CHAPITRE PREMIER

Définitions.

La. Géométrie perspective est un système de projection polaire dans lequel les corps sont rapportés à un plan connu de position , par des droites qui, partant de chaque point à projeter, viennent toutes aboutir à un même point fixe pris hors de ce plan.

Nous appellerons Tableau le plan de projection qui sera toujours supposé se confondre avec la feuille de papier sur laquelle on exécute

les dessins ;

Œil, le point de projection pris hors de ce plan;

jéxe perspectif y la perpendiculaire abaissée par r<e//sur \t tableaMii Point de vue , le pied de cette perpendiculaire ;

Cône projetant, celui qui a son sommet à Vœil et le corps à pro jeter pour base : ce cône peut se réduire à un plan et à une ligne, que nous appellerons Plan projetant et Ligne projetante.

Enfin, nous appellerons indifféremment Projection ou Perspective, l'intersection du cône projetant avec le tableau.

Projection du point.

Projeter un point, c'est joindre ce point à l'œil par une droite; l'intersection du tableau et de cette droite est la perspective ou projection cherchée ; mais comme cette projection est commune à tous les points de la ligne projetante, un point isolé sur le tableau est gé-

s GÉOMÉTRIE PERSPECTIVE.

aéralement la perspective d'une ligne passant par l'œil : une condition de plus djpviênti donc néoiessfâ|*e pour particulariser un des points de cette ligne; il faut indiquer, par exempte, qu'il se trouve sur une autre ligne, ou sur un plan, connus de position. La perspective (^ poiçt d^pQn4^a doçc dq cdl^ de la dfofte ^t^du^plian.

Projection d'une ligne.

En faisant passer un plan par l'œil et par une ligne donnée , l'intersection de ce plan avec le tableau est la perspective de cette ligne; la même considération qui vient de nous arrêter quand nous avons voulu détermiq^r^'U^ poiof ,^sa^rés|pn^ enpoçe ici(^ca]*la perspective d*une droite est commune à toutes les lignes qu'on peut tracer dans son plan projetant : c'est celle du plan projetant lui-même. Nous allons donner le moyen de modifier cette projection , de manière qu'elle ne représente plus qu'une seule des lignes contenues dans le plan projetant.

Soit» (flg. i) AB la ligne à projeter dont les points A et B sont censés ^ l'infini ; soit O l'œil, et EF la perspective de AB. Si nous menons par l'œil les deux parallèles OG et OH à AB et EF, nous verrons, à l'inspection de la fi^re, que là partie infinie DB se projette dans l'intervalle fini BO; que la partie finie DH se projette suivant la portion infinie DE, et enfin que la partie infinie HA se projette suivant la portion infinie 6F, mais de telle sorte que les deux points extrêmes A et B de la ligne AB ont pour projection le même point G. Ce point remarquable , et qui est dififérent pour toutes les lignes non parallèles comprises dans le plan projetant, va nous servir à distinguer chacune d'elles • nous l'appellerons point limite. Si nous nous contentons d'opérer sur la partie de l'espace qui se trouve , par rapport à l'œil , derrière le tableau , ce point limitera en effet la perspective de la ligne AB. Dans cette supposition , la partie de la perspective que nous avons à considérer se trouvera comprise entre 1^ point D et le point G , c'est-à-dire, entre le point oà la droite elle-même rencontre le tableau , sa trace , et celui où vient aussi le rencontrer une pamllèle à la droite memée par l'œil, sul limite. En marquant ces deux points sur la ligne indéfinie perspective de AB, toute indécision cesse : la limite fixe invariaWement la direction de lu droite projetée; car elle détermine

des points de la droite eUçi^^éiwe^^ sAxp«fr^»e^Ti^.«ili^.iQo4i6À^ peiM ]^tWv«Pf>>artepir|cpL'à-uoe aeQk'4â», dro»^«ai «waaf me$ 4«BS(l»{Sian

,X4«^^pp^it.lin4t« $'4ippi^,i^s^^ tm$^cojt:diRaii^ft-de ]P«Mq9eo«it«»

j^>»tv<^vC0«ceiur$,;par«a qu'il 9fit <wmraUfi ^rtov^; 1«|} j>«»spectiKé$ d'un même faisceau de droita» .pwallèleb ^Ware elles ( la .%o« qu'il fiiut mener >patr l'œil, pour détefxoiner leur ppîat l^nite, é|;ant:<Q9 ^d^ la iE^« .poiiE toutes fl»» dmiCç^ id^ Ji9^B»9 /&d90Qa«*

les droi);!^ pei^nd^QuUire^ fax tableau i piiî^qti'tti e^ \$ piâql/^At^fi^ GQntre;de.la perpiomUcplaîra au tabl^aAi';a}>aîs6ée pair rpsil. '

Quand la droite à projeter est parallèle ^n |a)]to|% )8l^>b!9Cf^«lfi«a limite passent '4 Tiinfipi) il .Ëf^t.aJl^^ ppw j^ .drw^i4pif^ en-

tièrement déterminée y sedopn^, outre son |4«P f^jt^Ml^riW V9êb^

Quan4 la drx>ite j>a39e pfir Tc^., s^ .tr2|<vei ^1; «a ttiB»|to,»fg^[pnpfQgrfffit» et sa per^peçtiyei^.cpimne nous.J'ai^ns.déj^ pliwrv^, .$6,«'édiUiKijiWi point

Si nous icbercbons (fig/j )wq9^.^st4e;pQÎpt4'IMB^fd^?«^ AB, qui se projette en ^, à égale djustanc^ de Ja tracç^ €^ de lu Umîfc de cette droite, en menant la ligne projetante 0^ quipasM^paroM point, on reconnaîtra, par Tégalité des triangles OG^ et bgD^ que ce point se trouire sur la \droite, /à um ^dîstasee du tBàAtsnifjêit k celle qui existe entre le tableau et Toeil.

Projection du plan.

Une droite pourànt s'appliquer enâèrement sui" lin plan , et là perspective d'une droite étant liiâitée , celle du plan doit Tétre atisâii. Le plan, comme la ligne, sera déterminé en projection pbUdré par sa ligne trace (son intersection aitec le tableau) , et sa ligne limite ^ c'està-dire le lieu des limites de toutes les droites par lesquelles on peut le supposer engendré, il est évident que cette limite est droite, qu'elle est parallèle à la trace, et que ç'çst k trace 4'uq plaj^ parfdlèl^ au proposé et passant par. Voçil* : r

droite; elle est commune à tous les plans parallèles; et, dans ce sens, elle peut aussi s'appeler Ugne dé concours.

. De même que nous l'avons observé' pour ime droite ^ la limite et la trace d'un plan passant par l'œil se confondent ; et un plan dont la limite passe par le point de vue est perpendiculaire, au tableau, puisque , dans ce cas, le plan parallèle mené par l'œil contient \ axe perspectif qui est une droite perpendiculaire au tableau.

C'est entre la trace et la Uxnite que vient se peindre sur le tableau tout ce qui se trouVe sur la portion infinie du plan située , par* rapport au tableau, du côté opposé à l'œil, seule partie de' l'espace dont la perspective fasse réellement image ; car entre l'œil et le tableau un corps cache lui-tnéme sa perspective, et l'œil ne peut apercevoir ce qui est' placé derrière lui.

' L'horizon de la mer donne une idée siififisanté de la limite d'un plan; cette idée serait parfaitement exacte sans la couii)ure du globe.

La perspective d'une droite et celle d'im plan étant déterminées, nous devons en déduire la solution des divers problèmes que Ton peut se proposer sur la position réciproque de ces (}eux élémens de tous les corps. Ces problèmes seront d'autant plus faciles à résoudre, qu'il y a une analogie parfaite dans les projections polaires de la droite et du plan,' chose qui n'existe pas dans le système de projection orthogonale (i).

Noiations conifentiomielles des épures de projection polaire.

Le plan du papier sur lequel on opère étant censé celui du tableau, il £siut faire connaître comment l'œil se trouve placé par rapport à ce plan. En choisissant pour point de vue^xm point quelconque du tableau, on indiqu,e que l'œil est sur une perpendiculaire élevée par ce point ; en se donnant sur cette perpendiculaire la distance de l'œil au tableau, sa positicHi sera déterminée. Pour rapporter cette distance sur le papier^ on décrira, en la prenant pour, rayon, une circonférence

(t) Le plan et la Ugne sont représentés en perspective par leur traœ et leur limite, tandis que dans la méthode orthogonale la droite est donnée par ses pro^ Jectiolas et le plan pai' ses'traces.

CaiAPITBB PREMIER. 5

dont le point de vue sera le centre. Cette circonférence s^era utile toutes les fois qu'il faudra rabattre l'axe perspectif sur le tableau.

Nous verrons qu'il est une infinité de. cas dans lesquels on peut exécuter des épures de perspective sans être obligé de tracer cette circonférence t ces épures expriment alors des propriétés géométriques entièrement indépendantes de la position de l'œil.

La figure a représente ime épure de perspective : O en est le point de vue , et MNP la circonférence tracée avec la distance de l'œil au tableau pour rayon (i). La ligne AO est la perspective d'une droite perpendiculaire au tableau élevée au point A. La ligne CD est la perspective d'une droite quelconque ^ ayant D pour limite et C pour trace; le.sy^ tème des deux lignes parallèles £F, 6H représente un plan passant par, ou contenant les droites CD et IK,' puisque les traces et les limites de ces droites se confondent avec ceUes du plan. On remarquera que, poiu* distinguer la ligne trace de la ligne limite du plan, .cette dernière a été ponctuée; et que, pour indiquer la trace, et la. limite de la ligne isolée AO , il a été formé un petit trait ponctué au point limite , et un trait plein au point trace. Quand une droite est. contenue dans un plan, comme l'est CD, la chose n'est pas absolument nécessaire. Telles sont les notations graphiques que nous adopterons dans cet Ouvrage.

Nous aurons soin également , en indiquant un plan* et mie ligne , de faire toujours précéder les lettres qui désignent les limites par celles qui désignent les traces, et même de les séparer par une virgule. Ainsi, nous dirons la ligne A, O pour indiquer la ligne ayant sa trace en A et sa limite en O ; cette ligne sera différente de la ligne O, A. Nous dirons de même le plan EF, GH : c'est celui qui a EF pour trace et GH pour limite; plan nécessairement différent du plan GH, EF. Ce sys* tème de notation sera également étendu aux sur&ces qui ont, en perspective, des traces et des limites. Nous appellerons invertir une droite, un plan, une surface; passer à la droite, au plan et à la surface qui

(i) Dans toutes les épures suivantes, le cercle de rabattement de l'œil ne sera désigne' par aucune lettre \ ce sera le seul trace en ligne pleine. A partir de la figure 18, ce cercle, devenu inutile sera supprimé, et ne reparaîtra que dans les épures d'application.

6 GEOMm^K VSMSPECnVE.

s'éLpAméat par tes- têêmi ieMte, maàs ^ii£Cér«mmeBt <phoi9t : <k 4a droite A, O, ^'ekeitlple/à la'droite O, A, etc.

Ifous indiquétrons plus tard lesprbpriélésidont'jouMêeirt'kslîgiies, lés {>Iaiis'et lés surfaces par nqpport<à Wrs inrert».

Intersection 'de'He&x droites.

Pour que'deiix xiroitËs'se reDConlï*ent dans l'espace, il 'CuH-qu'elles sotent ^contenues dans un même pkn<, ce tpii aura lieu quand la ligne qui joint leurs traces sera parallèle à la ligne ^ui joint leurs limites ; ces deux parallèles sont lés lignes projeotives du plan commun aux ^eux ^ités.

Le point de rencontre de ces deux droites ^ant pour projection le point de rencontre de leurs perspectives, ces perspectives peuvent se couper, 2^^ en avant de la trace du plan qui contient les deux droites; a^ sur cette trace; 3® entre la trace et la limite du même plan; 4^ sur la limite; 5^ en-delà de la limite; 6® enfin, à l'infini (quand les deux perspectives sont parallèles). Chacun de ces cas correspond à une position différente du point de rencontre dans l'espace : le I'' indique que le point se trouve entre le tableau et un plan parallèle au tableau mené par l'œil ; le a"", sur le tableau ; le 3°*, dans la partie de l'espace postérieure au tableau; le 4"^*, à l'infini (les proposées sont parallèles) ; le 5*^*, dans la partie de l'espace située derrière l'ôeil et limitée par un plan parallèle au tableau passant par l'œil ; le ô"*, enfin , sur ce plan parallèle.

Nous reviendrons souvent sur' ces considérations, avec lesquelles il est essentiel de se familiariser, et qui nous serviront à reconnaître , dans chaque épure , le lieu de Tespace où se trouvent les diverses parties des lignes ou des surfaces représentées en perspective. Pour l'explication de ces divers cas du point de rencontre de deux droites, il faut se reporter à la figure i " , au moyen de laquelle jqous avons fait voir comment se projettent en perspective les parties finies et infinies d'une même ligne. '

Quand on s'occupe de la projection polaire comme fournissant des dessins qui font image , pn est conduit à considérer tout ce qui est en projection au-delà des limites comme une perspective imaginaire ,.

caBJU^fifl^ne^peuLaf^teGeiKàr cû^quivse taou«er.denidèiie lui; mais, soua le rapport projectif, tout est réel. Nous ferons souvent usage ^ de constructions qui dépassent les .limites ou les traces, parce que certains problèmes occupant toutes les parties de l'espace , leurs solutions seraient incomplètes si nous ne donnions que la partie de Tépure i^usf eptiblç de, pc^jrspiîfrftiyp ré^le.