anrec la a^uuMion d'ombre et de lunûère^ et,. dans cette auppetitian ^ la partie iion ^ue de la aurfiiaa pr^î^t^e dana la$ ilaux tidaHigles cannlignes qui ont i^wn pour sçnimal deii^ des ppiilta aît^gttfiaaa ^ iiontai«ri^)parcn^ iAtéii^9 <\i^pou^ jtrcriMèma siavimet la paîMoàla brandie {taafeériaMcfe 4a ca^x^^n^ba rauGQntr^; an pmi^^aative^ la baanoha anAérîoHira^ a»- ^i éwiftoraf^n^: privée de ImaÂèK par <Habra p<Mée.

; }^^Jmm^.9ni^^^ serYiiiaMî.à troavfryonolNra poiaée^tlaiann- Inaa sm aU^r^^i^t ^t $uc ua^ wafaaa 9id4K>ii(pm I^rundeaipoîsta àf^h mpm^^iv^ ^9Voi^W at da luç^ce^.aftin^llara mi éàfom Itwiim^ k^|?V Ç^ ^pyo^ii Q^ imL:flm^ .m fhÊk jp^koBq^i an ^dieirr cberai^iooj^be.iatarWMtÎQR^ M siirfafae sur laqruaUa.on

Teitf obtealr ITosikM pdrtile^ «t.le ptfkit tnk te ray^HiiMtoea'^ieft'^ dta, Mftoonlrw cette courbe, sem xm point du <x>ntour de Toiiibrfe fKPinée : $i le isayoai ne k rÂawtrttt pas , le point d*oà il provient ne* partmit pea. Qiobre.

Trouver les ombres de la vis.

Suppoiow que k ri% mise en perspective, plaiiche 7^, soit éclairée par m pbint lumiUeuEE à Viû&m , dont la praje<^oti im^^^nàitt dèrkit en S, fit Perdions Fonibre portée de ceti;^ vift sur le pkn AB, EF^ él son ond^re sur dteMoaàaiew

Pour trbuvei* sur ee plan TombiiB de fhéKce saillante qui e^t une anae^épemtios d'cMubre et de lumière, mus ferons passer, |>bi' chaque géaéi^atriœ du cyiuuire sur lequel cetie hélice est censée tracée,, deà pkss' pareUèles ^u ra^n huuîueifit; les intersections de ces plans atee k pla^ AB , SF auront touftea le point S pour limite , et passeront par k pkd et diftcpie'géiiéraftpiée» Il ne restem plue-, pour avoiy Fombre d'un point quelconque situé sur ces généA(^àtri!ë«$', <fj^ joindre ce p^int' à!k Jimtoe^dm rayons lisninenirit , et la r^sncontre dé ce tayon trec rintemectiim pcmftune du pbua prdfenant de l'arête atiqnei il ^spartient et, du pkn AB, kF, sera Tonibre eher<^éé. Ainsi , Fombre éik poiat N drrant 9e trouMif en même temps sur le ràyôù faai!kinenit N6;» et sur rântersectioD L^du plan AB, EF et d'un pfam parallèle au mgroii.lMmi»eiiic passant par k générâtriee L^, se tronte en V^ in* tmsMtidn coimmme de pea de^uc i&noiies;* toute Fombre de rhéKce se déienmBe »ar k même copetriiciion.

- GiMVclM^na l^oeabre portée pair les anètes (nftrieures de ^' tété sur k ewrkce raorète W, F, par exempte. En iËsAsant passer par cette Kgne «n pkn W&;fiP patvttàk aisvayoA Ivmin^t^, FititeÀeetibi^ de ce pkn et de k aurâë» dl^ntte ï'oabfie oberchée. pA obtient celte interMOtien ^par k veneontre sM^èsatre étt pkn et de cbaqtiee générais trice. Ainsi, k ^émtnce contenue dasa le plan méricfien -KiT/ ES eet rmmBRftréB api poiM F par ^letMClion commune SLP dd plan nJéfidirfc at dn pka Wl^, ST. Eni opérant de marne pour Farète iiui4^i«n, olM%n^ \m itaa eourfciai dont Finterseefion 1 1 est Timbre portée ftr Je péhit 1%.

U<oouaMstn cnfin.àiaroilvtÉ' Viraibre portée par Fh^ce safflanté

84 GÉOMÉTRIE FEHSMCnVE.

sur k «if&oe^ Cette omhr^ est rihtersectioB d'un qrUndfe pasâaat par rhélice* parallèlement au rayon lumineux, arec la surfiMse édairéè de la vis } or, la base de ce cylindre, sur le plan AB, EF, est Fombre portée sur ce plan par l'hélice. En fusant donc passer par une des gé* nératrices TV de la siir£sice éclairée im plan parallèle au rayon lurni* neux, ce plan QR, SAT coupe lé plan horizontal suivant la ligne R'U, et , par conséquent , rencontre la base du cylindre au point U. L'intersection de la génératrice du cylindre <{ui passe par U avec la génératrice de la vis sur laquelle on a opéré, donne un point Y de Fombre cherchée : tous les autres points sur chacune des révolutions par la siu-face se déterminent par le même procédé. L'omlH*e portée par la tête sur le plan AB , EF s'obtient . en prolongeant ses arêtes , i3, par exemple, jusqu'au point a y où elle rencontre ce plan; joignant ce point à la limite E, et menant par i3 un rayon lumineux qui coupe le plan en 3, ombre portée par i3; de même 4 ^ra l'ombre portée par 14, la &ce i3. i4 se trouvant parallèle au rayon lumineux par construction.

Il y a souvent lieu à tracer sur la surface apparente de la vis sa courbe de séparation d'ombre et de lumière; ce problème; se résout en Perspective comme en Géoâiétrie orthogonale. IL ne s'agit, en effet, que de £ûre passer par chaque génératrice un plan parallèle au rayon lumineux ; de chercher ensuite la courbe plane seconde intersec* tion de ce plan avec la surfiaioe, et le point d'intersection de la courbe et de la génératrice donne un point de la séparation d'(»nbre et de lumière, puisqu'il donne le point de tangence d'un plan ^parallèle au rayon lu* mii|||ux. On pourrait aussi obtenir ce point en considérant le paraboloide hyperbolique tangent à la surfiaice ran^ante suivant la génératrice par laquelle passe le plan parallèle au rayon-lumineiix. Ayant ainsi obtenu la courbé séparation d'ombre et de ImnièrB sur chacune des sur&ces, on procéderait, pour avoir l'ombre portée qui en résulte , comme> nou^ l'avons £ût pour l'hélice saillante de la vis.

En 'discuttnt les divers cas que peut présenter le plan tangent à la suriace rampante de la vis, on reoonittdt que la s^aration d'ombre et de lumière peut avoir deux asymptotes, ime asymptote, ou enfin peut être une courbe fermée , selon que la perspective du point lu-^ mineux est hors Me la courbe limite de la surÊu^e, sur cette courbe