PREMIER PROBLÈME

TrQuvtw i^igmndâijr {Tune droite parallèle. au^ taldeaiu

Nous ayons vu qu'une. droite parallèle au tablee^u n'était déterminée que lorsque, outre sa perspective (la trace indéfinie. dq spn pjan projetant), on avait encore la trace et la limite d'un plan qui H contînt (i). Soit (fig. 2) la droite dont, la perspective est RS , située dans Je pjan EF, GH, plan dont les, lignes prôjectives sont nécessairement parallèles à la droite dans l'espace, et. à sa perspective sur le tableau; et.supposoQç que l'on demande la grandeur de la partie de cette droite comprise entre les points a et b.

Solution. Si, d'un point quelconque n de la limite du plan, on mène deux droites «au^ deuK^ points, a et h, prolongées jusqu'à la rencontre de la trace du plan , elles intercepteront sur cette trace une grandeur Régale à ^> comme parallèle comprise entre parallèles; car les lignes nfet ne ayant mêmes limites , sont parallèles. Nous n'avons pas besoin de faire observer que la trace du plan étant sur le tableau , fournit immédiatement la- grandeur cherchée.

On voit^ à ^inspection d^ la figure, comment se résoudrait le pro-

(i) On ne doit point re^r4er le. moyen, que nous employons pour, déterininer. une parallèle au tableau comme une anomalie. Supposons , en effet , que , dans la figure 2, le trait plein et le trait ponctué qui déterminent la droite A, 0, soient prolongés dans une direction parallèle ; ils pourront alors être considérés comme la trace et là limite d'un plan passant par cette droite, et qui, combiné avec le )>Un projetant de cette m'éme droite , là détermine dans l'espace ; elle est , en effet,, le^r, commune. inteirs^.tioii»

Ou, peut aussi en^p^oyeir ni|,pl£M:i a^iliaire, pour détermine^ une droita.dont la trace et la limite ne se.trouyept pas comprises. d^9. le, cadre su^.leqpel on. opère.

blême inverse : Porter sur une parallèle au tableau une grandeur donnée. . : ; .

a"* PROBLÈME.

Trouver la grandeur dune droite perpendiculaire au tableau.

Soit (fig. 3) la droite dont A, B est la perspective; et supposons que Ton demande quelle est la grandeur de la portion de cette droite projetée entre les points C et D.

Solution. En rabattant sur le tableau le plan projetant de la droite autour de sa trace AB, comme charnière, l'oeil vient s'appliquer en O , et la droite se rabat suivant une perpendiculaire à la charnière en AH ; joignant l'œil rabattu aux points C et D / les deux lignes prolongées détermineront sur la ligne rabattue une portion 6K, qui e$t évidemment la grandeur cherchée. Réciproquement, si Ton voulait porter sur la perspective une grandeur donnée GK, à ime distance AG du tableau, la construction inverse donnerait CD pour la perspective cherchée.

Trouver la grandeur dune droite quelconque.

Soit (fig. 4) 1& droite dont A, B est la perspective, et soit CD la portion de cette droite dont on demande la grandeur.

Solution, Faisons passer par la proposée un plan perpendiculaire au tableau ; la limite de ce plan sera OB , qui joint le point de vue k la limite de A,B, puisque tout plan dont la limite passe par le point de vue est perpendiculaire au tableau. La trace de ce plan sera la droite AE parallèle à BO, et passant par la trace de la proposée. Il existe sur ce plan un système de parallèles qui divisent la droite A, B et la trace AE en parties égales , à partir du point A ; ces parallèles ont leurs points limites sur la limite du plan qui les contient, et pour trouver ce point, il suffit de mener par l'œil, dans le plan BO, une droite qui Êisse avec A,B et AF des angles égaux. Rabattant l'œil autour de OB, comme charnière , il s'applique en O'; O'B est , en rabattement , la parallèle à A, B passant par l'œil. Donc, si nous portons sur BO, de B en L, la grandeur O'B, le point L sera le point de concours cherché, puisque le triangle

(yBi#^att iH»^ em B», ^ que* Bli est pcrrâiléTe à AF danb Pespsrce, cflime^B lf«t à i;^B. JoigMMttl ce ipàimt L atrr points C et I>, et praiMf^esflt ;p]Bqd'^ kr reacoftlre de AF exr G et P, nons mirons détermioé sor le pi» A£ , OB^ deox triangles ACE et ADF sembliablfts an triafi|^i& L(yB*, eomaie ayant leu» trois côtés paraHcles; ces dienx triangles sont donc isocèles e» A; dbnc EF est strr le tableatr fa: véritable grandeur de CD. Il existe sur la lifbite OB un autre point V (jui jouit de la même propriété que fe point L ; c'est celui que Ton aurait obtenu en portant la grandeur O'B du coté opposé à celui auquel elle a été portée. On peut faire usage indifféremment de ces deux poiafe pcRir résûodre le problème doa/t nous nous oeeupdns^ r on dbit choisir çeliâ des deox que 1«9 dic^dsifîonfi^ de Képure rendant le p&is

>fin:iiit:i

Le ol"^ problème peut se résoudre^ pas» tes conÂdénctton^ qnr notis venoas d'en^oyv dans edui-cif^ sans ai^otr ifeeDurs" à tm raliaftenietit. En effet) considérona (%• a) AH, BO ceoime ta trasce et fa liinite ^m plan perpendiculaire au tableau passant par fa droite A, B; te poiaf O* esl; la limite du système de parallèles qui', dans ce plan , ferment fa succession des tiriaagies isocèles AC& et ASK , rectsm^lie» en A. Pottf le démontrer , il n'y a qu'à supposer le point O joint k Poeil, et re^ marquer que le triangle qvd a OB pocor base et Fœîl- pour sommet, a les deux cotés de l'angle droit égaux, et que Tun de ees eoté^ est parallèle à la droite A,B comme perpendiculaire att tablêat», et Taràtre' à la trace AH. Cette explicatiœi est entièremeM indépendante de Fangfe BAH £ormé par là trace du pfan et la perspective de fa* ligne A, B, d^ sorte qu'un autre plan quelconque AH^ BO^ eàt, par un raôso&nemettt entièrement semblable , donné en G/R' la grsoideur cberehée. On peut doiMî choisir celui de ces plans qui coimént le màeux auit dispositions des épures qu'on af à exécuter.

;me

Par un point R (fig. 5) donné sur une droite A , B mener une paraltète

à une droite T, R.

Solution. La ligne cherchée devant passer par le point R., et dcvturt avoir même limite que X, R, comme parallèle à Oiette droite^ sa di*

lo GÉOMÉTRIE PERSPECTIVE.

rection et $a limite sont connues ; il ne reste donp plus qu'à trouver sa trace. Puisqu'elle coupe A, B, elle est dans un même plan avec cette ligne y et la limite de ce plan est la droite BK. La trace de ce plan devant passer par le point A et être parallèle à KB, le point M où elle rencontre KR prolongée , est le point trace cherché qui complète^la perspective de la parallèle passant par le point donné.

Trouver VintersectLon de deux plans.

Solution. L'intersection des traces des deux plans CD, £F et GH, IK. (fig. 5) donne le point A où la ligne cherchée perce le tableau, et l'intersection des deux limites donne le point B, limite de cette ligne; A,B est donc l'intersection des deux plans.

Puisqu'un plan est représenté en perspective par deux droites parai» lèles , l'une trace et l'autre limite , on peut imaginer un autre plan dont' les lignes projectives se confondent avec celles du premier, de manière que la trace de l'un soit superposée à la limite de l'autre. C'est ce que nous avons désigné par le mot invertir. L'intersection commune de ces deux plans est parallèle au tableau, puisque les traces et les limites de deux plans invertis se rencontrent à l'infini : de plus, la perspective de cette intersection divise en deux parties égales l'espace compris entre les lignes projectives communes aux deux plans ; car en coupant les deux plans invertis par un troisième plan quelconque , le point d'intersection de ces trois plans est donné par la rencontré des diagonales du parallélogramme que forment les lignes confondues des deux plans invertis , et la trace et la limite du troisième.

On peut invertir également les points projectife d'une même ligne , et l'on obtient ainsi une seconde ligne qui coupe la première au point qui a pour perspective le milieu de la distance comprise entre leur trace ^ et leur limite commune. En effet, en faisant passer par chacune des droites deux plans invertis, la commune intersection de ces plans coupe ces droites à leur point de rencontre, et nous venons de- prouver que cette ligne divise en deux parties égales l'espace compris entre les traces et les Iknites des plans dont elle est l'intersection commune.

£n se reportant à la construction de la figure i"*, par laquelle nous

. €HÂPITB£ HŒMIER. tï

«Ton$ fiât remarquer que le point qui se projette en g, à égale distance de la trace et de la limite, se trouve derrière le tableau à une distance égale à celle du tableau à Tœil, nous reconnaîtrons que deux droites et deux plans invertis ont leur commune intersection sur un plan parallèle au tableau, et que ce plan est à une distance égale à celle de l'œil au point de vue-

Nous venons de voir que l'intersection commune de deux plans a pour perspective ime des diagonales du parallélogramme que. forment sur le tableau leur trace et leur limite. Si, sans rien changer à Tépure, on invertit un dé ces plans, ce n'est plus la diagonale que nous venons de considérer, c'est l'autre diagonale qui, dans cette nouvelle supposition, est l'intersection commime.

On peut ainsi, en invertissant chacun des plans à son tour, £sdre passer l'intersection cherchée par tous les cas que présentent les diagonales, non-seulement en passant d'une diagonale à l'autre, mais aussi en invertissant chacune des droites représentées par ces diagonales; de sorte qu'un parallélogramme est la réunion de quatre épures, donnant chacune l'in» tersection de deux plans dififérens, mais tous assujettis à passer par un même point, intersection de deux quelconques des diagonales: c'iest donc la perspective d'une pyramide quadrangulaire*

Trouver F intersection dune droite et iï un plan.

Soit M, K (fig. 5) la perspective de la droite, et CD, £F celle du plan donné.

Solution. Faisons passer par M,K un plan quelconque GH, IR; son intersection avec le plan donné est, d'après le problème précédent, la ligne A, B, qui vient couper M, K au point cherché R, puisque A , B est contenue dans le plan CD, EF.

7"' FROBLÈMB.

Mener par une droite un plan parallèle à une droite donnée.

Solution. Il sufiSlt de mener par la trace de la preimère de ces droites une parallèle à la ligne qui joint les points limites des deux droites don»

f ^ 6É0MÉEHK EBBRBOnVE.

jPar 2^ point donné sur une droite mentr un plfifi jpanllèle à §m

plan donné.

Soit (fif . t^ 4e «poiirt À 9«r fa droite % , € , par lequel il s^agit de mener un plan parallédeau ptanlMS^, fJE.

Sokdtiwu Par le poiat A imos mènerons une ligne quelcon^e, .avec Jk^smile «octdilîon que sa ^mite^soit snr un des points de DE; la trace J9 de oeCle ligne ^ohAcoém en t^enrant que la nouvelle ligne est dans un même plan que B,C, puisque ces deux droites ont en A im point commun,

eî<pt fe (RgnequÎToint les limites de ces droites doit être parallèle à celle apA johat leur trace. Menant par le point H une parallèle à DE, le plan SB^DE'sera le ptei cherché, puisqu'il contient une ligne qui passe par oonstraction par le point A , et qu'A a même Tunite que le plan MN, DE. Nous efc se rverons que, dans cette épure, la trace de ce dernier plan a été ^itièmEieBt inutile, ce qu'on pouvait prévoir d'avance, puisque la trace d'un phn n'influe en rien sur sa direction.

Trouifer F intersection dun plan parallèle au tableau et dune droite.

Un plan parallèle au tableau ne peut avoir ni trace ni limite , mais puis^Hm jplaa panlldB int tableau est connu de position , dans l'espace, par un seul de ses points, cette seule condition doit suffire égal0Dat6nt pour le idélberatmer ^en penspecti^Fo^ et pour permettre de résoudre ttow l6$ ppcibkèmâs ésm lesquds «m ^Aan parallèle an tableau «atnerait oomme but ou mmnie i^oHi^.

Soit (fig. 7) le point O sur la ligne A,B, et 'supposons qu'on demande l'intersection du plan parallèle au tableau passant par ce point avec la ligne C, D.

Solution. Par la trace Cile cette dernière li^se^ ai i'<m m^ie une parallèle C, B à A, B, ces deux droites détermineront un plan qui sera éndeii»ieDt -coupé par le plan parallèle au tableau, suivant une droiteOM panAèle au taMeau tX par conséquent à la trace CA du

OBAviTsa, pmsisEai. i3

ftei ^ fa i ea o tk m t iie^poi&t M a^;)arl!ieBtiloiftean j4an qui passe par iefflintO; ouds Jes 4rofl8s<2, B «t C , D ayant leurs traces communes,

dans «m même jAam qui -a pour limite DB, et qui, par les mifliona que ci-desaus, e^ coupé par le plan du point O suivant ime dlpoite MN,jMmi]lèle à WB; donc le point H est le point dberdhé où «n pian parallèle au tableau passant par le point O Tient rencontrer ladroîte CD.

A risqieclîon de la 'figure , «n reconnaît que , sar diacune des lignes A , B I C , D et C , B , le point trace, le*point limite , et le poiirt de rencontre du plan parallèle, divisent chaque perspective en segmens proportionnels aux segmens de Tune quelconque des deux autres ; propriété qui aurait lieu , quel que fut le nombre de lignes que nous eussions considérées. On en pondura ^e,l9rs^e daixpMite-soBEt^sî^és ctiacim^ur deux droites quelconques, de telle sorte que, condMaaés fljjFmétrîquement av^ los treea^ et \e^ Kflsdtos de ces droites, û$ dmsenttews perspectives Ga segmens ippoportiomMb 9 cea-pcànfis «<»€ , dans fespaee , sur un plan paraJIfile^vu tableau.

lO"^ PROBLEME.

t^ar deux points damiés mener une droite.

Soient (fig. B) tes deux poixits A et B^wles de»XiUgi>eB»C^D^£,f .

Solution. Si par le poiat A m>m meoous une pwaJAète à Ja.bgne £yF (4*°* problème), ces deux parallèles détermineront un plajQiqpu con* tiendra les deux points donnés , et par conséquent la ligne cherchée. Or, ce plan a évidenunent pour trace la ligne £M , qui joint les traces d«s Viff»G^ ^ k déterarâient, ^^ .pour lôwte, FL, paralk^ à £M; dftacleq^MQt t, où ABfHK^ongée ^oniirenQoalrer la trace du plim qui la contient, est le point trace de la ligne cherchée ; et, par la même -raison , L est son point limite.

Par trois points donnés faire passer un plan.

SolMtipn. Soient (% jB) tes trois poûils AvB.»P«v tes droites C>D £, F et M', N, le problème précédent nous ayantdéjà damé ladroiteI,L,

i4 GÉOMÉTRIE PERSPECnVE.

qui passe par les deux points A et B, il sufOira de £sdre passer par droite et le point P un plan , pour que la question soit résolue. Par ht point Py nous mènerons une parallèle à I, L, et nous obtiendrons sa trace T, en observant que cette droite est dans un même plan avec la droite M', N. Faisant passer un plan par les deux parallèles I , L et T, Ij, ce plan IT, LS contiendra les trois points donnés. Cette épure se vérifie en cherchant les traces et les limites des droites qui joignent le point P aux points A et B , qui doivent être telles que ces droites se trouvent dans le plan IT,LS.

Trouver Vintersection de trois plans.

Soient (fig. 9) les trois'plans AB,CD, EF,GH et IL^MN dont on demande l'intersection.

Solution. Trois plans ne peuvent se couper qu'en im seul4)oint où se rencontrent leurs trois lignes d'intersection commune. Il suffira donc de tracer dans cette figure deux quelconques de ces intersections; et leur point de rencontre donnera le point cherché 0(i), par lequel vient nécessairement passer la troisième.

Invertissons chacun des plans proposés successivement, comme nous l'avons &it au 5"* problème; nous ferons successivement parcourir aux diagonales tous les cas possibles, et nous trouverons ainsi sur Tépure quatre points satis£siis^t chacun à une des suppositions que nous aurons faites.

l3** PROBLEME.

Quelles sont les relations qui doii^nt exister entre les projections dune droite et dun plan , pour qu'ils soient réciproquement perpendicU'kUres?

£n se rappelant que la limite d'une droite est la trace d'une ligne parallèle passant par l'œil, et que la limite d'un plan est pareUlement la trace d'un plan parallèle passant aussi par l'œil , la question pro-

(1) Ces trois plans se eoupént dans leur partie imaginaire ; leur point de rencontre est donc derrière l'œil.

/ CHAPITRE PREMIER. i5

posée se réduit:^ c^Ue-ci : Quelles sont les relations qui doivent exister entre les projeàtions dun plan et (tune droite passant également par Vœil pour qi^ ils soient réciproquement perpendiculaires.

Solution. Soit MN (fig. lo) la ligne unique, représentant un plan passant par Fœil ; menons à ce plan par l'axe perspectif un plan perpendiculaire , ce dernier contiendra la droite cherchée. Si nous le rabattons autour de sa trace AR , perpendiculaire à MN , l'œil qu'il contient viendra s'appliquer en C, et, par conséquent, la ligne AG, dont le point A n'a pas bougé , sera l'intersection rabattue du plan MN et du plan AR. La droite cherchée doit se trouver dans ce dernier plan, passer par l'oeil, et être perpendiculaire à toutes les lignes menées par son p^ed dans le plan MN i .AG est ime de ces lignes. Donc GR passant par l'œil rabattu , et disant im angle droit avec AG, sera, en rabattement, la ligne cherchée; et le point R, où elle vient percer la charnière, et par conséquent le tableau, sera sa perspective.

On peut conclure de là que, pour avoir la limite du £siisceau de droites perpendiculaires à un plan donné, il fauty/^ar le point de vue, abaisser une perpendiculaire sur la limite du plan y rabattre Foeit aU" tour de cette perpendiculaire comme charnière y et élever y par F œil rabattu y une perpendiculaire à la ligne qui le Joint à F intersection de la charnière et de la limite du plan. Le point où cette perpendiculaire vient rencontrer la charnière est la limite cherchée.

L'opération inverse donne la ligne limite des plans perpendiculaires à une droite donnée. Ge point et cette d«oite, ayant entre eux des relations réciproques, prendront, l'un par rtipport à l'autre, l'épithète de

normal; ainsi nous dirons que le point R est normal de la droite NM,

et que la droite NM est normale du point R.

A chaque point du tableau correspond une droite normale ; et à

chaque* droite, un point nonpal.

Le point normal se rapproche du point de vue à mesure que la

droite normale s'en éloigne.

Quand l'un des deux arrive au point de vue , l'autre passe à l'in-

finL

Toutes les fois qu'un plan et une droite auront entre leurs limites

les relations que nous venons d'exprimer, ils seront réciproquement

i6 GÉOMÉZRK PfiBâRBCrnVE^

perpendiculaires^ comme paraUèkft chadiu» à lAi fin et k âaadMte passant par l'œU j qui sont perpendîcukired eïnlrc? eus»

Pour mener, par un point donné ,< une droite perpettdicuhife^à vm plan, on cherchera le pcnnt nwBial dt ce fAkDr^ et par la pébkt doimé on fera passer une Ufn» ayaMI ee poia* normal poiar liiiân^, ce qui revient au 4"''' problème^ Peur mener pur veù^ point dottoé cni plan perpendiculaire k une di^oite, il £aiuft, de méi&e> ckwclMr Iv Ugne normale da point limite de la^ droite; et par le point denaé Ëdre passer un ^lan qui ait cette normale pour Umite f ce tfoà revîMit au &*" problème.

La figure lo représente L'intersection de la ligne B^ avec le pten OPyMN, qui lui est perpendiculaire. Si Ton roulait avoir la grandeur d'une partie quelconque de cette perpendiculaire , on 1» trouverait par les procédés du 3"* problème.

U est à remarquer que tout plan dont la limite passerait par le point R serait perpendiculaire au plan OP,MN, ainsi qu'à ses parailèles, c'est-à-dire ayant même limite MN normale du point R. Si on donnait de plus à ce plan la condition de passer par une droite donnée, il serait entièrement déterminé, sa limite devant à la fois passer par le point R et par la limite de la droite donnée , et sa trace devant contenir la trace de cette même droite.

jingîe et une droite et ^ un plan avec le tahleaum

Le triangle ACR donne en A Fangle du plan MN avec le tableau , et en R celui de la droite R. CeSi angles sont communs à tous les plans et à toutes les droites qui ont* cette ligne et ce point pour limite.

l4"^ PaOBLÈME.

Trouver la plus courte distance entre deux droites.

Solution. Soient (fig. ii) A^ et C^ les* deux droites données, la ligne DB est la limite d'un plan parallèle à chacune des deux droites. Npus venons de voir que tout plan dont la limite passerait par le point E , normal de BD , sera perpendiculaire au plan DB. Faisant donc passer par chacune des droites A , B et C, D un plan tel , que sa Kmite passe par £ , l'intersection F£ de ces deux pians sera perpendiculaire au